Proposizione 1.4.1. Un’applicazione lineare T : E → F ,dove E e F sono spazi vettoriali topologici, `e continua se e soltanto se T `e continua in 0.
Dimostrazione. Sia T continua in 0, e sia a ∈ E. Un intorno di T (a) in
F `e della forma T (a) + W , dove W `e un intorno di 0 = T (0) in F . Sia V un intorno di 0 in E tale che T (V ) ⊂ W . Allora a + V `e un intorno di a in E, e T (a + V ) ⊂ T (a) + W ; questo prova la continuit`a di T in a.
Proposizione 1.4.2. Una forma lineare f su uno spazio vettoriale E `e con-tinua se e soltanto se f−1(0) `e chiuso.
Dimostrazione. Supponiamo che f−1(0) sia chiuso. Se f = 0, allora f `e continua. Supponiamo che f 6= 0. Esiste a ∈ E tale che f (a) 6= 0; possiamo supporre f (a) = 1. Poich´e a non appartiene al sottoinsieme chiuso f−1(0), esiste un intorno equilibrato V di 0 tale che (a + V ) ∩ f−1(0) = ∅. Proveremo che x ∈ V implica |f (x)| < 1; allora avremo x ∈ V implica |f (x)| < per ogni > 0. e pertanto sar`a provato che f `e continua per la Proposizione 1.4.1.
Per provare quanto detto prima, sia x ∈ V tale che |f (x)| ≥ 1. Poniamo λ = −1/f (x) e t = a + λx. Allora |λ| ≤ 1. Inoltre f (t) = 0, ossia t ∈ f−1(0);
dall’altro canto t ∈ a + V perch´e V `e equilibrato. Dunque t ∈ (a + V ) ∩ f−1(0), il che `e impossibile.
Definizione 1.4.3. Lo spazio duale E0 di uno spazio vettoriale topologico `e lo spazio vettoriale di tutte le forme lineari e continue su E.
Teorema 1.4.4. (Teorema di Hahn-Banach) Sia p una funzione a valori reali definito su uno spazio vettoriale reale E tale che p(x + y) ≤ p(x) + p(y) e p(λx) = λp(x) per ogni x, y ∈ E e λ ∈ R, λ ≥ 0. Sia F ⊂ E un sottospazio vettoriale, e g una forma lineare su F soddisfacente alla stima g(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ F . Allora esiste una forma lineare f su E tale che estenda g e soddisfi la stima f (x) ≤ p(x) per ogni x ∈ E.
Prima di dimostrare questo teorema, richiamiamo alcuni risultati dalla teo-ria degli insiemi. Un insieme ordinato Φ `e un insieme nel quale `e assegnato una relazione d’ordine; usualmente viene indicata con ≤, e soddisfa le seguenti condizioni:
(1) x ≤ x per ogni x ∈ Φ;
(2) x ≤ y e y ≤ z implicano x ≤ z per ogni x, y, z ∈ Φ;
(3) x ≤ y e y ≤ x implicano x = y per ogni x, y ∈ Φ.
Un sottoinsieme Γ ⊂ Φ si dice limitato superiormente in Φ se esiste a ∈ Φ tale che x ≤ a per ogni x ∈ Γ. Un sottoinsieme Γ si dice totalmente ordinato se per ogni x, y ∈ Γ risulta x ≤ y oppure y ≤ x. Un elemento a ∈ Φ si dice massimale se x ∈ Φ e a ≤ x implicano x = a. Diciamo che Φ `e induttivo se ogni suo sottoinsieme totalmente ordinato `e limitato superiormente. Allora abbiamo:
Teorema 1.4.5. (Principio del massimo) Ogni insieme ordinato non vuoto e induttivo possiede un elemento massimale.
Dimostrazione del Teorema 1.4.4. Sia ϕ tale che: (1) ϕ `e una forma lineare definita su un sottospazio vettoriale Dϕ di E contenete F ; (2) ϕ `e un’estensione di g; (3) ϕ(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ Dϕ. Denotiamo con Φ l’insieme di tutte le siffatte ϕ. g ∈ Φ, pertanto Φ 6= ∅. Ordiniamo Φ nel modo seguente: se ϕ1, ϕ2 ∈ Φ, scriviamo ϕ1 ≤ ϕ2 per dire che Dϕ1 ⊂ Dϕ2 e ϕ1 `e esteso da ϕ2. E immediato verificare che Φ `` e un insieme ordinato.
Adesso proveremo che Φ `e induttivo. Sia Γ ⊂ Φ un sottoinsieme totalmente ordinato. Definiamo ψ nel modo seguente. Poniamo Dψ =S
ϕ∈ΓDϕ. Dψ `e un sottospazio vettoriale di E; infatti, se x1, x2 ∈ Dψ, allora esistono ϕ1, ϕ2 ∈ Γ tali che x1 ∈ Dϕ1 e x2 ∈ Dϕ2. Poich´e Γ `e totalmente ordinato ϕ1 ≤ ϕ2 oppure ϕ2 ≤ ϕ1. Fissiamo le idee supponendo ϕ1 ≤ ϕ2. Allora x1 ∈ Dϕ1 ⊂ Dϕ2, x2 ∈ Dϕ2, e pertanto x1 + x2 ⊂ Dϕ2 ⊂ Dψ. In modo analogo si prova che λ ∈ R e x ∈ Dψ implicano λx ∈ Dψ. Ovviamente Dψ contiene F . Ora definiamo ψ : Dψ → R come segue: se x ∈ Dψ, allora esiste ϕ ∈ Γ tale che x ∈ Dϕ. Poniamo ψ(x) = ϕ(x). `E immediato verificare, usando il fatto che Γ `e totalmente ordinato, che ψ `e ben definita, lineare, estensione di g e
ψ(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ Dψ. Pertanto ψ ∈ Φ. Inoltre ϕ ≤ ψ per ogni ϕ ∈ Γ.
Cos`ı, abbiamo provato che Γ `e limitata superiormente. Per il principio del massimo (Teorema 1.4.5), Φ ammette almeno un elemento massimale.
La dimostrazione sar`a completata se mostriamo che ogni elemento massi-male di Φ `e definito su E. Sia ϕ ∈ Φ tale che Dϕ 6= E; proveremo che ϕ non
`
e un elemento massimale in Φ. Definiamo ψ nel modo seguente. Prendiamo a ∈ E, a /∈ Dϕ e poniamo Dψ = Dϕ ⊕ R; notiamo che Dϕ `e un sottoinsieme proprio di Dψ. Per ogni x ∈ Dϕ e λ ∈ R, poniamo ψ(x + λa) = ϕ(x) + λα, dove α ∈ R sar`a opportunamente fissato in seguito. ψ `e una forma lineare in Dψ che estende g. Vogliamo scegliere α ∈ R in modo tale che ψ ∈ Φ, cio`e ψ(x + λa) = ϕ(x) + λα ≤ p(x + λa) per ogni x ∈ Dϕ e λ ∈ R. Questo
`
e vero per λ = 0 perch´e otteniamo ϕ(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ Dϕ che `e si-curamente vero. Se questo `e vero per λ = 1, allora `e vera per ogni λ > 0;
infatti, sostituendo x con x/λ, otteniamo ϕ(x/λ) + α ≤ p(x/λ + a), e quindi ϕ(x) + λα ≤ p(x + λa). Similmente il caso λ = −1 implica i casi λ < 0.
In conclusione, dobbiamo scegliere α ∈ R in modo tale che siano soddisfatte ϕ(x)+α ≤ p(x+a) e ϕ(x)−α ≤ p(x−a) per ogni x ∈ Dϕ. Questo `e equivalente a ϕ(x1) − p(x1− a) ≤ α ≤ p(x2+ a) − ϕ(x2) per ogni x1, x2 ∈ Dϕ. Osserviamo che ϕ(x1) + ϕ(x2) = ϕ(x1+ x2) ≤ p(x1+ x2) ≤ p(x1− a) + p(x2+ a), pertanto ϕ(x1) − p(x1− a) ≤ p(x2+ a) − ϕ(x2) per ogni x1, x2 ∈ Dϕ. Se scegliamo α ∈ R tale che
sup{ϕ(x) − p(x − a) : x ∈ Dϕ} ≤ α ≤ inf{p(x + a) − ϕ(x) : x ∈ Dϕ}, allora, possiamo concludere che ψ(y) ≤ p(y) per ogni y ∈ Dψ, ossia ψ ∈ Φ.
Ricordiamo che ϕ ≤ ψ e ϕ 6= ψ, e quindi ϕ non `e un elemento massimale in Φ.
Teorema 1.4.6. Siano E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso, F ⊂ E un sottospazio e g una forma lineare continua su F . Allora esiste una forma lineare continua su E che estende g.
Per la dimostrazione ci serve il seguente risultato.
Lemma 1.4.7. Siano p e q due seminorme in uno spazio vettoriale E. Allora q ≤ p se e solo se x ∈ E, p(x) ≤ 1 implica q(x) ≤ 1.
Dimostrazione, Supponiamo che p(x) ≤ 1 implichi q(x) ≤ 1. Sia x ∈ E tale che p(x) > 0. Allora p(x/p(x)) = 1 implica q(x/p(x)) ≤ 1, ossia q(x) ≤ p(x). Se p(x) = 0, allora p(λx) = 0 ≤ 1, e quindi q(λx) ≤ 1 per ogni λ ∈ K.
In particolare, q(x) ≤ 1/|λ| se λ 6= 0. Se λ → ∞, otteniamo q(x) = 0 = p(x).
Dimostrazione del Teorema 1.4.6 nel caso reale. Per la continut`a di g, il sottoinsieme W = {x ∈ F : |g(x)| ≤ 1} `e un intorno di 0 in F . Allora esiste un intorno V di 0 in E tale che V ∩ F = W . Sia p una seminorma continua su E tale che x ∈ E, p(x) ≤ 1 implichi x ∈ V (Osservazione 1.3.9).
Usando il Lemma 1.4.7 con q = |g| su F otteniamo |g(x)| ≤ p(x) per ogni x ∈ F . In particolare, g(x) ≤ p(x) per ogni x ∈ F . Applicando il teorema di Hahn-Banach (Teorema 1.4.4), otteniamo una forma lineare f su E tale che f estenda g e f (x) ≤ p(x) per ogni x ∈ E. Sostituendo x con −x in questa stima, otteniamo −f (x) ≤ p(x); pertanto |f (x)| ≤ p(x) per ogni x ∈ E. Questo implica che f sia continua in 0; infatti, se > 0, U = {x ∈ E : p(x) ≤ } `e un intorno di 0 in E, e x ∈ U implica |f (x)| ≤ . Dunque f `e continua su E.
Prima di dimostrare il teorema nel caso complesso, ci serviranno le seguen-ti osservazioni. Se E `e uno spazio vettoriale complesso, allora E `e anche uno spazio vettoriale reale; possiamo allora parlare di forme lineari complesse e forme lineari reali, su E. Se f `e una forma lineare complessa su F , allora f (x) = f1(x) + if2(x) per ogni x ∈ E, dove f1 e f2 sono forme lineari re-ali su E univocamente determinate. Inoltre f (ix) = if (x) `e equivalente a f1(ix) = −f2(x) e f2(ix) = f1(x), per ogni x ∈ E. Notiamo che quest’ultime due uguaglianze sono equivalenti, come si pu`o verificare immediatamente
sos-tituendo x con ix in ciascuna di esse. Usando la prima per esprimere f2 in funzione di f1, otteniamo f (x) = f1(x) − if1(ix) per ogni x ∈ E. Viceversa, se f1`e una forma lineare reale su E e se definiamo f (x) = f1(x) − if1(ix) per ogni x ∈ E, allora f `e una forma lineare complessa su E come si verifica facilmente.
Se E `e uno spazio vettoriale topologico e f una forma lineare complessa, allora f `e continua se e solo se la corrispondente forma lineare reale f1 `e continua.
Anche questo e facile da giustificare.
Dimostrazione del Teorema 1.4.6 nel caso complesso. Relativa-mente alla forma lineare complessa g sul sottospazio vettoriale complesso F di E, scriviamo g(x) = g1(x) − ig1(ix) per ogni x ∈ F , dove g1 `e la cor-rispondete forma lineare reale su F . Usando il Teorema 1.4.6 nel caso reale e considerando E come spazio vettoriale reale localmente convesso, troviamo una forma lineare reale e continua f1 su E che estende g1. Definiamo la for-ma lineare complessa f corrispondente ad f1 ponendo f (x) = f1(x) − if1(ix) per ogni x ∈ E. Allora f estende g, poich´e x ∈ F implica ix ∈ F , e f (x) = f1(x) − if1(ix) = g1(x) − ig1(ix) = g(x) per ogni x ∈ F . Anche f
`e continua e questo conclude la dimostrazione.