Il teorema di M¨ unts-Szasz

Il classico teorema di approssimazione di Weierstrass (Teorema 2.1.11) afferma che i polinomi sono densi in C(I), dove I = [0, 1], ossia il sottospazio vettoriale di C(I) generato da

{1, x, x², . . . , xⁿ, . . . }

`

e denso in C(I). In base a questo risultato ci si pu`o chiedere, data una successione di numeri reali positivi strettamente crescente

0 < λ₁ < λ₂ < . . . λ_n < . . . ,

sotto quali condizioni lo spazio vettoriale generato dalle funzioni {1, x^λ1, x^λ2, . . . , x^λn, . . . }

`

e denso in C(I).

Il problema si collega in moda naturale a quello dalla distribuzione degli zeri di una funzione olomorfa limitata in un semipiano oppure in un disco (esistendo fra i due una corrispondenza biunivoca olomorfa assieme con la sua inversa). La soluzione, sorprendentemente elegante, `e che {1, x^λ1, x^λ2, . . . , x^λn, . . . } genera topologicamente C(I) se e soltanto se P∞

n=1 1

λn = ∞. Quindi per effettuare la dimostrazione ci serve un risultato che caratterizza i zeri di una funzione olomorfa limitata nel disco unitario D(0, 1) che d’ora in poi indicheremo breve-mente con U . Dal canto suo questo risultato si prova mediante i cosiddetti prodotti infiniti di Blaschke e con la formula di Jensen. Iniziamo dunque coll’enunciare qualche risultato sui prodotti infiniti.

Definizione 3.3.1. Sia data una successione di numeri complessi (un)^∞_n=1 e, posto

p_N = (1 + u₁)(1 + u₂) · · · (1 + u_N)

per ogni N ≥ 1, supponiamo che

p = lim

N →∞pN

esista. Allora scriveremo

p =

∞

Y

n=1

(1 + u_n).

Il secondo membro in questa formula si chiama un prodotto infinito e i pN

sono i suoi prodotti parziali. Diremo che un prodotto infinito `e convergente se converge la successione dei suoi prodotti parziali.

Nello studio delle serie infinite P a_n ha importanza la rapidit`a con cui a<sub>n</sub> converge a zero. Analogamente, nello studio dei prodotti infiniti, `e interessante vedere se i fattori sono o non sono prossimi ad 1. Questo spiega la notazione adottata: 1 + u_n `e prossimo ad 1 se u<sub>n</sub> `e prossimo a 0.

Lemma 3.3.2. Se u₁, u₂, . . . , u_N sono dei numeri complessi e se p_N =

N

Y

n=1

(1 + u_n), p^∗_N =

N

Y

n=1

(1 + |u_n|), risulta

p^∗_N ≤ e^PNn=0|un| e

|p_N − 1| ≤ p^∗_N − 1.

Dimostrazione. La prima disuguaglianza si prova sfruttando il fatto che e^x ≥ x + 1 per x ≥ 0, mentre la seconda si prova facilmente per induzione su N . Tralasciamo i dettagli giacch´e tutto `e diretto. 

Teorema 3.3.3. Sia (u_n)^∞_n=1 una successione di funzioni complesse limitate definite sull’insieme S tale che

∞

X

n=1

|u_n|

sia uniformemente convergente su S. Allora

Dimostrazione. L’ipotesi implica che P∞

n=1|u_n| `e limitata, e se, come al

Gli nk che compaiono nel prodotto precedente sono tutti distinti e sono tutti pi`u grandi di N₀. Per il Lemma 3.3.2 abbiamo

cosicch´e |p_M| ≥ (1 − 2)|p_N0. Quindi

|f | ≥ (1 − 2)|p_N0|

il che prova che f (x) = 0 per qualche x ∈ S se e soltanto se p_N0(x) = 0. Dalla (1) segue infine la convergenza di (q_N)^∞_{N =1} allo stesso limite cui tende (p_N)^∞_{N =1}.



Vediamo ora paio di conseguenze di questo teorema.

Teorema 3.3.4. Sia data una successione di numeri reali (u_n)^∞_n=1 tale che 0 ≤ un< 1 per ogni n ≥ 1. Risulta allora che p > 0. D’altra parte

p ≤ p_N = elementi di H(Ω). Supponiamo che ciascuna funzione f_nnon sia identicamente nulla su alcuna componente connessa di Ω e che

∞

X

n=1

|1 − f_n|

converga uniformemente sui sottoinsiemi compatti di Ω. In queste ipotesi il prodotto

converge sui sottoinsiemi compatti di Ω. Pertanto f ∈ H(Ω). Inoltre si ha m(f, x) =

∞

X

n=1

m(f_n, x)

per ogni x ∈ Ω, dove m(f, x) `e, per definizione, la molteplicit`a dello zero di f nel punto x. (Se f (x) 6= 0, `e m(f, x) = 0).

Dimostrazione. La prima parte del teorema segue direttamente dal Teo-rema 3.3.3 e dal TeoTeo-rema 3.1.16. Per quanto concerne la seconda, osserviamo che l’ipotesi implica che ogni x ∈ Ω ha un intorno V in cui un numero finito (al pi`u) di f<sub>n</sub> ha uno zero. Consideriamo per primi questi fattori. Il prodotto dei rimanenti, in base al Teorema 3.3.3, non ha zeri in V , e questo implica la formula concernente la molteplicit`a degli zeri. Incidentalmente, osserviamo anche che la serie che compare in questa formula `e in realt`a una somma finita.



Il passo successivo `e quello di dimostrare la formula di Jensen che `e la base della dimostrazione di molti risultati che caratterizzano i zeri di certe classi di funzioni olomorfe. Come abbiamo gi`a detto, noi la useremo per trovare una condizione necessaria e sufficiente a cui devono soddisfare certi punti del disco unitario U per essere i zeri di una funzione olomorfa e limitata definita su U .

Sappiamo che ogni funzione olomorfa f ∈ H(Ω) ammette una primitiva, se Ω ⊂ C `e un insieme aperto e convesso, cio`e esiste una funzione F ∈ H(Ω) tale che F⁰ = f (si veda la dimostrazione di Teorema 3.1.6). Questo fatto implica, sempre se Ω `e un insieme aperto e convesso, che ogni funzione f ∈ H(Ω) priva di zeri in Ω ammette un logaritmo olomorfo su Ω, ossia esiste g ∈ H(Ω) tale che f = e<sup>g</sup>. Infatti, f<sup>0</sup>/f essendo una funzione olomorfa in Ω ammette una primitiva, cio`e esiste g ∈ H(Ω) tale che f⁰/f = g⁰. Possiamo aggiungere una costante a g in modo che e^g(x0) = f (x0) per un fissato x0 ∈ Ω. In seguito si vede che la derivata di f e^−g `e 0 su Ω, quindi f e<sup>−g</sup> `e costante in Ω e pari ad 1 perch´e in x₀ vale 1. Pertanto f = e^g.

Ricordiamo inoltre che una funzione u ∈ C²(Ω), dove Ω `e un sottoinsieme aperto di R<sup>2</sup>, si dice armonica se u<sub>xx</sub>+ u<sub>yy</sub> = 0 su Ω. Utilizzando le equazioni di Cauchy-Riemann si vede facilmente che sia la parte reale che quella immagi-naria di una funzione olomorfa f ∈ H(Ω) sono armoniche su Ω. `E interessante vedere che se Ω `e un insieme aperto e convesso, allora ogni funzione armonica u ∈ C<sup>2</sup>(Ω) `e la parte reale di una opportuna funzione olomorfa f ∈ H(Ω). In-fatti, consideriamo la funzione h = u_x− iu_y che `e olomorfa su Ω perch´e sodisfa le equazioni di Cauchy-Riemann. Pertanto esiste una funzione olomorfa su Ω f = U + iV tale che f<sup>0</sup> = h. Ora, come sappiamo f<sup>0</sup> = U<sub>x</sub>+ iV<sub>x</sub> = U<sub>x</sub>− iU<sub>y</sub>, cosicch´e U<sub>x</sub> = u<sub>x</sub> e U<sub>y</sub> = u<sub>y</sub>, e poich´e Ω `e un insieme connesso segue che esiste una costante c tale che u = U + c. In definitiva abbiamo dimostrato che u `e la parte reale della funzione olomorfa f − c.

Il fatto che ogni funzione armonica u su un insieme aperto e convesso Ω sia la parte reale di un opportuna funzione funzione olomorfa f ∈ H(Ω) e il Lemma 3.1.25 permettono di dimostrare la propriet`a della media per le funzioni armoniche., Cio`e, se Ω e un insieme aperto del piano, D(a, R) ⊂ Ω, dove a ∈ C e R > 0, e se u `e una funzione armonica su Ω, allora

u(a) = 1 2π

Z 2π 0

u(a + Re^it)dt,

ossia il valore della funzione u nel centro del disco `e la media dei valori che essa assume sulla circonferenza che delimita il disco.

Concludiamo osservando che se Ω ⊂ C `e un insieme aperto e convesso e se f ∈ H(Ω) `e una funzione priva di zeri su Ω, allora ln |f | `e una funzione armonica su Ω. Infatti, esiste g ∈ H(Ω) tale che f = e<sup>g</sup>. Allora ln |f | `e la parte reale di g ed `e pertanto armonica.

Dimostriamo ora un lemma.

Lemma 3.3.6.

1 2π

Z 2π 0

ln |1 − e^it|dt = 0.

Dimostrazione. Sia Ω = {z ∈ C : Re(z) < 1}. Poich´e 1 − z 6= 0 su Ω e Ω `e convesso esiste una h ∈ H(Ω) tale che

e^h(z)= 1 − z

per ogni z ∈ Ω; essa risulta univocamente determinata se si pone la condizione h(0) = 0. Essendo Re(1 − z) > 0 risulta

Re(h(x)) = ln |1 − z|, |Im(h(z))| < π 2 per ogni z ∈ Ω.

Per δ > 0 sufficientemente piccolo sia Γ il cammino Γ(t) = e^it (δ ≤ t ≤ 2π − δ),

e γ sia l’arco circolare avente centro nel punto 1 e congiungente i punti e^iδ e e^−iδ dentro il disco unitario U . Risulta

1 L’ultima uguaglianza dipende dal teorema di Cauchy; si ricordi che h(0) = 0.

Poich´e la lunghezza di γ `e minore di πδ, il valore assoluto dell’ultimo inte-grale `e minore di Cδ ln (1/δ), ove C `e una costante. Da ci`o discende il risultato,

Questa formula `e nota come formula di Jensen. L’ipotesi f (0) 6= 0 non provoca alcun inconveniente nelle applicazioni; se f ha uno zero di molteplicit`a k in 0, la formula pu`o essere applicata alla funzione f (z)/z^k.

Dimostrazione. Ordiniamo i punti a_j in modo che a₁, . . . , a_m siano in D sicch´e ln |g| `e una funzione armonica su D. Pertanto

(1)

Per 1 ≤ n ≤ m i fattori nella formula che definisce g hanno valore 1 in modulo se |z| = r. Se a_n= re^itn per m + 1 ≤ n ≤ N , segue che

Il Lemma 3.3.6 implica che l’integrale nella (1) resta inalterato se si sostituisce g con f . Confrontando con la (2) si ottiene il risultato desiderato. 

Teorema 3.3.8. Sia (a_n)^∞_n=1 una successione di elementi del disco unitario U tale che a_n 6= 0 per ogni n ≥ 1 e

per ogni x ∈ U , allora B `e una funzione olomorfa e limitata nel disco unitario U . Inoltre B ha per zeri tutti e soli i punti a_n (e l’origine, se k > 0).

Chiameremo questa funzione B prodotto di Blaschke. Si osservi che alcuni degli a_n possono essere ripetuti, e in tal caso B ha zeri multipli in quei punti.

Si osservi inoltre che ciascun fattore di un prodotto di Blaschke ha modulo 1 sulla circonferenza unitaria.

Il termine ”prodotto di Blaschke” viene usato anche quando vi `e un solo numero finito di fattori, o anche se non ve n’e alcuno, nel qual caso B(z) = 1.

Dimostrazione. L’n-esimo termine della serie zeri assegnati. Poich´e ciascun fattore nella definizione di B `e in modulo minore di 1, segue che |B(z)| < 1 per ogni z ∈ U . In questo modo la dimostrazione `e completata. 

Teorema 3.3.9. Sia (a_n)^∞_n=1 una successione di elementi del disco unitario U . Condizione necessaria e sufficiente affinch´e esista una funzione olomorfa e limitata sul disco unitario U avente come insieme degli zeri {a_n : n ≥ 1}, `e

che ∞

X

n=1

(1 − |an|) < ∞.

Dimostrazione. La sufficienza `e stata gi`a provata con il precedente Teo-rema 3.3.8. Viceversa, supponiamo di avere una funzione f olomorfa e limitata su U . Non `e restrittivo supporre f (0) 6= 0, altrimenti sarebbe sufficiente sos-tituire f con g, dove g(z) = f (z)/z<sup>k</sup> se k `e la molteplicit`a dello zero 0 per f . Indichiamo con n(r) il numero degli zeri di f che si trovano in D(0, r) per 0 < r < 1. Fissiamo un intero k ≥ 1 e prendiamo r < 1 tale che n(r) > k. La

formula di Jensen

e il fatto che f sia limitata implicano che esiste una costante C > 0 tale che

|f (0)|

Facendo tendere r ad 1 otteniamo

k

A questo punto il Teorema 3.3.4 implica che

∞

X

n=1

(1 − |a_n|) < ∞.



Siamo ora in grado di dimostrare il teorema di M¨untz-Szasz.

Teorema 3.3.10. (Teorema di M¨untz-Szasz) Siano 0 < λ₁ < λ₂ < · · · ; sia X la chiusura in C(I) dell’insieme delle combinazioni lineari finite delle funzioni

{1, x^λ1, x^λ2, . . . , x^λn, . . . }.

`

Dimostrazione. Se f ∈ C(I), allora, per una conseguenza del teorema di Hahn-Banach (Teorema 1.5.2), segue che f /∈ X se, e soltanto se, esiste una forma lineare continua ϕ su C(I) tale che ϕ(f ) 6= 0 e ϕ si annulli su X.

Poich´e ogni forma lineare continua ϕ su C(I) si ottiene integrando rispetto ad una misura complessa di Borel µ su I (Teorema 1.11.16), (a) sar´a conseguenza della proposizione:

Infatti, una volta stabilito questo risultato, l’osservazione precedente mostra che X contiene tutte le funzioni xⁿ; poich´e 1 ∈ X, X contiene tutti i polinomi e di conseguenza il teorema di Weierstrass implica che X = C(I).

Supponiamo dunque di essere nell’ipotesi della suddetta proposizione. Gli integrali che compaiono sia nell’ipotesi che nella tesi hanno la funzione inte-granda nulla sullo 0, e possiamo quindi supporre che la misura µ sia concentrata in ]0, 1]. Associamo a µ la funzione

(1) facilmente che F `e continua, e si pu`o applicare pertanto il teorema di

Mor-era (Teorema 3.1.15). Inoltre, la funzione F `e limitata nel semipiano destro (Re(z) > 0) perch´e |x^z| = x^Re(z) ≤ 1, se 0 < x ≤ 1. Inoltre si ha per ipotesi F (λ_n) = 0 per ogni n ≥ 1. Posto per definizione

G(z) = F  1 + z 1 − z



per ogni z ∈ U , dove U `e il disco unitario, risulta che G `e olomorfa e limitata e G(an) = 0, ove an = (λn − 1)/(λn + 1). Un semplice calcolo mostra che P∞

n=1(1 − |a_n|) = ∞ se P∞ n=1

1

λn. Dal Teorema 3.3.9 segue che G(z) = 0 per ogni z ∈ U e quindi F (z) = 0 per ogni z appartenente al semipiano destro. In particolare F (λ_n) = 0 per ogni n ≥ 1, e questo `e esattamente la tesi. In questo modo abbiamo provato la parte (a) del teorema.

Per dimostrare la (b) sar`a sufficiente costruire una misura µ su I tale che la (1) definisca una funzione olomorfa nel semipiano Re(z) > −1 (qualsiasi numero negativo servirebbe allo scopo) che si annulli in 0, λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, λ<sub>3</sub>, . . . e che non abbia altri zeri in tale semipiano. Infatti la forma lineare continua indotta da tale misura si annuller`a su X, ma sar`a diversa da 0 su ogni funzione x^λ se λ /∈ {0, λ₁, λ₂, λ₃, . . . }.

Cominceremo col costruire una funzione che abbia gli zeri assegnati, e mostreremo quindi che tale funzione pu`o essere rappresentata nella forma (1).

Poniamo per definizione

F (z) = z (2 + z)²

∞

Y

n=1

λ_n− z 2 + λn+ z. Essendo

1 − λ_n− z

2 + λ_n+ z = 2z + 2 2 + λ_n+ z,

il Teorema 3.3.5 implica che il prodotto infinito che definisce F converge uni-formemente su ogni insieme compatto non contente alcuno dei punti −2 − λ_n. Ne segue che F `e una funzione meromorfa in tutto il piano con i poli in −2 e

−2−λ_n, e gli zeri in 0, λ₁, λ₂, λ₃, . . . . Inoltre ciascun fattore nel prodotto infini-to ha modulo minore di 1 se Re(z) > −1. Pertaninfini-to |F (z)| ≤ 1 se Re(z) ≥ −1.

Il fattore (2 + z)² assicura che la restrizione di F alla retta Re(z) = −1 stia in L¹.

Fissiamo z in modo tale che Re(z) > −1, e scriviamo la formula di Cauchy (Teorema 3.1.10) per F prendendo come cammino di integrazione la semicir-conferenza, con centro in −1 e raggio R > 1+|z|, che congiunge i punti −1−iR e −1 + iR, passando per −1 + R, seguita dal segmento di estremi −1 + iR e

−1 − iR. Poich´e l’integrale sulla semicirconferenza tende a 0 per R → ∞, ci resta

Lo scambio nell’ordine di integrazione `e lecito, in quanto l’integrando nell’ulti-ma formula `e in L¹(R), e pertanto il teorema di Fubini `e applicabile. Abbiamo cosi ottenuto una misura µ che rappresenta F nella forma (1), e in questo modo la dimostrazione `e completa.

La combinazione dell’analisi funzionale con la teoria delle funzioni analitiche si `e rivelato essere molto efficiente nel dimostrare teoremi di densit`a. Come un esempio generale, supponiamo di avere una funzione g ∈ C(R) prolungabile ad una funzione analitica in tutto il piano complesso C. Sia Λ un sottoinsieme di R avente in punto di accumulazione finito, ossia esiste una successione (λn)^∞_n=1

di elementi di Λ due a due distinti ed esiste λ^∗ ∈ R tale che limn→∞λ_n = λ_∗. Sia M_Λ lo spazio vettoriale generato dalle funzioni

{g(λx) : λ ∈ Λ}.

Vogliamo determinare quando M_Λ `e denso in C([a, b]). Si ha il seguente risultato.

Teorema 3.3.11. Siano g, Λ e M_Λ come sopra. Poniamo N_g = {n ∈ N : g⁽ⁿ⁾(0) 6= 0}.

Allora M_Λ `e denso in C([a, b]) se, e soltanto se:

a) per [a, b] ⊂]0, ∞[ oppure [a, b] ⊂] − ∞, 0[

X

n∈Ng−{0}

1 n = ∞,

b) se a = 0 oppure b = 0, allora 0 ∈ N_g e X

n∈Ng−{0}

1 n = ∞,

c) se a < 0 < b, allora 0 ∈ N_g e X

n∈Ng−{0}, n pari

1

n = X

n∈Ng−{0}, n dispari

1 n = ∞.

Dimostrazione. Le condizioni (a), (b) e (c) sono esattamente quei con-dizioni che determinano quando lo spazio vettoriale generato dalle funzioni

{xⁿ : n ∈ N_g}

`

e denso in C([a, b]). Questo `e il contenuto del teorema di M¨untz-Szasz nel caso (b), mentre il caso (c) `e una conseguenza facile del teorema di M¨untz-Szasz.

Nel caso (a), segue dal teorema di M¨untz-Szasz che la condizione ivi asserita

`

e sufficiente. Per la necessariet`a si veda Schwartz [6].

Come al solito, il teorema di Hahn-Banach e il teorema di rappresentazione di Riesz implicano che M_Λ non `e denso in C([a, b]) se, e soltanto se, esiste una misura complessa non banale su [a, b] tale che

Z b a

g(λx)dµ(x) = 0

per ogni λ ∈ Λ. Assumiamo che una misura siffatta esista. Poich´e g `e una funzione olomorfa intera, segue che

h(z) = Z b

a

g(zx)dµ(x)

`

e intera. Per di pi`u h(λ) = 0 per ogni λ ∈ Λ. Per ipotesi Λ possiede un punto di accumulazione finito. Allora il teorema degli zeri (Teorema 3.1.17) implica h = 0. Comunque, anche se h `e identicamente nulla, ci`o non implica necessariamente che la misura µ sia nulla. In ogni caso abbiamo

Z b a

g(zx)dµ(x) = 0 per ogni z ∈ C. Differenziando rispetto a z troviamo

Z b a

xⁿg⁽ⁿ⁾(zx)dµ(x) = 0

per ogni z ∈ C e per ogni intero n ≥ 0. Per z = 0 otteniamo g⁽ⁿ⁾(0)

Z b a

xⁿdµ(x) = 0 n = 0, 1, . . . . Allora

Z b a

xⁿdµ(x) = 0

per ogni n ∈ N_g. Per`o la spazio vettoriale generato dalle funzioni {xⁿ : n ∈ N_g}

`

e denso in C([a, b]), pertanto µ `e la misura nulla.

Dall’altro canto supponiamo che le condizioni (a), (b) e (c) non siano ver-ificate. Allora lo spazio vettoriale generato dalle funzioni {xⁿ : n ∈ N_g} non `e denso in C([a, b]). ed esiste una misura complessa non banale µ su [a, b] tale che

Z b a

xⁿdµ(x) = 0 per ogni n ∈ N_g. Poich´e g `e una funzione intera

g(x) = X

n∈Ng

g⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ per ogni x ∈ R, e pertanto si ha

Z b a

g(λx)dµ(x) = 0

per ogni λ ∈ R. Quindi MΛ non `e denso in C([a, b]). 

Esempio 3.3.12. Se prendiamo g(x) = e^x, allora N_g = Z, sicch´e le con-dizioni (a), (b) e (c) del teorema precedente sono verificate. Pertanto lo spazio vettoriale generato dalle funzioni

{e^λx: λ ∈ Λ},

dove Λ `e un sottoinsieme di R con un punto di accumulazione finito, `e denso in C([a, b]) qualunque siano a, b ∈ R, a < b. Con un cambio di variabile si mostra che, sotto le stesse ipotesi su Λ, lo spazio vettoriale generato dalle funzioni

{x^λ : λ ∈ Λ}

`

e denso in C([α, β]) per ogni 0 < α < β < ∞.

Appendice A

Spazi topologici normali

Ricordiamo la definizione di spazio topologico normale.

Definizione A.0.13. Uno spazio topologico di Hausdorff E si dice normale(oppure T₄) se per ogni coppia A, B di sottoinsiemi chiusi e disgiunti di E esistono degli insiemi aperti e disgiunti U e V in E tali che A ⊂ U e B ⊂ V .

Teorema A.0.14. Ogni spazio topologico K compatto di Hausdorff `e normale.

Dimostrazione. Siano A, B ⊂ K chiusi e disgiunti. Fissiamo x ∈ A, per ogni y ∈ B, esistono U_y intorno aperto di x e V_y intorno aperto di y tali che U_y ∩ V_y = ∅; in particolare x /∈ V_y. Essendo B compatto, esistono y₁, . . . , y_n∈ B tali tali che, posto V_x= V_y1∪ · · · ∪ V_yn, risulti B ⊂ V_x e x /∈ V_x. Essendo A compatto, esistono x₁, . . . , x_m ∈ A tali che, detto U il comple-mentare di V_x1∩ · · · ∩ V_xm, e posto V = V_x1∩ · · · ∩ V_ym si abbia A ⊂ U . B ⊂ V e U ∩ V = ∅. 

Teorema A.0.15. Sia E uno spazio topologico di Hausdorff. Le seguenti quattro affermazioni sono equivalenti:

a) E `e normale.

b) (Lemma di Urysohn) Per ogni coppia di insiemi chiusi e disgiunti in E, esiste una funzione continua f : E → [0, 1] tale che f (a) = 0 per ogni a ∈ A e f (b) = 0 per ogni b ∈ B.

c) (Teorema di estensione di Tietze) Per ogni insieme chiuso A ⊂ E e per ogni funzione continua f : A → R esiste una estensione F : E → R continua.

Inoltre, se |f (a)| < c per ogni a ∈ A, F si pu`o costruire in modo che |F (x)| < c per ogni x ∈ E.

Dimostrazione. (a) implica (b). Indichiamo con R l’insieme dei numeri razionali diadici dell’intervallo [0, 1], cio`e i numeri della forma ₂^kn, con n, k ∈ N e 0 ≤ k ≤ 2ⁿ. Inizialmente mostriamo che ad ogni r ∈ R possiamo associare un aperto U_r in E tale che

(i) A ⊂ U_r e U_r∩ B = ∅ per ogni r ∈ R.

(ii) Se r < r⁰, allora U_r ⊂ U_r⁰; cio`e l’ordine in R `e identico all’ordine in {Ur : r ∈ R} dell’inclusione insiemistica con chiusura.

Procediamo per induzione sull’esponente delle frazioni diadiche, ponendo D_n = {U_k/2ⁿ : k = 0, 1, . . . , 2ⁿ},

D₀ consiste di U₁ = B^c (B^c `e il complemento di B) e U<sub>0</sub> `e qualche insieme aperto di E tale che

A ⊂ U₀ ⊂ U₀ ⊂ B^c, che esiste per la normalit`a di E.

Supponiamo di avere costruito D_n−1, e notiamo che in D_nsolamente i U_k/2ⁿ con k dispari richiedono una definizione; per ogni k dispari, abbiamo in D_n−1 U_(k−1)/2ⁿ ⊂ U_(k+1)/2ⁿ, cosi definiamo U_k/2ⁿ di essere un aperto tale che

U_(k−1)/2ⁿ ⊂ U_k/2ⁿ ⊂ U_k/2ⁿ ⊂ U_(k+1)/2ⁿ.

Definiamo ora la funzione f nel modo seguente

f (x) =







inf {r : x ∈ U_r} x /∈ B

1 x ∈ B

per ogni x ∈ E. Chiaramente f (b) = 1 per ogni b ∈ B; f (a) = 0 per ogni a ∈ A, perch´e a appartiene a tutti gli Ur. Non ci rimane che da provare la continuit`a di f . Fissato x₀ ∈ E, siano r₀ = f (x₀) ed  > 0. Se r₀ 6= 0, 1, prendiamo r⁰, r⁰⁰ ∈ R tali che r₀− < r⁰ < r₀ < r⁰⁰ < r₀+; allora U = U_r⁰⁰−U_r⁰

`

e un intorno di x0 e f (U ) ⊂]r0− , r0+ [, giacch`e x ∈ Ur<sup>00</sup> implica f (x) ≤ r<sup>00</sup>, e x /∈ U<sub>r</sub><sup>0</sup> implica f (x) ≥ r<sup>0</sup>. Se r<sub>0</sub> = 0 (rispettivamente, r<sub>0</sub> = 1), allora l’intorno U<sub>r</sub><sup>00</sup> (rispettivamente, U<sub>r</sub><sup>0c</sup>) da solo `e sufficiente. Questo completa la dimostrazione.

(b) implica (c). Per far si che la discussione sia chiara, enunciamo a perte il seguente lemma.

Lemma A.0.16. Se g : A → R `e un’applicazione continua tale che |g(a)| ≤ c per ogni a ∈ A, allora esiste un’applicazione continua h : E → R tale che:

(1) |h(x)| ≤ ¹₃c per ogni x ∈ E.

(2) |g(a) − h(a)| ≤ ²₃c per ogni a ∈ A.

Dimostrazione del lemma. Siano A₊= {a ∈ A : g(a) ≥ 1

3c} A− = {a ∈ A : g(a) ≤ −1 3c};

questi insiemi sono chiusi in E e disgiunti. Allora la (b) implica che esiste una funzione continua h : E → R, tale che h = −¹₃c su A− e h = ¹₃c su A₊, e

−¹₃c ≤ h ≤ ¹₃c. Evidentemente questa funzione soddisfa tutte le richieste.  La dimostrazione di (b) implica (c) si articola in tre passi.

(i) |f (a)| ≤ c per ogni a ∈ A. Usando f al posto di g nel lemma troviamo una funzione h₀ : E → R tale che |f (a)−h0(a)| ≤ ²₃c. Applichiamo il lemma di

nuovo, questa volta alla funzione f −h₀ definita su A per ottenere una funzione

(iii) f non `e necessariamente limitata. Sia h : R →] − 1, 1[ l’omeomorfismo definito mediante h(x) = x/(1+|x|). Per la (b) l’applicazione h◦f : A →]−1, 1[

ammette un estensione F : E →] − 1, 1[; allora h⁻¹ ◦ F `e un estensione di f . In questo modo la dimostrazione `e completa.

(c) implica (a). Siano A e B insiemi chiusi non vuoti e disgiunti in E.

Consideriamo la funzione definita su A ∪ B che vale 0 in A e 1 in B; questa

`

e una funzione continua su A ∪ B. Estendiamola ad una funzione continua F definita su tutto E; allora A ⊂ F⁻¹(] − ¹₂,¹₂[) = U e B ⊂ f⁻¹(]¹₂,³₂[) = V , U ∩ V = ∅, e U e V sono aperti. 

Appendice B

Elementi della teoria di misura

Elenchiamo qui le idee e i risultati principali riguardanti la teoria di misura che vengono utilizzate in questa tesi. Non diamo qui alcuna dimostrazione;

per le dimostrazioni, il lettore pu`o vedere ad esempio Rudin [5].

σ-Algebre. Una famiglia M di sottoinsiemi di un insieme X si dice una σ-algebra, se X ∈ M, A ∈ M implica A^c ∈ M, e se A = S∞

n=1A_n, dove A_n ∈ M per ogni n ≥ 1, allora anche A ∈ M. Da questo segue che ∅ ∈ M;

che la σ-algebra `e chiusa rispetto alle intersezioni numerabili e rispetto alla differenza insiemistica.

L’intersezione di una famiglia di σ-algebre `e ancora una σ-algebra. Da ci`o segue che dato un insieme A di sottoinsiemi di X, allora esiste la pi`u piccola σ-algebra contente A, che si dice la σ-algebra generata da A. Se (X, T ) `e uno spazio topologico, la pi`u piccola σ-algebra generata dalla topologia dicessi σ-algebra di Borel del suddetto spazio topologico.

Se M `e una σ-algebra sull’insieme X, la coppia (X, M), o pi`u spesso, con abuso di notazione, semplicemente X, dicessi uno spazio misurabile. Gli elementi di M si dicono insiemi misurabili. Se inoltre Y `e uno spazio

topo-logico, un’applicazione f : X → Y si dice misurabile, se f⁻¹(A) ∈ M per ogni aperto A in Y . Se consideriamo il cosiddetto insieme dei numeri reali esteso R = R ∪ {−∞} ∪ {∞} con la topologia naturale, una funzione f : X → R `e misurabile se {x : f (x) > a} oppure {x : f (x) < a} oppure {x : f (x) ≥ a}

oppure {x : f (x) ≤ a} `e misurabile per ogni a ∈ R. L’estremo superiore (op-pure l’estremo inferiore) di una famiglia di funzioni misurabili `e misurabile; il limite di una successione puntualmente convergente di funzione misurabili `e misurabile. Una funzione a valori complessi `e misurabile se parte reale e parte immaginaria sono misurabili. La somma, il prodotto ecc di funzioni misurabili

`

e ancora misurabile.

Una funzione misurabile e positiva si dice semplice se assume un numero finito di valori tra i quali viene escluso ∞. Ogni funzione f misurabile positiva

`

e limite di una successione crescente di funzioni semplici e positive. Se inoltre si suppone che f sia limitata, allora la convergenza pu`o essere addirittura uniforme.

Misure. Una misura (positiva) nello spazio misurabile (X, M) `e un’appli-cazione µ : M → [0, ∞] tale che, se A =S∞

n=1A_n, dove A_n ∈ M per ogni n ≥ 1, e gli A_n sono due a due disgiunti, allora µ(A) =P∞

n=1µ(A_n). Considerere-mo soltanto misure µ non banali, cio`e tali che µ(E) < ∞ per qualche E ∈ M.

Per queste misure risulta µ(∅) = 0.. In generale se An ∈ M per ogni n ≥ 1, senza l’ipotesi che siano due a due disgiunti, risulta µ(A) ≤P∞

n=1µ(A_n). Una definizione equivalente per la misura `e la seguente: per ogni A<sub>1</sub>, . . . , A<sub>n</sub> ∈ M due a due disgiunti, µ(A<sub>1</sub>∪ · · · ∪ A<sub>n</sub>) = µ(A<sub>1</sub>) + · · · + µ(A<sub>n</sub>), e se (A<sub>n</sub>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> `e una successione di insiemi misurabili crescente per inclusione (A_n ⊂ A_n+1 per ogni n), risulta µ(A) = lim_n→∞µ(A_n), dove A = S∞

n=1A_n. Se (A_n)^∞_n=1 `e una successione di insiemi misurabili decrescente per inclusione (A<sub>n+1</sub> ⊂ A<sub>n</sub> per ogni n), e se µ `e una misura, e µ(A₁) < ∞, allora µ(A) = lim_n→∞µ(A_n), dove A =T∞

n=1A_n.

Integrali. Se M `e una σ-algebra su un insieme X e µ : M → [0, ∞] `e una misura, allora la terna (X, M, µ), oppure, con abuso di notazione, semplice-mente X, si dice uno spazio di misura. Sia A un sottoinsieme misurabile di X, ad esso si associa la sua funzione caratteristica ξ_A che vale 1 in A e 0 fuori A.

Sia s una funzione semplice definita nello spazio di misura X; allora s si pu`o rappresentare nella forma s = Pn

i=1a_iχ_Ai, dove A₁, . . . , A_n sono insiemi mis-urabili due a due disgiunti e a₁, . . . , a_n ∈ [0, ∞]; sia E un insieme misurabile;

allora si definisce integrale di s su E il numero Z

Usiamo qui la convenzione 0 · ∞ = 0; pu`o accadere infatti che per qualche i risulti a<sub>i</sub> = 0 mentre µ(A<sub>i</sub> ∩ E) = ∞. Se f : X → [0, ∞] `e una funzione misurabile, si definisce l’integrale di f su E (rispetto alla misura µ come

Z

Sia ora f una funzione a valori reali. La misurabilit`a di f implica quella di |f |. Si chiama parte positiva di f , la funzione f⁺ = sup{f, 0}, mentre si

qualora questo avesse senso, cio`e quando non ci si trova nella forma indetermi-nata ∞ − ∞. Se f `e una funzione complessa, scrivendo f = u + iv, definiamo

ricordando che questo non sempre ha senso. Le definizioni precedenti hanno sicuramente senso per le funzioni complesse conR

E|f |dµ < ∞. L’insieme delle funzioni siffatte si indica con L¹(µ). Vediamo ora alcune propriet`a elementari

dell’integrale. Se a ∈ C, f e g sono funzioni misurabili, ed E `e un insieme

Enunciamo ore i classici teoremi di passaggio al limite sotto il segno

Enunciamo ore i classici teoremi di passaggio al limite sotto il segno

Nel documento Elementi di Analisi Funzionale (pagine 166-200)