Approccio numerico: analisi agli elementi finiti

Con lo sviluppo della tomografia computerizzata è possibile costruire modelli tridimensionali di osso umano che, attraverso un’analisi agli elementi finiti (FEA), permettono di predirne il comportamento meccanico evitando la distruzione dei campioni5. A causa, però, dell’elevato numero di elementi necessari per costruire il modello FE

47 dell’intero osso, è richiesto un elevato costo computazionale ed una macchina con elevate prestazioni. Per tale motivo sono stati proposti approcci voxel-based per la generazione di modelli FE dell’intero osso con architettura microscopica partendo da immagini di micro- CT. Sono state introdotte soglie di intensità della scala di grigi per ridurre il numero di elementi affinchè l’analisi FE possa essere effettuata su qualsiasi macchina. Per dimostrare l’applicabilità del metodo proposto è stato utilizzato osso metacarpale umano ed è stata scelta una soglia di intensità della scala di grigi per isolare la regione ossea dai tessuti molli. Ottenute, quindi, le immagini di micro-CT, l’analisi FE viene condotta attraverso un software (ABAQUS) ma la maggior parte dell’architettura microscopica dell’osso viene rimossa nella trasformazione della mesh superficiale in mesh volumetrica; trascurando le caratteristiche strutturali dell’osso, però, può risultare difficile predire in modo accurato le proprietà meccaniche del campione nella successiva analisi agli elementi finiti. Lo scopo del lavoro è stato, dunque, lo sviluppo di un metodo per generare automaticamente modelli FE tridimensionali per l’intero osso con architettura microscopica da immagini di micro- CT rappresentati “fette” del campione. Per fare questo, è stato utilizzato un programma sviluppato in MATLAB ed il modello FE del campione osseo è stato creato sotto forma di un file di input per il software ABAQUS. Inoltre, è stato studiato l’effetto dovuto alla variazione di dimensione degli elementi e alla soglia della scala di grigi sulla geometria dell’osso conducendo l’analisi FE su un pc. L’accuratezza del modello FE è stata validata conducendo una prova a trazione per confrontare la relazione forza-spostamento ottenuta nell’esperimento (test a 100 N/min su un campione di diametro 9.8 mm e lunghezza di 86 mm) e nella simulazione (la deformazione subita in seguito all’applicazione di un carico è stata simulata con ABAQUS): i risultati della simulazione hanno dimostrato di essere in buon accordo con quelli sperimentali.

Il comportamento meccanico apparente dell’osso trabecolare dipende dalle proprietà a livello trabecolare ma le piccole dimensioni delle trabecole limitano l’accuratezza e l’applicabilità dei metodi tradizionali su una singola trabecola. Altri metodi, che utilizzano modelli che descrivono la struttura trabecolare, sono di scarsa rilevanza perchè considerano l’osso come una struttura ripetitiva per poter descrivere una regione sufficientemente ampia di osso. È stato introdotto un nuovo metodo agli elementi finiti che permette l’analisi di estese regioni di osso trabecolare in modo dettagliato6. Il metodo utilizza tecniche di ricostruzione tridimensionali per ottenere un modello FE su larga scala

48 convertendo direttamente i voxel in elementi. È stato, dunque, modellizzato un cubo di osso trabecolare con lato pari a 5 mm dal quale è stato ottenuto un modello FE di 296679 elementi. La microstruttura tridimensionale del cubo è stata ottenuta digitalizzando 176 “fette” con una risoluzione di 176 x 248 pixel. Le condizioni al contorno del modello FE sono state variate in modo da rappresentare dapprima un test a compressione e successivamente delle condizioni in situ. A tutti gli elementi del modello sono state assegnate proprietà di materiale isotropo con un modulo elastico, scelto arbitrariamente, pari a 1000 MPa ed un modulo di Poisson pari a 0.3. Tale modello è stato validato con dati sperimentali ricavati dalla letteratura (modulo elastico compreso tra 2.23 e 10.1 GPa) che hanno permesso di concludere che il metodo sviluppato offre nuove prospettive per lo studio dell’osso trabecolare.

Uno studio7 ha inoltre valutato l’effetto della dimensione della mesh e delle condizioni al contorno sull’accuratezza: l’ipotesi di una condizione al contorno senza attrito nella configurazione di compressione a piatti paralleli è una significativa fonte di errore che può essere superata utilizzando endcaps rigidi8. È stato, infine, concluso che la modellazione agli elementi finiti su larga scala voxel-based è un efficace metodo per determinare le proprietà medie del tessuto trabecolare con un livello di accuratezza superiore al 5%. Il lavoro dimostra che i livelli di errore nelle misure del modulo elastico medio del tessuto trabecolare ottenute da modelli agli elementi finiti in combinazione con misure sperimentali di rigidezza apparente sono accettabili. L’accuratezza è stata migliorata con l’utilizzo di endcaps, indicando che la scelta delle opportune condizioni al contorno è cruciale al fine di ottenere buoni risultati. Infine, la quantificazione dell’accuratezza rappresenta uno step fondamentale per poter correttamente applicare questo metodo allo studio del comportamento meccanico del tessuto osseo trabecolare e delle sue patologie. Sebbene la modellazione agli elementi finiti rappresenti un’importante risorsa, bisogna tenere presente che è utilizzata per risolvere un modello matematico basato su ipotesi riguardanti la geometria delle trabecole, le proprietà del materiale e le condizioni al contorno e di carico9. I risultati dello studio hanno mostrato che l’esaedro ad 8 nodi deve essere utilizzato con attenzione quando si modellizza il comportamento dell’osso trabecolare in quanto con questo tipo di elementi i campi di sforzo sono generalmente mal rappresentati. È opportuno usare per la modellazione un metodo FE a larga scala sia per trovare le proprietà apparenti che nei casi in cui l’altro tipo di elementi (quadratici a 20

49 nodi) non può essere impiegato a causa dell’elevato tempo di calcolo. Viceversa, quando sono richiesti campi di sforzo accurati, gli elementi quadratici a 20 nodi danno i risultati migliori per l’analisi della distribuzione degli sforzi. Per concludere, quando il tempo di calcolo è limitato ma è richiesta accuratezza nel campo di sforzi, l’utilizzo di elementi lineari ad 8 nodi rimane il compromesso migliore.

È stato, inoltre, proposto un nuovo approccio nel quale le proprietà meccaniche vengono assegnate, dalle immagini CT, direttamente ad ogni punto di integrazione invece di modificare il dataset dei modelli FE: dapprima viene generato il file MATLAB dell’intensità dell’immagine dell’osso e successivamente questo viene letto in ABAQUS10. Le immagini CT vengono processate automaticamente attraverso una segmentazione 2D in MATLAB ed il modello 3D è poi ricostruito manualmente utilizzando il software Amira. I valori di intensità dell’immagine vengono riportati in un file di testo che viene in seguito letto in ABAQUS per trovare le proprietà dell’osso. Il modello è stato poi applicato ad una tibia di pecora utilizzando tre mesh differenti (dimensione degli elementi pari a 2.0 mm, 1.5 mm, 1.0 mm); per l’analisi degli sforzi sono stati usati sia elementi tetraedrici lineari a 4 nodi (1 punto di integrazione) che quadratici a 10 nodi (4 punti di integrazione). Il campione osseo è stato fissato all’estremità prossimale e sollecitato con una forza laterale di 10 N lungo la direzione X all’estremità distale (Figura 1.23).

Figura 1.23 - A sinistra è riportata la geometria FE importata in ABAQUS, le frecce indicano i 4 punti in cui è stato applicato il carico. A destra un punto di integrazione in un pixel.

Tale approccio migliora il livello di automazione della procedura di assegnazione delle proprietà meccaniche: è possibile scegliere qualsiasi valore di modulo elastico. La distribuzione di densità dell’osso ed il modulo elastico possono essere visualizzati in ABAQUS CAE: una volta sviluppati i programmi di interfaccia per l’utente, è possibile

50 utilizzarli per altre applicazioni senza necessità di cambiarli. È stata, dunque, dimostrata la possibilità di assegnare automaticamente le proprietà meccaniche dell’osso ai modelli FE senza dover ricorrere a manipolazioni manuali.

Inoltre, è stato sviluppato un modello FE di osso trabecolare basato su immagini micro-CT che considera sia la natura poroelastica che viscoelastica del tessuto11. Cubi di osso trabecolare (N = 25) estratti da tibia distale umana sono stati scansionati con micro-CT e sottoposti a prove di rilassamento. Il modello considera due scale: una a livello dei pori intra-trabecolari e l’altra a livello dei pori lacuno-canalicolari. Il rilassamento predetto dai modelli viscoelastici era simile a quello previsto dai poro-viscoelastici. I risultati suggeriscono che il contributo della viscoelasticità (indipendente dal flusso di fluido) sulla risposta meccanica del tessuto è significativamente maggiore rispetto al contributo della poro-elasticità (dipendente dal flusso di fluido). Recentemente gli studi sull’osso hanno incluso la micro-architettura del tessuto nei modelli agli elementi finiti usando immagini di micro-CT12,13 ma in molti di questi studi l’osso trabecolare è stato caratterizzato come materiale elastico lineare o elasto-plastico per determinarne la resistenza14,15,16,17. Sono stati utilizzati campioni cubici di osso trabecolare umano di lato 10 mm ottenuti da 17 tibie distali di cadaveri mentre le mesh del modello FE consistono in elementi esaedrici cubici a 8 nodi. È stato dunque dimostrato che la micro-architettura dell’osso contribuisce per almeno il 50% alla variabilità della risposta meccanica del tessuto; il restante 50% della variabilità può essere giustificato dalle specifiche proprietà del materiale. Modelli che considerano la micro-architettura dell’osso e utilizzano le equazioni costitutive appropriate sono, dunque, fondamentali per migliorare la comprensione del comportamento del tessuto osseo.