Capitolo 1 Introduzione
1.7 Modelli per il calcolo delle sollecitazioni nell’osso
1.7.3 Metodi di omogeneizzazione
Ogni tecnica d’indagine sperimentale condotta su tessuti biologici ha un proprio potere risolutivo, inteso come scala di osservazione dei fenomeni; si parte dalla microscopia elettronica (scala nanometrica) fino ad arrivare alle prove meccaniche di laboratorio (scala millimetrica o micrometrica) esplorando scale di dimensioni geometriche che differiscono quindi fino a sei ordini di grandezza.
33 Analogamente, i modelli matematici interpretativi dei fenomeni possono essere rappresentativi di una realtà osservabile a diverse scale geometriche e possono, quindi, essere formulati con diversi gradi di accuratezza e sofisticazione a seconda dello scopo che l’analisi si propone di raggiungere. I diversi modelli, alle diverse scale, possono far ricorso a tecniche numeriche o a modelli rappresentativi differenti a seconda di quali siano i fenomeni fisici predominanti ad ogni livello di osservazione.
Un problema certamente ancora lontano dall’essere ritenuto risolto è la determinazione della relazione che sussiste tra le proprietà meccaniche misurate o determinate sulla piccola scala e le proprietà meccaniche osservabili a scale maggiori e come la microstruttura dei tessuti possa influire su questa relazione. Tale problema presuppone la scelta dei modelli meccanici validi per le due scale prese in considerazione.
Si prenda come esempio la meccanica del continuo a livello macroscopico di un tessuto biologico quale l’osso (Redaelli et al., 2002). La scelta di una rappresentazione del comportamento di tale tessuto nell’ambito della meccanica del continuo sarebbe giustificata qualora si volesse analizzare il comportamento meccanico del tessuto osseo in un contesto ampio che comprenda ad esempio lo studio della meccanica di un’articolazione. Nel caso in cui l’obiettivo dell’analisi sia focalizzato su aspetti governati da fenomeni che agiscono ad un livello di scala inferiore, allora il modello alla macroscala basato sul continuo non può più essere impiegato. Si rende quindi necessario un modello che possa dare una descrizione notevolmente più dettagliata delle quantità meccaniche, quali sforzi e deformazioni, con una risoluzione tale da tenere conto delle singole microstrutture.
Dal punto di vista formale, le analisi condotte nell’ambito della meccanica del continuo, all’interno del quale sono state definite quantità e relazioni quali sforzi, deformazioni e legami costitutivi calate in un modello di mezzo continuo (come per esempio il continuo definito secondo Cauchy), sono valide finchè un intorno infinitesimo di materiale sia comunque sufficientemente grande da poter essere descritto mediante delle operazioni di media e quindi non rappresentativo delle microstrutture in esso contenute. L’operazione di media che consente di passare da una rappresentazione microscopica ad una rappresentazione su un livello di scala superiore (come continuo) prende il nome di omogeneizzazione. Mediante le tecniche di omogeneizzazione (Figura 1.18) si possono determinare i parametri di un legame costitutivo definito su una scala macroscopica a
34 partire dal legame costitutivo definito su scala microscopica, supponendo di conoscere un modello costitutivo adatto alla descrizione del comportamento meccanico dei singoli costituenti e sulla base delle caratteristiche geometriche delle microstrutture.
Figura 1.18 - Esemplificazione del processo di omogeneizzazione: sulla base delle caratteristiche della cella elementare rappresentativa del materiale non omogeneo vengono estratte informazioni sul comportamento
medio del materiale utilizzate per descrivere il comportamento macroscopico secondo le metodologie classiche della meccanica del continuo.
Tecniche moderne di acquisizioni di immagini diagnostiche quali la microtomografia assiale computerizzata, consentono di ricostruire fedelmente una geometria tridimensionale delle microstrutture ossee con una risoluzione che può arrivare all’ordine dei micron ed un modello agli elementi finiti (Figura 1.19) (Gulberg et al., 2001; Pistoia et al., 2001; Ulrich et al., 1998) che, se pur con i limiti dell’elasticità lineare, può fornire una valutazione abbastanza accurata delle deformazioni locali per un assegnato stato di deformazione macroscopico imposto come condizione al contorno.
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Figura 1.19 - Modello di osso trabecolare ottenuto tramite digitalizzazione di immagini tomografiche (micro-CT scan).
Una tecnica più recente di analisi delle microstrutture ossee consente di evitare il passaggio attraverso la digitalizzazione di immagini diagnostiche e si basa sulla ricostruzione approssimata della microstruttura che rispetti certi parametri geometrici rilevanti quali la porosità media o la dipendenza direzionale della porosità (anisotropia) mediante l’impiego di tecniche di discretizzazione quali la tassellazione di Voronoi (Figura 1.20) che permette di creare modelli su cui è poi possibile applicare il metodo degli elementi finiti. La ricostruzione tridimensionale della struttura, anche se non in grado di fornire una rappresentazione fedele di uno specifico campione osseo, è in grado di fornire le informazioni necessarie per comprendere la relazione tra proprietà macro e proprietà micro in dipendenza di pochi parametri significativi.
36 L’analisi dello stato di sforzo (Figura 1.21) sulla microstruttura al fine di determinare le proprietà meccaniche del solido ad una scala geometrica superiore e la conseguente analisi del materiale omogeneo equivalente sono, allo stato attuale, due operazioni consequenziali ma costituiscono di fatto due punti di vista separati.
Figura 1.21 - Modello microstrutturale FEM 2D di osso trabecolare ottenuto da microscopia.
La potenza fornita dagli attuali calcolatori in realtà darebbe la possibilità di integrare i due aspetti mediante l’implementazione dell’approccio comunemente denominato analisi multiscala. L’applicazione di questa tecnica alla discretizzazione ad elementi finiti consiste nell’analisi iterativa condotta su due scale differenti mediante la sovrapposizione di due griglie con diverse risoluzioni geometriche. Le condizioni al contorno da imporre sulla griglia descrivente le microstrutture derivano dall’analisi condotta sulla griglia meno fine. Il controllo sull’errore commesso nell’imporre le condizioni al contorno fornisce un criterio di arresto del ciclo di analisi.