Capitolo 2 – Materiali e Metodi
2.3 Approccio sperimentale e confronto con tecnica di correlazione di immagine (2D-DIC)
2.3.4 Elaborazione dei dati
2.3.4.1 Prove di compressione
I dati sperimentali acquisiti durante le prove di compressione (precondizionamento e rampe di carico) sono stati elaborati utilizzando un foglio di lavoro in Microsoft Excel. I valori di forza e spostamento forniti in uscita dalla macchina di prova sono utilizzati per ricavare i parametri meccanici di interesse. Da questi è possibile ricavare lo sforzo e la
90 deformazione: il primo, misurato in MPa, rappresenta il rapporto tra la forza applicata e la sezione resistente del campione:
𝜎 =
𝐹
𝐴
Œdove F è la forza di compressione applicata e A0 è la sezione resistente del campione, misurata prima dell’inizio della prova sperimentale. Dal momento che si tratta di una prova di compressione viene inserito il segno meno per ottenere valori di sforzo positivi.
La deformazione, invece, è definita come il cambiamento di dimensioni provocato da uno sforzo ed è espressa come rapporto tra lunghezze, risultando di conseguenza adimensionale:
𝜀 = −∆𝐿 𝐿Œ = −
𝐿 − 𝐿Œ 𝐿Œ
in cui L0 è la lunghezza iniziale del campione, misurata prima della prova ed L è la lunghezza del campione a seguito della sollecitazione. Il segno meno anche in questo caso è inserito per ottenere valori positivi.
È dunque possibile costruire le curve sforzo-deformazione (𝜎- 𝜀) di ciascun campione (Figura 2.22).
Figura 2.22 - Cicli di precarico (6 cicli) realizzati su un campione equino nella prova di compressione a piastre. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.000 0.005 0.010 0.015 S for zo [M P a] Deformazione [-]
Cicli di Precarico
Ciclo 1 Ciclo 2 Ciclo 3 Ciclo 4 Ciclo 5 Ciclo 691 Dalla curva sforzo-deformazione è stato ricavato il modulo di elasticità longitudinale (modulo di Young) che lega in modo direttamente proporzionale lo sforzo applicato e la deformazione subita dal campione e dipende dalla natura del materiale stesso:
𝐸 = 𝜎 𝜀
Graficamente, il modulo elastico è dato dal coefficiente angolare della retta ottenuta nel campo elastico della curva sforzo-deformazione. È stata, dunque, tracciata la linea di tendenza che approssima con una retta il tratto lineare della curva sforzo-deformazione ed il coefficiente angolare di tale retta rappresenta il modulo elastico cercato (Figura 2.23).
Figura 2.23 - Modulo elastico estratto dal coefficiente angolare della linea di tendenza che approssima il tratto lineare della curva sforzo-deformazione del sesto ciclo di precarico.
In particolare, per la prova di compressione a piastre il modulo elastico è stato ottenuto dal coefficiente angolare della linea di tendenza della curva (sforzo-deformazione) di andata del sesto ciclo di precarico; invece, per la prova di compressione con endcaps il modulo elastico è stato ricavato dal coefficiente angolare della linea di tendenza della curva di andata del quarto ciclo di precarico.
2.3.4.2 Rigidezza della macchina
Dal momento che qualsiasi misura effettuata con una macchina di prova è affetta da un “errore” introdotto dalla sua rigidezza si è ritenuto utile stimare tale valore al fine di poter
y = 1499.7x - 0.3611 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.002 0.004 0.006 S for zo [M P a] Deformazione [-]
Modulo Elastico
Tratto lineare della curva di andata del sesto ciclo di precarico92 correggere i dati ottenuti nelle prove precedenti sui campioni di osso in modo da renderli più attendibili. Per trovare la rigidezza della macchina occorre interporre tra gli afferraggi un campione di rigidezza idealmente infinita: infatti, all’interno della deformazione totale misurata, nel caso di un campione poco rigido la componente relativa alla deformazione della macchina è maggiore rispetto al caso di un campione molto rigido.
Sono stati, quindi, considerati i valori di forza, spostamento e deformazione ottenuti da provini di alluminio ad osso di cane testati a trazione sulla medesima macchina di prova (MTS 858 Bionix) nell’ambito di un’esercitazione di laboratorio presso il LaBS del Politecnico di Milano. A partire da questi, è stata calcolata la deformazione “vera” data dalla differenza tra la deformazione corrente e quella iniziale misurata con gli strain gage. La deformazione del campione, invece, è definita dalla seguente relazione:
𝜀fmi‹lj =
∆•‘ ∆’ “
”•
Dal grafico deformazione-tempo è possibile trovare il valore di rigidezza K che permette alla curva relativa alla deformazione del campione di sovrapporsi a quella della deformazione “vera” (Figura 2.24).
Figura 2.24 - Grafico deformazione-tempo per il calcolo della rigidezza K della macchina.
Il valore di K trovato, uguale per tutti e 7 i provini di alluminio testati, è stato inserito nella formula sottostante per correggere i valori di deformazione relativi al sesto ciclo di
0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0 20 40 60 D ef or m az ione [ -] Tempo [s]
Correzione Rigidezza
Deformazione campione Deformazione vera93 precarico nella prova di compressione a piastre e al quarto ciclo nella prova di compressione con endcaps:
𝜀fmi‹lj =
‘∆•–∆’ “
”•
in cui i segni sono cambiati rispetto alla formula precedente dal momento che in questo caso si tratta di una prova di compressione.
2.3.4.3 Analisi 2D-DIC
L’elaborazione delle immagini acquisite durante la prova di compressione a rampe con gli endcaps è stata realizzata utilizzando il software open-source Ncorr 2D-DIC, contenuto in ambiente MATLAB.
Gli step da seguire per applicare l’algoritmo di correlazione sono:
§ Importare l’immagine di riferimento, ovvero l’immagine scarica a 0 N;
§ Importare le altre immagini del campione in corrispondenza delle 4 rampe di carico (Figura 2.25);
Figura 2.25 - Software Ncorr 2D-DIC: immagine di riferimento e successive.
§ Definire la regione di interesse (ROI) in cui il software calcolerà gli spostamenti e le deformazioni (Figura 2.26);
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Figura 2.26 - Software Ncorr 2D-DIC: definizione della regione di interesse del campione (ROI).
§ Definire i parametri DIC (subset radius, subset spacing) e posizionare i seeds (punti di riferimento). Tali operazioni sono cruciali per il calcolo attendibile delle deformazioni. I seeds devono essere collocati in modo da trovarsi in punti in cui il campione è simmetrico ed in modo da non uscire dal campo visivo (field of view, FOV) durante la compressione (Figura 2.27). Nel presente lavoro, avendo un unico
seed a disposizione (per le specifiche tecniche del pc con cui è stata eseguita
l’analisi) questo è stato posizionato nel centro della regione di interesse;
Figura 2.27 - Software Ncorr 2D-DIC: posizionamento del seed all'interno della ROI.
§ Formattare gli spostamenti, passaggio fondamentale per la corretta conversione dei valori di spostamento da pixel a millimetri;
95 § Definire lo strain radius, parametro che indica il raggio del cerchio che seleziona
un gruppo di punti per adattare il piano: più il valore è piccolo, minore è il rumore presente nei dati di deformazione (Figura 2.28);
Figura 2.28 - Software Ncorr 2D-DIC: definizione dello strain radius in modo che i punti siano interpolati al meglio dal piano.
§ Visualizzare i campi di spostamento e di deformazione: le deformazioni sono calcolate a partire dai dati di spostamento utilizzando il metodo del piano ai minimi quadrati. I gradienti di spostamento vengono ottenuti dai parametri del piano e sono utilizzati per trovare le deformazioni.
Il software lavora utilizzando un cerchio di raggio imposto dall’utente (subset radius [pixel]) che viene fatto “scorrere” su tutta la regione di interesse (anch’essa imposta dall’utente). Tale cerchio è riempito di puntini spaziati tra loro di un valore inserito dall’utente (subset spacing); il software sfrutta lo spostamento di tali puntini tra un’immagine e l’altra (durante la compressione) per calcolare il campo di spostamenti e deformazioni del campione in esame33.
Nell’elaborazione è stata scelta la ROI più grande possibile, escludendo però i bordi al fine di evitare eventuali effetti di bordo. Inoltre, la scelta del subset radius è determinante per ottenere risultati attendibili34: infatti è necessario avere valori di deformazione mediati sull’intera regione di interesse e non valori di deformazione locali. Per questo motivo è stato scelto un valore sufficientemente grande da poter includere nel cerchio due trabecole consecutive (considerando lo spessore di ciascuna trabecola e la distanza tra due trabecole, valori entrambi forniti dall’analisi condotta con ImageJ e riportata nel paragrafo 2.4).
96 Il software fornisce in uscita i valori di deformazione massima, minima e mediana per ciascuna immagine importata (immagine indeformata di riferimento ed immagini in corrispondenza delle 4 rampe). Tali valori sono stati confrontati con i valori di deformazione sperimentali ottenuti nella prova di compressione con endcaps nella quale sono state acquisite le immagini. È stato, dunque, possibile effettuare un confronto tra i valori di deformazione sperimentali e quelli misurati con la prova ottica.
2.4 Determinazione dei parametri istomorfometrici dell’osso
La definizione dei parametri istomorfometrici consente la caratterizzazione strutturale del campione in esame. L’analisi è stata effettuata utilizzando il plug-in BoneJ del software ImageJ (Fiji) su ciascuno dei quattro quadrati in cui è stato suddiviso il campione e su tutti gli 8 campioni. Ciò ha permesso sia di operare un confronto tra i valori ottenuti per i bovini e quelli trovati per gli equini che di utilizzare lo spessore delle trabecole (Tb.Th) e la separazione tra le trabecole (Tb.Sp) per calcolare il Subset Radius ottimale nell’analisi DIC.
I parametri estratti sono i seguenti35:
§ Bone Volume (BV): rappresenta la porzione di osso (comprensivo di corticali e trabecole ossee) espressa come percentuale del volume del campione esaminato (densità ossea);
§ Bone Surface (BS): rappresenta la superficie delimitante le regioni occupate da materiale osseo solido;
§ Bone Volume / Total Volume (BV/TV): rappresenta la percentuale di tessuto osseo trabecolare costituito da osso mineralizzato e matrice osteoide rispetto al tessuto totale esaminato;
§ Bone Specific Surface (BS/BV): è il rapporto tra la superficie ossea solida ed il volume, misurato all’interno del “volume di interesse”. Tale rapporto è un parametro fondamentale per caratterizzare la complessità della struttura;
§ Bone Surface Density (BS/TV): è il rapporto tra la superficie ossea ed il volume totale analizzato;
§ Degree of Anisotropy (DA): indica la dipendenza delle proprietà meccaniche dalla direzione lungo le quali queste sono state ricavate. È compreso tra 0 e 1 che
97 corrispondono, rispettivamente, alla totale isotropia alla completa anisotropia;
§ Structure Model Index (SMI): indica la prevalenza relativa di rod e plate in una struttura tridimensionale. Il calcolo di questo parametro include una misura della convessità di superficie e risulta particolarmente significativo in caso di campioni osteoporotici di osso trabecolare, caratterizzati dalla transizione dell’architettura da una struttura molto simile a quella a piatti paralleli (tipica del tessuto sano) ad una assimilabile al modello a barre cilindriche. Un piatto, un cilindro o una sfera ideale hanno uno SMI pari a 0, 3 o 4 rispettivamente. La direzione principale delle strutture ossee è stata calcolata con il metodo della Mean Intercept Length (MIL) che consiste nel contare il numero di intersezioni tra una famiglia di linee parallele equidistanti e le interfacce osso/vuoto in funzione dell’orientazione 3D della famiglia di linee. Il valore risultante è dato dal rapporto tra la lunghezza totale della linea contenuta nell’immagine ed il numero di intersezioni36.
§ Trabecular Thickness (Tb. Th): rappresenta lo spessore delle trabecole; § Trabecular Spacing (Tb. Sp): rappresenta la distanza tra le trabecole.
L’utilizzo di questi descrittori architetturali può migliorare la predizione delle proprietà meccaniche dell’osso, correlando i risultati ottenuti dall’analisi FEM con le misure geometriche basate sulle immagini micro-CT.
Gli step che conducono al calcolo dei parametri istomorfometrici sono i seguenti:
1. Importazione del set di immagini micro-CT (420 immagini) in cui è stato scansionato il campione;
2. Disegno di uno dei quattro quadrati in cui è stato suddiviso il campione: le coordinate dei vertici ed il lato sono gli stessi usati precedentemente per la creazione della mesh del modello agli elementi finiti (Figura 2.29);
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Figura 2.29 - Rappresentazione di uno dei quattro quadrati in cui è stato suddiviso il campione.
3. Attraverso apposito comando (Image --> Crop) ritaglio del quadrato selezionato (Figura 2.30);
Figura 2.30 - Primo quadrato di cui verranno estratti i parametri (risultato del comando "Crop").
4. Applicazione del filtro Gaussian Blur (raggio σ = 2.0) per rimuovere il rumore dalle immagini (Process --> Filters --> Gaussian Blur);
99 sogliatura viene utilizzato il metodo di Otsu che restituisce immagini binarie (8-bit in scala di grigi) con valore del voxel pari a 1 per l’osso e pari a 0 per i vuoti
(Figura 2.31);
Figura 2.31 - Rappresentazione dell'immagine binarizzata.
A questo punto è possibile trovare i parametri morfologici (Plugins --> BoneJ) selezionandoli dall’apposito menu: per ciascuna analisi sono stati lasciati di volta in volta i valori suggeriti in automatico dal software.
Infine, correlando i valori di modulo elastico ottenuti dalla simulazione agli elementi finiti con i parametri istomorfometrici è possibile fare delle previsioni sul comportamento meccanico del campione in esame; l’aspettativa è che i campioni con una maggiore frazione di volume ossea, un maggior spessore trabecolare e una percentuale di porosità minore siano caratterizzati da una rigidezza e una resistenza maggiori; al contrario, campioni con valori di BV/TV e Tb. Th minori e con valori di porosità maggiori, saranno caratterizzati da moduli elastici più bassi.
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