Si osserva come i momenti nella direzione Y siano maggiori di quelli agenti nella direzione X. Questo fatto può essere spiegato ricordandosi il modello di Hillerborg appena utilizzato: la striscia in direzione X ha, a seconda del caso, un vincolo di appoggio o incastro a sinistra (lato Ovest) e un vincolo di appoggio fittizio a destra (lato Est). Quest'ultimo vincolo è sostanzialmente dato dal fatto che la striscia in direzione X si appoggia su quella in direzione Y, la quale è ben vincolata nell’estremo Nord che nell’estremo Sud. Di conseguenza in direzione Y la striscia è caricata oltre che dal carico distribuito e/o concentrato, anche da una quotaparte di carico nella direzione trasversale, identificabile con la reazione a terra dell'appoggio fittizio appunto.
Detto questo si procede ad armare la piastra, utilizzando la formula del momento resistente per travi inflesse allo stato limite ultimo:
dove d è l'altezza utile della sezione, n il numero di barre, il loro diametro e la
resistenza di progetto allo snervamento dell'acciaio. L'altezza utile d è calcolata come:
dove c è il copriferro, pari a 1.5 diametri.
Dato che i momenti sollecitanti maggiori sono in direzione Y, è stato scelto di porre più esterne le armature in questa direzione, aumentando così il braccio della coppia interna (0.9d), e più interne le armature in direzione X. Dunque in direzione Y il valore di r è il raggio della barra stessa, mentre in direzione X il valore di r è la somma tra il diametro della barra in direzione Y e il raggio della barra in direzione X.
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Figura 3.11 – Disposizione barre d’armatura nel piano XZ
Come barre d'armatura sono state scelte le B450C, i cui diametri commerciali vanno dai a con resistenza caratteristica allo snervamento è pari . Di conseguenza scegliendo un fattore di sicurezza di 1.15 si ottiene:
Detto questo si calcolano i quantitativi necessari di armatura e i rispettivi passi:
Direzione Ф[mm] n Passo[cm] d [mm] Mr[kNm] Ms[kNm]
X inferiore 14 10 20 275 150.2 121.0 Y inferiore 26 10 20 296 555.3 503.8 X superiore 14 10 20 291 158.8 145.9 Y superiore 20 10 20 309 343.0 309.8
Tabella 3.2 – Armatura e momenti resistenti
Al lembo inferiore è stato scelto un copriferro di mentre al lembo superiore di . Si ricorda che il dimensionamento dell'armatura è stato fatto su strisce di larghezza .
65 Di conseguenza sull'intera sezione di risulta:
Lembo inferiore 40 14 direzione X 40 26 direzione Y Lembo superiore 40 14 direzione X 40 20 direzione Y
Si ottiene sia al lembo superiore che a quello inferiore una maglia quadrata di passo . Questo rende molto semplice la posa dei ferri in cantiere e diminuisce la probabilità di errori.
Di seguito sono riportati i grafici degli inviluppi dei momenti sollecitanti con l'aggiunta dell'armatura appena dimensionata, mettendo quindi in evidenza il momento resistente che ne deriva:
Figura 3.12 – Momento resitente sezione BB
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 1 2 3 4 5 6 7 M[kNm] Lx[m] Sezione BB - Direzione X
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Figura 3.13 – Momento resistemte sezione AA
Osservazione:
In un lavoro di tesi precedente, svolto da Pietro Torregiani, l’armatura adottata era stata quella di progetto:
Armatura riprogettata Armatura di progetto
Direzione Ф[mm] Passo[cm] Ф[mm] Passo[cm]
X inferiore 14 20 14 10
Y inferiore 26 20 14 15
X superiore 14 20 12 10
Y superiore 20 20 14 15
Tabella 3.3 – Confronto armatura riprogettata e armatura di progetto
Comparando le due risulta evidente che l’armatura riprogettata dà più importanza alla direzione Y, sia al lembo superiore che a quello inferiore. Questo è giustificato
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 600 700 0 1 2 3 4 5 6 7 8 M[kNm] Ly[m] Sezione AA - Direzione Y
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dal fatto che progettando con il Metodo di Hillerborg, le sezioni BB (in direzione X) vanno a scaricare la propria reazione a terra (a Est) sulle sezioni AA (in direzioni Y), le quali risultano di conseguenza sovraccaricate (si vedano Paragrafi da 3.1.1 a 3.1.4).
Per quanto riguarda l’armatura di progetto essa non ha maglia quadrata ed è meglio distribuita nelle due direzioni (in direzione X è addirittura più fitta che in direzione Y).
La scelta della tipologia di armatura risulta fondamentale nel seguito quando si tratteranno i vari meccanismi di rottura. Infatti con l’applicazione del Principio dei Lavori Virtuali, nell’ottica del Metodo delle Yield Lines, il Lavoro Interno è strettamente dipendente dai momenti resistenti.
Armatura minima
Facendo riferimento all'Eurocodice 2, esso prescrive un’armatura minima pari a:
dove:
d è l'altezza utile della sezione e varia per ogni strato di armatura;
bt è pari a ed è la larghezza della sezione nella quale è contenuta
un'unica barra;
è la resistenza media del calcestruzzo a trazione. Con
l'Eurocodice 2 prescrive un valore di pari a 2.6.
Direzione Y lembo inferiore
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Direzione Y lembo superiore
Direzione X lembo inferiore
Direzione X lembo superiore
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4 INTRODUZIONE AI MECCANISMI DI ROTTURA
Come prima cosa si ricordano le dimensioni della piastra in pianta e dello spessore:
Si ipotizza che l'armatura al lembo superiore e al lembo inferiore sia uniformemente distribuita in entrambe le direzioni e che i momenti positivi siano tali da tendere le fibre inferiori.
Si decide di esprimere tutti i momenti resistenti, positivi e negativi, dati dalle armature della piastra in funzione di my+ (momento uniformemente distribuito in
direzione y al positivo, lembo inferiore) nel modo seguente:
Dunque i parametri adimensionali ω, µ, η risultano:
Ricordando la presenza lungo il lato Est della trave di bordo, il suo momento resistente espresso ancora una volta in funzione di my+ è dato da:
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Al fine di ricercare il carico ultimo per la piastra in questione, si fa riferimento al metodo delle Linee di Plasticizzazione (Yield Lines method) e si individuano 4 diversi meccanismi di rottura, fra i quali si ricerca il più probabile al variare delle condizioni di carico e vincolo.
Per i primi tre meccanismi si considera il lato Nord completamente incastrato/appoggiato, mentre per il quarto meccanismo si tiene in considerazione il parziale vincolo dato dalla discontinuità della parete sottostante. La ricerca dei carichi minimi di collasso per ogni meccanismo sfrutta il Principio dei Lavori Virtuali (si veda Park e Gamble 2000; Bamonte e Gambarova 2009), imponendo l'uguaglianza tra Lavoro Esterno (svolto dai carichi per una deformata virtuale) e Lavoro Interno (svolto dai momenti limite lungo le linee di plasticizzazione).
Le yield lines sono l’evoluzione dal campo monodimensionale al campo bidimensionale del concetto di "Cerniera Plastica", presente nella teoria dell’Analisi Limite dei telai. Se una linea di plasticizzazione fa lavorare l’armatura al positivo si rappresenta graficamente con una spezzata (ꟿ), mentre se lavora l’armatura al negativo con una tratteggiata (---). Dunque definendo un meccanismo cinematicamente ammissibile è possibile valutare il Lavoro Interno come:
dove con n si intende il numero di yield lines a seconda del meccanismo e con la lunghezza della j-esima linea di plasticizzazione.
Il Lavoro Esterno invece si calcola semplicemente come: dove con δ si intende l’abbassamento virtuale.
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Si è scelto di caricare la piastra in due modi differenti:
Carico uniformemente distribuito sull'intera piastra;
Carico concentrato posizionato, a seconda dei casi, nel baricentro della piastra o nella mezzeria del lato Est.
I carichi e sono, come previsto da normativa, la componente variabile rispettivamente dei carichi totali:
dove con si intende il peso proprio della struttura, che figura come un carico uniformemente distribuito.
Imponendo a questo punto l'uguaglianza dei lavori, , si ottiene il carico in funzione dei parametri ( ) che governano il meccanismo in questione. Dato che l'obiettivo è quello di ricercare il minimo della funzione “carico ultimo” ( e ), essa va derivata rispetto a tutti i parametri ( ) per imporre poi la nullità delle derivate stesse. Tale condizione è già, in generale, la condizione di minimo per cui non è necessario controllare che le derivate seconde siano positive.
Fatto questo è possibile ottenere il parametro (o i parametri) in corrispondenza del quale si ha il minimo carico e confrontare i carichi ultimi per i diversi meccanismi, ricercando quello più probabile.
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