Analisi numerica e calcolo a rottura di una piastra in c.a.

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Corso di Laurea in Ingegneria Civile

ANALISI NUMERICA E CALCOLO A

ROTTURA DI UNA PIASTRA IN C.A.

Relatore: Prof. Pietro Giovanni GAMBAROVA

Elaborato di Laurea di

Mattia ZECCHILLO

Matr. n. 841673

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In questo lavoro di tesi, a seguito di due prove di carico eseguite sotto carichi di servizio, è studiata una piastra quadrata in calcestruzzo armato, dopo l’aggiunta di una trave irrigidente in C.A. lungo l’unico lato libero. Il comportamento lineare mostrato nelle prove sotto carichi piuttosto concentrati applicati in due diverse posizioni è stato il punto d’inizio, (a) per confrontare gli abbassamenti ottenuti durante le prove con quelli ottenuti da un modello ad Elementi Finiti, (b) per determinare i carichi di collasso prima e dopo l’aggiunta della trave di bordo e (c) per verificare se il meccanismo più probabile in condizioni ambientali normali potrebbe esserlo ancora durante un incendio sviluppato nella parte sottostante, oppure altri meccanismi diventerebbero più probabili.

Le dimensioni nel piano e lo spessore sono 8x8 m e 35cm rispettivamente (L/t =23). I meccanismi a collasso sono stati studiati in entrambe le condizioni ambientali, ordinarie e durante un incendio, utilizzando un approccio cinematicamente ammissibile dell’Analisi Limite (il Metodo delle Linee di Plasticizzazione), mentre il comportamento elastico con carichi di servizio è stato investigato modellando la piastra tramite Elementi Finiti.

Sia l’analisi limite che quella in regime elastico hanno reso possibile verificare il ruolo svolto dai vincoli ai bordi (due lati convergenti sono connessi a pareti sottostanti; un lato è parzialmente vincolato ma mostra una continuità con la soletta adiacente; il quarto lato inizialmente libero, ma in seguito irrigidito grazie a una trave in C.A. posta lungo l’estradosso della piastra).

I vincoli, piuttosto complessi, rendono l’analisi agli EF fondamentale per la comprensione dei risultati sperimentali sotto carichi di servizio, l’analisi con linee di plasticizzazione mostra che non sempre la configurazione delle linee di plasticizzazione e dei meccanismi di collasso dettati dall’intuizione sono i più probabili e come la durata d’incendio può attivare meccanismi differenti, con o senza il contributo della trave di bordo. (In generale, le travi irrigidenti sono meno sensibili al calore delle piastre, grazie al maggiore copriferro presente).

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A heavy-duty reinforced-concrete square slab is studied in this dissertation based on two tests performed under the service loads, after adding a stiffening R/C beam along the only free edge. The very linear behaviour exhibited by the tests under fairly concentrated loads applied in two different locations was the starting point (a) to compare the displacement obtained during the tests to the ones obtained from a Finite Element model, (b) to determine the failure loads prior to and after adding the stiffening beam and (c) to check whether the most probable mode in ordinary environmental conditions may still be the most probable during a fire from below, or other failure modes would become more probable.

Slab in-plan size and thickness are 8x8 m and 35 cm respectively (L/t = 23). In both ordinary environmental conditions and fire the failure modes were studied by means of kinematically-admissible approach of Limit Analysis (Yield-Lines Method), while the mostly elastic behaviour under the service loads was investigated by modelling the slab via Finite Elements.

Both elastic and limit analysis made it possible to check the role played by the boundary restrains (two converging sides connected to underneath walls; one side partially supported but exhibiting a continuity with an adjoining slab; the fourth side initially free, but later stiffened by means of an R/C beam placed along the extrados of the slab.

The fairly complex restrains make FEM analysis instrumental in understanding the behaviour resulting from the tests under the service loads, yield-lines analysis shows that not always the yield-line patterns and the failure mechanisms dictated by intuition are the most probable and how fire duration may activate different mechanisms, with o without the contribution of the stiffening beam. (In general stiffening beams are less heat-sensitive than slabs, thanks to the larger concrete covers found).

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1 FONDAMENTI DI ANALISI LIMITE: LA TEORIA DELLE YIELD LINES ... 1

1.1 ANALISI ELASTICA DI UNA PIASTRA SOTTILE ... 1

1.2 COMPORTAMENTO IDEALMENTE PLASTICO E STATO LIMITE DI COLLASSO ... 6

1.3 STATO LIMITE PER I TELAI ... 8

1.4 STATO LIMITE PER LE PIASTRE ... 11

1.5 TEORIA DELLE YIELD LINES ... 12

2 DESCRIZIONE DELL’OPERA E MODELLAZIONE STRUTTURALE ... 20

2.1 LOCALIZZAZIONE E DESCRIZIONE DELLA PIASTRA ... 20

2.2 GRANDEZZE GEOMETRICHE E MECCANICHE ... 23

2.3 PROVE DI CARICO ... 27

2.4 MODELLAZIONE AD ELEMENTI FINITI ... 30

2.4.1 Modellazione ... 30

2.4.2 Andamento degli abbassamenti ... 39

3 DIMENSIONAMENTO DELL’ARMATURA ... 49

3.1 METODO DELLE STRISCE O DI HILLERBORG ... 49

3.1.1 Piastra appoggiata con carico distribuito ... 55

3.1.2 Piastra incastrata con carico distribuito ... 57

3.1.3 Piastra appoggiata con carico concentrato ... 59

3.1.4 Piastra incastrata con carico concentrato ... 60

3.2 ARMATURA E MOMENTI RESISTENTI ... 63

4 INTRODUZIONE AI MECCANISMI DI ROTTURA ... 69

4.1 MECCANISMO 1 ... 72

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5.1.3 Meccanismo di collasso più probabile ... 92

5.2 MECCANISMI CON TRAVE DI BORDO ... 93

5.2.1 Meccanismo 1 ... 95

5.2.2 Meccanismo 2 ... 97

5.4 MECCANISMI INDIPENDENTI DALLA TRAVE DI BORDO ... 99

5.4.1 Meccanismo 3 ... 100

5.4.2 Meccanismo 4 ... 101

5.4.4 Meccanismo 4* – Armatura al negativo modificata ... 104

5.5 MECCANISMO DI COLLASSO PIU’ PROBABILE ... 108

5.6 MECCANISMO PIU’ PROBABILE AL VARIARE DEL PARAMETRO K ... 109

6 MECCANISMI ASIMMETRICI ... 113

6.1 MECCANISMI ASIMMETRICI SENZA TRAVE DI BORDO ... 114

6.1.1 Meccanismo 1 ... 114

6.1.2 Meccanismo 2 ... 116

6.2 MECCANISMI ASIMMETRICI CON TRAVE DI BORDO ... 119

6.2.1 Meccanismo 1 ... 119

6.2.2 Meccanismo 2 ... 121

6.3 MECCANISMO ASIMMETRICO INDIPENDENTE DALLA TRAVE DI BORDO ... 124

6.3.1 Meccanismo 3 ... 124

6.3.2 Meccanismo di collasso 3 ... 126

6.4 OSSERVAZIONI ... 127

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7.2 VERIFICHE ... 129

7.2.1 Carico uniformemente distribuito ... 129

7.2.1 Carico concentrato ... 130

7.3 CONFRONTI FRA I MECCANISMI ... 131

7.3.1 Meccanismi simmetrici ... 132

7.3.2 Meccanismi asimmetrici ... 134

8 VERIFICHE AL FUOCO ... 136

8.1 CAMPO TERMICO ... 137

8.2 PERDITA DI PRESTAZIONI DELL’ARMATURA INFERIORE ... 141

8.2.1 Assenza della trave di bordo ... 143

8.2.2 Presenza della trave di bordo ... 150

8.3 CARICHI DI ESERCIZIO ... 160

9 CONCLUSIONI ... 163

10 APPENDICE A ... 166

11 APPENDICE B ... 170

11.1 MECCANISMI SENZA TRAVE DI BORDO ... 171

11.1.1 Meccanismo 1 ... 171

11.1.2 Meccanismo 2 ... 173

11.2 MECCANISMI CON TRAVE DI BORDO ... 175

11.2.1 Meccanismo 1 ... 175

11.2.2 Meccanismo 2 ... 177

11.3 MECCANISMI INDIPENDENTI DALLA TRAVE DI BORDO ... 179

11.3.1 Meccanismo 3 ... 179

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iv

Figura 1.1 – Esempi di applicazioni reali per le piastre ... 1

Figura 1.2 – Esempio di carico trasversale applicato a piastra rettangolare ... 2

Figura 1.3 – Schema di una piastra sottile e del suo piano medio ... 3

Figura 1.4 – Modello cinematico della piastra ... 3

Figura 1.5 – Convenzione delle forze interne per il sistema di riferimento ... 4

Figura 1.6 – Legge costitutiva dell’acciaio (Hughes 1976) ... 7

Figura 1.7 – Comportamento idealmente plastico dell’acciaio... 8

Figura 1.8 – Cerniera plastica. (a) Legame momento-curvatura, (b) Legame momento-spostamento (Hughes 1976) ... 9

Figura 1.9 – Schema di una trave doppiamente incastrata con carico trasversale q e andamento dei momenti flettenti sollecitanti al limite elastico (in verde) e a collasso (in rosso) ... 10

Figura 1.10 – Esempio di meccanismo di collasso reale ... 14

Figura 1.11 – Sviluppo del meccanismo di collasso ... 15

Figura 1.12 – Esempi di meccanismi di rottura secondo la teoria delle yield lines ... 16

Figura 1.13 – Sezione in C.A. Distribuzione degli sforzi in campo elastico e plastico... 16

Figura 2.1 – Schema piastra ... 20

Figura 2.2 – Posizionamento pareti, marciapiedi e trave di bordo ... 21

Figura 2.3 – Rampa d’accesso al cunicolo tecnologico ... 22

Figura 2.4 – Vista dal lato Sud ... 23

Figura 2.5 - Geometria in pianta ... 24

Figura 2.6 – Geometria sezioni ... 24

Figura 2.7 – Sezione trave di bordo e armatura ... 26

Figura 2.8 – (a) Posizione di carico 1 e (b) Posizione di carico 2 ... 27

Figura 2.9 – Attivazione LVDT ... 28

Figura 2.10 – Posizionamento LVDT ... 28

Figura 2.11 – Modellazione del marciapiede ... 31

Figura 2.12 – Modellazione del parapetto ... 33

Figura 2.13 – Deformata modello incastrato ... 35

Figura 2.14 – Deformata modello misto ... 36

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v

sperimentali  ... 40

Figura 2.19 – Abbassamenti: modello incastrato —, modello misto —, modello appoggiato —, prove sperimentali  ... 40

Figura 2.26 – Abbassamenti: modello a 4 carichi —, modello con forza baricentrale - - -, prove sperimentali  ... 45

Figura 3.1 – Suddivisione della piastra in strisce ... 52

Figura 3.2 – Veicoli frequenti ... 53

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vi

Figura 3.8 – Distribuzione dei coefficienti e strisce maggiormente significative ... 60

Figura 3.9 – Momento sollecitante sezione BB ... 62

Figura 3.10 – Momento sollecitante sezione AA ... 62

Figura 3.11 – Disposizione barre d’armatura nel piano XZ ... 64

Figura 3.12 – Momento resitente sezione BB ... 65

Figura 3.13 – Momento resistemte sezione AA ... 66

Figura 4.1 – Meccanismo 1: ꟿ yield line positiva, - - - yield line negativa ... 72

Figura 5.1 – Sezione trave di bordo ... 93

Figura 5.2 – Sezione equivalente ... 94

Figura 5.3 - Meccanismo 4 ... 102

Figura 5.4 – Momento sollecitante sezione BB ... 104

Figura 5.5 – Momento sollecitante sezione AA ... 105

Figura 5.6 – Riprogettazione ferri d’armatura al negativo. (*) Armatura ridotta rispetto alle fasce laterali... 105

Figura 5.7 – Meccanismo 4 ... 106

Figura 5.8 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4* ... 110

Figura 6.1 – Meccanismo 1 asimmetrico ... 114

Figura 6.2 – Meccanismo 2 asimmetrico ... 116

Figura 6.3 – Meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo ... 119

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vii

Figura 7.4 – Meccanismo più probabile con appoggi e carico concentrato ... 133

Figura 7.5 – Meccanismo asimmetrico più probabile con incastro a Ovest e carico unif. distribuito 134 Figura 7.6 – Meccanismo asimmetrico più probabile con incastro a Ovest e carico concentrato ... 134

Figura 7.7 – Meccanismo asimmetrico più probabile con appoggio a Ovest e carico unif. distribuito ... 135

Figura 7.8 – Meccanismo asimmetrico più probabile con appoggio a Ovest e carico concentrato ... 135

Figura 8.1 – Curve nominali d’incendio... 137

Figura 8.2 – Curva nominale standard ISO 834 (Setti 2008) ... 137

Figura 8.3 – Profili di temperatura per piastre (30’-240’) ... 139

Figura 8.4 – Disposizione dell’armatura nel piano YZ e distanze dalla superficie libera ... 140

Figura 8.5 – Coefficiente ks in funzione della temperatura θ che determina il decadimento della rigidezza caratteristica (fyk) ... 140

Figura 8.14 – Armatura della sezione equivalente ... 150

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... 156 Figura 8.19 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4* ... 157 Figura 8.20 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4* ... 158 Figura 8.21 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4* ... 159 Figura 8.22 – , ,  ... 160 Figura 8.23 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4*, Carico di esercizio ... 161 Figura 8.24 – Meccanismo1, Meccanismo2, Meccanismo3, Meccanismo4x, Meccanismo4*, Carico di esercizio ... 162

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Tabella 3.1 – Momenti sollecitanti ... 61

Tabella 3.2 – Armatura e momenti resistenti ... 64

Tabella 3.3 – Confronto armatura riprogettata e armatura di progetto ... 66

Tabella 5.1 – Carichi ultimi per meccanismi senza trave di bordo ... 92

Tabella 5.2 – Carichi ultimi per meccanismi con trave di bordo ... 99

Tabella 5.3 – Carichi ultimi per meccanismi indipendenti dalla trave di bordo ... 103

Tabella 5.4 – Minimi di carico con vincoli ad incastro ... 108

Tabella 5.5 – Minimi di carico con vincoli di appoggio ... 109

Tabella 6.1 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 senza trave di bordo ... 118

Tabella 6.2 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con trave di bordo ... 123

Tabella 6.3 – Minimi di carico per il meccanismo 3 ... 126

Tabella 8.1 – Coefficienti ks ... 141

Tabella 8.2 – Minimi di carico senza trave di bordo per t≤60’ ... 143

Tabella 8.3 – Minimi di carico senza trave di bordo per t=90’ ... 143

Tabella 8.4 – Minimi di carico senza trave di bordo per t=120' ... 144

Tabella 8.7 – Minimi di carico con trave di bordo per t≤60’ ... 152

Tabella 8.8 – Minimi di carico con trave di bordo per t=90’ ... 152

Tabella 10.1 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con k=0.1 ... 166

Tabella 10.7 – Minimi di carico per meccanismi 1 e 2 con k=1 ... 169

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Tabella 11.3 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico senza trave di bordo, incastro a Ovest ... 173 Tabella 11.4 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico senza trave di bordo, appoggio a Ovest ... 174 Tabella 11.5 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo, incastro a Ovest ... 175 Tabella 11.6 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 1 asimmetrico con trave di bordo, appoggio a Ovest ... 176 Tabella 11.7– Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico con trave di bordo, incastro a Ovest ... 177 Tabella 11.8 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 2 asimmetrico con trave di bordo, appoggio a Ovest ... 178 Tabella 11.9 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 3 asimmetrico, incastro a Ovest ... 179 Tabella 11.10 – Ricerca minimo di carico per meccanismo 3 asimmetrico, appoggio a Ovest ... 180

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In questo lavoro di tesi viene analizzato il comportamento in esercizio e a collasso di una piastra in calcestruzzo armato facente parte delle strutture di un impianto di depurazione acque. I carichi d’esercizio sono dovuti al passaggio di autocarri con un carico massimo pari a 12 t/asse. La piastra, di forma pressoché quadrata, presenta vincoli di differente tipologia e che si prestano a diverse schematizzazioni. Il lavoro prende spunto da due prove di carico effettuate in presenza degli assi posteriori di un’autocisterna, per un carico di circa 22 t.

Il primo obiettivo è stato quello di analizzare per via elastica lineare gli abbassamenti in presenza del carico di prova, per fare dei confronti con i valori sperimentali. A tal fine è stato usato un approccio numerico basato sulla discretizzazione ad Elementi Finiti.

Il secondo obiettivo è stato quello di riprogettare l’armatura della piastra. Per la valutazione dei momenti sollecitanti, dati dal peso proprio della struttura e dai carichi variabili, è stato adottato il Metodo delle Strisce o di Hillerborg, che rientra nell’approccio staticamente ammissibile dell’Analisi Limite. I carichi variabili di progetto sono stati scelti in base all’attuale normativa italiana.

Il terzo obiettivo è stato quello di ricercare, allo stato limite ultimo della piastra, il meccanismo più probabile fra quelli che sono stati ipotizzati. Al tal fine si fa riferimento al metodo delle Linee di Plasticizzazione (Yield Lines method), che rientra nell’approccio cinematicamente ammissibile dell’Analisi Limite e si individuano fra i diversi meccanismi di rottura quello più probabile al variare di condizioni di carico, di vincolo e di elementi strutturali.

Infine la piastra è stata verificata sotto l’azione di carichi eccezionali e sono state svolte verifiche anche al fuoco, facendo riferimento all’incendio standard ISO 834.

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In questo primo capitolo vengono descritti i principali aspetti teorici riguardanti l’analisi della piastra in campo elastico e in campo non lineare.

Per quanto riguarda l’analisi elastica viene richiamata la classica teoria delle piastre sottili caricate trasversalmente.

Successivamente si richiama il concetto di “plasticità ideale” e i fondamenti delle linee di plasticizzazione nell’ambito dell’approccio cinematico dell’Analisi Limite.

2. Descrizione della prova e modellazione strutturale

In questo capitolo si toccano principalmente due aspetti:

 La descrizione della piastra analizzata e delle prove di carico; in particolare vengono presentati la geometria, i vincoli, i materiali e le condizioni di carico. Nel dettaglio il carico è applicato nel baricentro della piastra e nella mezzeria del lato Est (infatti i lati Ovest e Sud sono appoggiati/incastrati ai muri sottostanti, il lato Est è libero ed eventualmente irrigidito da una trave ed il lato Nord è parzialmente incastrato e parzialmente libero);

 La valutazione degli abbassamenti secondo il modello numerico con discretizzazione ad Elementi Finiti; questo ha permesso di modellare in dettaglio la geometria, i vincoli e la distribuzione del carico sulla sua reale impronta, con risultati soddisfacenti in termini di spostamenti. La modellazione è stata possibile dato che le prove di carico effettuate in sito si sono svolte in regime elastico, vista la modesta entità del carico.

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xiii riprogettare l’armatura.

Il metodo, che rientra nell’approccio staticamente ammissibile dell’Analisi Limite, consiste nella suddivisione della piastra nelle due direzioni in strisce e, una volta assegnati i coefficienti di carico ad ogni zona che è stata individuata con riferimento ai vincoli ai bordi, si studia l’andamento di momento per le strisce maggiormente sollecitate.

A questo punto si procede ad armare la piastra con barre di acciaio nervato laminato a caldo e si confronta l’armatura appena riprogettata con l’armatura di progetto adottata in un lavoro di tesi precedente.

4. Introduzione ai meccanismi di rottura

In questo capitolo vengono ipotizzati 4 possibili meccanismi di rottura, ognuno in funzione di uno o più parametri che ne determinano la geometria. La loro analisi è stata condotta allo stato limite ultimo (incipiente collasso) usando il metodo delle Linee di Plasticizzazione (Yield Lines method). Nell’analisi è stato fatto riferimento al momento limite dell’armatura al positivo nella direzione di massima rigidezza della piastra (Nord-Sud), cosicché i momenti limite delle altre armature (al negativo nella stessa direzione, ed al positivo/negativo nell’altra direzione, cioè Est-Ovest) sono stati introdotti in funzione del momento limite di riferimento, attraverso fattori di proporzionalità adimensionali.

Analogamente si è proceduto per la trave di bordo, il cui momento limite al positivo è stato introdotto, attraverso un fattore di proporzionalità, come frazione dell’intero momento limite al positivo della parallela armatura della piastra.

Le condizioni di carico analizzate al collasso sono state due:

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dei carichi minimi di collasso per ogni meccanismo sfrutta l'uguaglianza tra Lavoro Esterno (svolto dai carichi per una deformata virtuale) e Lavoro Interno (svolto dai momenti limite lungo le linee di plasticizzazione). In questo modo sono stati ottenuti i carichi per ogni meccanismo in funzione del/dei parametri geometrici e per ognuno è stato ricercato il minimo.

5. Meccanismi simmetrici

Dopo aver armato la piastra i fattori di proporzionalità diventano noti e vengono inseriti nelle funzioni di carico. A questo punto rimane incognita solamente la geometria del meccanismo che si determina minimizzando la funzione di carico, e quindi ricercando il punto di minimo.

In questo capitolo si sono considerate le medesime condizioni di vincolo (incastro o appoggio) lungo il lati Nord e Sud, dunque l’unica asimmetria è lungo la mediana Ovest-Est.

Facendo variare le condizioni di carico e di vincolo si determina per ogni meccanismo il minimo della funzione “carico di collasso” con la presenza o meno della trave di bordo, derivando ogni funzione rispetto al parametro che definisce la geometria del meccanismo e ponendo nulle le derivate prime.

La condizione di carico uniformemente distribuito ha comportato uno studio più approfondito dei cinematismi di collasso in quanto il sistema delle linee di plasticizzazione è definito in questo caso da un parametro, mentre il carico concentrato “attira” le linee di plasticizzazione e rende univocamente definito il cinematismo per ogni tipologia di meccanismo.

Infine si studia anche la situazione nella quale l’armatura la lembo superiore sia presente in modo significativo solo lungo le fasce laterali (in prossimità dei bordi),

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Si amplia lo studio svolto nel capitolo precedente imponendo condizioni di vincolo differente anche lungo i lati Nord (incastro) e Sud (appoggio). Con carico uniformemente distribuito i parametri che governano la geometria dei meccanismi diventano 2, avendo una doppia asimmetria di vincoli ai bordi. Con carico concentrato l’andamento delle yield lines tende a convergere nel punto di applicazione della forza come per i casi visti precedentemente.

7. Verifiche e confronti

Le verifiche svolte secondo normativa allo Stato Limite Ultimo (SLU), con amplificazione dei carichi permanenti e variabili, sono state positive. Inoltre è stato necessario supporre situazioni di carico eccezionali per avvicinare i carichi di collasso dei meccanismi “più probabili” (quelli con carico di collasso minore).

Successivamente é stato fatto un confronto grafico fra i carichi ultimi dei 4 meccanismi, così da riassumere le analisi fatte in precedenza e visualizzare in modo immediato il loro andamento con medesime situazioni di vincolo, di carico e in presenza o meno della trave di bordo.

8. Verifiche al fuoco

In quest’ultimo capitolo si analizza il comportamento al fuoco della piastra in assenza e in presenza della trave di bordo, facendo riferimento all’Eurocodice 2 il quale utilizza l’incendio standard ISO 834.

Durante l’evento le proprietà meccaniche delle barre d’armatura poste al lembo inferiore vengono meno e questo, sempre facendo riferimento alla normativa, si traduce in una riduzione dei momenti resistenti e quindi una variazione dei fattori di proporzionalità.

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1

1.1 ANALISI ELASTICA DI UNA PIASTRA SOTTILE

La piastra è un elemento strutturale caricato trasversalmente che schematizza ad esempio i solai delle abitazioni oppure l’impalcato di un ponte vincolato al resto della struttura.

Figura 1.1 – Esempi di applicazioni reali per le piastre

Spesso tali vincoli risultano essere appoggi puntuali o distribuiti lungo uno più lati della piastra.

Nella prima casistica ricadono i solai per strutture multipiano, che poggiano su colonne sottostanti, mentre il secondo è il caso di un impalcato di un ponte che presenta lungo due lati opposti dello stesso degli appoggi, incastri o altre tipologie di vincoli.

La piastra è caratterizzata da due dimensioni principali e paragonabili tra loro, definite lunghezza e larghezza, e la terza, ossia lo spessore, molto minore delle altre due. In particolare se il rapporto tra spessore e larghezza e lunghezza è notevolmente ridotto, è ragionevole considerare la piastra come sottile. Tale assunzione garantirà in seguito un’analisi più agevole della piastra. Infatti è possibile studiare il problema della piastra riferendosi unicamente al piano medio.

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2

Nel caso rimanga in campo elastico è valido assumere che:

 La piastra risulta sollecitata solo da carichi trasversali, che possono essere sia concentrati che distribuiti, e questa modalità di carico causa prevalentemente una flessione dell’elemento;

 Gli abbassamenti sono sufficientemente ridotti così da poter ritenere valide le ipotesi di piccole deformazioni e spostamenti.

Si supponga che il carico sia applicato trasversalmente alla piastra.

Figura 1.2 – Esempio di carico trasversale applicato a piastra rettangolare

Se tali assunzioni risultano verificate è lecito ritenere valide le ipotesi di Love-Kirchhoff (1950). Riferendosi dunque ad un segmento rettilineo ortogonale al piano medio nella configurazione iniziale, si assume nel caso di configurazione deformata che esso rimanga:

 Rettilineo;

 Perpendicolare alla superficie media;

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3 Questa assunzione permette

di semplificare notevolmente il problema dato che consente di riportare tutte le grandezze in gioco in funzione del solo abbassamento trasversale w(x,y) riferito al piano medio.

Figura 1.3 – Schema di una piastra sottile e del suo piano medio

Figura 1.4 – Modello cinematico della piastra

Partendo dal modello cinematico ipotizzato è dunque possibile definire gli spostamenti nel piano medio della piastra u e v, rispettivamente in direzione X ed Y, e le rotazioni ϕxz e ϕyz, dipendenti dall’abbassamento w in direzione Z.

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4

Questa dipendenza è dunque valida anche per le deformazioni e gli sforzi, definiti partendo dalle equazioni di congruenza.

Di conseguenza si è in grado di ottenere sia i momenti sollecitanti flessionali sia quelli torsionali e inoltre anche il valore dei tagli tramite le equazioni d’equilibrio in relazione all’abbassamento trasversale w(x,y), di cui si riporta come esempio le convenzioni delle forze interne.

Figura 1.5 – Convenzione delle forze interne per il sistema di riferimento

Si definisce D la rigidezza flessionale di tale piastra, che è caratterizzata dalla seguente espressione:

Le grandezze che caratterizzano D sono il modulo di Young, il coefficiente di Poisson e lo spessore, definite rispettivamente da E, ν e h.

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5

I momenti flettenti nelle due direzioni di riferimento x ed y sono dunque i seguenti:

I momenti torcenti nelle due direzioni di riferimento x ed y sono definiti dalla seguente espressione:

Per ultime si riportano le forze di taglio interne:

Si definisce come segue l’equazione per l’equilibrio verticale:

Sostituendo le grandezze precedentemente descritte all’interno dell’ultima equazione riportata è possibile determinare l’equazione differenziale al quart’ordine di Sophie Germain-Lagrange.

o in alternativa scritta nel seguente modo:

Tuttavia tale trattazione non è di facile applicazione, anche perché sarebbe necessario risolvere un’equazione differenziale di 4° grado secondo x ed y

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6

definendo di conseguenza 4 condizioni al contorno per ciascuna direzione considerata, quindi nel complessivo 8. Inoltre la soluzione, una volta nota, è valida solo in campo elastico mentre potrebbe risultare necessario analizzare la piastra in campo non lineare, ad esempio per determinarne il carico limite ultimo.

Di conseguenza spesso si predilige usare altri metodi di analisi, come ad esempio il metodo agli elementi finiti (FEM) in campo elastico o non lineare o quello delle linee di plasticizzazione (yield lines method) per valutarne il carico ultimo. Quest’ultimo approccio citato verrà utilizzato per stimare il carico ultimo (di collasso) del problema reale che verrà successivamente descritto e analizzato.

1.2 COMPORTAMENTO IDEALMENTE PLASTICO E STATO LIMITE DI

COLLASSO

In questo paragrafo si introduce la problematica legata agli stati limite ultimi per una qualsiasi struttura (L. C. Dell’Acqua 1994).

La resistenza di qualunque materiale è inevitabilmente limitata, in quanto esiste un livello di sforzo che comunque non può essere superato. Ne consegue che pure limitata è la capacità portante di una struttura, vale a dire l’entità dei carichi che essa è in grado di reggere. La valutazione della capacità portante è un problema di importanza evidente, che non può essere affrontato in ambito elastico-lineare perché nessun materiale si mantiene tale fino all’esaurimento delle sue risorse. Sono peraltro disponibili modelli costitutivi in grado di rappresentare aspetti anelastici del comportamento ed è quindi in linea di principio possibile seguire l’evoluzione dalla struttura fino al raggiungimento di una situazione di crisi. Tale procedimento è però solo parzialmente attendibile, in quanto la soluzione spesso dipende non solo dal valore finale del carico ma anche dalla storia seguita per raggiungerlo. Il risultato è quindi a rigore valido limitatamente alla particolare storia ipotizzata nel calcolo.

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7

Esistono tuttavia materiali che presentano una notevole duttilità. Anche se il livello di sforzo non può superare una determinata soglia, essi possono deformarsi in misura cospicua, prima di giungere a rottura. In tal caso la crisi della struttura non è di regola associata al cedimento di alcuni elementi per rottura del materiale di cui sono costituiti, ma piuttosto all’impossibilità di assicurare l’equilibrio senza eccedere il livello di sforzo ammissibile. Tale modalità di crisi è nota come collasso

plastico e il carico sotto cui si verifica come carico di collasso. Sotto ipotesi del tutto

ragionevoli in molte situazioni reali, il valore del carico di collasso risulta

indipendente dalla storia di carico. Questa notevole circostanza rende possibile la

sua valutazione diretta, che costituisce l’oggetto del calcolo a rottura (o analisi

limite), uno dei più significativi capitoli della meccanica delle strutture.

Le ipotesi necessarie sono semplicemente quelle di piccoli spostamenti, che deve essere applicabile nella sua interezza, e di plasticità ideale (o perfetta). Quest’ultima ipotesi è ragionevolmente applicabile all’acciaio, che è fornito di notevole duttilità.

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8

Figura 1.7 – Comportamento idealmente plastico dell’acciaio

1.3 STATO LIMITE PER I TELAI

Per prima cosa si descrive brevemente tale comportamento nel caso delle travi, e di conseguenza per i telai (Hughes 1976).

Se tale struttura presenta ovunque duttilità sufficientemente elevata prima di giungere a rottura accade che:

 Possano nascere un determinato numero di sezioni in campo plastico che raggiungono la loro capacità ultima;

 Se fosse una struttura iperstatica sarebbe in grado di ridistribuire il momento portando alla creazione di un meccanismo di collasso, caratterizzato dalla presenza di un determinato numero di cerniere plastiche.

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Esse rappresentano limitate porzioni della trave che presentano le seguenti proprietà:

 Sono caratterizzate da un momento sollecitante, che coincide con quello resistente ultimo, pari a quello plastico;

 Permettono rotazione fintantoché la curvatura ϕ risulta inferiore a quella massima consentita dalla cerniera stessa.

Infatti esse sono caratterizzate dai grafici che definiscono la relazione momento-curvatura e momento-abbassamento, di cui si riporta l’andamento di seguito:

Figura 1.8 – Cerniera plastica. (a) Legame momento-curvatura, (b) Legame momento-spostamento (Hughes 1976)

Si consideri come esempio una trave doppiamente incastrata soggetta ad un carico trasversale q(x,y).

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Figura 1.9 – Schema di una trave doppiamente incastrata con carico trasversale q e andamento dei momenti flettenti sollecitanti al limite elastico (in verde) e a collasso (in rosso)

Prima di giungere a rottura essa deve plasticizzarsi diventando una struttura labile arrivando a definire 3 cerniere plastiche, due posizionate negli incastri mentre l’ultima da determinarsi in funzione della distribuzione del carico. Ad esempio nel caso fosse uniformemente distribuito allora si localizzerebbe in mezzeria perché le cerniere plastiche rispettano la simmetria della trave.

Questo esempio appena citato ci permette di affermare, nel rispetto della teoria allo stato limite ultimo, che per una struttura iperstatica si hanno i seguenti vantaggi:

 Non collassa quando plasticizza e raggiunge il momento o la curvatura limite per la prima sezione;

 Esiste la possibilità di incrementare ulteriormente il carico rispetto a quello necessario per raggiungere il comportamento critico per la prima sezione.

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Partendo da questi presupposti risulta dunque possibile ricercare la soluzione del problema secondo due modalità:

 Si ipotizza un determinato numero di meccanismi di rottura e si ricerca il carico di collasso per tutti i casi considerati. Il valore minimo trovato è quello che definisce il meccanismo di collasso più probabile tra quelli ipotizzati. Questo tipo di approccio restituisce una soluzione cinematicamente ammissibile;

 Si determina la soluzione ricercando l’equilibrio della struttura lavorando sulla distribuzione dei momenti arrivando a definire una soluzione staticamente ammissibile.

Di conseguenza se si volesse conoscere la soluzione esatta del problema sarebbe necessario considerare entrambi gli approcci, dato che il primo restituisce una soluzione approssimata per eccesso mentre il secondo definisce una soluzione approssimata per difetto. Si dovrebbe dunque ipotizzare un numero adeguato di meccanismi di rottura e di distribuzione dei momenti per far convergere la soluzione quella esatta.

Le limitazioni di questi approcci sono date dal fatto che si considera solo il collasso causato dal raggiungimento di una distribuzione di momento critica e si trascura ad esempio quello causato dal taglio.

1.4 STATO LIMITE PER LE PIASTRE

Come per il caso precedente applicato alle travi, anche in questo caso si ritiene possibile che il collasso sia causato unicamente da una distribuzione di momento flettente limite causata da un carico trasversale alla piastra.

Infatti dato che nelle piastre lo spessore solitamente è ridotto, e di conseguenza sono presenti basse percentuale di armatura, il collasso per taglio è trascurabile. Questa assunzione è ragionevolmente giustificata anche perché il taglio ha un

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comportamento localizzato e una volta raggiunta la capacità limite la ripartisce agli elementi circostanti, grazie all’iperstaticità della piastra, mentre il comportamento a flessione risulta un fenomeno distribuito all’interno dell’elemento considerato. Inoltre si suppone che la piastra sia caratterizzata da una duttilità adeguata che possa garantire rotazioni sufficientemente ampie per lo sviluppo completo delle yield lines (o linee di plasticizzazione), l’analogo delle cerniere plastiche delle travi. Come nel paragrafo precedente è possibile ritenere valide le soluzioni trovate con i due approcci per ricercare la soluzione cinematicamente e staticamente ammissibile.

 Soluzione cinematicamente ammissibile: definisce un meccanismo di rottura garantendo che il momento nelle yield lines non sia maggiore di quello ultimo e che il collasso sia compatibile con le condizioni al contorno (ad esempio se esiste un lato semplicemente appoggiato deve essere garantita un’eventuale rotazione attorno allo stesso e non deve essere presente abbassamento lungo il lato stesso).

 Soluzione staticamente ammissibile: definisce una particolare distribuzione dei momenti al collasso tale che sia ovunque minore o uguale quello limite e che l’equilibrio sia garantito ovunque.

Un esempio per il primo approccio è dato dalla teoria delle yield lines.

1.5 TEORIA DELLE YIELD LINES

Il Metodo delle Linee di Plasticizzazione è di semplice applicazione ma efficace, permettendo di investigare condizioni di collasso di strutture piuttosto complicate. Questo metodo ha anche una solida base teorica che riprende il teorema cinematico dell’Analisi Limite (si veda ad esempio Nielsen 1984).

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Essendo un approccio classico per l’analisi delle piastre, il metodo delle Yield Lines è trattato in molti articoli scientifici e libri. Per piastre in C.A., molti riferimenti possono essere trovati in libri eccellenti come Ferguson (1988), Park e Gamble (2000), e Kennedy e Goodchild (2004). In particolare per la successiva trattazione ci si è riferiti principalmente a quello scritto da Park (1963).

Con l’utilizzo del Principio dei Lavori Virtuali, ipotizzando un particolare meccanismo di collasso, è possibile determinare il carico critico associato. Il meccanismo di collasso ipotizzato è determinato in particolare dalla disposizione spaziale nella piastra delle yield lines (linee di plasticizzazione). Queste ultime, come detto in precedenza, svolgono per la piastra lo stesso ruolo delle cerniere plastiche nelle travi.

Si assumono quindi che valgano le seguenti ipotesi per tali linee:

 Esse si propagano fino a raggiungimento dei lati della piastra;

 Sono rettilinee;

 Passano per l’intersezione degli assi di rotazione dei conci adiacenti;

 L’asse di rotazione si trova generalmente lungo la linea di supporto e passano per le colonne;

 Sono simmetriche se tale proprietà vale sia per i vincoli della piastra sia per il carico applicato.

Inoltre quando si deve definire il meccanismo è necessario tenere conto del tipo di vincoli presenti lungo bordi. Solitamente si ha la presenza di un lato:

 Semplicemente appoggiato (in inglese “Simply Supported” – SS), che garantisce spostamento nullo e rotazione diversa da zero;

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 Incastrato (in inglese “Clamped” – CL), che ha come nel caso SS spostamento nullo ma rotazione nulla nella configurazione iniziale, mentre a collasso incipiente tale lato è da considerarsi come una delle yield lines che caratterizzano il meccanismo di collasso.

 Libero (in inglese “Free Edge” – FE) che presenta sia spostamento che rotazione arbitraria.

Si consideri ora la Figura 1.10, dove si riporta un esempio di meccanismo reale determinato tramite prove di carico uniformemente distribuito applicato ad una piastra semplicemente appoggiata lungo i 4 lati svolte alla Technical University di Berlino.

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Partendo da questo caso si osserva come si sviluppano le yield lines all’incrementare del carico (Figura 1.11).

Di conseguenza, ipotizzando che la piastra sia inizialmente in campo elastico, si desidera valutare il carico critico, avendo considerando un meccanismo simile a quello sperimentale sopra riportato.

Figura 1.11 – Sviluppo del meccanismo di collasso

Il carico applicato alla piastra viene incrementato fino al raggiungimento di quello limite e si ipotizza che ci sia sufficiente duttilità tale da permettere la redistribuzione dei momenti all’interno della piastra.

In un primo momento, quando si raggiunge il limite elastico, una zona ridotta al centro della piastra inizia a snervarsi e a passare in campo plastico. Successivamente le yield lines, partendo da questa prima zona, tendono a svilupparsi fino a che, secondo il meccanismo di collasso reale, non raggiungono i bordi della piastra formando anche linee di plasticizzazione lungo i bordi, se incastrati. Una volta sviluppato l’intero meccanismo si è raggiunto il carico critico, che non può essere oltrepassato in alcun modo.

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Si riportano di seguito altri due esempi di meccanismi di rottura:

Figura 1.12 – Esempi di meccanismi di rottura secondo la teoria delle yield lines

Per valutare quindi la capacità portante massima si applica il Principio dei Lavori Virtuali (PLV) al meccanismo in condizioni di collasso incipiente (si veda Park e Gamble 2000; Bamonte e Gambarova 2009). Tuttavia perché questo sia corretto, come già accennato in precedenza, risulta necessario che si abbia sufficiente duttilità per sviluppare l’intero meccanismo e siano trascurabili le deformazioni elastiche rispetto a quelle plastiche.

Una volta definito il meccanismo, qualunque esso sia, è fondamentale andare a valutare i momenti resistenti ultimi per le differenti posizioni e direzioni della piastra, in modo analogo alle travi con l’unica differenza che si deve imporre una larghezza unitaria della sezione considerata.

Figura 1.13 – Sezione in C.A. Distribuzione degli sforzi in campo elastico e plastico

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Questo passaggio è necessario per la valutazione del carico critico attraverso il PLV (Principio dei lavori virtuali).

Si assume che:

 Gli spostamenti e le deformazioni possono essere ritenute sufficientemente ridotte;

 I momenti che operano sono quelli normali alla linea di rottura.

Note queste due assunzioni è possibile semplificare il problema: il lavoro svolto dal momento normale per la corrispondente rotazione della yield line è uguale al lavoro compiuto dalle due componenti di momento in direzione X e Y per le rispettive rotazioni, componenti X,Y anch’esse della rotazione reale.

Questo approccio è solitamente usato nel caso di piastre con proprietà meccaniche e geometriche sufficientemente regolari. Infatti, nel caso in cui le armature siano distribuite in modo uguale nelle due direzioni principali (in modo isotropo o ortotropo) e lo spessore risulta essere costante, la risoluzione a livello di calcolo si semplifica notevolmente (si veda a titolo di esempio la trattazione di Guidotti e Titi 2009).

Si applica ora il Principio dei Lavori Virtuali che impone l’uguaglianza tra il Lavoro Interno e quello Esterno definiti come seguono:

Il Lavoro Interno è dunque caratterizzato dalle n yield lines presenti nel meccanismo, con che rappresenta il momento resistente normale j-esimo, la

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Se si disaccoppiasse il problema nelle direzioni x ed y si otterrebbe la seguente espressione:

Il Lavoro Esterno invece è definito dal prodotto tra il carico applicato e l’abbassamento integrato sulla superficie media della piastra.

con abbassamento virtuale. Nel caso particolare si abbia un carico:

 Uniformemente distribuito allora l’espressione è possibile riscriverla nel seguente modo:

con che definisce il volume del solido che si determina tra la configurazione iniziale e quella deformata;

 Concentrato in un punto P(x,y) si ottiene invece:

Di conseguenza si è in grado di determinare il carico di collasso.

Solitamente il meccanismo di collasso dipende da uno o più parametri che definiscono la geometria esatta dello stesso, come ad esempio la distanza da un lato di un punto che caratterizza l’intersezione tra 2 o più yield lines.

Per ricavare dunque l’esatto valore degli stessi, e come diretta conseguenza il carico critico, si deve determinare la soluzione di minimo del carico rispetto a tali parametri, cioè si ricerca la condizione di stazionarietà della funzione e si risolve la stessa in funzione della variabile .

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Noto il valore di tale parametro lo si sostituisce nell’espressione del carico così da ottenere il valore di carico di collasso minimo associato a tale geometria.

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2 DESCRIZIONE DELL’OPERA E MODELLAZIONE

STRUTTURALE

2.1 LOCALIZZAZIONE E DESCRIZIONE DELLA PIASTRA

La piastra, presente nell'impianto di depurazione acque reflue di Milano Nosedo, è posizionata a Sud di un passaggio sopraelevato carrabile. I carichi agenti sulla struttura sono dati dai mezzi d'opera che trasportano liquami o prodotti per la disinfezione.

Figura 2.1 – Schema piastra

La piastra ha forma pressoché quadrata e permette il passaggio dei mezzi in direzione Nord-Sud. Il lato Est è libero, i lati Ovest e Sud sono incastrati o appoggiati ai muri sottostanti mentre il lato Nord è parzialmente incastrato ai muri sottostanti, essendo vincolato ad entrambi gli estremi per un quarto della sua lunghezza e libero nella restante porzione centrale. Importante è notare che la continuità a Nord tra la piastra e la soletta, che prosegue lungo il passaggio carrabile posizionato tra due serie di vasche, rende di fatto il vincolo dei muri sottostanti un incastro. Infine in direzione Est-Ovest, al di sotto del lato Est, vi è l'accesso alla lunga galleria (Cunicolo Tecnologico) posizionata tra le due serie di vasche.

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Il lato Est è rimasto libero fino al Dicembre 2014 e in seguito è stato rinforzato tramite l'apposizione per l'intera lunghezza di una trave in C.A. con sezione a L. La base della trave è ancorata alla piastra tramite dei pioli Nelson e questo garantisce una perfetta aderenza tra i due elementi. L'ala verticale della trave funge da parapetto mentre quella orizzontale funge da marciapiede. Un marciapiede, largo quanto l'ala orizzontale della trave a L, è posto sul lato Ovest non tanto per irrigidire la piastra, che lungo quel lato è già appoggiata/incastrata alla parete sottostante, quanto per garantire un restringimento della carreggiata, in modo da evitare il passaggio contemporaneo di due mezzi d'opera.

Figura 2.2 – Posizionamento pareti, marciapiedi e trave di bordo

È stato deciso inoltre di ispezionare il collegamento fra il lato Nord e la soletta che costituisce la carreggiata al di sopra del Cunicolo Tecnologico. In una prima fase si procede con la scarnificazione del collegamento, constatando che i ferri di armatura che escono dalla piastra non proseguono per una lunghezza sufficiente a sviluppare l’aderenza nella soletta. Dunque sono stati apposti dei ferri aggiuntivi in modo da

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rendere solidale il collegamento fra la piastra e la soletta ed è stata terminata l’operazione ricoprendo tutto con della malta cementizia.

Figura 2.3 – Rampa d’accesso al cunicolo tecnologico

Infine è stato deciso di attuare un’ultima opera di rafforzamento apponendo al lembo inferiore della piastra delle strisce di FRP (polimeri fibro-rinforzati) in entrambe le direzioni, le quali permettono un incremento della capacità portante andando a collaborare con l’armatura al positivo. La loro presenza è stata trascurata durante le fasi di progetto e verifica della piastra eseguite in seguito.

A questo punto, una volta migliorate le proprietà strutturali della piastra in esame, sono state svolte due prove di carico utilizzando un autocarro a pieno carico, con l’obiettivo di valutare gli abbassamenti tramite l’utilizzo di 9 LVDT (trasduttori di spostamento induttivo).

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Figura 2.4 – Vista dal lato Sud

2.2 GRANDEZZE GEOMETRICHE E MECCANICHE

In questo paragrafo sono descritte le principali proprietà della piastra in C.A. e della trave di bordo presente sul lato Est. Questi sono i due elementi fondamentali della struttura che si analizzerà in seguito.

Per quanto riguarda la piastra, essa ha forma rettangolare e si sviluppa per in direzione X e in direzione Y, con uno spessore di . Dunque:

 Lato Nord/Sud:

 Lato Est/Ovest:

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Figura 2.5 - Geometria in pianta

Figura 2.6 – Geometria sezioni

Si nota immediatamente come la differenza delle misure nelle due direzioni sia relativamente piccola, infatti loro rapporto è:

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Comunemente una piastra può essere considerata sottile se il rapporto tra il suo spessore e la dimensione minore nel piano medio sia minore di

, e

dunque nel caso in esame:

Il calcestruzzo utilizzato è di classe C25/30, dunque la sua resistenza caratteristica risulta:

Per quanto riguarda l’armatura, non si è un possesso di disegni che attestino in modo certo diametri, passi e disposizione dei ferri e dunque è stato deciso di riprogettarla. Sulla base del Decreto Ministeriale del 14/09/05 riguardante l’acciaio nervato, è stato scelto di utilizzare barre B450C la cui resistenza caratteristica è:

Come impone la normativa, la resistenza di progetto si calcola come:

Nella fase di progetto, che verrà discussa in seguito, si pone come obiettivo quello di ottenere un’armatura a maglia quadrata sia al lembo inferiore che a quello superiore, senza superare i quantitativi di armatura necessari per “coprire” i momenti flettenti sollecitanti.

Passando invece alla descrizione dalla trave di bordo presente sul lato Est a seguito delle operazioni di rafforzamento, essa ha una sezione a L. L’ala orizzontale funge da marciapiede e ha come scopo principale, come detto in precedenza, quello di restringere la carreggiata, mentre l’ala verticale che funge da parapetto fornisce un importante contributo strutturale irrigidendo l’unico lato libero.

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Anche sul lato Ovest è presente un marciapiede privo di parapetto con medesime dimensioni in sezione.

Figura 2.7 – Sezione trave di bordo e armatura

Il calcestruzzo utilizzato per la trave è di classe C60/75 e dunque .

Per quanto riguarda le barre d’armatura, dai dati progettuali risulta che siano state utilizzate barre di diametri e con le seguenti caratteristiche:

Infine si nota che i marciapiedi, che comunque sia forniscono un contributo alla capacità portante della piastra, sono collegati ad essa con pioli Nelson di diametro immersi per , i quali garantiscono una perfetta collaborazione dei due elementi.

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2.3 PROVE DI CARICO

La piastra, oggetto dello studio, è stata sottoposta a due prove di carico posizionando un autocarro a 4 assi sulla piastra. Il mezzo ha una massa di , ripartiti in modo differente fra assi anteriori e posteriori. Le posizioni di carico individuate sono state due (Figura 2.8), la prima con gli assi posteriori centrati nel baricentro della piastra e la seconda con gli assi posteriori posizionati in prossimità della mezzeria del lato Nord.

Figura 2.8 – (a) Posizione di carico 1 e (b) Posizione di carico 2

In particolare gli assi posteriori hanno massa pari a e in entrambe le posizioni appena descritte gli assi anteriori, di massa andavano ad appoggiare al di fuori della piastra, a Nord lungo la soletta che funge da passaggio sopraelevato. Con 9 trasduttori di spostamento induttivi, comunemente chiamati LVDT, si sono misurati gli abbassamenti di ogni prova e di seguito si riporta il loro posizionamento al si sotto della piastra (Figura 2.10) e i valori di spostamento rilevati.

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Figura 2.9 – Attivazione LVDT

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29  Posizione di carico 1 Mediana Ovest-Est Strumento C A B G Abbassamento [mm] 0.500 1.140 0.775 0.285 Mediana Sud-Nord Strumento D A E F Abbassamento [mm] 0.720 1.140 0.760 0.235 Lato Est Strumento H G I Abbassamento [mm] - 0.285 0.215  Posizione di carico 2 Mediana Ovest-Est Strumento C A B G Abbassamento [mm] 0.370 0.590 0.480 0.235

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30 Mediana Sud-Nord Strumento D A E F Abbassamento [mm] 0.365 0.590 0.865 0.865 Lato Est Strumento H G I Abbassamento [mm] 0.165 0.235 0.205

2.4 MODELLAZIONE AD ELEMENTI FINITI

Data l’entità del carico, la prova è stata svolta sostanzialmente in regime elastico e dunque è stato deciso modellare con il programma di calcolo ad Elementi Finiti SAP2000 la piastra. A questo riguardo è risultato utile consultare CSI analysis reference manual for SAP2000.

2.4.1 Modellazione

Elementi piastra

Definita la griglia e i nodi di interesse, inizialmente è stato fatto uso di elementi

Shell-Thin per ricostruire la piastra.

Nella parte centrale, in direzione Sud-Nord, lo spessore è pari a e dunque è stato impostato tale valore con un calcestruzzo di classe C25/30. Lungo i lati Est e Ovest vi sono 2 marciapiedi di calcestruzzo C60/75 posti nella parte superiore della piastra e solidali ad essa, di spessore . In questo caso è stato scelto di aumentare uniformemente lo spessore della piastra e mantenere come calcestruzzo

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31

il C25/30, ricercando le proprietà inerziali del marciapiede e ponendole uguali alla piastra con nuovo spessore. Questa operazione è abbastanza semplice e consiste nell’imporre l’uguaglianza fra il momento d’inerzia del marciapiede reale e il momento d’inerzia dell’ispessimento da aggiungere alla piastra, normalizzando tutto rispetto al modulo di Young medio del calcestruzzo C25/30. Facendo riferimento alle grandezze rappresentate in Figura 2.11, il bilancio tra momenti d’inerzia è il seguente:

Figura 2.11 – Modellazione del marciapiede

Le formule utilizzate per la valutazione del modulo elastico medio sono quelle fornite dalle NTC 14/01/08.

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Si ottiene così che lo spessore necessario, per avere le medesime proprietà inerziali è pari a:

Elemento trave

Il medesimo approccio, adottato per i marciapiedi, è stato utilizzato per modellare l’ala verticale della trave di bordo che funge da parapetto e dà un notevole contributo all’irrigidimento del lato libero ad Est della piastra. Ovviamente anche questo elemento è composto da un calcestruzzo C60/75 e il suo baricentro non coincide con quello della piastra.

L’obiettivo è quello di ottenere un elemento rettangolare con baricentro coincidente con quello della piastra con medesime proprietà inerziali e anche di peso. Queste due condizioni permettono di fatto di ritrovare le due incognite (c*,t*).

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Facendo riferimento alle grandezze rappresentate in Figura 2.12, il bilancio tra momenti d’inerzia è:

Figura 2.12 – Modellazione del parapetto

La seconda equazione rappresenta la condizione riguardante il peso. Risolvendo il sistema di due equazioni si ottiene:

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Ricavate queste due misure è stato considerato che l’elemento Frame fosse troppo distorto e dunque la soluzione a Elementi Finiti potesse essere soggetta a problemi di convergenza.

È stato deciso in parallelo di creare un modello identico che però avesse una trave di bordo la cui sezione fosse ancora rettangolare con altezza tripla della base. In questo modo l’elemento modellato è meno distorto, ma più pesante della trave di bordo realmente presente (essendo l’area della sezione maggiore). Dunque una volta calcolato il peso lineare aggiuntivo, è stato applicato un carico costante fittizio lungo tutto l’elemento trave diretto verso l’alto con l’obiettivo di compensare il quantitativo di peso aggiuntivo. Gli abbassamenti forniti da questo nuovo modello sono risultati fortemente simili a quelli del modello precedente con sezione della trave , dunque risulta evidente che la distorsione non causa problemi alla soluzione finale.

Vincoli

Si ricorda che la piastra è vincolata a muri sottostanti lungo i lati Nord, Ovest e Sud mentre il lato Est risulta libero. Inoltre la piastra lungo il bordo Nord è collegata in modo solidale alla soletta, che costituisce la carreggiata sopraelevata al di sotto della quale si sviluppa il Cunicolo Tecnologico. Questa continuità permette di garantire, almeno a Nord, un vincolo di tipo incastro. Lungo i lati Ovest e Sud invece sono state studiate diverse soluzioni per modellare il problema andando ad individuare 3 casi.

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35

 Modello incastrato

Figura 2.13 – Deformata modello incastrato

Questo è il modello vincolato in maniera più rigida infatti tutti i muri sono pensati come vincoli di incastro per la piastra.

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 Modello misto

Figura 2.14 – Deformata modello misto

Lungo tutto il lato Ovest e in corrispondenza dei marciapiedi a Sud, i vincoli sono di tipo appoggio; nella porzione centrale della piastra il vincolo di incastro permane. Questa scelta, che in un primo momento sembra poco logica, è giustificata dal fatto che i marciapiedi sono collegati in modo solidale con la piastra sottostante ma non hanno di fatto vincoli ulteriori. Dunque nel momento in cui si consideri il loro contributo di irrigidimento molto rilevante, i vincoli della piastra stessa possono essere “declassati” a semplici appoggi.

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 Modello appoggiato

Figura 2.15 – Deformata modello appoggiato

In questo ultimo caso i lati Ovest e Sud sono appoggiati, dunque i collegamenti muro-piastra sono considerati privi di rigidezza flessionale e di fatto le rotazioni ai bordi della piastra (soggetta al peso proprio e al carico di prova) sono libere.

Nella realtà i vincoli forniti dalle pareti di sostegno non sono né incastri perfetti né appoggi semplici. Anche nel caso in cui i collegamenti muro-piastra fossero ben eseguiti, con ferri d’armatura correttamente innestati nei due elementi, la parete, sotto l’azione di carichi verticali di qualsiasi natura, si infletterebbe e di fatto consentirebbe una rotazione del bordo, non permessa nel caso di incastro.

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Carichi

Il programma di calcolo, a seconda dei materiali che costituiscono i vari elementi del modello, valuta in automatico il peso proprio. Le prove di carico eseguite sulla piastra sono state due, la prima con l’impronta di carico posizionata nel baricentro della piastra e la seconda posizionata nella mezzeria del lato Nord. L’impronta di carico è x , dunque è stato scelto di modellare l’azione degli pneumatici dell’autocarro con 4 forze concentrate poste negli spigoli dell’impronta di carico stessa per entrambe le posizioni di carico. Nel caso della posizione 2 è stato deciso di provare a modellare il carico come un’unica forza concentrata nel baricentro dell’impronta, con l’obiettivo di migliorare l’andamento degli abbassamenti forniti dal modello ad Elementi Finiti.

Figura 2.16 – Deformate per posizioni di carico 1 e 2

Discretizzazione

Infine, per quanto riguarda la discretizzazione, è stato deciso di utilizzare un reticolo composto da elementi quadrangolari con dimensione massima di , al fine di ottenere risultati sufficientemente accurati e non aumentare inutilmente l’onere computazionale.

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2.4.2 Andamento degli abbassamenti

Nei seguenti grafici sono riportati, per ogni tipologia di carico, gli spostamenti forniti dai tre modelli al variare dei vincoli. In blu è indicato l’andamento degli abbassamenti nel modello incastrato, in rosso l’andamento del modello misto e in verde il modello appoggiato. I valori puntuali di spostamento misurati dagli LVDT sono rappresentati graficamente con dei pallini neri.

Posizione di carico 1 Mediana Ovest-Est

Figura 2.17 – Abbassamenti: modello incastrato —, modello misto —, modello appoggiato —, prove sperimentali  0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 2000 4000 6000 8000 w [m m ] x[mm]

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Mediana Sud-Nord

Figura 2.18 – Abbassamenti: modello incastrato —, modello misto —, modello appoggiato —, prove sperimentali 

Lato Est

Figura 2.19 – Abbassamenti: modello incastrato —, modello misto —, modello appoggiato —, prove sperimentali  0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 w [m m ] y[mm] 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 w [m m ] y[mm]

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Posizione di carico 2 Mediana Ovest-Est

Mediana Sud-Nord

Figura 2.21 – Abbassamenti: modello incastrato —, modello misto —, modello appoggiato —, prove sperimentali  0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 2000 4000 6000 8000 w [m m ] x[mm] 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 w [m m ] y[mm]

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42

Lato Est

Posizione di carico 2 – con carico concentrato nel baricentro dell’impronta Mediana Ovest-Est

Figura 2.23 – Abbassamenti: modello incastrato —, modello misto —, modello appoggiato —, prove sperimentali  0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 w [m m ] y[mm] 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 2000 4000 6000 8000 w [m m ] x[mm]