Il Metodo delle Linee di Plasticizzazione è di semplice applicazione ma efficace, permettendo di investigare condizioni di collasso di strutture piuttosto complicate. Questo metodo ha anche una solida base teorica che riprende il teorema cinematico dell’Analisi Limite (si veda ad esempio Nielsen 1984).
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Essendo un approccio classico per l’analisi delle piastre, il metodo delle Yield Lines è trattato in molti articoli scientifici e libri. Per piastre in C.A., molti riferimenti possono essere trovati in libri eccellenti come Ferguson (1988), Park e Gamble (2000), e Kennedy e Goodchild (2004). In particolare per la successiva trattazione ci si è riferiti principalmente a quello scritto da Park (1963).
Con l’utilizzo del Principio dei Lavori Virtuali, ipotizzando un particolare meccanismo di collasso, è possibile determinare il carico critico associato. Il meccanismo di collasso ipotizzato è determinato in particolare dalla disposizione spaziale nella piastra delle yield lines (linee di plasticizzazione). Queste ultime, come detto in precedenza, svolgono per la piastra lo stesso ruolo delle cerniere plastiche nelle travi.
Si assumono quindi che valgano le seguenti ipotesi per tali linee:
Esse si propagano fino a raggiungimento dei lati della piastra;
Sono rettilinee;
Passano per l’intersezione degli assi di rotazione dei conci adiacenti;
L’asse di rotazione si trova generalmente lungo la linea di supporto e passano per le colonne;
Sono simmetriche se tale proprietà vale sia per i vincoli della piastra sia per il carico applicato.
Inoltre quando si deve definire il meccanismo è necessario tenere conto del tipo di vincoli presenti lungo bordi. Solitamente si ha la presenza di un lato:
Semplicemente appoggiato (in inglese “Simply Supported” – SS), che garantisce spostamento nullo e rotazione diversa da zero;
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Incastrato (in inglese “Clamped” – CL), che ha come nel caso SS spostamento nullo ma rotazione nulla nella configurazione iniziale, mentre a collasso incipiente tale lato è da considerarsi come una delle yield lines che caratterizzano il meccanismo di collasso.
Libero (in inglese “Free Edge” – FE) che presenta sia spostamento che rotazione arbitraria.
Si consideri ora la Figura 1.10, dove si riporta un esempio di meccanismo reale determinato tramite prove di carico uniformemente distribuito applicato ad una piastra semplicemente appoggiata lungo i 4 lati svolte alla Technical University di Berlino.
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Partendo da questo caso si osserva come si sviluppano le yield lines all’incrementare del carico (Figura 1.11).
Di conseguenza, ipotizzando che la piastra sia inizialmente in campo elastico, si desidera valutare il carico critico, avendo considerando un meccanismo simile a quello sperimentale sopra riportato.
Figura 1.11 – Sviluppo del meccanismo di collasso
Il carico applicato alla piastra viene incrementato fino al raggiungimento di quello limite e si ipotizza che ci sia sufficiente duttilità tale da permettere la redistribuzione dei momenti all’interno della piastra.
In un primo momento, quando si raggiunge il limite elastico, una zona ridotta al centro della piastra inizia a snervarsi e a passare in campo plastico. Successivamente le yield lines, partendo da questa prima zona, tendono a svilupparsi fino a che, secondo il meccanismo di collasso reale, non raggiungono i bordi della piastra formando anche linee di plasticizzazione lungo i bordi, se incastrati. Una volta sviluppato l’intero meccanismo si è raggiunto il carico critico, che non può essere oltrepassato in alcun modo.
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Si riportano di seguito altri due esempi di meccanismi di rottura:
Figura 1.12 – Esempi di meccanismi di rottura secondo la teoria delle yield lines
Per valutare quindi la capacità portante massima si applica il Principio dei Lavori Virtuali (PLV) al meccanismo in condizioni di collasso incipiente (si veda Park e Gamble 2000; Bamonte e Gambarova 2009). Tuttavia perché questo sia corretto, come già accennato in precedenza, risulta necessario che si abbia sufficiente duttilità per sviluppare l’intero meccanismo e siano trascurabili le deformazioni elastiche rispetto a quelle plastiche.
Una volta definito il meccanismo, qualunque esso sia, è fondamentale andare a valutare i momenti resistenti ultimi per le differenti posizioni e direzioni della piastra, in modo analogo alle travi con l’unica differenza che si deve imporre una larghezza unitaria della sezione considerata.
Figura 1.13 – Sezione in C.A. Distribuzione degli sforzi in campo elastico e plastico
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Questo passaggio è necessario per la valutazione del carico critico attraverso il PLV (Principio dei lavori virtuali).
Si assume che:
Gli spostamenti e le deformazioni possono essere ritenute sufficientemente ridotte;
I momenti che operano sono quelli normali alla linea di rottura.
Note queste due assunzioni è possibile semplificare il problema: il lavoro svolto dal momento normale per la corrispondente rotazione della yield line è uguale al lavoro compiuto dalle due componenti di momento in direzione X e Y per le rispettive rotazioni, componenti X,Y anch’esse della rotazione reale.
Questo approccio è solitamente usato nel caso di piastre con proprietà meccaniche e geometriche sufficientemente regolari. Infatti, nel caso in cui le armature siano distribuite in modo uguale nelle due direzioni principali (in modo isotropo o ortotropo) e lo spessore risulta essere costante, la risoluzione a livello di calcolo si semplifica notevolmente (si veda a titolo di esempio la trattazione di Guidotti e Titi 2009).
Si applica ora il Principio dei Lavori Virtuali che impone l’uguaglianza tra il Lavoro Interno e quello Esterno definiti come seguono:
Il Lavoro Interno è dunque caratterizzato dalle n yield lines presenti nel meccanismo, con che rappresenta il momento resistente normale j-esimo, la
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Se si disaccoppiasse il problema nelle direzioni x ed y si otterrebbe la seguente espressione:
Il Lavoro Esterno invece è definito dal prodotto tra il carico applicato e l’abbassamento integrato sulla superficie media della piastra.
con abbassamento virtuale. Nel caso particolare si abbia un carico:
Uniformemente distribuito allora l’espressione è possibile riscriverla nel seguente modo:
con che definisce il volume del solido che si determina tra la configurazione iniziale e quella deformata;
Concentrato in un punto P(x,y) si ottiene invece:
Di conseguenza si è in grado di determinare il carico di collasso.
Solitamente il meccanismo di collasso dipende da uno o più parametri che definiscono la geometria esatta dello stesso, come ad esempio la distanza da un lato di un punto che caratterizza l’intersezione tra 2 o più yield lines.
Per ricavare dunque l’esatto valore degli stessi, e come diretta conseguenza il carico critico, si deve determinare la soluzione di minimo del carico rispetto a tali parametri, cioè si ricerca la condizione di stazionarietà della funzione e si risolve la stessa in funzione della variabile .
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Noto il valore di tale parametro lo si sostituisce nell’espressione del carico così da ottenere il valore di carico di collasso minimo associato a tale geometria.
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