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Il meccanismo 4 è l'unico che tiene in considerazione la particolare situazione di vincolo presente al lato Nord. Il lato Ovest e gli estremi vincolati del lato Nord non danno nessun contributo al Lavoro Interno perché essi non sono soggetti ad alcuna rotazione. Alla luce di questo fatto è dunque indifferente considerarli incastrati o appoggiati.
Il parametro che governa il meccanismo è . Con nullo il meccanismo non può attivarsi mentre con pari all'unità la linea di plasticizzazione 3 scompare e l'abbassamento massimo si ha in corrispondenza del lato Nord. Le yield lines che vengono a crearsi sono 6, in particolare le linee 1,2 e 4,5 danno il medesimo contributo nel calcolo del Lavoro Interno.
Svolgendo i conti risulta quindi:
Un'osservazione importante può essere fatta riguardo al tipo di contributo che le linee di plasticizzazione danno al Lavoro Interno. Nei casi precedentemente analizzati le yield lines che corrono lungo i bordi della piastra sollecitano l'armatura al lembo superiore mentre le yield lines che si sviluppano all'interno della piastra sollecitano l'armatura al lembo inferiore. Nel meccanismo 4 invece si nota come le linee 4 e 5 non corrono lungo i bordi e sollecitano le armature al lembo superiore. Questo fatto è importante quando in seguito si affronterà il caso di vincolo di incastro e di appoggio sui lati della piastra.
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Carico uniformemente distribuito
Come per i casi precedenti il Lavoro Esterno dato da un carico uniformemente distribuito si calcola come:
Svolgendo i calcoli si ottiene:
Imponendo l'uguaglianza tra i Lavori risulta:
Ricavando qu dalla precedente equazione e imponendo nulla la derivata prima
rispetto al parametro si ricava il seguente sistema di equazioni caratterizzanti il meccanismo 4 nel caso di carico uniformemente distribuito:
Il parametro H4 e il parametro dipendono sia dalle proprietà meccaniche della
piastra sia da quelle geometriche.
Il carico limite dipende anch'esso da geometria e proprietà meccaniche derivanti dalla tipologia e dalla disposizione dell'armatura. Nel caso il carico limite tende ad infinito, infatti le yield lines 1 e 2 vanno a coincidere con la 6 e il meccanismo non può attivarsi. Anche per il carico limite tende ad infinito ma
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esso non appartiene al dominio di interesse e dunque non si prende in considerazione.
Carico concentrato
Considerando ancora una volta la risultante dell'impronta di carico a'b' e definendo δb come l'abbassamento del baricentro della stessa, il Lavoro Esterno risulta:
A seconda del parametro che definisce la geometria del meccanismo il valore di δb cambia:
Imponendo l'uguaglianza dei Lavori risulta:
La derivata prima per entrambe le espressioni del carico Pu non risulta mai nulla. In
particolare la prima equazione risulta monotona decrescente mentre la seconda monotona crescente e dunque il punto di minimo della funzione coincide proprio con . Allora l'equazione del carico concentrato risulta:
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Anche in questo caso, come nei precedenti, le yield lines tendono a convergere nel punto di applicazione del carico stesso. Il carico concentrato limite è funzione della geometria, delle proprietà meccaniche fornite dall'armatura e del peso proprio. Incrementando i parametri e migliorando quindi le proprietà meccaniche, Pu aumenta mentre incrementando il peso proprio diminuisce.
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5 MECCANISMI SIMMETRICI
A questo punto è possibile valutare i carichi minimi per ogni meccanismo resistente. Infatti, dimensionata l’armatura sono noti anche i momenti resistenti e di conseguenza divengono noti anche i parametri adimensionali ( ), che regolano le funzioni di carico minimo.
Importante è osservare che per i meccanismi 1 e 2, una o più linee di plasticizzazione attraversano il bordo Est dato che esso risulta in questi casi libero. Tale fatto è rilevante nel momento in cui si vogliano ricercare i carichi minimi con la presenza o meno della trave di bordo. Nel caso in cui la trave di bordo sia presente, a collasso nascono una o più cerniere plastiche che daranno un contributo al Lavoro Interno e di conseguenza andranno ad influenzare le funzioni di carico, mentre in assenza di questo elemento di irrigidimento le cerniere plastiche non si sviluppano. Per quanto concerne i meccanismi 3 e 4 essi sono indipendenti dalla trave di bordo in quanto le linee di plasticizzazione non attraversano mai il lato Est, proprio perché esso risulta semplicemente appoggiato.
5.1 MECCANISMI SENZA TRAVE DI BORDO
In questo paragrafo si studiano solo i meccanismi 1 e 2 in quanto i meccanismi 3 e 4, come detto precedentemente, sono indipendenti dalla presenza o meno della trave di bordo.
Dunque, essendo noti i momenti resistenti nelle due direzioni al lembo inferiore e superiore, è possibile determinare per i meccanismi in questione i parametri , nei casi di incastro e appoggio, imponendo proprio per il fatto che in questo momento non è considerata la presenza della trave di bordo.
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Come prima cosa è necessario adimensionalizzare i momenti resistenti per unità di lunghezza: Dunque nel caso di tre lati incastrati i parametri risultano essere:
Nel caso in cui i tre lati della piastra siano semplicemente appoggiati i parametri sono:
I parametri e risultano nulli in ragione del fatto che nel caso di semplice appoggio i momenti negativi nelle due direzioni risultino pari a zero, infatti le yield lines che attivano l’armatura la lembo superiore non sono presenti.
Infine posto il peso specifico del calcestruzzo
, considerando la piastra spessa e il coefficiente amplificativo si ottiene come peso proprio:
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5.1.1 Meccanismo 1
Incastri - Carico uniformemente distribuito
Si ricorda che e che i lati dimensioni a e b vengono considerati lunghi 8 metri entrambi.
Il parametro adimensionale H1 risulta:
Di conseguenza si ottiene:
Il parametro appartiene al dominio e quindi è possibile con tale valore calcolare il carico uniformemente distribuito minimo che tale configurazione può sopportare:
Appoggi - Carico uniformemente distribuito
Il parametro adimensionale H1 risulta:
Di conseguenza si ottiene:
Il parametro quindi è possibile con tale valore calcolare il carico uniformemente distribuito minimo che tale configurazione può sopportare:
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Incastri - Carico concentrato
In questo caso il valore di che minimizza il carico concentrato è di 0.5. Dunque:
Appoggi - Carico concentrato
Come in precedenza .
5.1.2 Meccanismo 2
Incastri - Carico uniformemente distribuito
Si ricorda che e che i lati dimensioni a e b vengono considerati lunghi 8 metri entrambi.
Il parametro adimensionale H2 risulta:
Di conseguenza si ottiene:
Il parametro non appartiene al dominio e quindi si pone uguale a 0.5. Ora è possibile calcolare il carico uniformemente distribuito minimo che tale configurazione può sopportare:
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Appoggi - Carico uniformemente distribuito
H2 risulta:
Di conseguenza si ottiene:
Il parametro non appartiene al dominio e quindi si pone uguale a 0.5. Ora è possibile calcolare il carico uniformemente distribuito minimo che tale configurazione può sopportare:
Incastri - Carico concentrato
In questo caso si calcola come:
Non appartenendo al dominio si impone uguale a 0.5 e il minimo carico concentrato risulta:
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Appoggi - Carico concentrato
A differenza del caso precedente, ponendo , risulta:
Non appartenendo al dominio si impone uguale a 0.5 e il minimo carico concentrato risulta:
5.1.3 Meccanismo di collasso più probabile
MECCANISMO 1 MECCANISMO 2
qu [kN/m2] Pu [kN] qu [kN/m2] Pu [kN]
67.3 1802.3 80.1 1708.5
35.4 957.5 44.2 943.1 Tabella 5.1 – Carichi ultimi per meccanismi senza trave di bordo
In rosso sono indicati, per ogni tipologia di vincolo e di carico, i meccanismi più probabili. Risulta evidente che sia nel caso di incastro che di appoggio, il meccanismo più probabile con carico distribuito è il primo, mentre con carico concentrato è il secondo. Si nota che modificando i vincoli da incastri perfetti a semplici appoggi vi è una riduzione dei carichi minimi mediamente del 45%.
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