Al ne di ottenere più informazioni possibile anche per quanto riguarda i risultati openFoam si è deciso di impostare il calcolo di quelle grandezze necessarie per una corretta analisi dei risultati, e in particolare ci si è concentrati sulla ricerca di una garanzia della validità sica dei calcoli openFoam, poiché come si vedrà quella CFX è confermata dal campo di entropia.
A tal proposito si è scelto di analizzare il campo di entalpia totale. Infatti, poiché nel caso qui analizzato la schiera di pale è stata imposta ssa (poiché statorica) e adiabatica, non si hanno ragioni per cui il valore di tale grandezza debba variare lungo il dominio in quanto non si hanno scambi di energia di alcun tipo.
Questa scelta è stata dettata anche dal fatto che la de nizione di questa grandezza risulta la medesima per gas reali e perfetti, ovvero, partendo dall'energia interna restituita dal calcolo per mezzo dell'equazione di conservazione dell'energia, è stato possibile scrivere: hT = h + U2 2 = e + p ρ + U2 2 (8.23)
Ottenendo il campo qui riportato:
Figura 8.25: Campo di entalpia totale con gas reale
Come si può vedere la conservazione dell'entalpia totale è confermata in tutto il dominio, ad eccezione delle scie in cui è inevitabile uno scambio di calore tra la scia più calda e il usso uscente dal canale.
Ciò porta a concludere che anche il calcolo openFoam nonostante le correzioni apportate non siano sicamente accurate come quelle CFX presenti anch'esso una validità sica intrinseca.
8.5. CALCOLO DELLE GRANDEZZE TERMODINAMICHE PER IL GAS REALE133 Questo risultato può portare a pensare che il calcolo qui riportato non sia ef- fettivamente quello di un gas reale ma di un gas ideale. Per veri care l'eettiva implementazione del modello Peng-Robinson si è deciso di calcolare il coe ciente dei comprimibilità Z a partire dalle grandezze restituite dal calcolo:
Z = p
ρRT (8.24)
Ottenendo il campo riportato nella gura seguente, dal quale si può vedere come il valore di Z sia eettivamente minore di 1 (forte eetto di gas reale) nella zona a monte della gola sonica e invece si avvicini al valore di gas ideale (Z ≈ 1) per l'area a valle del canale.
Figura 8.26: COe ciente di comprimibilità per il calcolo di gas reale
A conferma di ciò, dato che l'entalpia per quanto riguarda openFoam si è visto essere trattata come quella di un gas ideale, si è provato a calcolare il valore di entropia associato ad una trasformazione di gas ideale ovvero:
s − srif = Z T Trif cp0(T )dT − Z p pref R pdp = Z T Trif cp0(T )dT − Rln p pref (8.25) La quale, implementata in thermoMDM, ha permesso di ricavare il campo in g. 8.27, il quale presenta chiaramente una variazione di entropia nel passaggio di com- portamento da gas reale a gas ideale, confermando la presenza degli eetti di gas reale già evidenziati dal campo di Z
134 CAPITOLO 8. ANALISI DEI RISULTATI
Figura 8.27: Entropia di gas ideale applicata al calcolo di gas reale
Alla luce di ciò si è reso necessario trovare una via alternativa per il calcolo dell'entropia per il modello di gas reale in openFoam.
Per quanto riguarda CFX la conservazione dell'entropia è veri cata come si può vedere in g. 8.28, a conferma che le correzioni adottate da questo software sono eettivamente consistenti con la sica del caso:
Figura 8.28: Campo di entropia di gas reale (CFX)
Per openFoam questa procedura non è stata implementata innanzitutto per la sua complessità e in seguito per la mancanza delle tabelle necessarie all'approssimazione numerica delle derivate, quindi si è cercato di arrivare ad una soluzione del problema di tipo analitico.
8.5. CALCOLO DELLE GRANDEZZE TERMODINAMICHE PER IL GAS REALE135 A tale proposito si è preso spunto da quanto fatto da CFX per la correzione di entalpia:
Immaginando di dover arrivare a una certa condizione di gas reale de nita dal punto termodinamico 1 partendo da uno stato di riferimento 0 de nito da una tem- peratura imposta pari a quella di riferimento Trif e da un volume v0 supposto di gas
ideale, si è deciso di seguire un percorso in integrazione strutturato in due parti [21]:
Figura 8.29: Percorso di integrazione per l'entropia di gas reale
1) Isocora 0 → 10: Poiché il punto 0 è stato de nito in modo da poter considerare
il gas come ideale, la generazione di entropia associata alla trasformazione sarà: s10 − s0 = Z T10 T0 cv0(T ) T dT = Z T1 Trif cv0(T ) T dT (8.26)
Il che può essere calcolato senza problemi poiché sono noti i valori della po- linomiale di gas ideale cp0 = cp0(T ) e di conseguenza è possibile calcolare
cv0(T ) = cp0(T ) − R.
2) Isoterma 10 → 1: Per la de nizione della generazione di entropia associata a
questa trasformazione è stato necessario partire dalla de nizione della funzione s = s(T, v):
ds =
=0(T rasf ormazione isoterma)
z }| { ∂s ∂T v dT + ∂s ∂v T dv s1− s10 = Z v1 v∞ ∂s ∂v T dv (8.27) Il che, sfruttando le relazioni di Maxwell può essere scritto come:
s1 − s10 =
Z v1 ∂p
136 CAPITOLO 8. ANALISI DEI RISULTATI A questo punto è stato necessario de nire l'equazione analitica della deriva- ta ∂p
∂T
v. A tal proposito, si è isolata la pressione dall'equazione di Peng-
Robinson (eq. 2.12):
p = RT v − b−
αa
v2+ 2vb − b2 (8.29)
Con α = [1 + k(1 −√Tr)]2 e k = f(ω) e si è derivata l'equazione così trovata
rispetto alla temperatura, considerando il volume come una costante: ∂p ∂T v = R v − b− a v2+ 2vb − b2 ∂α ∂T = R v − b− ak√Tr[k( √ Tr− 1) − 1] T (v2+ 2vb − b2) (8.30)
E in ne si è risolto l'integrale trovando: Z v1 v∞ ∂p ∂T v dv = Rln(v − b) + ak √ Tr[k( √ Tr− 1) − 1 T · tanh−1b+v√ 2b √ 2b v1 v∞
Le equazioni così trovate in tutte le loro componenti sono state inserite all'interno dell'applicazione thermoMDM per il post-processing, ma al momento del calcolo ci si è resi conto che non era possibile utilizzare il valore ∞ per il volume di partenza poiché il logaritmo sarebbe risultato in nito a sua volta.
In alternativa si è provato ad utilizzare al posto di un valore in nito un valore nito restituito da un calcolo a gas ideale derivato da lavori precedenti, ma anche in questo caso il calcolo è risultato impossibile a causa della funzione tanh−1 presente
nell'equazione primitiva, la quale si ì visto avere dominio pari a (-1;1), il che non risultava veri cato per i valori di volume speci co assunti dal usso.
Tali di coltà numeriche suggeriscono che sia necessario implementare delle tecni- che di risoluzione avanzate per gestire le integrazioni delle funzioni termodinamiche, suggerendo che sia opportuno ripiegare sull'approssimazione numerica delle derivate come fatto da CFX.
Capitolo 9
Conclusioni
A conclusione del lavoro di tesi qui riportato si passa ora a riassumere in questo capitolo le conclusioni che è stato possibile trarre a seguito di tutte le considerazioni fatte, seguendo la logica dei capitoli presentati.
• I due software risultano confrontabili per quanto riguarda il livello di accuratezza degli schemi numerici messi a disposizione:
Da quanto visto nel capitolo 4 e in base ai risultati ottenuti soprattutto per quanto riguarda il modello di gas perfetto e poiché in questo lavoro sono stati utilizzati gli schemi numerici più accurati messi a disposizione dai due codici, è possibile concludere che sotto tale aspetto non si riscontrano dierenze nelle prestazioni tali da poter preferire un software all'altro a parità di modello sico del uido.
• CFX rende disponibile un maggior numero di modelli sici per il uido rispetto a CFX:
Soprattutto per quanto riguarda la modellazione dei gas reali CFX mette a di- sposizione dell'utente un numero decisamente maggiore di possibilità a diversi livelli di accuratezza, parendo dal più semplice modello di Van der Waals per nire con la modellazione con il metodo LUT. OpenFoam invece si è visto che sotto questo aspetto permette solamente di utilizzare un solo modello, quello di Peng-Robinson il quale, comunque, è uno dei modelli più accurati tra quelli disponibili in letteratura.
• La costruzione della mesh risulta di fondamentale importanza per una corretta simulazione:
Mentre per CFX erano già stati arontati casi con Mach elevato come quello qui presentato e quindi era già presente in letteratura uno studio per poter de nire una mesh adeguata ad un calcolo di questo tipo, in openFoam ancora non ci si era scontrati con queste problematiche. Questo lavoro, soprattutto in fase di analisi di sensitività della griglia, ha permesso di creare un riferimento per calcoli futuri di casi altamente supersonici, sottolineando quanto la densità della mesh nel tratto supersonico risulti di fondamentale importanza per una corretta simulazione.
138 CAPITOLO 9. CONCLUSIONI • Per quanto riguarda calcoli con modello di gas perfetto i due codici
si equivalgono:
Sulla base di quanto visto nel capitolo dedicato all'analisi dei risultati resti- tuiti dai due software con implementato il modello di gas perfetto è possibile concludere che tutte le grandezze analizzate siano decisamente confrontabili tra di loro. Si noti che questo risultato è stato ottenuto in openFoam con una griglia avente numero di celle molto inferiore a quello necessario per il calcolo CFX, a conferma di un'attenta gestione della mesh.
• I due codici analizzati gestiscono i calcoli di gas reale in maniera dierente:
Dopo l'attenta analisi presentata nel capitolo dedicato è chiaro come i due software presentino un approccio diverso per la risoluzione di casi con imple- mentato il modello di gas reale:
CFX può gestire delle correzioni molto accurate per tutte le grandezze necessa- rie al calcolo e al post-processing grazie alla costruzione tramite l'equazione di stato prescelta di tabelle che permettono di approssimare le derivate necessarie alla correzione con schemi numerici simili a quelli usati per il calcolo.
OpenFoam d'altra parte utilizza per il gas reale lo stesso schema risolutivo adottato per il gas perfetto, con due dierenze: una nel calcolo della densità, in cui il coe ciente di compressibilità viene corretto sulla base dell'equazione di stato del gas reale; e l'altra riguardante la modalità di estrazione del campo di temperatura dalle grandezze energetiche, la quale viene gestita come nel caso di gas ideale a calori speci ci variabili.
• Per quanto riguarda le condizioni del usso studiato in questo lavoro i risultati di gas reale appaiono confrontabili nonostante i diversi approcci adottati dai due codici:
In base a quanto si è visto nell'analisi dei risultati di gas reale, soprattutto quelli riguardanti le analisi di tipo quantitativo (distribuzione di pressione sul pro lo e analisi dell'andamento delle grandezze p e T in funzione della distanza dallo scarico del canale), si può concludere che per alcune quantità, quali ad esempio la pressione, la correzione non adeguata della parte termica non in uenza in maniera signi cativa la corretta simulazione. Mentre risulta chiaro che dal punto di vista termico il problema della non corretta modellazione abbia gravi eetti sui risultati restituiti.
• Possibili sviluppi:
Dall'analisi riportata in questo lavoro e soprattutto per quella riguardante la modellazione di gas reale, si può intuire come sia necessario per il sofware openFoam così come è al momento (è possibile infatti, data la natura open- source del codice che queste modi che siano già state apportate da altri utenti che ancora non le hanno rese pubbliche) allargare al calcolo di gas reale anche la correzione riguardante la parte termica, con l'implementazione di un modello che possa gestire un modello termodinamico diverso da quello di gas ideale a calori speci ci variabili.
Appendice A
ThermoMDM
Come già visto in fase di introduzione la grande dierenza tra i codici di tipo com- merciale e quelli di tipo open-source, in questo lavoro rappresentati rispettivamente da CFX e openFoam consiste nelle features messe a disposizione dell'utente dai primi.
Infatti è evidente che, nel momento in cui un codice deve essere utilizzato a ni commerciali, la priorità sia quella di fornire un servizio completo e senza lacune al cliente disposto a investire del denaro per acquistarne la licenza. Questo problema non sussiste tuttavia per chiunque sviluppi un codice open-source e ciò comporta che all'interno di questi software sia implementato solamente il minimo indispensabile per poter simulare qualsiasi tipo di caso (solutori, applicazioni, schemi numerici e modelli) dopodiché è a dato all'utente il compito di implementare ciò che gli è necessario in un determinato progetto.
Questa dierenza risulta particolarmente importante soprattutto in fase di post processing. Più precisamente si è visto quanto sia fondamentale lo studio delle gran- dezze derivate per poter correttamente esaminare un caso come quello qui presentato e in particolare per l'analisi dei risultati è stato fondamentale ricavare le seguenti grandezze:
· Numero di Mach: Risulta molto utile poiché come si è visto l'analisi di questo campo permette di visualizzare sia le onde d'urto che i boundary layers generati sulle pale con le scie conseguenti.
· Pressione Totale: Grandezza fondamentale per lo studio di questo caso poiché usata per la de nizione dell'e cienza dello stadio.
· Entropia: Poiché la teoria aerma generazione di entropia associata al pas- saggio del usso all'interno del canale palare deve essere nulla ad eccezione degli strati limite, la conservazione di questa grandezza è stata presa come garanzia della validità sica dei calcoli con gas perfetto.
Accanto a queste poi l'analisi di casi di tipo turbomacchinistico potrebbe richiedere il calcolo di molte altre grandezze derivate utili, cosa che però openFoam a dierenza di CFX non esegue autonomamente.
Dato l'elevato numero di simulazioni da analizzare si è subito palesata la necessità di trovare una soluzione per calcolare questi valori in maniera veloce e automatica
140 APPENDICE A. THERMOMDM anche in openFoam. Infatti l'unica alternativa era rappresentata dal calcolo della grandezza cercata all'interno dell'applicazione paraview, il che risultava però molto scomodo nel momento in cui le grandezze da calcolare e i casi in cui calcolarle aumentavano di numero.
La prima soluzione sperimentata per risolvere questo problema è stata quella di creare un nuovo solutore a partire da soniFoam che però a dierenza di quest'ultimo non restituisse solamente i campi necessari al calcolo ma anche quelli delle grandezze derivate scelte. In openFoam infatti i solutori restituiscono all'interno delle cartelle temporali che costituiscono l'output del calcolo solamente quelle grandezze necessarie alla risoluzione delle equazioni di conservazione, e in particolare sonicFoam rende disponibili alla visualizzazione solamente i campi di:
· Pressione · Velocità · Temperatura
· Grandezze relative alle equazioni per i modelli di turbolenza (κ, ω, αT, µT)
Che sono poi le grandezze su cui si sono imposte le condizioni al contorno. In aggiunta a queste vengono calcolate anche altre grandezze necessarie ai calcoli come densità, coe ciente di comprimibilità e cp, ma esse non vengono restituite a meno
di impostazioni alternative in cui viene speci catamente richiesto.
Di conseguenza si è provato a creare un nuovo solutore chiamato sonicFoamMDM che funzionasse esattamente come l'originale per quanto concerne la struttura della risoluzione, ma all'interno del le createFields.H si sono aggiunte le formulazioni per calcolare le grandezze derivate di interesse (che si vedranno più avanti in rela- zione a thermoMDM ) così che venissero calcolate di volta in volta insieme e inserite all'interno delle cartelle temporali.
Purtroppo con le prime simulazioni in cui veniva utilizzato questo solutore si sono palesati due problemi che hanno fatto si che questa strada fosse abbandonata: 1) Il calcolo ad ogni time-step di queste grandezze comportava un aumento non trascurabile dei tempi di calcolo e con l'aumentare del numero di celle que- sto problema si faceva più importante. Inoltre questo costo computazionale aggiuntivo risultava anche non necessario poiché queste grandezze erano richie- ste solamente nei time-step in cui venivano scritte le cartelle temporali, non in tutti quelli calcolati.
2) Poiché il solutore calcola ogni grandezza in un determinati time-step a par- tire da quella dell'istante temporale precedente (motivo per cui sono neces- sarie condizioni iniziali oltre che quelle al contorno) il fatto che le grandezze derivate non sono de nite all'interno della cartella 0 in maniera precisa com- porta inevitabilmente un errore nei calcoli successivi, in ciando la validità dei risultati.
La soluzione a questi problemi é stata quindi quella di creare una applicazione che non calcolasse le grandezze ad ogni time-step sfruttando quelle dell'istante temporale
A.1. EQUAZIONI PER IL GAS PERFETTO 141 precedente, ma invece le ricavasse in fase di post-processing solamente per i tempi per cui sono stampate le cartelle temporali e soprattutto le calcolasse a partire dai valori già presenti in quelle cartelle.
A tal proposito si è presa come base l'applicazione mach già presente all'interno di openFoam per il calcolo del numero di mach isoentropico, e mantenendone sola- mente la struttura che permetteva di agire esattamente come descritto al paragrafo precedente la si è modi cata in modo che calcolasse non più il numero di mach ma tutte le grandezze necessarie per l'analisi dei risultati. In aggiunta a questo si so- no poi modi cati i les all'interno della cartella Make dell'applicazione per poterla eseguire da terminale con il comando thermoMDM e anche in questo caso si è agito sul le createFields per implementare le equazioni per il calcolo delle grandezze.
Si è già discusso di come nel passaggio da gas perfetto a gas reale le relazioni che permettono di de nire gran parte delle grandezze derivate cambino drasticamente, il che ha reso necessaria l'implementazione di una procedura if all'inizio del codice che leggesse i dizionari thermoType del caso in analisi e in base alla de nizione del dizionario thermo orientasse i calcoli sulle equazioni per il gas perfetto o per il gas reale. Prima di questo bivio però si è impostato il calcolo di alcune grandezze utili che hanno la stessa de nizione in entrambi i casi.
Innanzitutto vengono caricati tutti i campi disponibili per il calcolo, ovvero pres- sione, temperatura, velocità, energia interna, densità 1, c
p e, dopo aver letto dal
dizionario apposito il valore della massa molecolare, viene calcolata la costante R per il gas. Successivamente vengono calcolati in ordine i valori di:
• Entalpia: h = e +pρ • Entalpia Totale: hT = h + U 2 2
La cui de nizione resta invariata sia che si tratti di gas perfetto che reale.
A.1 Equazioni per il gas perfetto
Se il dizionario thermo presenta come de nizione hConst allora ci si trova di fronte a un modello di gas perfetto, il che permetterà di calcolare:
• Numero di Mach: M a = √U γRT • Pressione Totale: pT = p 1 + γ−12 M a2 γ−1γ • Temperatura Totale: TT = T + 2c1 pU 2
142 APPENDICE A. THERMOMDM • Entropia2: s = cp lnTT ref − R ln p pref