POLITECNICO DI MILANO
Facoltà di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Corso di Laurea Magistrale in
Ingegneria Meccanica
ANALISI DELLE PRESTAZIONI DI CODICI COMMERCIALI E
OPEN-SOURCE PER LA SIMULAZIONE CFD DI UNA SCHIERA
SUPERSONICA DI TURBINA A FLUIDO ORGANICO
Relatore:
Prof. Giacomo Bruno PERSICO
Correlatore: Dott. Ing. Andrea SPINELLI
Tesi di Laurea di:
Andrea ALBERTI Matricola: 823993
Indice
Sommario iii
Abstract v
1 Introduzione 1
2 Termodinamica 3
2.1 Teoria Cinetica dei Gas . . . 3
2.2 Pressione . . . 4
2.3 Temperatura . . . 5
2.4 Eetto Gas Reale . . . 6
2.5 Equazioni di stato . . . 7
2.5.1 Equazione di Stato del Gas Perfetto . . . 7
2.5.2 Equazioni di Stato dei Gas Reali . . . 7
2.6 Principio degli Stati Corrispondenti . . . 8
2.7 Equazione di Van der Waals . . . 10
2.8 Equazione di Redlich-Kwong e Soave . . . 12
2.9 Equazione di Peng-Robinson . . . 13
2.10 Metodo LUT . . . 14
3 Fluidodinamica 17 3.1 Approccio Lagrangiano ed Euleriano . . . 17
3.2 Equazioni di Conservazione . . . 18
3.2.1 Conservazione della Massa . . . 19
3.2.2 Conservazione della Quantità di Moto . . . 19
3.2.3 Conservazione dell'Energia . . . 20
3.3 Turbolenza . . . 20
3.4 Media temporale di Reynolds . . . 21
3.5 Ipotesi di Boussinesq . . . 23
3.6 Teoria del Boundary Layer . . . 24
4 Introduzione alla CFD 27 4.1 Metodo dei Volumi Finiti . . . 27
4.1.1 Discretizzazione del termine convettivo . . . 29
4.1.2 Discretizzazione del termine diusivo . . . 34
4.2 Qualità della Mesh . . . 35
iv INDICE
4.3.1 Schemi per la derivata temporale . . . 36
4.3.2 Schemi per il gradiente . . . 37
4.3.3 Schemi per la divergenza . . . 38
4.3.4 Schemi per il laplaciano . . . 38
4.4 Schemi numerici in CFX . . . 39 4.5 Modelli di turbolenza . . . 40 4.5.1 Modello Spalart-Allmaras . . . 41 4.5.2 Modello κ − ε . . . 41 4.5.3 Modello κ − ω . . . 42 4.5.4 Modello κ − ω SST . . . 43 5 Mesh 45 5.1 Geometria della pala . . . 45
5.2 Mesh OpenFoam . . . 47 5.2.1 Mesh di partenza . . . 49 5.2.2 Mesh intermedia . . . 51 5.2.3 Ottimizzazione . . . 51 5.2.4 Ra namento . . . 54 5.3 Mesh CFX . . . 57
5.3.1 Confronto con la mesh openFoam . . . 57
6 Preprocessing 59 6.1 Condizioni al contorno . . . 59 6.1.1 Pressione . . . 61 6.1.2 Temperatura . . . 63 6.1.3 Velocità . . . 65 6.1.4 Modelli di turbolenza . . . 67
6.2 Criteri di calcolo adottati . . . 72
6.2.1 Solutore . . . 72
6.2.2 Modello di turbolenza . . . 74
6.2.3 Schemi di discretizzazione . . . 75
6.2.4 Schemi di risoluzione dei sistemi . . . 77
6.3 Fluido di lavoro: MDM . . . 79
6.3.1 Modello Gas Perfetto . . . 79
6.3.2 Modello Gas Reale . . . 82
7 Analisi di sensitività della mesh 87 7.1 Introduzione . . . 87
7.2 Convergenza dei calcoli e scelta della griglia . . . 88
7.2.1 Mesh 1 . . . 88
7.2.2 Mesh 2 . . . 88
7.3 Analisi di sensitività della mesh . . . 90
INDICE v
8 Analisi dei risultati 99
8.1 Introduzione . . . 99
8.1.1 Perdite mixed-out . . . 100
8.2 Gas perfetto . . . 103
8.2.1 Analisi dei campi . . . 103
8.2.2 Campo di Mach . . . 104
8.2.3 Campo di pressione totale . . . 107
8.2.4 Campo di Entropia . . . 109
8.2.5 Analisi delle grandezze nella sezione a valle . . . 111
8.2.6 Analisi della distribuzione di pressione sul pro lo . . . 114
8.2.7 Analisi delle perdite . . . 115
8.3 Pala Opt . . . 117
8.3.1 Campo di Mach pala opt. . . 118
8.3.2 Analisi delle perdite e veri ca dell'entropia . . . 119
8.4 Gas Reale . . . 120
8.4.1 Gas Reale in CFX . . . 120
8.4.2 Gas Reale in openFoam . . . 123
8.4.3 Campo di Velocità . . . 125
8.4.4 Campo di pressione . . . 126
8.4.5 Campo di Densità . . . 127
8.4.6 Analisi della distribuzione di pressione sul pro lo . . . 128
8.4.7 Analisi delle grandezze nella sezione di valle . . . 130
8.5 Calcolo delle grandezze termodinamiche per il gas reale . . . 132
9 Conclusioni 137 A ThermoMDM 139 A.1 Equazioni per il gas perfetto . . . 141
Elenco delle gure
2.1 Volume di controllo per gas . . . 3
2.2 Schema della forza applicata alla super cie . . . 4
2.3 Diagramma di Andrews per un gas reale . . . 6
2.4 Coe ciente di compressibilità in funzione della pressione . . . 8
2.5 Coe ciente di compressibilità in funzione di pressione e temperatura ridotte. . . 9
2.6 Andamento delle forze intermolecolari al variare della distanza . . . . 10
2.7 Analisi risultati ottenuti con Van der Waals . . . 11
2.8 Z teorico Redlich-Kwong . . . 12
2.9 Mesh termodinamiche costruite sul piano T −s utilizzando a)log(v)− s, b)log(T ) − s e c)log(v) − e come variabili indipendenti. . . 14
3.1 Volume di Controllo . . . 18
3.2 Andamento della velocità nel moto turbolento . . . 21
3.3 Schema esempli cativo per il boundary layer turbolento. . . 24
3.4 Andamento del pro lo universale di velocità. . . 26
4.1 Generica cella di baricentro P e centroide di faccia f. . . 28
4.2 Schema interpolazione Upwind tra due celle contigue di baricentri P e N. . . 30
4.3 Schema dell'interpolazione Lineare tra due celle contigue di baricentri P e N. . . 31
4.4 Schema interpolazione linear-Upwind tra tre celle adiacenti. . . 32
4.5 Diagramma di Sweby (il criterio è rispettato se lo ψ scelto ricade all'interno dell'area colorata.) . . . 33
4.6 Schema del calcolo del gradiente ~∇ϕ f. . . 34
4.7 Correzione della non-ortogonalità. . . 35
4.8 Correzione della Skewness. . . 36
4.9 Schema di cella 1D per moto convettivo . . . 39
4.10 Pro lo di velocità 1D in prossimità di una lastra piana. . . 40
5.1 Pro lo Pala 1 . . . 45
5.2 Geometria 3D del canale de nito dalla Pala 1 . . . 46
5.3 Pro lo Pala Opt. . . 46
5.4 Confronto dei pro li delle pale utilizzate . . . 47
viii ELENCO DELLE FIGURE
5.6 Mesh di partenza . . . 49
5.7 Problemi relativi alla mesh di partenza . . . 50
5.8 Risoluzione dei problemi della mesh di partenza . . . 51
5.9 Panoramica delle due mesh . . . 52
5.10 Ricostruzione del trailing edge nella Mesh 1 . . . 53
5.11 Ricostruzione del trailing edge nella Mesh 2 . . . 53
5.12 Dettagli della griglia nei canali palari nelle due mesh . . . 54
5.13 Caratteristiche delle due mesh a confronto su in ttimento medio . . . 55
5.14 Schema riassuntivo delle patch che delimitano il dominio openFoam. . 56
5.15 Griglia CFX . . . 57
5.16 Ricostruzione del trailing edge per la mesh CFX . . . 58
6.1 Condizioni iniziali e al contorno per il campo di pressione . . . 61
6.2 Condizioni iniziali e al contorno per il campo di temperatura . . . 63
6.3 Condizioni iniziali e al contorno per il campo di velocità . . . 65
6.4 Implementazione della functionObject all'interno del controlDict . . . 67
6.5 Output della functionObject yPlusRAS per la mesh 2 tta . . . 68
6.6 Condizioni iniziali e al contorno per ε . . . 69
6.7 Condizioni iniziali e al contorno per ω . . . 70
6.8 Condizioni iniziali e al contorno per κ . . . 71
6.9 Campo di Mach calcolato con gas ideale. . . 72
6.10 Schema sempli cato dell'algoritmo di tipo PIMPLE . . . 73
6.11 Campi di energia cinetica turbolenta restituiti dai due modelli di turbolenza . . . 74
6.12 File fvSchemes per la de nizione degli schemi di discretizzazione. . . . 76
6.13 File fvSolution per la de nizione degli schemi per la risoluzione dei sistemi. . . 78
6.14 Schema di una molecola di Octametyltrisilossano. . . 79
6.15 Fattore di compressibilità della simulazione con gas reale. . . 80
6.16 thermophysicalProperties per il gas perfetto. . . 81
6.17 thermophysicalProperties per il gas reale. . . 83
6.18 Andamento di cp0 per il campo di temperatura considerato . . . 84
7.1 Convergenza temporale Mesh 1 . . . 88
7.2 Mesh 2 Lasca . . . 89
7.3 Mesh 2 Media . . . 89
7.4 Mesh 2 Fitta . . . 89
7.5 Campo di pressione totale . . . 91
7.6 Posizione della linea di samppling . . . 92
7.7 Schema metodo del trapezio per il calcolo degli integrali . . . 92
7.8 Analisi di sensitività della mesh con perdite mediate sulla portata . . 93
7.9 Andamento di y+ lungo le pale . . . 94
7.10 Pro lo di pressione totale 0.5 corde assiali a valle della sezione di scarico 96 7.11 Caduta di pressione totale all'interno del canale (Mesh Fitta) . . . 96
7.12 Dettagli della mesh 150k . . . 97 7.13 Pro lo di pressione totale 0.5 corde assiali a valle della sezione di scarico 98
ELENCO DELLE FIGURE ix
8.1 Schema del usso a valle del canale palare . . . 100
8.2 Campi di Mach restituiti dai due codici . . . 104
8.3 Dettaglio del campo di Mach (openFoam) . . . 105
8.4 Campi di pressione totale restituiti dai due codici . . . 107
8.5 Campi di entropia restituiti dai due codici . . . 109
8.6 Energia cinetica turbolenta (openFoam) . . . 110
8.7 Posizionamento delle linee di sampling . . . 111
8.8 Pro li a 0.5 corde ax dalla sezione di scarico . . . 112
8.9 Pro li a 1 corde ax dalla sezione di scarico . . . 112
8.10 Pro li a 1.5 corde ax dalla sezione di scarico . . . 113
8.11 Distribuzione di pressione lungo il pro lo della pala . . . 114
8.12 Confronto dei pro li delle pale utilizzate . . . 117
8.13 Campo di Mach per la pala Opt. . . 118
8.14 Campo di entropia per la pala Opt. . . 119
8.15 Percorso di integrazione per l'entalpia in CFX . . . 121
8.16 Campi di Velocità restituiti dai due codici . . . 125
8.17 Campi di pressione restituiti dai due codici . . . 126
8.18 Campi di densità restituiti dai due codici . . . 127
8.19 Distribuzione di pressione lungo il pro lo della pala . . . 128
8.20 Condizione di pressione totale imposta all'inlet . . . 128
8.21 Distribuzione di pressione sul pro lo con gas reale e perfetto . . . 129
8.22 Pro li a 0.5 corde ax dalla sezione di scarico . . . 130
8.23 Pro li a 1 corda ax dalla sezione di scarico . . . 130
8.24 Pro li a 1.5 corde ax dalla sezione di scarico . . . 130
8.25 Campo di entalpia totale con gas reale . . . 132
8.26 COe ciente di comprimibilità per il calcolo di gas reale . . . 133
8.27 Entropia di gas ideale applicata al calcolo di gas reale . . . 134
8.28 Campo di entropia di gas reale (CFX) . . . 134
Elenco delle tabelle
4.1 Schemi numerici per la derivata temporale . . . 37
4.2 Schemi numerici per il gradiente . . . 37
4.3 Schemi di intepolazione per la divergenza . . . 38
4.4 Schemi di interpolazione per il laplaciano . . . 38
4.5 Tabella dei coe cienti per il modello κ − ε . . . 42
6.1 Valori imposti sulle patch di ingresso ed uscita . . . 60
7.1 Residui della pressione per diversi livelli di in ttimento. . . 90
7.2 Valori delle perdite mediate sulla portata . . . 93
7.3 Risultati per mesh con adeguamento di y+ . . . 95
Sommario
Scopo di questo lavoro è quello di valutare la possibilità di utilizzare un codice open-source come openFoam per la simulazione di casi in ambito turbomacchinistico. Più precisamente si è cercato di implementare in questo lavoro il livello massimo di accuratezza che fosse possibile raggiungere per quanto riguarda la modellazione uidodinamica con questo software, spesso considerato poco a dabile ad alti livelli a causa della presenza di codici commerciali studiati appositamente per questo tipo di problemi. A tal proposito si sono studiati in maniera approfondita sia i modelli numerici che quelli sici resi disponibili dal codice e di questi si soni scelti i più accurati.
Parallelamente ai calcoli in openFoam sono state portate avanti le stesse simu-lazioni con i medesimi modelli implementati usando un software commerciale come ANSYS-CFX, il quale è considerato al momento il codice a cui far riferimento per lo studio di problemi inerenti alle turbomacchine. Questo procedimento ha permesso, una volta ottenuti dei risultati accettabili con entrambi i codici, di confrontare quan-to restituiquan-to e poter avere garanzia della validità delle conclusioni tratte su eventuali analogie e dierenze riscontrate.
Questo tipo di studio in questo lavoro è stata applicata all'analisi di uno stadio di turbina assiale a uido organico operante in regime altamente supersonico (Mamax >
2). Come si vedrà questo caso presenta le due criticità tipiche della uidodinamica delle turbomacchine, ovvero:
· La forte comprimibilità evidenziata dal gas a conseguenza dell'elevata velocità raggiunta dal usso.
· L'utilizzo di un uido che, nelle condizioni operative studiate, presenta carat-teristiche di gas reale.
Entrambi questi problemi sono stati attentamente studiati nel corso di questo la-voro, sia per quanto riguarda la teoria sia per come entrambi sono trattati e risolti all'interno dei due codici considerati.
Per quanto riguarda la simulazione vera e propria del casoi per entrambi i software si sono de niti la mesh, le condizioni al contorno, i modelli sici, il solutore e i metodi numerici da utilizzare (ove possibile), cercando sempre di mantenere le stesse scelte per entrambi così da poter limitare il più possibile i fattori che potessero causare delle diormità nei risultati. Particolare attenzione come detto si è data al modello di uido scelto, infatti si è deciso di confrontare le prestazioni dei due codici sia nel caso di simulazione con gas perfetto sia nel caso a gas reale.
iv SOMMARIO A tale scopo è stato necessario per il codice openFoam creare una applicazione ad hoc, denominata thermoMDM, che permettesse di calcolare all'interno delle cartelle dei tempi restituite dal solutore tutte le grandezze necessarie alla fase di post pro-cessing; mentre CFX , essendo un codice commerciale, restituisce automaticamente tutte le grandezze necessarie per l'analisi dei risultati.
Le conclusioni tratte in questo lavoro saranno utilizzate in futuro per valutare quale codice utilizzare per lo studio di determinati problemi e come utilizzarlo al meglio delle sue potenzialità, e le funzioni implementate per openFoam risultano molto utili per qualsiasi tipo di calcolo futuro poiché sono state create in modo da risultare il più generali possibile.
Parole chiave:CFD, openFoam, CFX, uidodinamica, gas reale, schemi numerici, thermoMDM.
Abstract
Aim of this project is evaluating the opportunity to use openFoam, an open-source CFD code, to operate simulations in a turbomachinery case. More precisely, since this code is often considered poorly accurate for high levels of simulation because of the presence of commercial codes biult speci cally for this kind of subjects, the highest level of accuracy available in this software for uidodynamic modeling was searced. In this regard both the physical models and numerical schemes available in both the codes considered were deeply studied, and the more accurate ones were chosen.
Simultaneously to the openFoam calculation, the same simulations with the same models applied have been carried on in a commercial software like ANSYS-CFX, which is at the moment considered the reference code for turbomachinery problems. This procedure allowed, once acceptable results were found in both the softwares, to compare what was returned from the calculations and to be sure that all the conclusions derived were valid.
This kind of study was applied in this project to analyze an axial turbine cascade working with organic uid and in a high supersonic state (Mamax > 2). This case
presents both the two critical issues typical of turbomachines simulations:
· High compressibility shown by the gas beacause of the high speed reached by the ux.
· Usage of a uid that, in studied operating conditions, presents real gas beha-viour.
Both this problems were carefully studied during this project, both in theory and how the codes deal and solve them.
Regarding the simulation of the case for the two softwares were de ned mesh, boundary conditions, physical models, solver and numerical schemes (where avai-lable), trying to keep the same choices for both the sofwares in order to limit the dierences which could couse results diormity. As has been said high attention was given to the model used for the uid, in fact both the pefect and real gas models were compared.
In order to complete the post processing phase, for the software openfoam was created an application, named thermoMDM, which permitted to calculate in each time step returned by the solver all the quantities useful for the results analysis; while CFX, since it is a commercial code, automatically returns all the quantities needed.
vi ABSTRACT All the conclusions deduced from this project will be useful for future applications where will be needed to make a choice on what software to use and how to use it in the best way possible, and the features created for the openFoam code can be used for every kind of calculation since they were created in order to reslut the more generic as possible.
Key words: CFD, openFoam, CFX, uid dynamics, real gas, numerical schemes, themoMDM.
Capitolo 1
Introduzione
Attualmente le alternative a disposizione nel momento in cui si decida di intra-prendere uno studio di un caso uidodinamico per mezzo di un software CFD sono due:
· Codici Commerciali · Codici Open Source
Le dierenze tra le due scelte possono essere riassunte nella possibilità di interagire con il codice e personalizzare ogni aspetto di esso in ogni passaggio della simulazione e nella quantità di features messe a disposizione dal codice all'utente.
Per quanto riguarda i codici commerciali (Es. Ansys-CFX) infatti, l'obiettivo primario rimane quello di rendere semplice il loro utilizzo sfruttando un layout in-tuitivo, aiutando l'utente in molti passaggi della implementazione del caso (vedi la possibilità di creare una mesh in modo automatico) e impostando autonomamente molti parametri, soprattutto per quanto riguarda la parte numerica della soluzione, così da arrivare ad un risultato accettabile in brevi tempi e con sicurezza in modo da poter garantire a dabilità fondamentale in un ambito lavorativo.
I codici Open Source al contrario, essendo studiati a scopo principalmente didat-tico, lasciano all'utente la possibilità di modi care il codice in tutta la sua interezza e di conseguenza personalizzare la soluzione in ogni step della simulazione, portando però a delle di coltà aggiuntive poiché non sono presenti scorciatoie o aiuti di alcun genere.
Di conseguenza nel lavoro che si andrà ora a presentare si vedranno in parallelo le due vie presentate passando per ogni passaggio della preparazione alla simulazione del caso e per ognuno di essi si sottolineeranno dierenze ed analogie nei software utilizzati in modo da poter poi commentare in maniera più approfondita i risultati ottenuti. Si partirà dunque con una panoramica sulle nozioni termodinamiche e uidodinamiche necessarie per comprendere il funzionamento di un codice CFD, per passare poi alla de nizione delle mesh utilizzate, delle condizioni al contorno impostate e dei modelli termodinamici usati per simulare il comportamento del uido in esame. Si concluderà poi con il confronto vero e proprio sulla base dei risultati ottenuti.
Capitolo 2
Termodinamica
2.1 Teoria Cinetica dei Gas
La teoria cinetica ha come scopo quello di descrivere le caratteristiche macroscopiche di un uido gassoso analizzandone la sua composizione e stato a livello microscopico o molecolare.
Infatti se si osserva il comportamento di un qualsiasi gas si può facilmente notare che, indipendentemente dalla specie chimica di cui è composto, esso è in grado di espandersi illimitatamente; questo in aggiunta alla sua densità molto bassa e al comportamento semplice e lineare al variare di temperatura e pressione porta a concludere che le molecole in un gas siano libere di muoversi a loro piacimento e non vincolate da legami intermolecolari come nel caso di solidi e liquidi.
Viene quindi spontaneo pensare di poter analizzare il moto delle molecole (do-tate di una certa massa anche se limitata) attraverso le equazioni della meccanica classica Newtoniana.
Figura 2.1: Volume di controllo per gas
Tuttavia è noto [1] che una mole di un qualsiasi gas in condizioni standard è con-tenuto un numero di Avogadro (NAv = 6.022 · 1023) di particelle. Ciò renderebbe
impossibile in termini di risorse computazionali risolvere gli equilibri meccanici di tutte le molecole coinvolte; di conseguenza la teoria cinetica adotta un approccio di tipo statistico per risolvere questo problema, calcolando grandezze medie.
4 CAPITOLO 2. TERMODINAMICA É però necessario innanzitutto porre delle ipotesi che rendano valido inequivoca-bilmente le conclusioni ottenute dalla teoria cinetica:
1) Le molecole sono assimilabili a punti materiali di massa m.
2) Le molecole sono in numero su cientemente elevato da poter ritenere accet-tabile un'analisi di tipo statistico.
3) Le molecole si muovono in maniera casuale rispettando le leggi di Newton. 4) La distanza media tra le molecole è molto maggiore del loro diametro, quindi
il volume delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale occupato dal gas (gas rarefatto).
5) Si assumono nulle tutte le interazioni intermolecolari ad eccezione degli urti. 6) Gli urti delle molecole tra di esse e contro le pareti del contenitore sono
ipotizzati come elastici, quindi nell'urto si conserva l'energia cinetica.
7) Si trascurano gli eetti di tutte le forze di volume agenti sulle molecole come ad esempio la forza di gravità.
2.2 Pressione
Se una forza ~F agisce su una super cie S (de nita vettorialmente dal versore normale ~
n) allora si può de nire una grandezza chiamata pressione come:
P = ~ F ~n S = F cosα S = Fn S (2.1)
Figura 2.2: Schema della forza applicata alla super cie
Per quanto riguarda le applicazioni uidodinamiche che si vedranno nel cap.3 è interessante notare come, moltiplicando numeratore e denominatore dell' eq.2.1 per un generico spostamento d si avrà:
P = Fn S · d d = L ∆V (2.2)
2.3. TEMPERATURA 5 Il che permette di vedere la pressione come un'energia speci ca al volume, dove L è il lavoro esercitato per avere un aumento di volume di ∆V .
Microscopicamente la forza che genera la pressione sarà dovuta al fatto che le molecole del gas, libere di muoversi per le ipotesi fatte al cap.2.1, andranno ine-vitabilmente a urtare contro le pareti del recipiente che le contiene. Questo urto genererà una variazione della quantità di moto della particella, che a sua volta per il teorema dell'impulso darà origine alla forza a cui è dovuta la pressione.
2.3 Temperatura
Sperimentalmente si può facilmente notare come se si prendono due corpi aventi uno stato termico dierente e si pongono in contatto tra di loro, questi raggiungeranno dopo un certo tempo lo stato di equilibrio termico, ovvero avranno la stessa tem-peratura. Inoltre se si prendono questi corpi e li si pone in un sistema isolato così da impedire gli scambi di calore con l'esterno, essi manterranno la loro temperatura invariata.
Alla luce di ciò si può de nire la temperatura come quella grandezza sica che serve ad esprimere lo stato termico di un corpo.
Nel momento in cui, così come fatto per la pressione, si voglia andare a de nire il legame tra la temperatura e lo stato microscopico della sostanza che si sta analiz-zando, ci si può riferire alla Teoria di Joule-Clausius la quale arriva a concludere che, per una sostanza che rispetta le ipotesi espresse al capitolo 2.1, l'energia cine-tica associata al moto delle molecole nello spazio è direttamente proporzionale alla temperatura del corpo, secondo la legge:
N X i=1 1 2mV 2 i = 3 2kbT (2.3)
Con kb = NRAv Costante di Boltzman.
Di conseguenza è possibile ora andare a de nire l'energia interna U di un corpo come somma delle energie cinetica e potenziale associate alle molecole e al loro moto. In particolare per un gas perfetto si avrà che l'energia cinetica sarà rappresentata dal solo contributo traslazionale poiché composto da molecole puntuali, e l'energia potenziale sarà trascurabile poiché vengono trascurate per ipotesi tutte le interazioni tra molecole (ad eccezione degli urti). É così possibile concludere che per un gas perfetto l'energia interna sarà solo funzione della sua temperatura,quindi:
U = U (T ) = 3
2nRT (2.4)
Tutto ciò però non sarà valido per gas reali, in cui la complessità delle molecole comporta la caduta di molte delle ipotesi fatte in precedenza, richiedendo quindi
6 CAPITOLO 2. TERMODINAMICA
2.4 Eetto Gas Reale
Come gà accennato nel capitolo precedente, le considerazioni tratte dalla Teoria Cinetica dei gas valgono solo sotto certe ipotesi (cap 2.1), le quali portano anche a de nire il gas perfetto.
Figura 2.3: Diagramma di Andrews per un gas reale
Tuttavia queste ipotesi si possono ritenere valide solamente in pochi casi, infatti i gas tendono a comportarsi come perfetti solamente per temperature molto elevate, dove si possono considerare come inesistenti i legami intermolecolari e quindi arrivare alle condizioni descritte nel capitolo precedente. Per temperature intermedie, ma comunque superiori alla Temperatura Critica (Tc: temperatura al di sopra della
quale non è possibile liquefare il gas per alcun valore di pressione), invece ci si trova nella condizione di gas reale, per cui si sarà in presenza di forze molecolari le quali faranno sì che non si possano più considerare le molecole come punti materiali in grado di muoversi liberamente, ma saranno dei corpi complessi che interagiscono tra di loro. Tutto ciò porta a concludere che nel caso di gas reale non si possa più considerare l'energia interna U come composta dalla sola componente traslazionale dell'energia cinetica, ma si dovrà anche valutare l'in uenza dell'energia potenziale dovuta alle forze intermolecolari, quindi non sarà più U = U(T ) come nel caso di gas perfetto.
Alla luce di tutto ciò risulta evidente che nel momento in cui si decida di ana-lizzare un uido con caratteristiche di gas reale non sia più possibile studiare il suo comportamento sulla base delle stesse leggi utilizzate per il gas perfetto, quindi sarà necessario de nirne di nuove che tengano conto dei problemi riscontrati. Si andrà quindi ora a dare una panoramica delle equazioni di stato che sono state proposte per descrivere il comportamento dei gas reali.
2.5. EQUAZIONI DI STATO 7
2.5 Equazioni di stato
Le equazioni di stato hanno come scopo quello di de nire il legame che esiste tra le grandezze che esprimono lo stato termodinamico del sistema e dalle quali possono poi essere ricavate le grandezze derivate come le grandezze di ristagno.
La possibilità di avere una legge che descrive questo legame risulta fondamentale nello studio dei uidi, essa infatti permette di prevedere lo stato di un determi-nato uido anche in zone in cui non è possibile ricavare sperimentalmente i dati necessari. Tutto ciò diventa ancora più evidente nel momento in cui ci si approccia alla simulazione CFD, poiché senza la possibilità di conoscere come le grandezze termodinamiche sono legate tra di loro, risulterebbe impossibile modellare e quindi prevedere come un determinato uido si comporterà in determinate condizioni.
Ovviamente anche per quanto riguarda la de nizione dell'equazione di stato di un determinato gas, la dierenza tra gas perfetti e gas reali si rivela sostanziale.
2.5.1 Equazione di Stato del Gas Perfetto
Per un gas che obbedisce alle ipotesi fatte nel cap. 2.1 l'equazione di stato volume-trica assume una forma piuttosto semplice, infatti si avrà che pressione, volume e temperatura sono legati dalla legge:
pv = RT (2.5)
Dove R = <
M M con < = 8.314 J molK.
2.5.2 Equazioni di Stato dei Gas Reali
Da quanto visto nei capitoli precedenti si può dedurre che le grandi dierenze che portano un gas reale a discostarsi da un gas perfetto sono principalmente due:
1) Le molecole e gli atomi di un gas reale hanno un volume nito.
2) In un gas reale sono presenti forze di attrazione/repulsione tra le molecole. Entrambe queste problematiche nel caso di gas ideale possono essere trascurate, il che permette di scrivere un'equazione di stato in forma sempli cata come già visto nel capitolo precedente, ma allo stesso tempo richiedono un'analisi più approfondita nel momento in cui si decida di ricavare una legge anche per i gas reali.
Una possibile soluzione alla complessità del problema consiste de nire un nuovo coe ciente Z chiamato Fattore di Compressibilità:
Z = P v
RT =
vid
v (2.6)
Esso ha come scopo quello di misurare quanto il gas in esame si discosti in com-portamento volumetrico da quello di un gas ideale. Infatti si può notare come per Z=1 ci si riporti all'equazione di stato vista nel cap. 2.5.1, di conseguenza si può
8 CAPITOLO 2. TERMODINAMICA gas reale tanto più marcate quanto più grande sarà il suo scostamento dal valore unitario.
Così facendo è stato possibile sempli care il problema, infatti non sarà più ne-cessario de nire una nuova equazione di stato per i gas reali, ma sarà su ciente modellare opportunamente Z così da simulare correttamente il comportamento del gas in esame e mantenere invece la struttura già utilizzata per i gas perfetti. Tut-tavia si noti che per quanto riguarda i codici per la modellazione CFD la procedura utilizzata non è quella descritta poiché, come si vedrà più avanti, essi si servono di-rettamente dell'equazione di stato nella sua forma originale per la risoluzione, mentre lo Z viene calcolato in seguito.
2.6 Principio degli Stati Corrispondenti
Dalla g. 2.4 è semplice notare come, anche cambiando il gas in esame, si possa identi care un andamento ben preciso del valore di Z al variare della pressione, infatti generalmente si avrà che [2]:
· Se p → 0 allora Z → 1.
· Per p intermedie si avrà Z < 1, quindi saranno preponderanti le forze inter-molecolari di tipo attrattivo.
· Per p → ∞ allora Z > 1 il che signi ca che saranno preponderanti le forze di tipo repulsivo.
Figura 2.4: Coe ciente di compressibilità in funzione della pressione
Il ripetersi di questo andamento per tutti i gas, anche se con scale diverse, porta a dedurre che esso possa essere generalizzato per poter esprimere il comportamento in maniera approssimata di tutti i gas reali.
Van der Waals propose una possibile soluzione basandosi su un'analisi adimensio-nale delle curve prima descritte: ossia decise di studiare il comportamento del gas non più in funzione delle grandezze caratteristiche usuali, ma delle loro corrispondenti ridotte, ossia:
2.6. PRINCIPIO DEGLI STATI CORRISPONDENTI 9 · pr= ppc
· Tr = TTc
· vr = vvc
· ρr = ρρc
Dove pc, Tc, vce ρcrappresentano i valori di pressione, temperatura, volume speci co
e densità nel punto critico, e risultano quindi caratteristici del gas in esame.
Quindi secondo questo principio due o più sostanze si trovano in stati corrispon-denti nel momento in cui sono caratterizzate dagli stessi valori di grandezze ridotte, e in particolare si può osservare che molte sostanze obbediscono alla stessa equazione di stato se scritte in termini di grandezze ridotte. Infatti se si portano più sostanze nelle stesse condizioni ridotte e si analizzano i dati ottenuti si potrà osservare un andamento del coe ciente Z come quello rappresentato in g.2.5 in cui è evidente la tendenza dei vari gas a comportarsi secondo uno schema molto ben de nito, in cui il fattore di compressibilità assume valore minimo nei pressi delle condizioni critiche (Tr = pr = 1) e invece si porta verso un comportamento di gas ideale (Z = 1) man
mano che ci si allontana da questa condizione.
Figura 2.5: Coe ciente di compressibilità in funzione di pressione e temperatura ridotte.
Viene quindi spontaneo pensare di poter de nire un'equazione di stato in cui porre Z = f(pr, Tr) (Formulazione a due parametri) così da essere sicuri che valga
correttamente a prescindere dalla sostanza utilizzata. Eventualmente è possibile a nare ancora di più il modello introducendo anche l'eetto del fattore acentrico ω per tener conto del fatto che in realtà le molecole che compongono il gas non sono perfettamente sferiche come ipotizzato:
ω = −log psat
10 CAPITOLO 2. TERMODINAMICA il quale assumerà valore nullo nel caso di molecola a geometria sferica.
2.7 Equazione di Van der Waals
Van der Waals propose [3] di costruire una equazione di stato per i gas reali man-tenendo come base quella utilizzata per i gas ideali, semplicemente inserendo delle correzioni opportune per tener conto della dinamica intermolecolare che caratterizza un gas reale. Più precisamente egli introdusse due parametri a tal proposito:
· a: questo termine viene introdotto al ne di tener conto delle forze attrattive intermolecolari esercitate a medio raggio (semipiano negativo di g. 2.6). In generale infatti le molecole presentano una asimmetria di carica al loro inter-no (Es. molecola di acqua), quindi anche nel momento in cui esse inter-non sointer-no direttamente ionizzate risentiranno inevitabilmente della presenza delle vicine in termini di forze. In particolare le forze di tipo attrattivo avranno come eetto quello di diminuire l'intensità degli urti delle molecole contro le pare-ti del contenitore, e di conseguenza la pressione risulterà minore rispetto a quella esercitata da molecole svincolate tra di loro. Quindi occorrerà sottrarre al valore di pressione calcolato con il modello di gas perfetto un termine a
v2
chiamato pressione di coesione che corregga questo aspetto.
· b: questo termine tiene conto delle forze repulsive a corto raggio (semipiano positivo di g. 2.6). Infatti immaginando le molecole come delle sfere cariche si avrà che esse non potranno avvicinarsi no a toccarsi a causa delle forze repulsive che si creeranno nel momento in cui la distanza diminuisce. La presenza di queste forze comporterà l'esclusione di una porzione di volume disponibile al gas, quindi quando si tratta di gas reali non si avrà più vlibero= v
come per i gas ideali, ma vlibero = v − b , dove b viene chiamato covolume e
sta a rappresentare il fenomeno qui descritto.
Figura 2.6: Andamento delle forze intermolecolari al variare della distanza
2.7. EQUAZIONE DI VAN DER WAALS 11 Riordinando quindi l'equazione d stato dei gas perfetti e inserendo le correzioni citate si arriverà alla de nizione dell'equazione di Van der Waals per i gas reali:
p + a v2 (v − b) = RT (2.8) o in termini di Z Z = 1 + pb + a v 1 − b v (2.9) Tuttavia, come si può vedere dalle curve riportate in g.2.7a (in cui si ha un anda-mento anomalo nella zona bifase e un'isoterma anomala nella zona di gas reale) e g.2.7b (i valori teorici di Van der Waals non ricalcano perfettamente i dati speri-mentali) questa trattazione non risulta comunque abbastanza accurata nonostante le correzioni apportate. Questo poiché si considerano i coe cienti a e b come co-stanti dipendenti solamente dalla sostanza indagata. In realtà però si ha che le forze attrattive e repulsive che caratterizzano il modello sono funzione delle condizioni termodinamiche in cui si trova il gas in esame. Infatti al variare della pressione va-rieranno anche gli eetti dei fenomeni descritti precedentemente; quindi ad esempio per pressioni su cientemente basse si avrà che le molecole si troveranno a distanza tale da non risentire di forze intermolecolari (come si vede in g. 2.6) e quindi del-l'eetto della pressione di coesione e del covolume, dunque ci si riporterà al caso di gas ideale. Viceversa al crescere della pressione questi eetti risulteranno sempre più importanti, quindi sarà necessario inserire nel modello la dipendenza dei coe cienti a e b dalle grandezze termodinamiche.
(a) Isoterme di Van der Waals. (b) Z teorico Van der Waals.
12 CAPITOLO 2. TERMODINAMICA
2.8 Equazione di Redlich-Kwong e Soave
Come visto il modello di Van der Waals risulta ancora molto inaccurato nel momento in cui il uido si trova all'interno della campana o presenta forti eetti di gas reale. Di conseguenza si è palesata la necessità di a nare l'equazione approfondendo lo studio dei coe cienti che de niscono la pressione di coesione e il covolume.
Una soluzione è stata proposta da Otto Redlich e Joseph Kwong, i quali hanno deciso di introdurre due variazioni alla precedente equazione di Van der Waals.
La prima consiste in una modi ca alla de nizione della pressione di coesione, la quale non sarà più modellata come a
v2 quindi in funzione della sola distanza
tra le molecole ma attraverso una formula più complessa dipendente anche dalla temperatura e dal covolume, portando a de nire la nuova EOS:
p + a
T0.5v(v + b)
(v − b) = RT (2.10)
La seconda modi ca invece si applica direttamente al calcolo dei coe cienti a e b. Quindi si avrà:
· a = 0.427480R2Tc2.5
pc
· b = 0.086640RTc
pc
Quindi anche in questo caso si considerano i valori dei due fattori come funzione solamente della sostanza in esame e non dello stato termodinamico in cui essa si trova.
Nonostante ciò, l'introduzione della dipendenza dalla temperatura nel primo ter-mine migliora sensibilmente il comportamento dell'equazione, come si vede dalla g.2.8 in cui si nota un netto miglioramento rispetto al caso precedente di Van der Waals ma ancora delle imprecisioni in presenza di forti eetti di gas reale.
Figura 2.8: Z teorico Redlich-Kwong
A questo problema tentò di porre rimedio G. Soave [4] aggiungendo a quanto fatto da Redlich-Kwong la dipendenza della pressione di coesione dalla temperatura
2.9. EQUAZIONE DI PENG-ROBINSON 13 e dal fattore acentrico ω, arrivando così a scrivere:
p + αa v(v + b) (v − b) = RT (2.11) in cui: · α = [1 + (0.48508 + 1.55171ω − 0.15613ω2) (1 − T0.5 r )] 2 · a = 0.427480R2Tc2 pc · b = 0.08664RTc pc
2.9 Equazione di Peng-Robinson
Una valida alternativa all'equazione di Soave è rappresentata da quella proposta da D. Peng e D. Robinson [5], i quali decisero di mantenere l'idea di Soave di imporre la dipendenza del termine attrattivo dalla temperatura e dal fattore acentrico, ma modi care sia la formulazione della pressione di coesione sia i valori dei coe cienti utilizzati. Quindi l'equazione di stato diventerà:
p + αa
v2+ 2vb − b2
(v − b) = RT (2.12)
Mentre la formulazione di α, a e b viene modi cata in modo da avere: · α = [1 + (0.37464 + 1.54226ω − 0.26992ω2) (1 − T0.5 r )] 2 · a = 0.45724R2Tc2 pc · b = 0.0778RTc pc
Nonostante le dierenze tra i due modelli sono minime, risulta che la soluzione proposta da Peng-Robinson si rivela molto più accurata di quella di Soave quando ci si trova nei pressi del punto critico, il che la rende molto utilizzata in casi in cui ci si trova a dover modellare uidi sul punto della condensazione. Le dierenze invece si assottigliano molto no a diventare quasi nulle per il resto dei casi.
Alla luce di quanto visto no ad ora si è deciso per il caso che si andrà ad analizzare di utilizzare come equazione di stato per le simulazioni di gas reale quella proposta da Peng-Robinson. Si analizzerà dunque più avanti come questa viene implementata ed utilizzata all'interno dei vari software proposti.
14 CAPITOLO 2. TERMODINAMICA
2.10 Metodo LUT
Tutti i metodi proposti no ad ora hanno in comune l'utilizzo di una equazione di stato, più o meno accurata, per il calcolo delle grandezze termodinamiche necessarie alla simulazione CFD. Di conseguenza è inevitabile che più l'equazione di stato risulta complicata da risolvere più il suo peso all'interno del costo computazionale del calcolo sarà rilevante, il tutto senza trascurare i limiti di accuratezza associati a questo metodo risolutivo. Una valida alternativa a questa procedura è rappresentata dal metodo LUT (Look Up Table) [6].
Questo metodo risponde al problema di dover risolvere l'equazione di stato del gas in esame ad ogni iterazione. In sintesi questo metodo si compone di 3 passaggi: 1) Sfruttando le equazioni di stato già implementate all'interno dei programmi d modellazione termodinamica si costruisce una griglia di nodi ciascuno dei quali contenente i valori delle grandezze termodinamiche necessarie al calcolo (ad es. v, s, e, κ, µ) per una certa regione termodinamica di interesse.
2) I valori così trovati vengono salvati in tabelle che verranno poi interpellate dal software di volta in volta per trovare le grandezze necessarie.
3) Se il punto di cui sono necessarie le grandezze termodinamiche non corrisponde con un nodo della grigla viene utilizzato uno schema di interpolazione apposi-tamente scelto per poter ricavare i valori richiesti a partire da quelli dei nodi vicini.
Dall'analisi dei risultati ottenuti si nota che questo metodo risulta molto più e ciente in termini di costi computazionali rispetto al dover calcolare questi valori in ogni punto attraverso la risoluzione diretta dell'equazione di stato.
Tuttavia anche questo metodo presenta di coltà non indierenti. Innanzitut-to la de nizione della posizione dei punti termodinamici attraverso cui costruire la griglia non può essere casuale, così come non è possibile pensare di costruire una mesh troppo grande altrimenti si perderebbe il vantaggio computazionale ottenuto. Infatti si è veri cato che il tempo di calcolo cresce in maniera logaritmica all'aumen-tare del numero di nodi utilizzati. A tal proposito sono stati ideati vari metodi che sfruttano diverse grandezze termodinamiche come variabili indipendenti a seconda delle applicazioni. Se ne riportano a titolo di esempio alcuni casi:
Figura 2.9: Mesh termodinamiche costruite sul piano T − s utilizzando a)log(v) − s, b)log(T ) − s e c)log(v) − e come variabili indipendenti.
2.10. METODO LUT 15 Un altro punto delicato per l'applicazione di questo metodo inevitabilmente sarà lo schema di interpolazione scelto per trovare le grandezze termodinamiche nei punti della griglia non occupati dai nodi, per il quale si rimanda all'articolo precedente-mente citato.
Per quanto riguarda il lavoro qui descritto è bene sottolineare che questo modello per la trattazione dei gas reali è stato utilizzato solamente per quanto riguarda il software CFX, il quale consente di utilizzare look-up-tables costruite usando come variabili primitive pressione e temperatura. Tale scelta è problematica nel caso bifase (perché dà origine a indeterminazioni), tuttavia tale situazione non è di interesse per le comuni turbine ORC, ed in particolare per quelle di interesse per il presente lavoro.
Capitolo 3
Fluidodinamica
3.1 Approccio Lagrangiano ed Euleriano
Come visto nel capitolo precedente le variabili fondamentali necessarie per descrivere la condizione di un uido sono pressione, volume, densità e temperatura. A queste si possono poi aggiungere le variabili di tipo vettoriale (velocità, forze di volume, ecc..) e di tipo tensoriale (sforzi viscosi).
Rimane ora da legare tutte queste grandezze al moto del uido, e a questo proposito le strade che è possibile seguire sono due [7]:
a) APPROCCIO LAGRANGIANO: Consiste nel seguire in tutto il suo percorso ogni singola particella materiale. Così facendo si prenderà il tempo come unica variabile indipendente e tutte le altre grandezze e la posizione come variabili dipendenti (p(t),~V (t),P(t),ecc).
b) APPROCCIO EULERIANO: In questo caso si pone l'attenzione in un gene-rica posizione del dominio, e si osservano come le grandezze variano in quella posizione, senza preoccuparsi di si quale particella vi stia transitando in un determinato momento. Quindi la generica grandezza, ad esempio p, sarà fun-zione non solo del tempo, ma anche della posifun-zione che nella quale la si andrà a valutare, che a sua volta sarà funzione del tempo, quindi p=p(P(t),t). Nel caso poi in cui la grandezza non sia funzione del tempo ma solo della posizione allora si parlerà di moto stazionario.
Alla luce di tutto ciò è bene andare chiarire che per quanto riguarda la nostra trattazione, è usuale utilizzare l'approccio di tipo Euleriano, il che ci impone di de -nire la variazione nel tempo di una generica grandezza come data da due componenti: la variazione instazionaria e la variazione dovuta alla dipendenza dalla posizione (che a sua volta varia nel tempo). Si arriverà così a scrivere per una generica grandezza φ: Dφ Dt = ∂φ ∂t + 3 X k=1 ∂φ ∂xi ∂xi ∂t = ∂φ ∂t + ~V · ∇φ (3.1)
18 CAPITOLO 3. FLUIDODINAMICA
3.2 Equazioni di Conservazione
Al ne di poter risolvere un problema di tipo uidodinamico, i codici CFD (qualsiasi essi siano) si servono delle cosiddette Equazioni di Conservazione. Per arrivare a quest'ultime si sfrutta il fatto che alcune grandezze associabili ad un uido ed al suo moto (ad esempio la massa) si debbano inevitabilmente conservare nel corso del tempo a meno di interventi esterni (sorgenti o pozzi) così da poter scrivere delle formule che permettano di descrivere in maniera sica il comportamento di un usso che altrimenti non sarebbe possibile spiegare.
In particolare in uidodinamica si utilizza un set di equazioni standard che comprende [8]:
· Conservazione della Massa
· Conservazione della Quantità di moto · Conservazione dell'Energia
Queste equazioni, come si vedrà successivamente sono risolvibili in forma chiusa solamente nel caso di usso incomprimibile, in cui la soluzione del usso deriva dalla soluzione delle sole equazioni di conservazione della massa e della quantità di moto. Nel caso di uido comprimibile invece si avrà che le dissipazioni dovute agli sforzi viscosi andranno a legare tra di loro le equazioni attraverso la variazione della densità. Sarà quindi necessario chiudere il sistema formato dalle tre conservazioni aggiungendo una legge costitutiva (Equazione di stato) e una formulazione per la viscosità µ (Es. Sutherland), andando così a de nire il sistema delle Equazioni di Navier Stokes.
Volendo quindi de nire la variazione nel tempo di una generica grandezza φ speci ca al volume è necessario innanzitutto speci care che ci si pone in un sistema di riferimento di tipo Euleriano, si andrà dunque a de nire un volume di controllo (eventualmente anch'esso di dimensione variabile nel tempo con legge nota).
Figura 3.1: Volume di Controllo
É quindi chiaro che in questo volume una eventuale variazione di una grandezza può essere dovuta o ad un usso ( ~F ) di questa grandezza attraverso le pareti del dominio, oppure a delle sorgenti o pozzi che possono essere presenti all'interno del
3.2. EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE 19 volume (Qv) o sulla super cie di controllo ( ~Qs).
Si scriverà quindi che nel volume Ω: ∂ ∂t Z Ω φdΩ = − I S ~ F · d ~S + Z Ω QvdΩ + I S ~ Qs· d~S (3.2)
Attraverso il teorema di Gauss è poi possibile portare i due integrali di super cie presenti in integrali di volume e così poter giungere, dopo aver ipotizzato il volume come costante nel tempo, alla formulazione inde nita:
∂φ
∂t + ~∇ · ~F = Qv+ ~∇ · ~Qs (3.3)
Dove il vettore ~F può a sua volta andare a rappresentare in due tipi di usso che possono essere presenti o assenti a seconda della grandezza che si sta valutando:
· Flusso di tipo convettivo ~F = φ~V (Es. Trasporto di massa attraverso le pareti del volume di controllo)
· Flusso di tipo diusivo ~F = −k~∇φ (Es. Trasporto di energia dovuto a gradienti di temperatura)
Ora quindi si può analizzare come tutto ciò può essere applicato alle equazioni di conservazione citate precedentemente.
3.2.1 Conservazione della Massa
∂ρ∂t + ~∇ · (ρ~V ) = 0 (3.4)
In questo caso si può chiaramente notare come oltre al termine instazionario compaia solamente il termine di usso convettivo. Infatti è chiaro che è impossibile avere termini sorgente di massa o che essa possa comparire in un usso di tipo diusivo.
3.2.2 Conservazione della Quantità di Moto
∂(ρ~V )
∂t + ~∇ · (ρ~V ∗ ~V ) = ρ~g − ∇P + ~∇ · ¯τ¯ (3.5) A questa equazione vettoriale si può legare la legge di Newton [9] per i uidi viscosi in modo da de nire il tensore degli sforzi ¯¯τ rispetto al vettore velocità ~V .
¯ ¯
τ = 2µ ¯D −¯ 2
3µ∇( ~∇ · ~V ) (3.6)
Dove µ è la viscosità dinamica del uido e ¯¯Dè il tensore delle velocità di deformazione del uido dato da:
¯ ¯ D = 1
2(∇~V
T + ∇~V ) (3.7)
Arrivando così in ne a scrivere l'equazione di Navier Stokes: ∂(ρ~V )
20 CAPITOLO 3. FLUIDODINAMICA
3.2.3 Conservazione dell'Energia
∂(ρet) ∂t + ~∇ · (ρet ~ V ) = ρ~g ~V + ~∇ · (−P ~V ) + ~∇ · (¯τ ~¯V ) − ~∇ · q (3.9) Dove q è il termine sorgente di energia termica ed et è intesa come energia totale,quindi somma dell'energia interna e dell'energia cinetica del uido. Come si può vedere il lavoro di pulsione ha la stessa formulazione del usso convettivo, il che ci permette di sommarli per ottenere l'entalpia totale ht = et+ P ~V. Rielaborando
l'equazione si otterrà quindi: ∂(ρet) ∂t + ~∇ · (ρhtV ) = ρ~~ g ~V + ~V ~∇ · ¯τ + + k∇¯ 2T (3.10) Dove: · q = −k∇T · = ¯τ : ∇~¯ V
Con che viene chiamato Funzione di dissipazione ed esprime la conversione dell'e-nergia cinetica in termica a causa della diusione molecolare.
3.3 Turbolenza
Fino ad ora si sono scritte le equazioni conservazione ipotizzando che di ogni gran-dezza si conoscesse il valore esatto, o comunque lo si potesse conoscere in modo deter-ministico e univoco. Tuttavia la quasi totalità degli eventi di interesse ingegneristico e di quelli presenti in natura sono turbolenti.
Questo tipo di ussi però non permette di essere studiato in maniera analitica, a meno di pesanti analisi siche e dimensionali che non ha senso arontare nella maggior parte dei casi. Infatti andando ad osservare i ussi turbolenti [10] si possono individuare alcune caratteristiche fondamentali:
· Non-Linearità: La turbolenza ha origine dalla natura non lineare delle equa-zioni di Navier-Stokes (par. 3.1) e si innesca per valori su cientemente alti dei parametri caratteristici (es. numero di Reynolds).
· Diusività: A causa del moto del uido dato dalla turbolenza, i ussi turbolenti presentano una diusività di quantità di moto e calore decisamente maggiore rispetto ai ussi laminari.
· Vorticità: La turbolenza è caratterizzata dalla presenza di vortici, la cui gran-dezza può essere nell'ordine della scala del problema o in nitamente più pic-cola.Si può notare come i vortici più grandi presenteranno un basso valore di Reynolds Re = F orzeInerziali
F orzeV iscose , mentre i vortici più piccoli avranno un Re molto
basso. Quindi i vortici di dimensione maggiore saranno quelli a cui è associata la maggior parte dell'energia cinetica turbolenta.
3.4. MEDIA TEMPORALE DI REYNOLDS 21 · Dissipazione: I vortici più grandi trasferiscono energia a quelli più piccoli e così via nché si arriva a una grandezza tale per cui l'energia viene totalmente dissipata a causa della viscosità. (Cascata di Kolmogorov)
É quindi evidente che questo tipo di fenomeni non può essere trattato in forma analitica come si è fatto no ad ora, ma è necessario passare ad un approccio di tipo statistico.
In particolare è utile vedere una generica quantità (Es. velocità in g. 3.2) come somma di una componente media nel tempo e una uttuazione istantanea:
φ(~x, t) = ¯φ(~x, t) + φ0(~x, t) (3.11)
Figura 3.2: Andamento della velocità nel moto turbolento
Tuttavia anche proseguendo su questa strada, nel momento in cui si devono applicare queste scelte alle equazioni di conservazione viste precedentemente ci si scontra con la natura molto non-lineare di quest'ultime. Questo fa sì che sia molto di cile arontare il problema in modo diretto, ossia con approccio DNS, a causa degli elevatissimi costi computazionali.
3.4 Media temporale di Reynolds
Una possibile soluzione al problema degli alti costi computazionali è fornita dal meto-do RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) e consiste nel riscrivere le equazioni di conservazione inserendo al posto di ogni quantità presente la relativa scomposizione in parte media e uttuante, e valutarne in ne la media temporale:
¯ φ(x) = 1 4T Z t+4T2 t−4T2 φ(~x, t)dt (3.12)
Così facendo è possibile eliminare in alcuni casi i termini uttuanti, di cili da va-lutare. Infatti si avrà ¯φ0 = 0 ma allo stesso tempo si avranno dei problemi nel
22 CAPITOLO 3. FLUIDODINAMICA · Conservazione della Massa: Si otterrà che la sua espressione per valori medi, ipotizzando usso a proprietà costanti, resterà formalmente identica a quella valutata per valori istantanei, quindi:
∂ρ
∂t + ~∇ · (ρ~¯V ) = 0 (3.13)
· Conservazione della Quantità di Moto: In questo caso, come si può vedere nell'eq. 3.8 si sarà in presenza di un termine di usso convettivo che introduce una non linearità nell'equazione, infatti si avrà:
∂(ρ~¯V ) ∂t + ~∇ ·
ρ(~¯V + ~v) ∗ (~¯V + ~v)= ρ~g − ∇ ¯P + µ∇2V +~¯ 1
3µ∇(∇ · ~¯V ) (3.14) Dove ~∇ ·ρ(~¯V + ~v) ∗ (~¯V + ~v) può essere svolto come un vettore 3x1:
∂
∂x(ρ(U + u)2+ ρ(U + u)(V + v) + ρ(U + u)(W + w)) ∂
∂y(ρ(U + u)(V + v)
2+ ρ(V + v)2+ ρ(V + v)(W + w)) ∂ ∂z(ρ(U + u)(W + w) + ρ(W + w)(V + v) + ρ(W + w)2) (3.15)
Dopo aver svolto i quadrati e risolto qualche passaggio algebrico è possibile ricondurre il tutto ad una scrittura come questa:
∇ · (ρ~¯V ∗ ~¯V ) + ∇ · (ρ~v ∗ ~v) (3.16) Di cui il primo termine non comporta alcun tipo di problema, mentre quello composto dai termini uttuanti, che in questo caso non può essere sempli cato in alcun modo, sarà modellato come segue:
~ ∇ · (ρ~v ∗ ~v) = − ~∇ · ¯¯r = ∇ · −ρ u2 uv uw uv v2 vw uw vw w2 (3.17)
Il quale portato a destra dell'uguale può essere visto come un termine sorgente negativo, quindi come uno sforzo aggiunto a quello viscoso già insito nel pro-blema.Questo è chiamato sforzo di Reynolds ed è rappresentato di un tensore ¯
¯
r simmetrico di cui è interessante osservare che:
tr(¯¯r) = −ρ( ¯u2+ ¯v2+ ¯w2) = −2ρκ (3.18)
Con κ = EnergiaCineticaT urbolenta
Questo sforzo che ha origine dalla turbolenza andrà quindi ad aggiungersi al termine diusivo dovuto alla viscosità molecolare, il che porta a concludere che la turbolenza, dal punto di vista della conservazione della quantità di moto, si comporterà come una viscosità aggiuntiva che aumenta la diusività dei ussi turbolenti rispetto a quelli laminari.
3.5. IPOTESI DI BOUSSINESQ 23 · Conservazione dell'Energia: Per l'energia vale un discorso simile a quello fatto per la quantità di moto. Infatti se si va a scrivere la conservazione della componente termica dell'energia (ottennuta sottraendo alla conservazione del-l'energia totale i termini relativi aldel-l'energia meccanica, ricavati dall'equazione della quantità di moto moltiplicata scalarmente per ~V ) si avrà:
∂ρe
∂t + ~∇ · (ρe~V ) = −P ~∇ · ~V + + k∇
2T (3.19)
Si nota come anche in questo caso, sotto ipotesi di usso a quantità costanti, si avrà una non linearità dovuta al termine di usso convettivo. Scrivendo l'e-nergia speci ca in funzione della temperatura e = cxT e sviluppando i calcoli
come per l'equazione di conservazione della quantità di moto è possibile iso-lare anche in questo caso un termine di usso da portare a destra dell'uguale dipendente dalle uttuazioni turbolente di velocità e temperatura chiamato usso termico turbolento:
~
∇ · (ρcT0~v) (3.20)
Anche on questo caso si può vedere come la turbolenza in uisca sulle carat-teristiche siche del usso, aumentando la diusività termica rispetto al caso laminare.
3.5 Ipotesi di Boussinesq
L'introduzione della modellazione RANS porta quindi a individuare come la turbo-lenza agisca sulla sica del uido in movimento. Tutto ciò porta però a una nuova problematica, ovvero modellare i due termini aggiuntivi che sono stati de niti nel capitolo precedente, poiché nella loro forma originale non sono valutabili in quanto formati da componenti uttuanti, quindi non semplicemente misurabili. In rispo-sta a questo problema Joseph-Boussinesq (1842-1929) propose di modellizzare i due termini come:
¯ ¯
r = −ρ2
3κ + ¯¯a (3.21)
Dove ¯¯a = −2µTD¯¯¯ rappresenta la componente deviatorica del tensore ¯¯r e viene posta
proporzionale al tensore medio delle velocità di deformazione. Per quanto riguarda l'equazione dell'energia invece si avrà.
−ρcT0~v = k
T∇T (3.22)
Così facendo, reinserendo i termini così trovati nelle relative equazioni di conserva-zione, essi andranno eettivamente a sommarsi con i termini diusivi già presenti e si otterrà l'aumento di diusività sia molecolare che termica di cui si parlava nel capitolo precedente. In conclusione si potranno quindi riscrivere le conservazioni di quantità di moto ed energia:
∂ ~¯V
24 CAPITOLO 3. FLUIDODINAMICA ∂ ¯T ∂t + ~∇ · ( ¯T ~¯V ) = ¯ cρ + k + kT cρ ∇ 2T¯ (3.24)
Viscosità e diusività turbolente sono legate tra loro dal numero adimensionale di Prandtl turbolento, de nito come:
P rt= C ·
µt
kt
(3.25) Risulta così evidente che per poter de nire correttamente l'in uenza della turbolenza sul usso sarà necessario conoscere i valori di µT(viscosità turbolenta) e kT(diusività
termica turbolenta), i quali saranno oggetto di studio nel capitolo dedicato alla modellazione della turbolenza nel codici CFD.
3.6 Teoria del Boundary Layer
Le macchine a uido come quella analizzata nel corso di questo lavoro sono caratte-rizzate da ussi interni, ovvero il uido in moto non è libero di muoversi liberamente ma rimane con nato all'interno di super ci materiali, come possono essere le pa-le dell'ugello convergente-divergente nel nostro caso. Questa limitazione in uisce inevitabilmente sulla sica del boundary layer generato dal usso, il quale giocherà un inevitabilmente un ruolo di primaria importanza sull'e cienza di questo tipo di macchine.
Andando ancora più nello speci co è possibile notare che la turbolenza risulterà fondamentale nella de nizione di questo comportamento. Infatti la diusività ag-giunta dal moto turbolento in uenzerà i pro li di velocità all'interno del boundary layer ( g. 3.3b) e di conseguenza le perdite da esso generate. Infatti prendendo come esempio un canale come quello in g. 3.3a in modo da avere un usso unidirezionale e con un forte gradiente di velocità in una sola direzione si avrà:
Figura 3.3: Schema esempli cativo per il boundary layer turbolento.
In cui è evidente la dierenza dei pro li di velocità generati da un usso laminare (linea continua) e da uno turbolento (linea tratteggiata).
L'esperienza mostra che i boundary layer turbolenti di ussi con nati all'interno di pareti siche hanno un comportamento pressoché universale per quanto riguarda il pro lo di velocità, il quale verrà appunto chiamato pro lo universale.
Al ne di trovare questo andamento viene applicata al caso in g 3.3 l'equazione di conservazione della quantità di moto per ussi turbolenti (3.23) proiettata in
3.6. TEORIA DEL BOUNDARY LAYER 25 direzione streamwise e ipotizzando il usso stazionario e bidimensionale:
U∂U ∂x + V ∂V ∂y = − 1 ρ ∂ ¯P ∂x + µ + µT ρ ∂2U ∂y2 (3.26)
In cui il gradiente di pressione è dato semplicemente dalla componente in direzione x (che dipenderà esclusivamente dal usso esterno allo strato limite) poiché il boundary layer può considerarsi isobaro in direzione normale alla super cie.
Vicino alla parete il vincolo di aderenza ci permette di imporre U = V ≈ 0, quindi in quella zona i termini inerziali possono essere sempli cati. Considerando nullo il gradiente di pressione ( at-plate) e introducendo la lunghezza di miscelamento nella de nizione di µT è possibile scrivere:
µ + µT ρ ∂2U ∂y2 = 0 → µ + µT ρ ∂U ∂y = cost → µ ρ + l 2 T ∂U ∂y ∂U ∂y = cost = τW (3.27) Dove τW rappresenta lo sforzo viscoso a parete e come si può vedere è composto da
una parte laminare e una parte associata al usso turbolento.
Per capire se il pro lo di velocità che si otterrà sia veramente generale una so-luzione possibile è quella di adimensionalizzare l'equazione di conservazione della quantità di moto utilizzata prima. A tale scopo vengono introdotti due coe cienti dimensionali:
· Friction velocity: Uτ =
q
τW
ρ
· Viscous lengthscale: δv = ρUµτ
Ora è quindi possibile adimensionalizzare i termini dell'eq. 3.27 e in particolare: y+= y δv ; U+ = U Uτ → 1 + l+T2∂U + ∂y+ ∂U+ ∂y+ = 1 (3.28)
Inoltre, introducendo l'ipotesi che vicino alla parete la lunghezza scala turbolenta sia proporzionale alla distanza dalla parete stessa, si avrà:
lT = ky → l+T = ky + → 1 + k2y+2∂U + ∂y+ ∂U+ ∂y+ = 1 (3.29)
Portandosi estremamente vicino alla parete in ne, all'interno del substrato vi-scoso, la diusione di tipo molecolare è talmente elevata da poter trascurare quella legata alla turbolenza e gli sforzi di Reynolds possono essere trascurati:
1 + k2y+2∂U + ∂y+ ∂U+ ∂y+ = 1 ∼= ∂U+ ∂y+ = 1 → U + = y+ (3.30)
Il che porta a concludere che nel substrato laminare la velocità adimensionalizzata cresce linearmente con la distanza dalla parete adimensionalizzata.
Portandosi invece lontano dalla parete gli sforzi turbolenti di Reynolds saranno prevalenti su quelli di tipo viscoso, quindi:
1 + k2y+2∂U + ∂y+ ∂U+ ∂y+ ∼= k 2y+2 ∂U+ ∂y+ 2 = 1 → ∂U + ∂y+ = 1 ky → U + = 1 klny ++ C
26 CAPITOLO 3. FLUIDODINAMICA Quindi al di fuori del substrato viscoso la velocità adimensionalizzata sarà propor-zionale al logaritmo della distanza della parete adimensionalizzata.
Questa legge di tipo logaritmico ricalca in maniera particolarmente accurata i ri-sultati delle prove sperimentali fatte nelle condizioni ipotizzate in questa trattazione ( uido incomprimibile e gradiente di pressione nullo lungo la direzione streamwise), il che porta a concludere che possa essere generalizzato a qualunque caso che rispec-chi queste caratteristiche. I coe cienti k e C possono essere considerati ripetibili per la maggior parte dei ussi, nonostante in realtà risultano essere dipendenti dal gradiente di pressione, quindi in realtà questa legge non è del tutto generale.
Riassumendo si è arrivati alla conclusione che, una volta adimensionalizzate tutte le variabili in gioco, il pro lo di velocità all'interno dello strato limite può essere considerato come funzione della sola distanza dalla parete, e in particolare si avrà:
· y+ < 5 ÷ 10: Andamento di tipo lineare (Substrato viscoso).
· 30 < y+< 3000: Andamento di tipo logaritmico.
· 10 < y+ < 30: Buer layer (I termini di diusione molecolare e turbolenta
rimangono comparabili).
Figura 3.4: Andamento del pro lo universale di velocità.
NB: Per casi che non rispettano le ipotesi per cui questo andamento è stato trovato, come il caso proposto in questo lavoro, questa legge viene comunque ritenuta valida, seppur con l'introduzione di coe cienti correttivi per adeguarla alle condizioni di applicazione.
Capitolo 4
Introduzione alla CFD
4.1 Metodo dei Volumi Finiti
L'approccio della CFD (Computational Fluid Dynamics) alla modellazione dei ussi si basa sul metodo di discretizzazione ai volumi niti, del quale si è deciso di dare una breve introduzione in questo capitolo, insieme ad altre nozioni fondamentali per la comprensione dello stesso, come i metodi di interpolazione e la loro accuratezza.
Come già visto approfonditamente nel capitolo 3 l'equazione completa che de-scrive la conservazione di una generica quantità scalare ϕ tiene conto di diversi contributi e si può generalmente scrivere nella forma seguente:
d dt Z Ωf ϕdΩ + Z Ωf ∇ ~F dΩ = Z Ωf ~ QvdΩ + I Sf ~ QSdS (4.1)
Nella quale il dominio di integrazione Ωf rappresenta il volume di controllo e può
essere ssato arbitrariamente poiché questa equazione risulta valida a prescindere dal volume di integrazione scelto. Come già detto, nel nostro caso si seguirà l'approccio di tipo Euleriano, il che prevede di considerare il volume Ωf come sso nello spazio
e nel tempo. É bene poi ricordare come il termine ∇ ~F sia in realtà scindibile in due tipi di usso, quello convettivo e quello diusivo, che risulteranno fondamentali nella scelta del metodo di interpolazione alla pari dei termini di origine turbolenta. I metodi di discretizzazioni impiegati nella CFD sono solitamente due[11]: quello alle dierenze nite e quello ai volumi niti. Il primo dei due viene utilizzato soprat-tutto nelle analisi DNS (direct numerical simulation), le quali non richiedono modelli aggiuntivi ma risolvono in maniera diretta le equazioni di Navier-Stokes. Per questo motivo la discretizzazione spaziale deve essere tale da rappresentare correttamente anche i fenomeni alle scale più piccole, rendendo necessario l'impiego di griglie molto tte ed esigendo di conseguenza una potenza di calcolo molto elevata.
In questo senso la scelta di un metodo di discretizzazione ai volumi niti permette di ridurre notevolmente l'onere computazionale. Esso difatti, utilizzando mesh di tipo strutturato, ha il vantaggio di garantire un'elaborazione più snella e, tuttavia, il difetto di descrivere con precisione solo geometrie su cientemente semplici.
I calcoli di tipo RANS utilizzano le equazioni di Navier-Stokes mediate nel tempo (Cap. 3.4) e permettono di ottenere tempi di calcolo di qualche ordine di grandez-za inferiori rispetto alla DNS. Per questa ragione, mentre quest'ultima è impiegata
28 CAPITOLO 4. INTRODUZIONE ALLA CFD solamente ai ni della ricerca scienti ca, il metodo RANS è di gran lunga preferito nel settore industriale. A fronte di questo vantaggio è possibile adottare schemi nu-merici che utilizzino la discretizzazione ai volumi niti, i quali orono una maggiore versatilità nel modellare le geometrie.
In un metodo ai volumi niti, il dominio viene discretizzato utilizzando volumetti delimitati da un numero arbitrario di facce piane, ad ognuna delle quali è associato un centroide, mentre il baricentro della cella è il punto nel quale sono de nite le varie grandezze termodinamiche associate all'intero volume.
Figura 4.1: Generica cella di baricentro P e centroide di faccia f.
Dove la posizione del baricentro è de nita attraverso l'equazione: Z
Ω
(~x − ~xP)dΩ = 0 (4.2)
Si ipotizzi di assumere in ciascuna cella variazione lineare delle grandezze a partire dal valore nel centroide. Così facendo, a causa della de nizione stessa di baricentro, si può dimostrare che, pur limitandosi ad attribuire all'intero volume contenuto nell'elemento nito il valore del centroide (regola del punto medio), l'accuratezza del metodo rimane del secondo ordine. Tale procedura è mostrata di seguito:
ϕ = ϕP + (~x − ~xP) · ( ~∇ϕ)P + O((~x − ~xP)2) (4.3)
Di conseguenza andando a integrare si avrà: Z Ωf ϕdΩ = Z Ωf ϕPdΩ +
N ullo per eq. 4.2
z }| { Z Ωf (~x − ~xP)dΩ · ~∇ϕ + Z Ωf O |(~x − ~xP)|2 dΩ · ~∇ ~∇ϕ = ϕPΩf + O|(∆x)|2 (4.4)
4.1. METODO DEI VOLUMI FINITI 29 Lo stesso procedimento si può applicare ad ogni singola faccia: se si suppone che all'interno di essa ogni grandezza vari linearmente a partire dal valore associato al baricentro, è possibile dimostrare che l'accuratezza del metodo si mantiene del secondo ordine pur estendendo il valore del baricentro a tutta la super cie.
ϕ = ϕf + (~x − ~xf) · ( ~∇ϕ)f + O((~x − ~xf)2) (4.5)
Di conseguenza andando a integrare si avrà: Z S ϕdΩ = Z S ϕfdS +
N ullo per eq. 4.2
z }| { Z S (~x − ~xf)dS · ~∇ϕf+ Z S O |(~x − ~xf)|2 dS · ~∇ ~∇ϕf = ϕS + O|(∆x)|2 (4.6)
Consideriamo per la grandezza ϕ un approccio di tipo co-located, per cui il valore che assumerà questa quantità all'interno della cella dipenderà da ϕP, ossia dal valore
posseduto nel baricentro del volume.
La regola del punto medio quindi permette di ottenere un'accuratezza del secondo ordine, tuttavia, poiché all'interno dell'equazione 2.38 compare ϕf (valore posseduto
da ϕ nel centroide della rispettiva faccia), l'ordine nale dipenderà dal criterio scelto per l'interpolazione di questo punto.
Di seguito si andrà ad analizzare l'eetto di questa approssimazione nella mo-dellazione dei termini di usso convettivo e diusivo che compaiono nella generica equazione di conservazione 4.1.
4.1.1 Discretizzazione del termine convettivo
La discretizzazione del termine convettivo [12] è ottenuta passando dal'integrale di volume a quello di super cie sfruttando il teorema di Gauss, e poi procedendo nella approssimazione come di seguito:
Z Ωf ~ ∇ ·ρ ~U ϕ dΩ = I S (ρ ~U ϕ)d ~S =X f ~ S ·ρ ~U ϕ =X f (SρUn)fϕf =X f Ffϕf (4.7)
Dove Ff sta a rappresentare il valore del usso volumetrico attraverso la faccia di
centroide F. Di conseguenza, considerando come unica incognita ϕf risulta chiaro
co-me l'accuratezza del'approssimazione dipenderà dalla scelta del criterio di previsione dello stesso.
