Schemi numerici in CFX

4.4 Schemi numerici in CFX

Anche per quanto riguarda il codice CFX ovviamente il discorso riguardante i me- todi di discretizzazione non cambia. In particolare per quanto riguarda l'approssi- mazione di ussi convettivi e diusivi il procedimento sarà identico a quello usato in openFoam (metodo di Gauss ecc..), quindi anche in questo caso sarà necessaria un'approssimazione numerica per il calcolo delle derivate da inserire per la risolu- zione delle equazioni di conservazione. A tal proposito, facendo riferimento ad un problema 1D schematizzabile come quello in g 4.9, i metodi disponibili in CFX per la discretizzazione spaziale sono [15]:

· Upwind: Schema numerico del prim'ordine che lega il valore dell'approssima- zione in un nodo a quello del nodo a lui precedente seguendo la direzione del usso.

ϕP = ϕW (4.23)

· High-Resolution: Anamento del metodo upwind con l'aggiunta di un cor- rettore anti-diusivo direttamente proporzionale al gradiente della soluzione locale ∇ϕ :

ϕP = ϕW + ζ∇ϕW · rW P (4.24)

Dove rW P rappresenta la distanza tra i centri delle celle di interesse. Grazie

all'informazione dovuta alla correzione del gradiente questo metodo assume un'accuratezza del secondo ordine. Il software lascia all'utilizzatore la possi- bilità di impostare manualmente il valore di ζ, ma in questo caso si è deciso di lasciare la scelta al codice. In questo modo si avrà che, dove la soluzione è poco variante, si manterrà ζ ≈ 1 in modo da utilizzare uno schema del se- cond'ordine; nelle zone caratterizzate da un forte gradiente della soluzione si tenderà ad annullare il valore di questo coeciente in modo da spostarsi verso un'approssimazione upwind e favorire così la convergenza dei calcoli.

· Dierenze Finite Centrate: Schema del second'ordine che ricava il valore della grandezza in una celle a partire da quello delle celle vicine:

ϕP =

1

2(ϕW + ϕE) + 1

2(∇ϕW · rW P + ∇ϕE · rP E) (4.25)

40 CAPITOLO 4. INTRODUZIONE ALLA CFD

4.5 Modelli di turbolenza

Come visto nel cap. 3, al ne di esprimere correttamente l'eetto della turbolenza sul moto del usso è necessario trovare un modo per modellare i due termini uscenti dalle ipotesi di Boussinesq applicate alle equazioni RANS, ovvero:

· µT: Viscosità Turbolenta

· kt: Diusività termica turbolenta

Inizialmente lo studio si è concentrato sulla modellazione di µT poiché conoscendo

questa, attraverso il numero di Prandtl, è possibile conoscere anche il valore di kt.

Considerazioni dimensionali mostrano come tale termine sia proporzionale al prodotto tra una lunghezza caratteristica turbolenta ed una velocità turbolenta, come espresso di seguito:

µT ∝ ut· lT (4.26)

Un primo tentativo di modellare questi termini fu proposto da Taylor e Prandtl, i quali introdussero il concetto di lunghezza di miscelamento. Nella fattispecie, ap- poggiandosi ad un caso monodimensionale, essi aermarono che la dimensione dei vortici turbolenti potesse essere legata al gradiente del prolo di velocità in prossi- mità del quale venivano a trovarsi; non solo, secondo loro lo stesso prolo di velocità avrebbe risentito in qualche misura dell'inuenza della dimensione dei vortici turbo- lenti. Si segua per chiarezza lo schema seguente: La proposta di Taylor e Prandtl

Figura 4.10: Prolo di velocità 1D in prossimità di una lastra piana.

fu quella di ipotizzare la uttuazione di velocità causata dalla presenza del vortice come proporzionale alla dimensione stessa del vortice e di δU

δy, quindi, considerando

un usso 1D si avrà:

µT ∝ ut· lT ∝ lT2

δU

4.5. MODELLI DI TURBOLENZA 41 In questo modo il problema di trovare il valore di µT è stato vincolato alla necessità

di trovare un modello per lT. In questo senso furono proposte molte soluzioni (es.

modello di Von Direst e Prandtl), ma in questo lavoro ci si è focalizzati sull'utiliz- zo di modelli più sosticati, quindi si passa ora a dare una panoramica sulla loro implementazione e funzionamento.

4.5.1 Modello Spalart-Allmaras

Facendo un passo indietro, questo modello propone di valutare il valore della visco- sità turbolenta non passando attraverso il calcolo della lunghezza di miscelamento come proposto da Prandtl e taylor, ma risolvendo direttamente una equazione di conservazione di µT:

ρδµT

δt + ρ~¯V · ∇µT = ∇ · (µT∇µT) + S (4.28) Dove S rappresenta un termine sorgente funzione da viscosità molecolare, vorticità media e distanza dalla parete. Nonostante non abbia un forte signicato sico, questo modello dà ottimi risultati sia in regime transonico che supersonico, con sforzi computazionali ridotti poiché è basato su una sola equazione. Tuttavia si dimostra debole per ussi separati o sottoposti a gradienti di pressione avversi.

4.5.2 Modello κ − ε

Questo modello è il primo proposto a servirsi di due equazioni di conservazione. Esso prende spunto dal lavoro di Prandtl, il quale propose di scrivere la velocità turbolenta come funzione dell'energia cinetica turbolenta già introdotta nel cap. 3.4:

ut∝

√

κ (4.29)

In aggiunta a ciò questo modello risolve il problema legato alla determinazione di lT aermando che esso è proporzionale al rapporto tra l'energia cinetica turbolenta

stessa ed il tasso di dissipazione ε, come espresso nella formula seguente: lT ∝

√ κκ

ε (4.30)

Così facendo si sposta il problema dal calcolo di ut e lT a quello di κ e ε. A questo

proposito il modello κ − ε propone un'equazione di conservazione per ognuna delle due variabili.

Per quanto riguarda l'energia cinetica turbolenta ci si serve dell'equazione già implementata da Prandtl per i modelli di turbolenza ad un'equazione, mentre per la funzione di dissipazione è stato necessario introdurne una ad hoc:

ρδκ δt + ρ~¯V · ∇κ = ¯r : ∇~¯¯ V − CDρ κ32 lT + ∇ ·  µ + µT σk  ∇κ  (4.31) δε + ~¯V · ∇ε = C εr : ∇~¯¯¯ V − C ε 2 + ∇ · µT ∇ε  (4.32)

42 CAPITOLO 4. INTRODUZIONE ALLA CFD

Coecienti κ Coecienti ε

σκ ∼= 1 Cε1 = 1.44

CD ∼= 0.07 − 0.09 Cε2 = 1.92

σε= 1.3

Tabella 4.5: Tabella dei coecienti per il modello κ − ε

Dove il valore di lT viene trovato sfruttando la relazione di Von Direst, mentre ai

coecienti vengono assegnati i seguenti valori: Così facendo quindi sarà possibile, a fronte di un onere computazionale maggiore rispetto a quello dei modelli preceden- temente menzionati, trovare il valore desiderato della viscosità turbolenta, poiché ricollegando tutto ciò detto no ad ora si arriva a scrivere:

µT = Cµρ

κ2

 (4.33)

Questo modello si comporta in maniera egregia in presenza di proli isolati e per i free-stream, tuttavia esso presenta un punto di singolarità per il usso a parete, infatti in quei punti κ → 0, il che comporta che il termine ∼ ε2

κ dell'eq. 4.32 tenda

a innito.

Per risolvere questo problema è necessario servirsi delle funzioni di parete, ovvero sfruttare l'andamento del prolo universale nello strato limite per prevedere il com- portamento del uido alla parete. Per far ciò in maniera corretta è necessario però che il valore di y+ _{alla parete sia compreso tra 50 e 500, quindi occorrerà prestare}

molta attenzione al momento della costruzione della mesh come si vedrà in seguito.

4.5.3 Modello κ − ω

Questo modello nasce come alternativa a quello visto nel paragrafo precedente, e anch'esso si basa su due equazioni di conservazioni. In questo caso però aancata alla conservazione dell'energia cinetica turbolenta si trova quella della quantità ω chiamata frequenza turbolenta:

ω = ε

κ (4.34)

La cui conservazione vene scritta come di seguito: δω δt + ~¯V · ∇ω = Cω1 ω κ : ∇~¯V − Cω2ω 2_{+ ∇ ·} µT ρσω ∇ω  (4.35) Anche in questo caso ci si servirà del modello di Von Direst per la chiusura del- l'equazione di conservazione della κ, e inne sarà possibile calcolare il valore della viscosità turbolenta secondo la legge:

µT = Cµρ

κ

ω (4.36)

Come si vede in questo caso non si avrà più la presenza di κ al denominatore del termine di secondo grado, il che permette a questo metodo di essere ben denito

4.5. MODELLI DI TURBOLENZA 43 alla parete e non aver bisogno dell'utilizzo del prolo universale. Tuttavia anche in questo caso si avranno delle limitazioni, infatti questo modello si presenta abbastanza carente nella simulazione dei free-stream e inoltre per avere una buona risoluzione del boundary layer sarà necessario avere un y+ _{= 1 alla parete.}

4.5.4 Modello κ − ω SST

Questo modello, proposto da Menter [16] nel 1994, ha come scopo quello di unire i vantaggi rispettivi dei modelli κ − ε e κ − ω in un'unica soluzione.

In sostanza esso si serve di un fattore di combinazione che nel momento in cui assume valore 0 fa in modo che il metodo si comporti come un κ − ω, viceversa si sposta su un κ − ε man mano che si avvicina a 1.

Questo fattore è stato impostato in modo da aver valore nullo alla parete e spostarsi verso valore unitario man mano che ci si allontana da essa. Così facendo è possibile combinare i vantaggi dei due metodi già descritti in precedenza senza doverne sorire gli svantaggi.

Capitolo 5

Mesh

Con questo capitolo inizia la presentazione del lavoro di tesi vero e proprio. Si andranno ora a illustrare tutti i passaggi e le considerazioni necessarie prima di poter eettivamente dare inizio alla simulazioni e quindi analizzare i risultati ottenuti. Innanzitutto verrà presentata la procedura seguita per la denizione della mesh per proseguire poi con le scelte fatte per il solutore, i metodi di turbolenza e gli schemi numerici.

5.1 Geometria della pala

La geometria della pala proviene da un lavoro precedente [17] interno al Dipartimento di Energia del Politecnico di Milano in relazione all'ottimizzazione del prolo di uno stadio statorico di turbina operante in regime supersonico ed a tal proposito si può vedere n g. 5.2 come la geometria presenti una chiara forma di ugello convergente-divergente.

Il lavoro è stato svolto principalmente sulla pala ottenuta dalla prima ottimiz- zazione, la cui geometria è stata fornita attraverso un le .txt contenente i punti in coordinate planari.

46 CAPITOLO 5. MESH In seguito è stato necessario processare il le .txt con il software Inventor. In partico- lare si è caricata la lista dei punti assegnata nel programma e attraverso la funzione spline dello stesso si è costruita la linea chiusa necessaria per costruire tramite estru- sione la geometria 3D della pala. Inne si è generata un'ulteriore pala replicando la prima in direzione x con passo di 45.24mm così da avere disponibile il canale completo dell'ugello diusore riportato in g. 5.2. Il tutto è stato poi salvato in formato .stl così da poter essere utilizzato come riferimento per la costruzione della mesh.

Figura 5.2: Geometria 3D del canale denito dalla Pala 1

Dopo aver concluso il lavoro con la Pala 1 si è deciso di analizzare i risultati ottenuti anche utilizzando un nuovo prolo ottenuto ottimizzando la stessa pala con dei pa- rametri dierenti per vericare che la simulazione funzionasse correttamente anche in condizioni diverse da quelle per cui era stata implementata. Così si è seguita la stessa procedura anche per quanto riguarda quella che chiameremo Pala Opt.

Figura 5.3: Prolo Pala Opt.

5.2. MESH OPENFOAM 47