Perdita di pressione totale mediata sulla portata

Come prima stima della perdita di pressione totale si è scelto di fare una media pesata in base alla portata transitante.

Infatti come si vede in g. 7.5 la caduta di pressione di maggiore intensità la si ha in corrispondenza della scia delle pale poiché è causata dallo strato limite generatosi su di esse. Tuttavia però in quella zona la portata di uido è limitata, quindi di conseguenza anche la sua inuenza sulle perdite totali non può essere valutata solo sul suo valore locale.

In conclusione il procedimento utilizzato per il calcolo delle perdite in questo caso sarà:

1) Calcolo del coeciente di perdita di pressione totale in ogni punto del dominio secondo l'equazione:

y = pT 1− pT 2 pT 1− p2

(7.2) A proposito di questa denizione si noti che con l'utilizzo di pT 1 al denomina-

tore la perdita di pressione totale è calcolata in riferimento all'energia ideale estraibile dall'espansione attraverso il canale.

2) Estrazione dei valori così calcolati lungo una linea posta a 0.5 corde assiali a valle della sezione di scarico del canale e di lunghezza tale da coprire l'intera larghezza del canale (come in g. 7.6).

In aggiunta al valore della y grazie alla linea di sampling vengono estratti anche i valori di densità e velocità assiale necessari al calcolo della portata.

3) I dati raccolti vengono salvati in le .csv in modo da poter essere caricati velocemente sul software Matlab con l'ausilio del quale verranno elaborati. In particolare la perdita mediata sulla portata verrà calcolata secondo l'equazione:

92 CAPITOLO 7. ANALISI DI SENSITIVITÀ DELLA MESH

Figura 7.6: Posizione della linea di samppling

Con R ρVax che rappresenta la portata specica all'area. Infatti dato che il

problema è trattato in ipotesi di usso piano non sarebbe corretto denire una supercie normale ad esso per il calcolo della portata.

NB: Gli integrali necessari al calcolo in Matlab sono stati approssimati uti- lizzando la regola del trapezio, secondo cui l'integrale della generica funzione y = f (x) può essere calcolato come la somma delle aree dei trapezi creati secondo una discretizzazione lungo x come in g. 7.7:

Figura 7.7: Schema metodo del trapezio per il calcolo degli integrali

Z f (x) = N −1 X i=0 (f (i + 1) + f (i)) · dx 2 (7.4)

Anché questo metodo sia sucientemente accurato il numero di punti cam- pionati lungo la linea deve essere tale da creare un dx sucientemente basso, quindi in questo caso sono stati campionati 200 valori così da essere certi di non commettere errori di approssimazione troppo inuenti.

Applicando questa procedura ai dati ottenuti dai calcoli fatti utilizzando le prime tre mesh proposte per openFoam (lasca, media e tta) si è ottenuto l'andamento

7.3. ANALISI DI SENSITIVITÀ DELLA MESH 93 Griglia yOF mid Lasca 0.1477 Media 0.1312 Fitta 0.1219

Tabella 7.2: Valori delle perdite mediate sulla portata

Figura 7.8: Analisi di sensitività della mesh con perdite mediate sulla portata

delle perdite in funzione del numero di celle qui riportato:

Come si può vedere si ha un chiaro trend decrescente per l'andamento delle perdite come era auspicabile, tuttavia non ci si può dire soddisfatti poiché non è ancora possibile individuare un andamento asintotico tale da poter stabilire l'indipendenza dal numero di celle usato.

Alla luce di questo, dato che i calcoli fatti con la mesh tta comportavano un costo computazionale non trascurabile (≈ 22h) e quindi non era consigliabile procedere con l'aumento delle celle senza una meta ben precisa, si è pensato di sfruttare i risultati restituiti dai calcoli fatti con CFX (che si ricorda sono presi come già vericati) per stabilire quanto lontano dalla soluzione nale ci si trovava e quindi capire in che direzione procedere.

A tal proposito si è utilizzato il processo già seguito per i calcoli openFoam, con l'unica dierenza che nel caso di CFX non si è calcolato il campo del coeciente y all'interno del software e poi campionato come nel caso precedente, ma si sono estratti i valori di pressione statica e totale e in seguito si è calcolato il coeciente di perdita direttamente all'interno dei Matlab. Anche in questo caso la linea di sam- pling è stata posta alla medesima distanza dalla sezione di scarico di quella mostrata precedentemente (0.5 corde assiali). In realtà come già detto la conformazione del dominio di valle delle mesh utilizzate dai due solutori non è la medesima, ma essen- do la larghezza di questo la stessa in entrambi i casi, la lunghezza della linea sarà

94 CAPITOLO 7. ANALISI DI SENSITIVITÀ DELLA MESH siano dovute a questo fattore. Così facendo si è trovato un valore di perdita pari a:

yCF X_mid = 0.0798 (7.5)

É risultato quindi chiaro, in paragone con i valori riportati in tab. 7.2, che i risultati forniti dai calcoli openFoam non erano sucientemente accurati. Questa dierenza è imputabile a due fattori:

• Diverso y+ _{generato dalle due griglie:}

Essendo le griglie utilizzate dai due software composte da un numero di celle diverso e formate in maniera dierente l'andamento di y+ _{e il suo valore sa-}

ranno di conseguenza diversi nei due casi:

Figura 7.9: Andamento di y+ _{lungo le pale}

Come si può vedere per poter visualizzare in maniera accettabile entrambi gli andamenti è stato necessario usare una scala semilogaritmica, poiché come si è già visto nel capitolo dedicato ai modelli di turbolenza, per la mesh open- Foam si è deciso di mantenere un y+ _{> 30 per poter utilizzare correttamente}

le funzioni di parete mentre la griglia CFX permette di risolvere il caso con y+ < 1.

Per porre rimedio a questo problema si è provato a costruire anche in openFoam una mesh che permettesse di mantenere il valore di y+ _{al di sotto dell'unità}

così da risolvere direttamente il boundary layer. A tal proposito, per non usare un numero eccessivo di celle, si è impostato il grading massimo disponibile per il blockMeshDict (100) e si è aumentato il numero di celle in due step, di cui si riportano i risultati nella tabella che segue:

Come si vede, anche portando il valore di y+ _{ai livelli desiderati la dierenza}

tra le perdite calcolate e quelle restituite da CFX rimane importante, il che ha fatto abbandonare questa strada.

• Diverso numero di celle Dopo aver vericato che la dierenza di prestazione calcolata dai due software non era dovuta alla diversa modalità di risoluzione del boundary layer, l'unica strada rimasta era quella di aumentare il numero

7.3. ANALISI DI SENSITIVITÀ DELLA MESH 95 N° di celle y+ Perdite

107360 ≈ 5 0.115

163920 < 1 0.1175

Tabella 7.3: Risultati per mesh con adeguamento di y+

di celle. Tuttavia, essendo il dominio molto ampio, risultava necessario capire in che zona inttire la griglia, onde evitare di appesantire il calcolo senza avere alcun vantaggio.

A tal proposito si è studiato più approfonditamente il campo di pressione totale restituito dalla mesh tta. In particolare, sempre sfruttando il software Matlab, si è analizzato il prolo della pressione di ristagno a 0.5 corde a valle della sezione di scarico in confronto con quello restituito da CFX. Si noti che i casi analizzati dai due codici risultano dierenti in termini geometrici: sia per quanto riguarda la denizione del dominio stesso (come si è visto nel capitolo dedicato alla mesh), sia per quanto riguarda l'orientamento (il canale CFX scarica il usso in direzione ˘x, mentre il canale OpenFoam in direzione +x). Alla luce di ciò si è reso necessario procedere nel seguente modo per poter ottenere graci confrontabili:

1) Ricavare grazie a paraFoam e CFX-Post gli andamenti di pT su una li-

nea posta 0.5 corde assiali a valle dalla sezione di scarico lungo tutta la coordinata x di entrambi i domini (g. 7.6).

2) Esportare i dati così ottenuti in Matlab

3) Replicare i campi più volte in direzione circonferenziale (x) così da avere un dominio più ampio su cui poter lavorare (questa operazione è resa possibile dalla ciclicità del problema).

4) Da questi andare ad estrarre l'andamento in corrispondenza di una ipo- tetica linea tracciata a partire dalle coordinate degli estremi del canale (trailing edge di due pale successive) così da poter confrontare i due casi in un dominio sico che sia il medesimo di partenza per entrambi. 5) Ribaltare i risultati così ottenuti in CFX rispetto alla coordinata assiale

in modo che le direzioni dei tre assi coincidano, e inne traslare ciò che si è ottenuto in modo da poter sovrapporre correttamente i proli dei due casi.

Come si può vedere i proli restituiti dai due software non sono in realtà molto diversi, ma sono traslati l'uno rispetto all'altro in modo che quello CFX presenti una pressione totale maggiore e il picco di perdita dovuto alla presenza della scia spostato verso destra rispetto a quello openFoam.

Tutto ciò ha portato a concludere che probabilmente si doveva ricercare una notevole e non realistica perdita di pressione totale all'interno del canale che

96 CAPITOLO 7. ANALISI DI SENSITIVITÀ DELLA MESH

Figura 7.10: Prolo di pressione totale 0.5 corde assiali a valle della sezione di scarico

restringendo il range della scala di pT in modo da poter meglio apprezzare

anche le variazioni più piccole, e così facendo si è scoperto che immediatamente dopo la gola sonica si aveva una brusca caduta della pressione totale, cosa che in realtà non ha alcuna spiegazione sica poiché in quella zona non si hanno fenomeni sici che possano provocare questo comportamento.

Figura 7.11: Caduta di pressione totale all'interno del canale (Mesh Fitta)

In conclusione si è attribuita la causa di questo andamento alla diusione numerica introdotta dalla griglia non sucientemente tta nel tratto diusivo del canale convergente divergente.

Di conseguenza si è agito ancora una volta sul blockMeshDict in modo da au- mentare il numero di celle della zona prescelta. In particolare si è deciso di mantenere un y+ _{sempre nell'intorno di 30 in modo da poter mantenere l'uso}

delle funzioni di parete come nei casi precedenti, il che ha permesso di ag- giungere un gran numero di celle in direzione prevalentemente assiale.Questo procedimento ha portato alla creazione di una griglia di 150260 celle che chia- meremo Mesh 150k:

7.3. ANALISI DI SENSITIVITÀ DELLA MESH 97

(a) Dettaglio della griglia nel tratto divergente del canale

(b) Pressione totale all'interno del canale

Figura 7.12: Dettagli della mesh 150k

Come si vede procedendo in questo modo si è posto rimedio al problema della caduta di pressione totale nel tratto divergente del canale pur mantenendo un numero di celle adeguato ai calcoli3_{. Questo miglioramento ha portato a una}

netta diminuzione della dierenza tra le perdite calcolate dai due codici, infatti si avrà:

y150k_mid = 0.0812 (7.6)

Cioè una dierenza di soli 0.14 punti percentuali rispetto a quelle calcolate con CFX, il che ci permette di concludere di essere arrivati alla convergenza ricercata. Infatti, anche con un numero di celle decisamente inferiore, si è arrivati a un risultato estremamente vicino a quello che ci si era posti come

3_{Per i simulazioni con griglie superiori alle 100000 celle ci si è serviti dello strumento mapFields} di openFoam che ha permesso di partire dai risultati di un caso già a convergenza (Mesh Fitta)

98 CAPITOLO 7. ANALISI DI SENSITIVITÀ DELLA MESH

Figura 7.13: Prolo di pressione totale 0.5 corde assiali a valle della sezione di scarico

obiettivo il che porta a concludere di essere nel tratto asintotico della relazione Perdite-N° di celle.

Capitolo 8

Analisi dei risultati