Calcolo microscopico dell’effetto prossimit`a nel grafene

4.2 Effetto Josephson ed effetto prossimit`a nel grafene

4.2.2 Calcolo microscopico dell’effetto prossimit`a nel grafene

onde evascenti, un dispositivo perfetto e balistico appare come soggetto a disordine. Si parla di dinamica “pseudodiffusiva” [99].

4.2.2 Calcolo microscopico dell’effetto prossimit`a nel

grafene

L’approccio adottato nella sezione precedente trascura la dipendenza spazia- le del parametro d’ordine superconduttivo in quanto assume un potenziale di pairing finito e costante nella regione dei contatti e nullo nella regione normale. In realtà ci si aspetta che ∆ vari fortemente in prossimità dell’interfaccia. Questa limitazione può essere superata con un approccio basa- to sulla diagonalizzazione esatta e autoconsistente del modello microscopico [121], metodo che verrà chiamata del Tight Binding Dirac-Bogoliubov-de

4. Effetto Josephson

Gennes (TB DBdG). Questo permette di studiare il decadimento del parametro d’ordine vicino all’interfaccia e di calcolare la corrente Josephson in maniera appropriata a partire dall’effetto di prossimit`a.

Di seguito daremo una descrizione sommaria del procedimento, per poi discuterne i risultati principali ottenuti da Black Schaffer e Doniach [121].

Il dispositivo che abbiamo in mente è identico a quello della Sezione precedente (vedi Fig. 4.1). Si prende come Hamiltoniana della giunzione la seguente H_eff = −t X hi_,ji,σ ( ˆf† i,σˆgj,σ+ ˆg † j,σfî,σ) + X i,σ µ(i)( ˆf† i,σfî,σ+ ˆg † i,σˆgi,σ) −X i U(i)( ˆf† i↑ fî↑fˆ † i↓fî↓+ ˆg † i↑ ˆgi↑ˆg † i↓ˆgi↓) . (4.44) Il primo termine non è altro che l’Hamiltoniana microscopica del grafene (vedi Sez. 2.1.1) in approssimazione di tight binding espressa in termini degli operatori di creazione e distruzione nel sottoreticolo A ( ˆf†_{, ˆ}_{f) e nel}

sottoreticolo B (ˆg†_{, ˆg). Il vettore i = (m, n) si riferisce alla cella unitaria}

individuata dal vettore del reticolo di Bravais ma1+ na2, σ `e l’indice di spin.

Il parametro di hopping vale t = 2.5 eV. Il secondo termine determina il profilo del potenziale chimico che non viene calcolato autoconsistemente per ridurre il peso del problema numerico. Dunque µ(i) non `e che la versione discreta del potenziale µ(x) dato da (4.25). L’ultimo termine (potenziale di Hubbard) modellizza l’attrazione elettrone-elettrone indotta dai contatti superconduttori. U(i) `e non zero solo al di sotto dei contatti.

Per ridurre il problema alla diagonalizzazione di un’Hamiltoniana quadra- tica adottiamo l’approssimazione di Hartree-Fock-Bogoliubov che consiste nel sostituire il termine di Hubbard con un campo medio

−X i U(i)( ˆf† i↑ fˆi↑fˆ † i↓fˆi↓+ ˆg † i↑ ˆgi↑ˆg † i↓ˆgi↓) → X i h∆(i)( ˆf† i↑fˆ † i↓ + ˆg † i↑ˆg † i↓) + h.c. i , (4.45) in cui abbiamo definito l’espressione autoconsistente per il parametro d’ordine superconduttivo dipendente dallo spazio

∆(i) = −U(i)h ˆfi↓fˆi↑i+ hˆgi↓ˆgi↑i

2 . (4.46)

Dopo tale sostituzione l’Hamiltoniana di campo medio si diagonalizza facilmente tramite una trasformazione di Bogoliubov-Valatin [80] dipendente dalla coordinata i ˆ fi↑ ˆgi↑ =X2N ν=1 uν i yν i γν↑− vν∗ i zν∗ i γ† ν↓, ˆ f† i↓ ˆg† i↓ ! =X2N ν=1 vν i zν i γν↑+ uν∗ i yν∗ i γ† ν↓ .

Effetto Josephson ed effetto prossimit`a nel grafene 4.2

N `e il numero di celle unitarie. A questo punto le autofunzioni (u, y, v, z)ν i

e gli autovalori Eν vengono determinati richiedendo che l’Hamiltoniana di

campo medio abbia la forma

H_MF=X

ν=1

Eνγ†νσγνσ . (4.47)

Questo equivale a diagonalizzare una matrice 4N ×4N per i suoi 2N autovalori positivi [121]. La forma della matrice assicura che i rimanenti autovalori siano gli opposti degli Eν. Questo passo non `e altro che la risoluzione delle

equazioni di BdG del problema. Vanno poi calcolati i valori di aspettazione a partire dalle autofunzioni ottenute, per cui la condizione di autoconsistenza per il parametro d’ordine risulta essere

∆(i) = −U(i)₂ 2N X ν=1 (uν iviν∗+ yiνziν∗) tanh βEν 2 . (4.48)

La risoluzione delle equazioni di Bogoliubov-de Gennes va iterata fino a che la (4.48) non `e soddisfatta entro una certa precisione.

∆(i) `e nullo nella regione normale, essendo U(i) nullo per definizione nella stessa regione. D’altra parte la quantiti`a

F (i) = h ˆfi↓fˆi↑i+ hˆgi↓ˆgi↑i

2 (4.49)

è non nulla e può essere interpretata come una misura dell’estensione delle coppie di Cooper nella regione normale. La corrente Josephson è una conseguenza di un F (i) non nullo nella regione normale quando è presente una differenza di fase, fissata dalle condizioni al bordo della giunzione. La corrente si può calcolare a partire dall’equazione di continuità e dall’equazione del moto di Heisenberg per la densità locale (ρ = hni)

∂ρ

∂t = −∇ · J, dni

dt = [Heff; ni] . (4.50)

I parametri fisici usati nella Ref. [121] sono U(S) = 3.4 eV = 1.36t, µ(S) = 1.5 eV = 0.6t. Questi valori forniscono ∆ = 0.1 eV e una lunghezza di coerenza ξ ≈ 50 ˚A ≈ 25 celle unitarie. la condizione di accoppiamento debole µ(S) ∆ è soddisfatta ed è possibile indagare i regimi di giunzione corta ξ > L = 10 cell. unit. e giunzione lunga ξ < L = 50 cell. unit. Il parametro d’ordine superconduttivo è notevolmente maggiore della norma, ma tale scelta permette di convergere più velocemente all’autoconsistenza. I risultati che mostreremo vengono semplicemente riscalati al diminuire di U.

4. Effetto Josephson

Figura 4.2: Ampiezza di coppia F normalizzata per una giunzione con S = 50 cell. unit. e N = 50 cell. unit. a tre diversi valori del livello di Fermi in N: punto di Dirac 0 eV (nero), drogaggio moderato 0.7 eV (rosso), livello di Fermi ovunque costante (verde). Risultati tratti dalla Ref. [121]

Il livello di Fermi nella regione normale `e stato fatto variare nell’intervallo da 0 (punto di Dirac) a 1.5 eV ovvero livello di Fermi costante in tutta la giunzione.

Fig. 4.2 mostra il profilo nella direzione longitudinale dell’ampiezza di coppia normalizzata a vari valori di µ(N). La riduzione della densità di coppie nel superconduttore e la densità non nulla nella regione normale sono chiaramente visibili. Le oscillazioni agli estremi sono dovute semplicemente ai bordi artificiali della giunzione mentre quelle all’interfaccia sono correlate a simili oscillazioni della densità e sono dovute alla differenza finita fra µ(S) e µ(N).

Concentriamoci ora sul comportamento della corrente critica al variare di L nel regime di giunzione corta in modo da fare un confronto con i risultati derivati nella sezione precedente. Fig. 4.3 mostra la dipendenza di Ic da L

sia data dalle formule (4.40) e (4.42) sia calcolata autoconsistentemente. `E stato inoltre tentato un fit con le funzioni CLb _{e Ce}−L/ξN. Per una giunzione

al punto di Dirac vediamo che l’effetto di prossimit`a incrementa la corrente e inoltre modifica la dipendenza da L da b = −1 nell’equazione (4.40) a b = −1.3. Anche l’altro fit riproduce abbastanza bene l’andamento con ξ = 16 ˚A. Per il livello di Fermi fissato a µ(N) = 0.7 eV ~vF/L vediamo che

Effetto Josephson ed effetto prossimit`a nel grafene 4.2

Figura 4.3: Corrente critica normalizzata in funzione della lunghezza della giunzione L. La corrente critica costante data dalla (4.42) `e normalizzata a uno. Nel grafico a abbiamo la corrente al punto di Dirac data dall’equazione (4.40) (linea nera), i risultati numerici (croci), e i fit alle funzioni CLb (rosso) e CeL/ξN _(verde). Analogamente nel grafico b abbiamo la corrente nel caso di drogaggio moderato (µ(N ) = 0.7 eV) e la linea nera continua rappresenta la corrente data da (4.42). Risultati tratti dalla Ref. [121].

non dipende da L mentre vediamo un chiaro incremento della corrente al diminuire della lunghezza della giunzione. I parametri ottenuti dal fit (non buoni come nel caso precedente) sono b ≈ −0.4 e ξN ≈ 50 ˚A. In ogni caso

il trend generale `e una corrente da due a quattro volte maggiore rispetto al calcolo non-autoconsistente. Notiamo inoltre che la differenza degli esponenti b rimane ∼ 1, bench`e i singoli valori varino sensibilmente rispetto alle formule (4.40) e (4.42).

4.2.3 Situazione sperimentale

Sperimentalmente è possibile ottenere sistemi ibridi grafene-superconduttore di ottima qualità [144, 145]. I contatti che è possibile realizzare fra il metallo e il foglio di grafene hanno alta trasparenza e sono facilmente riproducibili grazie al fatto che il grafene è relativamente inerte dal punto di vista chimico. Un esempio di giunzione Josephson realizzata su grafene tramite litografia elettronica `mostrata in Fig. 4.4.

4. Effetto Josephson

Figura 4.4: Immagine al microscopio a forza atomica di un dispositivo a singolo strato di grafene tra due elettrodi superconduttivi Al(30nm)/Ti(2nm). La separazione fra gli elettrodi `e ≈ 500 nm. Figura tratta dalla Ref. [145].

In Fig. 4.5 sono invece mostrati alcuni dati relativi a una giunzione di lunghezza L = 350 nm e larghezza W = 9 µm, raffreddata al di sotto della temperatura critica degli elettrodi, pari a ≈ 1 K. Nel riquadro a è mostrata la caratteristica corrente-tensione della giunzione che mostra isteresi nel passare dal regime Josephson al regime di conduzione dissipativa. La transizione dal primo al secondo avviene sempre a una corrente più alta. La corrente critica è molto sensibile ai campi magnetici e mostra un tipico andamento alla Fraunhofer, come si vede dal riquadro piccolo in basso a destra. Un altro modo per forzare il passaggio tra i due regimi è variare il potenziale di gate da cui dipende la corrente critica, illustrato in Fig. 4.5b. Come prima osserviamo isteresi.

Dalla misura della resistenza nello stato normale (Fig. 4.5c) possiamo ottenere una stima del cammino libero medio. Gli elettrodi vengono portati nello stato normale al di sotto della temperatura critica tramite l’applicazione di un debole campo magnetico. Il cammino libero medio pu`o essere stimato a partire dalla conducibilit`a σ tramite la relazione (ottenuta con il modello di Drude [80]) ` = ~kFσ e2_n = σh 2e2_k F , (4.51)

dove abbiamo usato la relazione n = k2

F/π per la densit`a, valida per il grafe-

ne se si tiene conto della degenerazione di spin e valle. Inoltre per calcolare il vettore d’onda di Fermi possiamo usare il modello capacitivo gi`a espo-

Effetto Josephson ed effetto prossimit`a nel grafene 4.2

sto nella Sez. 2.2.1, che fornisce kF = pVgπ/ed in cui ≈ 4 `e la costante

dielettrica del substrato di SiO2 e d ≈ 300 nm lo spessore. Il risultato per

il cammino libero medio è mostrato in Fig. 4.5c nel riquadro piccolo. Per |V_g| > 10 V il cammino libero medio dipende debolmente dalla densità e si vede che ` ≈ 25 nm è minore della lunghezza della giunzione. Questo indica che siamo in regime diffusivo e non ci aspettiamo che le previsioni del modello per la giunzione balistica studiato nelle precedenti sezioni sia applicabile. Possiamo infatti confrontare l’andamento della corrente critica al variare del potenziale di gate in Fig. 4.5d. La linea nera rappresenta la previsione teo- rica del modello balistico (4.43), la corrente critica è infatti proporzionale al livello di Fermi che va con la radice quadrata del potenziale di gate. La linea verde sono i risultati sperimentali. La discrepanza aumenta all’aumen- tare del potenziale di gate arrivando a dare una sovrastima superiore ad un ordine di grandezza rispetto al dato sperimentale. È evidente che il modello balistico non è applicabile alla giunzione in esame. Allo stato attuale tutti dispositivi prodotti in laboratorio lavorano in regime diffusivo [144]. Il grafene liberamente sospeso [39] e non deposto su un substrato disordinato potrebbe consentire le verifica delle predizioni fatte sulla giunzione balistica.

4. Effetto Josephson

Figura 4.5: a) Caratteristica IV a 200 mK della giunzione Josephson mostrata nel riquadro piccolo in alto a sinitra. Le regioni di conduzione normale e conduzione non dissipativa sono chiaramente distinguibili e la transizione tra le due presenta isteresi. b) Tensione ai capi della giunzione al variare del potenziale di gate. `E ancora visibile l’isteresi tra regime Josephson e regime normale. c) Resistenza nel regime normale e cammino libero medio al variare del potenziale di gate. d) Confronto fra teoria (linea nera) ed esperimento dell’andamento della corrente critica al variare di V_g. La discrepanza fra le due curve dimostra come la giunzione sia diffusiva e non balistica. Figura tratta dalla Ref. [144].

Capitolo 5

Correnti non dissipative in

doppi strati di grafene

In questo capitolo verrà presentato il contributo originale di questa tesi che consiste nello studio dell’effetto Josephson in un doppio strato di grafene in cui è presente coerenza spontanea interstrato dovuta al condensato eccitonico. Riassumiamo le ragioni per cui tale studio è interessante:

• il fenomeno dell’effetto tunnel risonante descritto nella Sezione 3.1.6 presenta alcune somiglianze con l’effetto Josephson, in particolare il fatto che il picco nella conduttanza corrisponde a tensione applicata nulla. La conduttanza di picco `e comunque finita. Abbiamo dunque immaginato che connettere gli strati a dei contatti superconduttori possa avere interessanti conseguenze sperimentali;

• la superconduttivit`a e la condensazione eccitonica sono entrambe una conseguenza dell’instabilit`a di Cooper del mare di Fermi, con la differenza che il pairing avviene nel primo caso tra elettroni mentre nel secondo caso si ha la formazione di coppie elettrone-buca. Si tratta di fenomeni non slegati tra di loro e risulta quindi interessante cercare di capire cosa accade quando in un sistema elettronico abbiamo entrambi i tipi di ordine;

• recenti studi hanno indicato nel doppio strato di grafene con un separatore dielettrico il sistema ideale ai fini dell’osservazione di un condensato eccitonico. Inoltre in un tale dispositivo dovrebbe essere semplice variare il parametro d’ordine eccitonico per esplorare sia il regime di accoppiamento forte sia il regime di accoppiamento debole. Infatti ∆E

pu`o essere regolato variando il livello di Fermi tramite l’effetto di campo e scegliendo in maniera opportuna il dielettrico separatore. In quanto

5. Correnti non dissipative in doppi strati di grafene

segue presteremo particolare attenzione alla dipendenza della corrente Josephson dal parametro ∆E.

I due diversi dispositivi studiati sono mostrati in Fig. 5.1. I due strati di grafene sono separati da un sottile strato dielettrico che pu`o essere scelto in modo da regolare la forza dell’interazione misurata dalla costante di struttura fine efficace del grafene α = e2_/ε~v

F. Il dielettrico garantisce inoltre che

l’ampiezza di tunneling fra i due strati sia fortemente soppressa, condizione necessaria affinch`e il sistema mostri ordine eccitonico. Supporremo sempre di essere in regime balistico, per cui verranno totalmente trascurati gli effetti del disordine.

All’estremo sinistro dello strato superiore `e posto un contatto di materia- le superconduttivo, che, in analogia a quanto fatto nel capitolo precedente, verr`a modellizzato con un potenziale di accoppiamento superconduttivo efficace ∆S,1 nel grafene. Il secondo contatto superconduttivo, con potenziale

di accoppiamento ∆S,2, pu`o essere posto all’estremo di destra dello stesso

strato oppure sullo strato inferiore. Nel primo caso parler`o di configurazione longitudinale che si riduce al problema studiato da Beenakker et al. [117] in assenza di accoppiamento tra i due strati (ovvero parametro eccitonico ∆E

nullo), mentre nel secondo caso si parla di configurazione trasversa.

Se i due strati sono disaccoppiati in configurazione trasversa (∆E = 0)

ottengo naturalmente che la corrente critica `e identicamente nulla, in quan- to il parametro eccitonico ∆E funge da unica ampiezza di tunneling fra i

due strati. In realtà, per quanto possa essere buono il separatore dielettrico, non è possibile che l’ampiezza di tunneling nuda1 _{sia nulla, anzi si può}

dimostrare che essa `e necessaria se si vuole osservare una qualche corrente Josephson in configurazione trasversa2_{. Quindi in assenza di ordine nella}

regione del doppio strato abbiamo comunque una corrente Josephson standard che supporemo comunque piccola rispetto alla corrente in presenza di condensato. Infatti, come abbiamo visti per i doppi strato in regime Hall, il condensato ha l’effetto di incrementare enormemente l’ampiezza di tunneling interstrato [27].

Ponendo due contatti superconduttori abbiamo lasciato liberi due estremi in entrambe le configurazioni (supponiamo completa invarianza traslazionale nella direzione y). Dal momento che siamo interessati a trovare gli autovalori dipendenti dalla fase degli stati legati del sistema poniamo delle condizioni al bordo in modo da assicurare che gli elettroni siano effettivamente confi- nati. Se non troncassimo gli estremi lasciati liberi e lasciassimo che i fogli

1_{In altre parole l’ampiezza di tunneling di singolo elettrone, senza includere gli effetti}

collettivi dovuti al condensato.

Figura 5.1: In alto il doppio strato di grafene con contatti superconduttori in configurazione trasversa. La figura `e in sezione. I punti rossi evidenziano gli estremi del foglio di grafene su cui sono poste le condizioni al bordo di tipo zig-zag. Sono anche riportati i profili di potenziale eccitonico ∆_E (in rosa) e superconduttivo ∆_S (azzurro). In basso il dispositivo in configurazione longitudinale in cui i contatti S1 e S2 sono posti sullo stesso strato di grafene. Alle estremit`a dello strato inferiore vengono poste condizioni al bordo a zig-zag (punti rossi). I relativi profili di potenziale sono mostrati sotto.

5. Correnti non dissipative in doppi strati di grafene

si estendano all’infinito troveremmo un continuo di stati, cosa che vogliamo evitare. Cominciamo dunque derivando l’Hamiltoniana del sistema che verr`a usata per modellizzare il sistema.

5.1 Hamiltoniana

Sappiamo che, nell’ambito del formalismo di Bogoliubov-de Gennes, l’Hamil- toniana per il grafene prossimizzato da un contatto superconduttore `e [118, 99] ˆ H_S =−i~vF∇ · σ −µ ∆S(x) ∆∗ S(x) i~vF∇ · σ+ µ . (5.1)

µ è il livello di Fermi nella regione superconduttiva che supporremo molto più grande di qualunque altra scala di energia in gioco, in particolare del livello di Fermi nella regione intermedia in cui è presente il condensato. ∆S(x) è

proporzionale alla matrice identica 2 × 2 in quanto il potenziale di accoppiamento agisce in maniera banale sullo spazio dei sottoreticoli del grafene, mentre accoppia stati di elettroni ai corrispondenti stati di buca ottenuti tramite inversione temporale. Questo significa che il pairing avviene sempre tra stati con valle e spin opposti e dunque si hanno quattro copie identiche della (5.1) di cui terremo eventualmente conto tramite l’opportuno fattore di degenerazione g = gsgv = 4.

In teoria ∆S(x) andrebbe calcolato autoconsistentemente a partire dalle

autofunzioni dell’Hamiltoniana (5.1), ma questo va oltre i nostri scopi e in generale richiede un approccio numerico (per la definizione autoconsistente del potenziale di pairing vedi [119] e [120], per un calcolo numerico autoconsistente sulla giunzione superconduttore-grafene-superconduttore vedi [121]). L’autoconsistenza non è comunque necessaria per discutere le proprietà più importante della giunzione, l’unico effetto è una correzione quantitativa dei risultati. Prenderemo dunque potenziali costanti a tratti.

Passiamo ora a considerare la regione intermedia del doppio strato in cui `e presente il condensato. Nel caso omogeneo e nell’approssimazione in cui consideriamo solo le due bande pi`u rilevanti, abbiamo trovato nella Sez. 3.2.1 la seguente Hamiltoniana ˆ H_ECM=−~vF|k|+ µg ∆k ∆k ~vF|k| −µg . (5.2)

Questa Hamiltoniana agisce sullo spazio dato dalla banda di valenza dello strato superiore e dalla banda di conduzione dello strato inferiore. µg

Hamiltoniana 5.1

`e posto il dispositivo. Rispetto all’Hamiltoniana di campo medio trovata nella Sez. 3.2.1 abbiamo incluso solo lo pseudo campo magnetico trasverso ∆E = ∆⊥x + i∆⊥y e abbiamo trascurato la componente ∆⊥z ovvero il campo

di Hartree-Fock standard di cui possiamo tenere conto approssimativamente tramite una rinormalizzazione di µg e vF (vedi [40]).

L’affinit`a della (5.2) con l’Hamiltoniana di un superconduttore `e evidente se riscriviamo la (5.1) nella base chirale del grafene (∆S(x) = ∆S = cost.)

ˆ H0 S =     ~vF|k| −µ 0 ∆S 0 0 −~vF|k| −µ 0 ∆S ∆∗ S 0 −~vF|k|+ µ 0 0 ∆∗ S 0 ~vF|k|+ µ     . (5.3)

Consideriamo la sottomatrice composta dalla prima e terza riga e dalla prima a terza colonna in (5.3). Questa `e formalmente identica alla (5.2) previa sostituzione di µg con µ e ∆k con ∆S. Ho quindi adottato un’approssimazione

di tipo BCS ∆k≈∆E = cost. e, per ottenere un’Hamiltoniana pi`u simmetri-

ca e pi`u simile a quella di un superconduttore, ho considerato nuovamente le bande che erano state ignorate in un primo momento. Per cui l’Hamiltoniana del condensato omogeneo da me considerata `e

ˆ H0_E =     ~vF|k|+ µg 0 0 ∆E 0 −~vF|k|+ µg ∆E 0 0 ∆∗ E ~vF|k| −µg 0 ∆∗ E 0 0 −~vF|k| −µg     . (5.4)

`E lecito accoppiare la banda di conduzione dello strato superiore con la banda di valenza dello strato inferiore tramite un potenziale ∆E in quanto questo

ha un effetto rilevante solo attorno al livello Fermi (provoca l’apertura del gap), ma su queste bande siamo sempre lontani da questa condizione. La (5.4) `e una generalizzazione della (5.2) che non introduce alcun elemento nuovo, mi aspetto infatti che entrambe descrivano la stessa fisica, la (5.4) in maniera pi`u simmetrica e computazionalmente conveniente. Nello spazio reale e rilassando la condizione che il potenziale di accoppiamento eccitonico sia costante, otteniamo dalla (5.4)

ˆ H_E =−i~vF∇ · σ+ µg −∆E(x)σz −∆∗ E(x)σz −i~vF∇ · σ −µg (5.5) Per evitare confusione ricordiamo che le prime due componenti su cui agisce le matrice 4 × 4 (5.5) rappresentano lo spinore che descrive gli elettroni nello strato di grafene superiore, mentre le ultime due sono l’analogo per lo strato

5. Correnti non dissipative in doppi strati di grafene

inferiore. D’altra parte la (5.1) agisce su una funzione d’onda a quattro componenti, che corrispondono a uno spinore per gli stati di elettrone e uno spinore per gli stati di buca attorno al livello di Fermi µ sullo stesso strato. Abbiamo bisogno del corrispettivo di ˆH_E anche per gli stati di buca e questa si ottiene tramite T l’operatore di inversione temporale per cui3 _Hˆ

E →

−T H_ET = − ˆH∗

E. Combinando ˆHE e ˆHS possiamo scrivere l’Hamiltoniana

più generale possibile della forma ˆ H=     −i~vF∇ · σ+ µg −∆E(x)σz ∆S1(x) 0 −∆∗ E(x)σz −i~vF∇ · σ −µg 0 ∆S2(x) ∆∗ S1(x) 0 i~vF∇ · σ −µg ∆ ∗ E(x)σz 0 ∆∗ S2(x) ∆E(x)σz +i~vF∇ · σ+ µg     . (5.6) Dobbiamo anche ricordarci della degenerazione di spin e valle per cui l’Ha- miltoniana di Bogoliubov-de Gennes completa è composta da quattro blocchi identici a (5.6). Il problema di cui mi sono occupato è specificato dalla seguente scelta dei potenziali nella configurazione trasversa

∆S1(x, y) =(∆Se iφ1 se x ≤ −L 2, 0 se x > −L 2, (5.7) ∆S2(x, y) =(∆Se iφ2 se x ≥ L 2, 0 se x < L 2, (5.8) ∆E(x, y) = (∆Ee iφE se |x| ≤ L 2, 0 se |x| > L 2. (5.9) In x = −L/2 nello strato inferiore e x = L/2 sullo strato superiore poniamo condizioni al bordo di tipo zig-zag [99, 122], ovvero poniamo a zero la funzione d’onda sul sottoreticolo A oppure sul sottoreticolo B. Abbiamo dunque quattro possibilit`a AA, AB, BA, BB in cui la prima lettera indica su quale sottoreticolo dello strato inferiore abbiamo azzerato la funzione. In genere i risultati saranno identici tra AA e BB, e tra AB e BA a causa della simmetria dei sottoreticoli del grafene. Ho comunque verificato che le condizioni al bordo scelte non modificano in alcun modo significativo la corrente Josephson del dispositivo.

3_{In relt`}_{a non possiamo applicare l’inversione temporale solo a (5.5), in quanto l’inversio-}

ne temporale scambia gli indici di spin e valle e la (5.5) non contiene questa degenerazione. Si vede comunque che l’Hamiltoniana completa si pu`o suddividere in quattro blocchi identici che corrispondono alla degenerazione g, per cui nella nostra discussione ci stiamo

Nel documento Effetto Josephson attraverso doppi strati di grafene (pagine 83-97)