Effetto Hall Quantistico - Evidenze sperimentali

2.2 Evidenze sperimentali

2.2.3 Effetto Hall Quantistico

L’effetto Hall quantistico [1, 74, 77, 75, 72, 76] si osserva nel regime di campi magnetici estremi5 _ω

cτ = µB 1 e basse temperature ~ωc kBT e co-

me l’effetto SdH `e un’ulteriore conseguenza della quantizzazione del moto orbitale di un elettrone immerso in un campo magnetico.

Due sono i tratti distintivi dell’effetto Hall Quantistico (QHE). Da un lato

4_{Per elettrone di Bloch intendiamo un elettrone soggetto al potenziale periodico di}

un cristallo i cui autostati sono classificabili tramite il teorema di Bloch. In questo caso l’elettrone pu`o acquisire una fase di Berry non nulla a differenza di quanto accade nel caso libero.

5_ω

c `e la frequenza di ciclotrone usualmente definita come eB/mc. Nel grafene in cui

la massa efficace m `e nulla la frequenza di ciclotrone risulta essere ωc =

√

2vF/`B, in cui

`B =

~c/eB `e la lunghezza magnetica. Vedi Sezione2.1.3. τ `e il tempo medio tra le collisioni.

2. Grafene

Figura 2.9: Effetto Hall nel monostrato di grafene. In rosso la conduttività di Hall in unità di ge2/~, in cui g = gsgv= 4 è il fattore di degenerazione del grafene.

In blu la resistenza longitudinale. Figura adattata dalla referenza [46]

la comparsa di plateau nella conduttanza transversa (o di Hall)6 _{a valori mul-}

tipli della quantit`a fondamentale 2e2_{/h (quanto di conduttanza) entro una}

precisione di 10−₉_{, il che fa del QHE lo strumento standard per la calibrazione}

della resistenza. Dall’altro la resistenza longitudinale si annulla in corrispon- denza dei plateau. Queste evidenze sperimentali possono essere comprese come manifestazione del fatto che il livello di Fermi si trova esattamente a metà strada tra due livelli di Landau, dunque rispettivamente uno completamente pieno e l’altro completamente vuoto. A causa del gap in energia la scattering è soppresso e questa da la resistenza longitudinale nulla, mentre per la quantizzazione della conduttanza transversa una spiegazione semplice è stata fornita da Laughlin [74] tramite un argomento basato sulla simmetria di gauge e sviluppato poi da Halperin [78], da cui risulta che ogni livello di Landau pieno contribuisce alla conduttanza di Hall per 2e2_{/h (il fattore due}

6_{Regioni in cui la conduttanza transversa `}_{e costante al variare del campo magnetico o}

della densità dei portatori di carica. Da notare che è la conduttanza ad essere quantizzata e non la conduttività benché queste possano essere confuse avendo la stessa unità di misura in due dimensioni.

Evidenze sperimentali 2.2

Figura 2.10: Effetto Hall nel grafene a temperatura ambiente. Viene mostrata anche la densit`a degli stati in cui sono chiaramente visibili i livelli di Landau allargati a causa del disordine. Il gap δE vale 600 K come si ottiene studiando il comporamento al variare della temperatura dei minimi di ρ_xx. Figura adattata dalla referenza [71].

deriva dalla degenerazione di spin). Una spiegazione completa e soddisfacente del QHE, in particolare della quantizzazione esatta della conduttanza e del- l’estensione finita dei plateau, richiede comunque di tenere in considerazione effetti dovuti al disordine e alle interazioni elettrone-elettrone [77].

Il grafene presenta un effetto Hall anomalo. Dalla Fig. 2.9 si vede come i plateau tipici dell’effetto Hall si presentino a valori semi-interi della conduttivit`a invece che ai valori (4e2_{/h)N (N=1,2,. . . ) come ci si potrebbe aspettare.}

Come abbiamo detto nella precedente sezione lo spettro di un elettrone di Dirac in un campo magnetico possiede un livello di Landau ad energia nulla che in condizioni di neutralit`a (Vg = 0) `e semipieno. In maniera equivalente

possiamo pensare, per gli elettroni, ad un livello ad energia zero con degenerazione dimezzata rispetto ai livelli superiori e a un corrispondente livello per le buche. La successione anomala delle conduttivit`a

σN = 4e 2 h N +1₂ (2.60) pu`o essere spiegata con la necessit`a di riempire questo primo livello per osservare un plateau.

2. Grafene

che a temperatura ambiente (Fig. 2.10). Ci`o `e consentito dall’elevata energia di separazione ~ωc∝

√

B tra i livelli che in un campo magnetico di 10 Tesla risulta essere di 1000 K. Per un gas di elettroni 2D ordinario nelle stesse condizioni il gap `e di 10 K. Inoltre il grafene pu`o essere portato ad eleva- te concentrazioni dei portatori di carica (1013_cm−2_{) il che risulta essenziale}

per riempire i livelli di Landau molto degeneri per B > 10 T mentre la mo- bilit`a relativamente stabile nel passare dalle temperature dell’elio liquido a temperatura ambiente permette di raggiungere facilmente il limite µB 1.

Capitolo 3

Condensati di eccitoni

Subito dopo la formulazione della teoria BCS, venne proposta la possibilità di un condensato eccitonico [16], essenzialmente una fase in cui un numero macroscopico di coppie elettrone-buca condensa nello stesso stato quantistico in maniera analoga a quanto accade per un superconduttore. Lo stato legato di un elettrone e di una buca, dovuto alla reciproca attrazione Coulombiana, viene chiamato eccitone. Gli eccitoni sono naturalmente bosoni in quanto formati da una coppia di particelle di spin 1/2 (solitamente accoppiate in onda s quindi con spin totale uguale a zero) e a differenza delle coppie di Cooper hanno carica nulla. Una caratteristica importante di un condensa- to eccitonico potrebbe essere quella di sfruttare l’interazione Coulombiana, mentre nel caso della superconduttività l’interazione Coulombiana è scher- mata dal liquido elettronico tanto da permettere alla più debole interazione con il reticolo ionico di legare coppie di elettroni.

L’esistenza degli eccitoni può essere rivelata ad esempio nelle proprietà ottiche degli isolanti con la comparsa delle risonanze nello spettro di assorbi- mento al di sotto del gap energetico [80]. Sono però difficilmente osservabili per altra via data la vita media estremamente piccola, pari al tempo medio di ricombinazione tra un elettrone e una buca. La ricombinazione è un gros- so problema anche se si vuole osservare una qualche forma di condensazione alla Bose-Einstein. Una soluzione naturale è quella di separare in strati paralleli elettroni e buche per prevenire la ricombinazione, avendo cura però di mantenere una consistente interazione attrattiva. I primi studi in questa direzione risalgono già agli anni settanta [22, 23, 24].

Pi`u recentemente i progressi nella fabbricazione di eterostrutture a semiconduttore hanno permesso la realizzazione di doppi strati separati da distanze dell’ordine della decina di nanometri che ospitano gas di elettroni il cui moto pu`o essere trattato come essenzialmente bidimensionale [3, 4]. Nel regime di effetto Hall quantistico gli elettroni nel gas bidimensionale (2-DEG)

3. Condensati di eccitoni

occupano i livelli di Landau con una degenerazione macroscopica proporzionale al campo magnetico. A causa del fatto che tali livelli possono essere visti come bande piatte per il 2-DEG si può convenientemente trattare uno dei due strati dal punto di vista degli stati non-occupati. Formalemente si tratta di eseguire una trasformazione elettrone-buca il cui effetto è duplice: da un lato l’interazione da repulsiva diventa attrattiva, dall’altro cambia il segno dell’energia cinetica, ma quest’ultima trasformazione, in virtù della dispersione piatta dei livelli di Landau non ha alcun effetto fisico. Abbiamo quindi un modo per realizzare uno strato di elettroni accoppiato a uno strato di buche che dovrebbe consentire di osservare un condensato eccitonico, a patto però di sopprimere il tunneling interstrato il cui effetto è di distrug- gere gli effetti collettivi che si vogliono osservare. Recentemente i risultati in questa direzione sono stati numerosi e tutti indicano la presenza di una qualche forma di condensazione [27, 28, 29, 30]. Ci sono comunque ancora molti punti da chiarire in relazione a quello che dovrebbe essere il marchio di fabbrica della condensazione eccitonica ovvero la propagazione di correnti superfluide di segno opposto sui due strati dovute al moto non dissipativo delle coppie elettrone-buca (supercorrenti contropropaganti), e al ruolo che il tunneling interstrato gioca in questo caso [13, 84, 85].

Nel 2007 una nuova proposta si è andata ad aggiungere alle possibili vie per realizzare un condensato eccitonico. Il grafene è il limite ultimo per quanto riguarda il confinamento degli elettroni in un piano bidimensionale, inoltre possiede l’appettibile caratteristica di poter indurre una densità di carica molto elevata n ≈ 1013_cm−2 _{sia di tipo n che di tipo p tramite l’ef-}

fetto di campo ambipolare (vedi Sezione 2.2.1). Un ulteriore vantaggio del grafene `e la simmetria quasi perfetta tra elettroni e buche1_{. Tutte queste}

caratteristiche hanno portato vari autori [40, 41, 42] a esplorare la possibilità di realizzare un condensato eccitonico in due fogli grafene paralleli separati da un sottile strato dielettrico che andrebbe scelto in modo da regolare l’interazione interstrato al valore desiderato. Risulta che teoricamente la forza dell’interazione Coulombiana è tale da permettere la condensazione a temperatura ambiente [40]. Questa predizione è stata però messa in discussione [37, 38] in quanto non tiene in debito conto l’effetto dello screening sulle interazioni.

In questo capitolo introdurremo i condensati a partire dai doppi strati in eterostrutture in regime Hall per cui la teoria e l’esperimento sono piut- tosto avanzati. Presenteremo poi il calcolo della temperatura critica per un

1_{La simmetria viene per`}_{o rotta se si condiderano hopping ai secondi vicini e oltre. Que-}

sta affermazione `e dunque limitata a valori di εFper cui l’approssimazione della dispersione

Condensazione eccitonica in regime di effetto Hall quantistico 3.1

Figura 3.1: Doppio strato realizzato in un’eterostruttura a semiconduttore (sezione trasversa). Lo strato di Al_xGa_1−xAs agisce da barriera di potenziale. Il profilo di potenziale `e la linea verde. Gli stati degeneri che compongono i livelli di Landau si ibridizzano a causa del tunneling fra i due pozzi andando a formare stati simmetrici (funzione d’onda blu) per inversione rispetto al piano mediano e stati antisimmetrici (funzione d’onda viola), con un gap in energia ∆_SAS (Simmetrico- AntiSimmetrico). A fattore di riempimento totale ν = 1/2 + 1/2 = 1 tutti gli stati simmetrici sono occupati e un gap ∆_SAS finito conduce al verificarsi del QHE.

condensato eccitonico in un doppio strato di grafene debolmente accoppiato, discutendo la sua validit`a anche in presenza dello schermo dell’interazione interstrato. Infine vedremo in maniera sommaria quale sia l’effetto del disordine, in particolare se ci si pu`o ancora aspettare un condensato in presenza di impurezze sull’uno e sull’altro strato.

3.1 Condensazione eccitonica in regime di ef-

fetto Hall quantistico

Prima di occuparci di come avviene la condensazione di coppie elettrone-buca in doppi strati in regime Hall dobbiamo introdurre alcuni concetti chiave per questi sistemi, in particolare quali siano le novit`a che l’effetto Hall presenta nei doppi strati rispetto agli strati singoli. A titolo di esempio accenneremo al QHE osservato a fattore di riempimento ν = 1/2, osservato sperimentalmente nei doppi strati ma non presente negli strati singoli, per poi passare allo stato con rottura spontanea di simmetria a ν = 1, rilevante ai fini della discussione sui condensati eccitonici.

3. Condensati di eccitoni

3.1.1 Effetto Hall in sistemi a doppio strato

Una rappresentazione schematica di un doppio strato in un’eterostruttura di AlGaAs `e data in Fig. 3.1.

Supponiamo che la densità dei 2-DEG nei due pozzi sia esattamente iden- tica, inoltre la barriera di potenziale è inizialmente cos`ı alta da sopprimere il tunneling e sufficientemente larga da rendere l’interazione coulombiana trascurabile. In un campo magnetico intenso lo spettro dei due sistemi di elettroni bidimensionali sarà identico a quello di uno strato preso singolarmente. Se i due strati sono connessi in parallelo (la situazione più facile da realizzare sperimentalmente) si osserveranno i plateau nella conduttanza trasversa a valori doppi di quanto si osserverebbe considerando un singolo strato. Se chiamiamo ν il fattore di riempimento totale del doppio strato2

avremo effetto Hall quantistico intero per ν = 2, 4, 6, . . . e frazionario per ν = 2/3, 4/5, 6/7, . . . . Non si osserva effetto Hall per valori dispari o per valori frazionari con numeratore dispari.

Supponiamo ora di avere una barriera tale da rendere apprezzabile l’am- piezza di tunneling, ma l’interazione coulombiana comunque trascurabile. In assenza di tunneling ogni stato di singola particella `e doppiamente degenere, accendendo il tunneling interstrato gli stati in ciascun pozzo si ibridizzano in componenti simmetriche e antisimmetriche [93]. I nuovi stati sono separati da un gap energetico ∆SAS che dipende dalla barriera di potenziale.

L’esistenza di un nuovo gap modifica in maniera profonda lo spettro degli effetti Hall quantistici che si osservano. Ad esempio nel caso disaccoppiato non avremo QHE a ν = 1 poich`e questo implicherebbe QHE a ν = 1/2 negli strati presi singolarmente. In presenza di tunneling invece, ogni qual volta il livello di Fermi si trova nel gap S-AS di qualche sottolivello di Landau, compare QHE per valori interi dispari. Il QHE a ν = 1 `e dato dal riempire un livello di Landau composto da stati simmetrici nel doppio strato e non da coppie di stati distinti localizzati rispettivamente nei due pozzi.

Se la barriera è al contempo molto stretta e alta il tunneling sarà trascurabile, mentre l’interazione interstrato produce effetti importanti. È stato visto, inizialmente a livello teorico, che in questa situazione esistono nuovi stati di QHE la cui natura è legata intrisecamente al doppio strato [86, 87]. Succes- sivamente numerose frazioni di QHE in doppi strati sono state studiate [88] usando le funzioni d’onda a due componenti proposte da Halperin [8].

Questi stati tipici del doppio strato dipendono criticamente da un delicato equilibrio fra interazioni coulombiane inter- e intra-strato, equilibrio parame- trizzato in maniera conveniente dal rapporto d/`B in cui d `e la distanza fra i

2_{ν = n}

tot/nstati in cui nstati = eB/(hc) sono gli stati per unit`a di superficie in un

Condensazione eccitonica in regime di effetto Hall quantistico 3.1

Figura 3.2: Resistenza longitudinale e resistenza di Hall al variare del campo magnetico in un doppio strato. Il plateau a ρ_xy = 2h/e2e il minimo nella resistenza longitudinale sono ben visibili. Sono anche visibili le altre frazioni ν = 2 e ν = 2/3 corrispondenti agli strati disaccoppiati, mentre la frazione ν = 1 si pu`o spiegare tramite il gap ∆_SAS o tramite l’interazione Coulombiana, nel qual caso pu`o essere interpretata come un superfluido di eccitoni. Figura tratta dalla referenza [90].

punti medi dei pozzi e `B la lunghezza magnetica. Dal momento che, ad un

dato fattore di riempimento, `B `e proporzionale alla distanza media fra gli

elettroni, il rapporto d/`B `e proporzionale al rapporto fra energie di intera-

zione intra- e inter-strato. Tale rapporto deve essere dell’ordine di 1 affinch`e questi nuovi stati siano stabili (per lo meno in sistemi in cui gli strati sono infinitamente sottili).

Un importante passo avanti nella comprensione dell’effetto Hall quantistico frazionario lo si deve alle funzioni d’onda di tipo Laughlin [6, 77] che catturano in maniera sorprendentemente buona le correlazioni dello stato fondamentale di un liquido elettronico in un campo magnetico. Halperin [8] ha ulteriormente generalizzato queste funzioni a sistemi con un maggior numero di gradi libert`a, con l’idea di studiare l’effetto dello spin quando lo splitting Zeeman `e piccolo rispetto alla separazione dei livelli di Landau. Naturalmen- te tali funzioni d’onda possono descrive sia la degenerazione di spin che la degenerazione di strato (chiamata talvolta pseudospin).

3. Condensati di eccitoni

la fisica dell’effetto Hall nei doppi strati `e stata l’osservazione della frazione ν = 1/2 con un plateau nella resistenza di Hall ρxy = 2h/e2 (vedi Fig. 3.2).

Non `e possibile spiegare questa frazione se non in termini di interazione Coulombiana.

La funzione d’onda di Halperin che cattura la fisica della frazione ν = 1/2 è Ψ331(zi, wk) = Y i<j (zi−zj)3 Y m,n (zm−wn) Y k<l (wk−wl)3 Y r e−|zr |₄2 Y s e−|ws|₄2 _. (3.1) z e w sono le coordinate complesse x+iy di un elettrone rispettivamente sul- lo strato superiore e inferiore misurate in unità della lunghezza magnetica. Ψ331 è della forma polinomio nelle variabili complesse z, w × fattori espo-

nenziali per cui è costruita con stati di singola particelle del solo livello di Landau a energia inferiore [6, 77]. Inoltre è antisimmetrica nelle coordinate elettroniche e ha un limite termodinamico ben definito in cui rappresenta due ‘gocce’ sovrapposte di liquido di Hall con densità uniforme. La prima e la terza produttoria sono i fattori che si trovano nella funzione di Laughlin per la frazione ν = 1/3 e descrivono le correlazioni intrastrato. La seconda produttoria invece forza a zero la funzione d’onda quando due elettroni su strati diversi sono opposti l’uno all’altro. In maniera abbastanza approssimativa, Ψ331 rappresenta due stati a fattore di riempimento 1/3 in cui elettroni in uno

strato si muovono all’unisono con le quasibuche nell’altro strato. Ricordiamo infatti che [6, 77] Ψ(wk; z) = Y n (z − wn) Y k<l (wk−wl)3 Y s e−|ws|2 4 , (3.2)

in cui ora z `e semplicemente un parametro, non `e altro che la funzione d’onda per lo stato eccitato di un liquido di Hall a ν = 1/3 con una quasibuca in z. L’energia viene dunque minimizzata in due modi, da un lato gli elettroni in un singolo strato sono tenuti separati dal decadimento con il cubo della separazione, dall’altro gli elettroni viaggiano in concomitanza di zone con un deficit di carica nello strato opposto.

Si può facilmente dimostrare, tramite l’analogia con un plasma carico bidimensionale [10], che il fattore di riempimento di ciascuno strato è 1/4 per cui ν = 1/2. A questa particolare frazione si ha una relazione di commen- surabilità fra il numero di elettroni in ciascuno strato e il numero di flussi magnetici sulla superficie3 _{(1 a 3), in più abbiamo che ad ogni quasibuca in}

3_{In effetti si pu`}_{o studiare l’effetto Hall dal punto di vista delle quasiparticelle composte}

Condensazione eccitonica in regime di effetto Hall quantistico 3.1

uno strato corrisponde esattamente un elettrone nell’altro strato. Il liquido elettronico ha dunque una struttura particolarmente rigida, infatti per adattarsi a piccole variazioni di campo magnetico o densità che rompono le relazioni di commensurabilità descritte sopra il sistema deve passare a stati eccitati separati da un gap in energia finito rispetto al fondamentale. Si dice che il liquido elettronico è incompressibile dal momento che la compressibilità κ (diminuzione relativa dell’area all’aumentare del volume) è data da

κ−1 _{≡ −}_A∂P

∂A = n2 dµ

dn (3.3)

e in presenza di un gap energetico il potenziale chimico µ ha una discontinuit`a al variare della densit`a.

Il gap in energia di natura puramente Coulombiana per ν = 1/2 gioca lo stesso ruolo della separazione finita tra i livelli di Landau nell’effetto Hall quantistico intero, per cui si osserva un plateau nella resistenza di Hall e un minimo nella resistenza longitudinale.

Nel documento Effetto Josephson attraverso doppi strati di grafene (pagine 37-47)