3.2 Condensazione in doppi strati di grafene
3.2.3 Il problema dello screening
Nel calcolo esposto brevemente nella sezione precedente abbiamo impiegato i potenziali intra- e interstrato non schermati dal liquido elettronico. `E cosa nota [94, 73] che la teoria di campo medio trascura le correlazioni respon- sabili dello schermo del potenziale di interazione. Efetov [37] ha messo in
14L’energia cinetica `e `
e dell’ordine di ~vFkF mentre l’energia di interazione media vale
e2k
F/ε. Il loro rapporto α = e2/ε~vF`e una costante di struttura fine efficace per il grafene
in analogia alla costante definita in elettrodinamica quantistica. `E importante notare che per elettroni nel vuoto α ≈ 1/137 per cui si pu`o fare teoria perturbativa, mentre nel grafene α ≈ 1 per cui le interazioni non sono mai deboli a qualunque densit`a. In un gas di elettroni non relativistici invece la densit`a controlla l’importanza relativa delle energie cinetica e potenziale.
Condensazione in doppi strati di grafene 3.2
luce come l’inclusione degli effetti di schermo riduca drasticamente la tem- peratura di transizione rispetto alle stime ottenute utilizzando il potenziale non schermato [12, 41]. Il ragionamento parte dal considerare il potenziale di interazione interstrato schermato in approssimazione RPA
V(D)
scr (q) = V (q)e
−qd
1 − 2V (q)χ(q) + (V (q)χ(q))2(1 − e−2qd) (3.34)
χ(q) `e la funzione di risposta densit`a-densit`a statica del grafene mentre V (q) = 2πe2/(εq) `e la solita trasformata del potenziale coulombiano in due
dimensioni. La funzione di risposta del grafene `e costante per momento tra- sferito |q| < 2kF, che `e l’intervallo di interesse per il nostro problema, e
vale [110]
χ(q) = −gsgv2π~εF2v2
F
= −gsgvD(εF) . (3.35)
Abbiamo isolato la densit`a di stati D(εF) al livello di Fermi per spin e per
valle. Il valore massimo dell’interazione si ha per q = 0 e vale
V (q = 0) = 2g 1
sgvD(εF) (1 + 2πe2gsgsD(εF)d/ε)
. (3.36)
La quantit`a κ2 = 2πe2gsgvD(εF)/ε ha le dimensioni di dell’inverso di una
lunghezza e viene chiamata vettore d’onda di Thomas-Fermi in due dimen- sioni. A differenza del caso tridimensionale in cui per κ3r 1 il potenziale
viene esponenzialmente soppresso, nel caso bidimensionale per κ2r 1 si
ha un’interazione che decade come r−3. Questo perch`e a grandi distanze, a
causa del confinamento bidimensionale della carica schermante, si ha che il primo termine nello sviluppo in multipoli `e quello di quadrupolo [94].
Vogliamo dare una stima della massima interazione possibile per cui ci mettiamo nella condizione limite in cui la distanza fra gli strati d sia tale per cui κ2d 1 per cui il potenziale schermato ha come limite superiore
Vmax = 2g 1 sgvD(εF)
. (3.37)
Il fattore 2 `e dovuto, in ultima analisi, alla degenerazione di strato gl= 2.
Useremo questo risultato per stimare la temperatura critica della transi- zione eccitonica [37] usando l’usuale approccio BCS [111] valido nel caso di accoppiamento debole15. Si suppone che quindi che ∆⊥
k sia non nullo solo in
un sottile guscio attorno alla superficie di Fermi, il cui spessore `e dato, nel
15L’approssimazione di accoppiamento debole `e consistente solo se T
c εF, come stiamo
3. Condensati di eccitoni
caso dei superconduttori, dall’energia di Debye, mentre nel caso eccitonico si vede che il potenziale schermato dinamicamente `e attrattivo per frequenze minori di una certa frequenza di taglio legata alla dispersione dei modi pla- smonici nel grafene [42]. Ci `e dunque sufficiente sapere che la condensazione avviene attorno all’energia di Fermi εF in un intervallo di energia AεF, in cui
A `e una costante piccola.
In questo limite l’integrazione radiale in k0 disaccoppia dall’integrazione
angolare nell’equazione di autoconsistenza (3.27) per il potenziale di pairing in quanto possiamo approssimare V(D)(k−k0) ≈ V(D)(2k
Fsinφ2) e otteniamo ∆⊥ k = 1 (2π)2 (1+A)kF Z (1−A)kF k0dk0 Z 2π 0 dφ V (D)(2k Fsinφ2) 1 + cos φ 2 ∆⊥ k0 2Ek0 tanhβEk0 2 . (3.38) Ek = p(~vFk − εF)2+ |∆k|2 sono le energie di eccitazione delle quasiparti-
celle. Al solito si prende ∆⊥
k = ∆ costante nell’equazione (3.38), che pu`o
essere dunque determinata da 1 V = 1 2π (1+A)kF Z (1−A)kF kdk2E1 ktanh βEk 2 = D(εF) Z AεF 0 dε 1 p ε2+ |∆|2 tanh βpε2+ |∆|2 2 , (3.39)
in cui abbiamo posto V = Z 2π 0 dφ 2πV(D)(2kFsinφ2) 1 + cos φ 2 . (3.40)
La temperatura critica si ottiene [111] ponendo ∆ = 0 e risolvendo la 1 D(εF)V =Z AβcεF/2 0 tanh ε ε = ln A0ε F Tc , (3.41)
dove A0 `e ancora una costante piccola, per cui, usando la (3.37) nella (3.40),
Tc< εFe −1/(D(εF)V ) < ε Fe −2/(D(εF)Vmax) = ε Fe −2gsglgv ≈10−7ε F . (3.42)
L’ulteriore fattore 2 `e dovuto al fattore chirale nella (3.40).
Una stima ottimistica della temperatura critica massima `e Tmax
c ≈1 mK
che si ottiene per εF ≈ 0.3 eV e richiede d < 0.2 nm per soddifare alla con-
Condensazione in doppi strati di grafene 3.2
inferiore alla temperatura critica ottenuta tramite la teoria di campo medio, bench`e, come gi`a osservato, nel limite di accoppiamento debole le due tenda- no a coincidere [40]. `E dunque chiaro come l’elevato numero di specie diverse di fermioni renderebbe l’osservazione del condensato eccitonico probitiva.
D’altra parte le propriet`a di screening del condensato sono molto diverse da quelle dello stato normale. Bistritzer et al. [38] sostengono che due distinte soluzioni emergano quando la teoria di campo medio `e combinata con la teoria di schermo di Thomas e Fermi, da una parte la soluzione discussa sopra con temperatura critica bassa e dall’altra una soluzione a temperatura critica alta. Inoltre sembra difficile che la soluzione con Tc bassa possa essere
realistica ad ogni valore della distanza degli strati. Al diminuire della distanza dovrebbe verificarsi una transizione di fase del primo ordine da uno stato privo di coerenza spontanea allo stato con elevata temperatura critica.
Dal momento che `e difficile trattare lo schermo dinamico nel condensato, Bistritzer et al. [38] adottano l’approssimazione statica di Thomas-Fermi. In tale approssimazione il potenziale schermato vale
Vscr = 12 V
S + VD
1 + χ+(VS + VD) ±
VS−VD
1 + χ−(VS−VD) (3.43)
Il segno pi`u si riferisce al potenziale schermato interstrato, il meno a quello intrastrato. χ+ = χS + χD e χ− = χS −χD sono definite in termini delle
funzioni di risposta densit`a-densit`a statiche intrastrato χS e interstrato χD
che mettono in relazione la variazione di densit`a su uno strato che un po- tenziale esterno applicato rispettivamente allo stesso strato e all’altro strato. In prima approssimazione χD `e non nulla solo nello stato condensato. Po-
nendo dunque χD = 0 ritroviamo il risultato di Efetov. Se per`o calcoliamo
consistentemente χD nello stato condensato si trova che χ− non varia mol-
to rispetto allo stato normale, mentre a causa del gap χ+ tende a zero per
T → 0. Trascurando dunque il secondo termine nella (3.43) otteniamo il risultato abbastanza sorprendente che VD
scr ≈ (VS+ VD)/2. Sembra che lo
schermo incrementi l’interazione interstrato. Questo risultato non va preso alla lettera, ma come indicazione che l’esistenza del condensato a tempera- ture sperimentalmente accessibili `e verosimile anche se si tiene conto dello schermo statico alla Thomas-Fermi.