Il metodo della matrice di trasferimento

Partiamo dalle equazioni di Bogoliubov-de Gennes [119] che descrivono le funzioni d’onda elettroniche in presenza di un potenziale di pairing supercon- duttivo, in generale non uniforme. Per il grafene tali equazioni prendono il nome di equazioni di Dirac-Bogoliubov-de Gennes [118] (DBdG) e si scrivono

−_ivF~σ · ∇ − µ(x) ∆(x) ∆∗_{(x) iv} F~σ · ∇ + µ(x)   ψe ψh  = ε  ψe ψh  . (4.23)

Le energie sono misurate a partire dal livello di Fermi. La funzione d’onda si compone di due spinori ψe e ψh relativi ripettivamente alla componente

Effetto Josephson ed effetto prossimit`a nel grafene 4.2

Figura 4.1: Un foglio di grafene con due contatti superconduttori depositati sulla superficie a una distanza L. La densit`a di portatori di carica pu`o essere variata separatamente nelle regioni superconduttive e nella regione intermedia tramite elettrodi di gate, non mostrati in figura.

di elettrone e di buca della quasiparticelle (ricordiamo che, a causa del po- tenziale superconduttivo, abbiamo quasiparticelle che sono combinazione di stati di buca e stati di elettrone).

Prendiamo il potenziale di pairing e il potenziale chimico (o energia di Fermi se misuriamo le energie a partire dal punto di Dirac) costanti a tratti

∆(x) =      ∆eiφ/2 _{x < L/2 ,} 0 |x| < L/2 , ∆e−iφ/2 _{x > L/2 ,} (4.24) µ(x) =(µ0 |x| > L/2 , µ |x| < L/2 . (4.25)

Con questa scelta dei potenziali abbiamo deciso di modellizzare in manie- ra semplice i contatti superconduttivi depositati sullo strato di grafene. Si suppone che l’effetto dei contatti sia quello di generare un potenziale di pai- ring efficace nel grafene anche se di per s`e il grafene non `e superconduttivo. Questo `e l’approccio che viene solitamente utilizzato per i gas di elettroni bi- dimensionali a contatto con superconduttori [138]. Inoltre i contatti metallici aumentano considerevolmente la densit`a dei portatori di carica e per tener conto di questo porremo µ0 _{molto grande rispetto alle altre scale di energia in}

gioco. In generale i potenziali in gioco vanno calcolati autoconsistentemente e non `e ovvio a priori che la nostra scelta risulti una buona approssimazione. Lo `e solo nel caso in cui siano soddisfatte determinate condizioni:

• µ0 _{µ, ∆ che, in termini della lunghezza d’onda di Fermi λ}

F = hvF/µ,

`e equivalente a λ0

4. Effetto Josephson

del superconduttore. Intuitivamente questo `e dato dal fatto che la scala di lunghezza su cui variano i potenziali calcolati autoconsistentemente sia proprio λ0

F;

• l’interfaccia fra regione normale e regione superconduttiva deve essere liscia e priva di impurezze;

• il reticolo a nido d’ape del grafene rimane inalterato nel passare dalla regione normale alla regione superconduttiva.

Si pu`o vedere [120] che nell’ambito del formalismo di Bogoliubov-de Gen- nes [119] il termine nell’energia libera dipendente dalla fase `e dato da

F (φ) = − X

n|εn<∆

εn(φ) −

Z +∞

∆ dε ρ(ε, φ)ε . (4.26)

Abbiamo dunque un contributo dato dallo spettro discreto e un contributo dallo spettro continuo, associato alla densit`a degli stati ρ(ε, φ). La densit`a degli stati si pu`o calcolare, a meno di costanti indipendenti dalla fase, a partire dalla matrice di scattering secondo la formula [139]

ρ(ε, φ) = _2πi1 _∂ε∂ ln det S(ε, φ) . (4.27) S(ε, φ) `e la matrice di scattering della giunzione Non sar`a in realt`a necessario calcolare esplicitamente la matrice di scattering in quanto faremo uso della formula (4.27) solo per mostrare che il contributo del continuo `e trascurabile nel limite di giunzione corta.

Siamo dunque interessati al calcolo degli stati legati (ε < ∆) nella giun- zione, che possono essere trovati risolvendo l’equazione di BDdG nelle regioni in cui i potenziali sono costanti e “incollando” le soluzioni cos`ı ottenute. Un metodo equivalente e pi`u elegante fa uso della matrice di trasferimento. La matrice di trasferimento nella regione normale propaga la funzione d’onda ad una data energia da un lato all’altro della giunzione, per cui

ψe(L/2, y) = M(ε, q)ψe(−L/2, y) . (4.28)

In maniera analoga per le buche

ψh(L/2, y) = M(−ε, q)ψh(−L/2, y) . (4.29)

Abbiamo indicato con q il vettore d’onda trasverso che `e un buon numero quantico del problema per invarianza traslazionale lungo y. La simmetria

Effetto Josephson ed effetto prossimit`a nel grafene 4.2

sotto traslazioni nella direzione trasversa permette di fattorizzare nella fun- zione d’onda un fattore di fase eiqy _{riducendo il problema da bidimensionale}

a unidimensionale e questo permette di applicare il formalismo della matrice di trasferimento. La matrice di trasferimento si ottiene dalle soluzioni (2.32) dell’Hamiltoniana elettronica H = −ivF~σ · ∇ − µ (per le buche abbiamo

−H) raccolte nella matrice

Λ(ε, q) = Λ(ε, q)−_{1 = √} 1 2 cos α  e−iα/2 _eiα/2 eiα/2 _−e−iα/2  , (4.30)

in cui α(ε, q) = arcsin [~vFq/(ε + µ)]. Onde con ε e q fissati si propagano

con vettore d’onda longitudinale k(ε, q) = (~vF)

−1_{(ε + µ) cos α(ε, q), per cui}

otteniamo per M(ε, q) l’espressione [117, 80]

M= Λ  eikL ₀ 0 e−_ikL  Λ−1 ₌ 1 cos α  cos(kL − α) i sin(kL) i sin(kL) cos(kL + α)  . (4.31) Risolvendo invece per l’equazione di BDdG nella regione supercondut- tiva otteniamo delle condizioni al bordo che accoppiano lo spinore relativo all’elettrone allo spinore della buca

ψh(−L/2, y) = A(ε, φ)ψe(−L/2, y), ψh(L/2, y) = A−1(ε, φ)ψe(L/2, y) ,

A(ε, φ) = e−iφ/2eiβσx, β = arccos ε

∆ . (4.32)

Abbiamo derivato queste equazioni nell’Appendice D (vedi anche [118]). Le relazioni (4.32) sono l’espressione matematica della riflessione di Andreev per cui un elettrone viene riflesso come buca all’interfaccia SN. La condizione per l’esistenza di uno stato legato `e che la matrice di trasferimento complessiva, che propaga la funzione d’onda da x = −L/2 a x = L/2 e poi nuovamente fino a x = −L/2, abbia autovalore uno. Questa condizione pu`o essere scritta in forma determinantale

det 1 − M−_{1(ε, q)A(ε, φ)M(−ε, q)A(ε, φ) = 0 , (4.33)}

che dobbiamo risolvere in ε in funzione di q e φ. La (4.33) fornisce la condizione di quantizzazione

cos φ = 

cos θ+cos θ−+ sin θ+sin θ − cos α+cos α−  cos 2β + sin θ +cos θ− cos α+ − sin θ−cos θ+ cos α− 

sin 2β − sin θ−sin θ₊tan α₊tan α− .

4. Effetto Josephson

Abbiamo usato le abbreviazioni α± = α(±ε) e θ± = k(±ε)L. Analizziamo il

caso di giunzione corta, per cui la lunghezza di coerenza del superconduttore `e molto maggiore della lunghezza L della giunzione. In termini delle scale di energia in gioco si ha ∆  ~vF/L. La matrice di trasferimento nella regione

normale varia in modo significativo solo se ε varia di almeno ~vF/L [124].

Al primo ordine nella quantit`a piccola ∆L/~vF, possiamo dunque sostituire

α± → α(0) e θ± → k(0)L. Si trova un’unico stato legato per ogni modo

trasverso

ε(q, φ) = ∆q1 − τ(q) sin2_{(φ/2) (4.35)}

in cui abbiamo definito i coefficienti τ(q) come

τ(q) = kq2

k2

qcos2(kqL) + (µ/~vF)2sin2(kqL)

(4.36)

kq = p(µ/~vF)2−q2 . (4.37)

Confrontando questo risultato con quelli della Ref. [141], riconosciamo nei τq i coefficienti di trasmissione per un foglio di grafene tra due contatti con

alta densit`a di portatori di carica (∆ = 0, µ0 _{µ). La resistenza nello stato}

normale `e dunque data da

R−1 N = 4e 2 ~ X q τq (4.38)

Se la larghezza W della giunzione `e molto maggiore della lunghezza il tipo di condizione al bordo che si sceglie ha un effetto irrilevante sulle propriet`a di trasporto. Una scelta conveniente `e la condizione di “massa infinita” [141] per cui il vettore d’onda trasverso `e quantizzato della forma qn = (n+1/2)π/W . I

primi Nmodi= N(µ) = µW/π~vF modi sono propaganti (k reale), i rimanenti

sono evanescenti (k immaginario).

Il contributo alla corrente dato dallo spettro discreto `e (includendo la degenerazione di spin e valle g = 4)

I(φ) = e∆ ~ +∞ X n=0 τ(qn) sin φ [1 − τ(qn) sin2(φ/2)]1/2 . (4.39)

Lo spettro continuo da un contributo dell’ordine di L/ξ. Infatti la matrice di scattering, nella nostra approssimazione, vale S(ε, φ) ≈ S(0, φ), per cui ρ(ε, φ) ≈ 0.

Possiamo distinguere due regimi distinti, µ  ~vF/L che corrisponde a

Effetto Josephson ed effetto prossimit`a nel grafene 4.2

~vF/L che corrisponde a grafene molto drogato. Nel primo caso otteniamo

un’espressione analitica per la corrente Josephson I(φ) = e∆ ~ 2W πL cos(φ/2)arctanh[sin(φ/2)] , (4.40) Ic= 1.33e∆ ~ W πL , IcRN = 2.08∆/e . (4.41)

La corrente Josephson in grafene ballistico ha la stessa forma che per una regione normale metallica con delle impurezze presenti (cfr. Ref. [142]), dopo aver operato la sostituzione kF` = 1 (` `e il cammino libero medio).

Nel secondo regime abbiamo invece (non si ha un’espressione analitica per I(φ))

Ic= 1.22e∆

~ Nmodi, IcRN = 2.44∆/e . (4.42) Nmodi`e il numero di modi propaganti nella giunzione. Al punto di Dirac sono

invece i modi evanescenti responsabili del trasporto.

Combinando le due espressioni per le correnti critiche otteniamo la legge di scala, valida in entrambi i regimi,

Ic≈ e∆

~ max{W/L, 2πW/λF} (4.43)

Il risultato importante dello studio della corrente critica nel grafene `e l’an- damento come 1/L vicino al punto di Dirac, che `e tipico di regioni resistive pi`u lunghe del cammino libero medio. Normalmente nei dispositivi balistici la corrente critica non dipende dalla lunghezza nel regime di giunzione corta. Un analogo comportamento si ha nel caso di trasporto normale attraverso