Effetti del disordine

In questa sezione riassumeremo brevemente in che modo il disordine influenzi il condensato eccitonico.

Secondo recenti studi [113] sulle propriet`a di trasporto del grafene il prin- cipale meccanismo di scattering sono impurezze cariche poste vicino alle in-

3. Condensati di eccitoni

terfacce tra il dielettrico e il foglio di grafene. Ci aspettiamo quindi che il disordine agisca in maniera asimmetrica sui due strati, in altre parole il po- tenziale dovuto al disordine tende a scatterare in direzioni diverse l’elettrone e la buca che compongono un eccitone, distruggendo in effetti il condensato. `E utile a questo punto utilizzare l’analogia con i superconduttori. Le impu- rezza magnetiche in un superconduttore, agendo in maniera non banale nello spazio di spin, tendono a indebolire il pairing elettrone-elettrone, allo stesso modo in cui un’impurezza carica agisce in maniera non banale nello spazio di pseudospin (strato) e sopprime il condensato eccitonico nel doppio stra- to. Impurezze non magnetiche non rompono la simmetria sotto inversione temporale e in virt`u del Teorema di Anderson [111] non vanno a modifica- re apprezzabilmente la temperatura critica e il gap di un superconduttore. In un condensato eccitonico accadrebbe la stessa cosa se il potenziale delle impurezze non rompesse la simmetria elettrone-buca. Purtroppo nel caso di impurezze cariche questa non `e la norma.

Si vede [114] che la funzione di Green per il doppio strato calcolata usando l’approssimazione di Born autoconsistente `e identica a quella di un supercon- duttore in presenza di impurezze magnetiche. Il modo in cui il disordine in- fluenza il doppio strato pu`o essere facilmente compreso attingendo ai risultati di Abrikosov e Gor’kov [115, 116]. Il parametro di rottura del pairing nella teoria di Abrikosov-Gor’kov deve essere riconosciuto in δ = 1/2τS+ 1/2τD in

cui τS = τ↑↑= τ↓↓ e τD = τ↑↓= τ↓↑ sono vite medie definite da

1 2τµν = niεF 2v2 F Z dθ 2π <e U ∗ µ(θ)Uν(θ)1 + cos θ₂ . (3.44)

ni `e la densit`a di centri scatteratori e Uµ(θ) la trasformata del loro poten-

ziale che attorno all’energia di Fermi dipende solo dall’angolo θ fra l’impulso entrante e l’impulso uscente e dall’indice di strato µ.

A partire da δ si possono studiare molti effetti interessanti. Il gap ener- getico in presenza di disordine viene ridotto secondo la formula

∆dis(T ) = ∆(T ) " 1 −  δ ∆(T ) 2/3#3/2 (3.45) in cui ∆(T ) `e il gap in assenza di disordine. Abbiamo poi due soglie per il parametro δ. Quando δ > 0.8TCM

c il gap in energia si annulla, ma persiste la

coerenza di fase interstrato. La superfluidit`a viene invece distrutta quando δ > 0.88TCM

c . Usando anche il fatto che, nel regime di accoppiamento forte,

la temperatura critica di campo medio vale [12] TCM

c ≈0.1εF/(kFd) e la stima

Condensazione in doppi strati di grafene 3.2

Figura 3.10: Comportamento della temperatura di Kosterliz-Thouless con il disordine. Il disordine `e parametrizzato da α = δ/T_cCM. La linea solida corrisponde al sistema privo di disordine mentre i punti a valori di α pari a 0.1,0.5 e 0.8. Figura tratta dalla referenza [114].

massima densit`a di impurezze che il condensato pu`o sopportare. n = k2

F/π `e

la densit`a dei portatori di carica indotta dal campo elettrico esterno. Inoltre sappiamo che per avere condensazione in regime di accoppiamento forte le interazioni interstrato devono essere confrontabili con quello intrastrato [12], e questo si esprime con kFd . 1. Abbiamo dunque la condizione sulla densit`a

n2

id2π . n . _πd1₂ . (3.46)

Deduciamo che esiste una finestra per la densit`a che consente la condensa- zione eccitonica se nid2π . 1. Tipicamente ni = 1011÷1012cm−2 per grafene

deposto su substrati di SiO2, dunque d deve essere inferiore a 10 nm.

Possiamo anche analizzare il comportamento della temperatura di Kosterliz- Thouless. Senza entrare nei dettagli mostriamo in Fig. 3.10 i risultati [114].

3. Condensati di eccitoni

La forza del disordine `e parametrizzata da δ/TCM

c e tutte le energie sono

scalate con TCM

c . Nel regime di accoppiamento debole (εF/TcCM 1) TKT `e

dell’ordine di TCM

c per cui l’effetto del disordine pu`o essere dedotto dall’ef-

fetto su TCM

c . Inoltre il gap alla temperatura di Kosterliz-Thouless ∆(TKT) `e

necessariamente piccolo per cui il disordine avr`a un effetto notevole su TKT.

Nel regime di accoppiamento forte TKT/TcCM `e piccola dunque ∆(TKT) sar`a

grande e il disordine ridurr`a di poco la temperatura critica del condensato eccitonico. Quindi anche in presenza di disordine si prevede l’esistenza di un condensato eccitonico a temperatura ambiente.

Capitolo 4

Effetto Josephson

In questo capitolo capitolo completiamo l’introduzione alla fisica necessaria alla discussione del lavoro originale presentato in questa tesi. Tratteremo dell’effetto Josephson [129, 140] in maniera generale e ne deriveremo le equa- zioni essenziali a partire da un modello a due stati, in effetti il pi`u semplice possibile per descrivere la corrente non dissipativa che attraversa due regioni superconduttive separate da una sottile barriera di materiale normale. Nella seconda parte ci occuperemo nello specifico dell’effetto Josephson per quan- to concerne il grafene. Innanzittutto presenteremo nel dettaglio il calcolo effettuato da Beenakker et al. [117] per la corrente critica in una giunzione Josephson su grafene, che rappresenta la base per il lavoro originale da me effettuato. Presentiamo poi un’ulteriore studio numerico (Black-Schaffer et al. [121]) che ne conferma e ne estende i risultati trattando autoconsistente- mente il potenziale di pairing. Infine vedremo alcuni risultati sperimentali sul comportamento del grafene prossimizzato da contatti superconduttori.

4.1

Introduzione alla fisica dell’effetto Jose-

phson: un semplice modello

La superconduttivit`a rimase un mistero insoluto fino al 1956, anno della presentazione della teoria BCS [14, 15]. In precedenza erano stati elaborati modelli sempre fenomenologici ma comunque di cruciale importanza per ave- re accesso alla natura della superconduttivit`a. Il pi`u importante fra questi `e la teoria di Ginzburg e Landau [130] in cui la variabile dinamica fondamen- tale `e un campo complesso ψ che soddisfa un’equazione analoga a quella di Schroedinger a meno dell’aggiunta di un termine non lineare. L’intuizione es- senziale alla base della teoria `e riconoscere in ψ il parametro d’ordine corretto che descrive un materiale superconduttore. Ginzburg e Landau arrivarono

4. Effetto Josephson

a questo risultato in modo euristico e solo pi`u tardi, grazie alla teoria BCS, si trov`o che l’interpretazione corretta per tale campo complesso `e quella di una funzione d’onda collettiva in cui condensano un numero macroscopico di elettroni, o meglio, coppie di elettroni legati. Si deve a Gor’kov [131] la giustificazione formale della teoria di Ginzburg-Landau a partire dalla teoria microscopica BCS. Egli trov`o che il modulo quadro del campo di Ginzburg- Landau `e proporzionale al gap in energia definito localmente o, in altre parole, alla densit`a di coppie elettrone-elettrone. Dunque abbiamo

ψ = ρ1/2_(x)eiφ(x) _{. (4.1)}

φ `e la fase comune a tutte coppie che abbiamo assunto essere una funzione lentamente variabile dello spazio. Tale fase esprime la coerenza macroscopica del sistema dal momento che un’unico stato quantistico `e macroscopicamente occupato. L’espressione generale dell’operatore corrente per una particella non relativistica `e J = e ∗ m∗ i~ 2 (ψ∇ψ ∗_−ψ∗_{∇ψ) −}e∗ cA|ψ|2  (4.2) Abbiamo introdotto una carica e∗_{e una massa m}∗ _{efficaci in quanto sappiamo}

che i portatori della supercorrente non sono elettroni bens`ıcoppie di elettroni. Si pone usualmente e∗ _{= 2e mentre la massa dipende sostanzialmente dalla}

normalizzazione di ψ. Solitamente m∗ _{= 2m dove m `e la massa dell’elettrone.}

Usando (4.1) nella corrente otteniamo J= ρe m  ~∇φ − 2e_c A  . (4.3)

Sotto trasformazioni di gauge generali del potenziale vettore A e del po- tenziale elettrostatico V (χ(x, t) `e una funzione arbitraria dello spazio e del tempo)

A= A + ∇χ (4.4)

V = V +∂χ_∂t (4.5)

la corrente non deve variare. Questo accade se ψ trasforma come

ψ → ψe2ieχ/~c _{, (4.6)}

che `e esattamente il comportamento di un’ordinaria funzione d’onda per una particella con carica 2e sotto trasformazioni di gauge. Le supercorrenti sono associate a gradienti della fase, in accordo con il fatto che la fase non `e

Introduzione alla fisica dell’effetto Josephson: un semplice modello 4.1

direttamente osservabile, mentre solo le differenze di fase hanno significato fisico.

Si vede dalle (4.5) e (4.6) che in generale ψ dipender`a dal tempo. Dalla teoria di Gor’kov abbiamo, a meno di costanti, che ψ(x, t) = ψ(x) exp(−2iµt/~), in cui 2µ `e il doppio del potenziale elettrochimico ovvero l’energia necessa- ria per aggiungere una coppia di Cooper al sistema. L’ampiezza ψ sod- disfa dunque la solita equazione di evoluzione temporale per un autostato dell’energia

i~∂ψ(t)

∂t = 2µψ(t) . (4.7)

Se due materiali superconduttori S1 e S2 sono posti a grande distanza fra

di loro saranno sicuramente indipendenti l’uno dall’altro e possiamo assegna- re un valore arbitrario alle fasi φ1 e φ2 che prendiamo costanti in assenza di

supercorrenti all’interno dei due blocchi. Immaginiamo ora di porli comun- que separati ma molto vicini (. 10 ˚A). Accade che le funzioni d’onda delle coppie in S1 attraversano la regione di separazione e le loro code esponenziali

si estendono in S2 e lo stesso accade da S2 a S1. In questa situazione non `e

pi`u possibile assegnare fasi arbitrarie, a causa della relazione di coerenza che si `e stabilita in una certa misura fra S1e S2. Al variare della differenza di fase

φ1−φ2 si hanno ora effetti fisici rilevanti: una differenza di fase finita tra S1 e

S2 corrisponde a un gradiente della fase e infatti si osserva sperimentalmente

una corrente non dissipativa che percorre la giunzione. Anderson, che per primo osser`o questo fenomeno [132], ha coniato il termine “superconduttivit`a debole” per descrivere fenomeni in cui si osservano propriet`a supercondut- tive dovute alla prossimit`a con superconduttori (nel nostro caso la barriera isolante intermedia). Tale effetto `e meglio conosciuto come effetto Josephson a partire da Josephson che lo predisse [129] perturbativamente considerando un debole tunneling fra i due estremi della giunzione.

A differenza di Josephson useremo un modello estremamente semplificato basato su sistema a due livelli che, nonostante tutto, contiene la fisica essen- ziale del fenomeno. Seguiamo la magistrale trattazione data da Feynman1

nelle sue Lectures [133], mentre per una giustificazione pi`u approfondita in relazione alla teoria BCS rimandiamo a Rogovin e Scully [134].

Come abbiamo detto abbiamo a che fare con stati quantistici macrosco- picamente definiti in quanto occupati da un numero macroscopico di cop- pie. Adottiamo dunque la semplificazione che consiste nel descrivere cia- scun superconduttore con un singolo stato quantistico, che indicheremo con |1i per S₁ e |2i per S₂. In generale lo stato del sistema `e descritto dalla

1_{A quanto mi risulta tale descrizione dell’effetto Josephson `e un’idea originale dello}

4. Effetto Josephson

sovrapposizione coerente degli stati dei due superconduttori

|ψi = ψ₁|1i + ψ₂|2i . (4.8)

Non si richiede che tale stato sia normalizzato in quanto interpretiamo |ψ1|2 =

ρ1 e |ψ2|2 = ρ2 come densit`a di coppie di Cooper. L’evoluzione del sistema `e

descritta dall’Hamiltoniana H= H₁+ H_T + H₂ , (4.9) in cui H₁ = 2µ₁|1ih1| , (4.10) H₂ = 2µ₂|2ih2| , (4.11) H_T = K [|1ih2| + |2ih1|] . (4.12)

H₁ e H₂ rappresentano l’evoluzione temporale dei superconduttori presi se- paratamente data da (4.7), mentre HT `e il debole accoppiamento dovuto al

tunneling attraverso la barriera isolante. Se non c’`e campo magnetico K pu`o essere preso reale senza perdita di generalit`a.

Otteniamo dunque per le ampiezze il sistema di equazioni i~∂ψ1(t)

∂t = 2µ1ψ1(t) + Kψ2(t) , (4.13)

i~∂ψ2(t)

∂t = 2µ2ψ2(t) + Kψ1(t) . (4.14)

Se applichiamo una differenza di potenziale costante V attraverso la giunzione avremo che, a meno di costanti, µ1 = eV/2 e µ2 = −eV/2. Scrivendo le

ampiezze in termini della densit`a e della fase ψ(1,2) = ρ1/2_(1,2)eiφ(1,2) e separando

le equazioni per le parti reale e immaginaria ∂ρ1 ∂t = 2K ~ √ρ1ρ2sin(φ1−φ2) (4.15) ∂ρ2 ∂t = − 2K ~ √ρ1ρ2sin(φ1−φ2) (4.16) ∂φ1 ∂t = K ~ rρ 2 ρ1 cos(φ1−φ2) + eV ~ (4.17) ∂φ2 ∂t = K ~ rρ 1 ρ2 cos(φ1−φ2) − eV ~ (4.18)

Definiamo la differenza di fase φ = φ1 −φ2 e la corrente J = ∂ρ_∂t1 = −∂ρ_∂t2.

Introduzione alla fisica dell’effetto Josephson: un semplice modello 4.1

in presenza di una corrente J 6= 0 mantengono costanti le densit`a in ρ1 e ρ2.

Non `e dunque una contraddizione considerare tali densit`a costanti anche se la loro derivata temporale `e non nulla2_{. Ponendo ρ}

1 = ρ2 = ρs e definendo

la corrente critica Jc= 2K√ρ1ρ2/~ arriviamo attraverso (4.15) e (4.16) alla

prima relazione fondamentale che descrive l’effetto Josephson

J = Jcsin φ . (4.19)

La differenza di fase `e legata alla differenza di potenziale nella seconda relazione fondamentale, ottenuta dalle (4.17) e (4.18),

∂φ ∂t =

2eV

~ . (4.20)

Per V = 0 la fase `e costante e questo produce in generale una corrente non dissipativa data dalla (4.19). La corrente massima `e data dalla corrente cri- tica Jc. Questo `e l’effetto Josephson in corrente continua. In presenza di una

differenza di potenziale finita la fase varia linearmente nel tempo per cui la corrente ha un andamento sinusoidale con frequenza eV/~. Si parla allora di effetto Josephson in corrente alternata. L’andamento sinusoidale della cor- rente `e tipico delle giunzioni con barriera isolante, in cui il trasporto della corrente avviene per effetto tunnel. Altri tipi di giunzioni, genericamente chiamate “connessioni deboli”, mantengono il carattere periodico della cor- rente ma la dipendenza funzionale pu`o variare. Ad esempio in una giunzione in cui la regione intermedia `e di materiale conduttore normale e la cui lun- ghezza `e maggiore della lunghezza di coerenza (giunzione lunga), si ottiene un andamento a dente di sega a temperatura nulla [126], mentre a temperatura finita si avvicina di pi`u a un andamento sinusoidale [125]. La dipendenza periodica della corrente `e un fatto che si pu`o dimostrare partendo da ipotesi molto generali [135].