Caso degenere

Z dν |V_νn|2 En⁽⁰⁾− Eν⁽⁰⁾ (12.25) 12.2

Caso degenere

Vediamo ora il caso in cui l’operatore imperturbato H0 ha autovalori degeneri. Indichiamo con

|n⁽⁰⁾i , |n^{0 (0)}i , |n^{00 (0)}i , . . . (12.26) gli autostati relativi ad uno stesso autovalore E(0)

n . Come è noto, la scelta di questi autostati non è univoca: in luogo di essi si possono scegliere s combinazioni lineari indipendenti di questi stati, dove s è l’ordine di degenerazione del livello E(0)

n . Il metodo perturbativo sviluppato in precedenza non è più valido quan-do gli autostati dell’energia sono degeneri. Nello sviluppo di questo metodo abbiamo infatti assunto l’esistenza di un unico e ben definito vettore di stato im-perturbato |n(0)i a cui tende il vettore di stato perturbato quando la perturbazione V tende a zero. In presenza di degenerazione, tuttavia, non è ovvio a priori a quale vettore di stato, combinazione lineare degli |n0 (0)i, tenda il ket perturbato in questo limite.

Per determinare il vettore di stato imperturbato cui tende il ket perturbato nel limite in cui la perturbazione tende a zero, e simultaneamente le correzioni al primo ordine dell’energia, consideriamo nuovamente l’eq. (12.9):

(E_n− E_k⁽⁰⁾) c_k =^X

m

V_kmc_m . (12.27)

Studiamo in primo luogo l’equazione all’ordine zero: 

E_n⁽⁰⁾− E_k^(0)c⁽⁰⁾_k = 0 , [Ordine 0] (12.28) che fornisce, evidentemente,

c⁽⁰⁾_k = 0 per k 6= n , n0

(si ha infatti E(0)

n = E_n⁽⁰⁾0 = . . . per tutti i livelli degeneri).

Poniamo quindi k = n nell’eq. (12.27), e consideriamo i termini del primo or-dine. Per le grandezze ck è allora sufficiente limitarsi all’approssimazione di ordine zero dell’eq. (12.29). Si ottiene in tal modo:

E_n⁽¹⁾c⁽⁰⁾_n =^X n0 Vnn0c⁽⁰⁾_n0 , (12.30) ossia X n0 V_nn0 − E(1) n δ_nn0
c(0) n0 = 0 , (12.31)

dove n , n0 assumono tutti i valori che numerano gli stati relativi all’operatore im-perturbato E(0)

n .

Il sistema (12.31) rappresenta un sistema di equazioni lineari omogenee che ammette, rispetto alle grandezze c(0)

n0 , soluzioni non nulle a condizione che il de-terminante formato con i coefficienti delle incognite si annulli. Si ottiene quindi l’equazione

det V − E_n⁽¹⁾I
= 0 , (12.32)

detta equazione secolare.

L’equazione secolare è un’equazione di grado s in E(1)

n ed ammette, in ge-nerale, s radici reali distinte. Sono precisamente queste radici che costituiscono le correzioni agli autovalori in prima approssimazione.

Sostituendo successivamente le radici dell’equazione secolare nel sistema (12.31) e risolvendo quest’ultimo, troviamo i coefficienti c(0)

n ed otteniamo così gli auto-stati nell’approssimazione zero. Questi autostati rappresentano le particolari combinazioni lineari di autostati degeneri |n^{0 (0)}i di H₀ cui si riducono gli autostati perturbati di H nel limite in cui la perturbazione V tende a zero.

Per effetto della perturbazione, il livello energetico inizialmente degenere cessa di essere tale; le radici dell’equazione secolare sono infatti generalmente distinte. Si dice che la perturbazione “rimuove” la degenerazione. Questa rimozione della degenerazione può essere completa o parziale.

Per il calcolo delle correzioni di ordine superiore agli autovalori ed agli au-tostati dell’Hamiltoniano H si procede in modo analogo al caso della teoria pertur-bativa non degenere. Si ottengono allora per queste correzioni, le stesse espressioni ottenute nel caso non degenere, con la sola differenza che, nella sommatoria, vengono esclusi tutti gli stati dell’Hamiltoniano imperturbato che appartengono al sottospazio degenere.

dipendenti dal tempo

Consideriamo qui le perturbazioni dipendenti esplicitamente dal tempo, in presenza delle quali, cioè, l’Hamiltoniano completo ha la forma

H = H₀+ V (t) , (13.1)

dove H0 non contiene il tempo esplicitamente. Si assume inoltre risolta l’equazione di Schrödinger per V (t) = 0, nel senso che gli autostati dell’Hamiltoniano H0 ed i suoi autovalori, definiti dall’equazione

H₀|n(0)i = E(0)

n |n(0)i (13.2)

sono noti completamente.

Notiamo che, essendo l’Hamiltoniano H dipendente dal tempo, non si può più parlare di correzioni agli autovalori dell’energia. L’energia non si conserva, e gli stati stazionari non esistono. Il problema consiste qui nel calcolo approssimato degli stati del sistema nella base degli stati stazionari del sistema imperturbato.

Scriviamo lo stato del sistema fisico al tempo t = 0 come combinazione lineare di autostati di H0:

|α, t = 0i =^X

k

c_k(0)|k⁽⁰⁾i . (13.3)

Lo stato del sistema al tempo t > 0 potrà allora essere espresso come

|α, ti =^X

k

ck(t) e⁻~ⁱE_k⁽⁰⁾t|k⁽⁰⁾i , (13.4)

dove la dipendenza temporale degli stati stazionari |k(0)i, dovuta all’Hamiltoniano imperturbato H0, è stata esplicitamente separata dai coefficienti ck(t). In questo

modo, l’evoluzione temporale dei coefficienti è dovuta esplicitamente alla presenza della perturbazione V (t). Si dice che i coefficienti ck(t) definiscono lo sviluppo del vettore di stato |α, ti nella rappresentazione di interazione.

I coefficienti ck(t) soddisfano un insieme di equazioni che può essere ottenuto applicando al vettore di stato |α, ti l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo,

i~^∂ ∂t|α, ti = H |α, ti . (13.5) Si ottiene: i~^∂ ∂t|α, ti =^X k  i~^dck dt ^{+ E} (0) k c_k  e⁻~ⁱE⁽⁰⁾_k t|k(0)i = = H |α, ti = (H₀+ V )^X k c_ke⁻~ⁱE_k⁽⁰⁾t|k⁽⁰⁾i = =^X k  E_k⁽⁰⁾+ V^c_k e⁻~ⁱE_k⁽⁰⁾t|k(0)i , (13.6) da cui segue X k i~^dck dt ^e −i ~E_k⁽⁰⁾t|k⁽⁰⁾i =^X k V c_ke⁻~ⁱE_k⁽⁰⁾t|k⁽⁰⁾i . (13.7)

Moltiplicando entrambi i membri di questa equazione per il bra hn(0)| otteniamo infine il sistema di equazioni esatte

i~^dcn(t) dt ⁼ X k V_nk(t) c_k(t) e^iωnkt , (13.8) dove si è posto ω_nk = ^E (0) n − E_k⁽⁰⁾ ~ (13.9)

e Vkn(t) sono gli elementi di matrice, dipendenti esplicitamente dal tempo,

V_nk(t) = hn⁽⁰⁾|V (t)|k(0)i . (13.10)

Ci proponiamo ora di risolvere le eq. (13.8) utilizzando la teoria delle pertur-bazioni. A tale scopo sviluppiamo i coefficienti cn(t) nella serie

dove il generico c(k)

n (t) è di ordine k nella perturbazione.

Sostituendo il precedente sviluppo nell’eq. (13.8) e considerando i termini di ordine zerosi ottiene

i~^dc (0) n (t) dt ^{= 0 ,} (13.12) da cui c⁽⁰⁾_n (t) =costante = cn(0) . (13.13) Questo risultato è consistente con l’aver definito i coefficienti cn(t) in modo tale che la loro dipendenza esplicita dal tempo sia determinata esplicitamente dalla presenza della perturbazione V (t).

Considerando nell’eq. (13.8) i termini del primo ordine in V si ottiene poi:

i~^dc (1) n (t) dt ⁼ X k V_nk(t) c_k(0) e^iωnkt , (13.14) avendo sostituito c(0)

k (t) con ck(0), in accordo con l’eq. (13.13). Questa espressione può essere esplicitamente integrata con la condizione al contorno c(1)

n (0) = 0, che segue direttamente dalla (13.13): cn(0) = c⁽⁰⁾n (0). Si ottiene in tal modo:

c⁽¹⁾_n (t) = −ⁱ ~ X k c_k(0) Z t 0 dt⁰ V_nk(t⁰)e^iωnkt0 , (13.15)

che determina lo stato del sistema al primo ordine dello sviluppo perturbativo. In molti casi pratici questa approssimazione risulta sufficiente e non ci soffermeremo qui a descrivere i termini di ordine più elevato. Si veda l’Appendice I di questo capitolo per la determinazione dei coefficienti c(2)

n (t)al secondo ordine della perturbazione. Nel seguito considereremo sempre il caso in cui all’istante t = 0 il sistema si trova in un autostato dell’Hamiltoniana imperturbata H0, ossia

|α, t = 0i = |i⁽⁰⁾i e dunque

(

c_i(0) = 1,

c_k(0) = 0, per k 6= i ^{. (13.16)}

In questo caso il modulo quadro del coefficiente cn(t) fornisce la probabilità che il sistema abbia effettuato, dopo un tempo t, una transizione nell’autostato |n(0)idi H₀:

per n 6= i. Al primo ordine Pi→n(t) ' |c⁽¹⁾n (t)|2 e l’eq. (13.15) fornisce semplicemente P_i→n(t) ' |c⁽¹⁾_n (t)|² = ¹ ~²     Z t 0 dt⁰ V_ni(t⁰)e^iωnit0     2 . (13.18)

13.1

Transizione per effetto di una perturbazione costante e

relazione di indeterminazione tempo-energia

Il metodo sviluppato è ancora valido quando l’energia di perturbazione V non dipende esplicitamente dal tempo t. In questo caso potremmo, se lo volessimo, trattare il sistema mediante la teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo e trovare i suoi stati stazionari. Tuttavia se ciò che vogliamo calcolare si riferisce esplicitamente al tempo, ad esempio dobbiamo calcolare le probabilità che il sistema si trovi in un certo stato ad un istante determinato, quando sia noto che esso si trovava in un certo stato ad un altro istante, allora il metodo della teoria delle perturbazioni dipendente dal tempo qui considerato risulta più conveniente.

Assumiamo dunque

V (t) = V (indipendente da t) . (13.19) dove l’operatore V è in generale funzione degli operatori impulso, posizione e spin.

Assumendo anche, come discusso in precedenza, che al tempo t = 0 il sistema si trovi nello stato stazionario |i(0)i dell’Hamiltoniano imperturbato H0, troviamo dall’eq. (13.15) l’espressione al primo ordine per il coefficiente cn(t):

c⁽¹⁾_n (t) = −ⁱ ~ Z t 0 dt⁰ V_nie^iωnit⁰ = = −ⁱ ~V_ni^e iωnit− 1 iω_ni ^{= −} 2i ~ V_ni e^iωnit/2 sen (ω_nit/2) ω_ni ^. (13.20)

Ricordando che ωni = (En⁽⁰⁾− E_i⁽⁰⁾)/~, la probabilità di transizione i → n, determinata al primo ordine dal modulo quadro |c(1)

n (t)|², risulta allora: Pi→n(t) = ^{4 |Vni}|2  En⁽⁰⁾− E_i^(0)2 sen^{2 E} (0) n − E_i⁽⁰⁾ 2~ ^t ! . (13.21)

Allo stesso risultato si giunge utilizzando la teoria delle perturbazioni indipendente dal tempo, evolvendo lo stato iniziale |α, t = 0i allo stato |α, ti. Si veda in proposito l’Appendice II di questo capitolo.

La probabilità di transizione allo stato |n(0)i, dunque, oltre ad essere propor-zionale all’elemento di matrice modulo quadro |Vni|2, dipende dalla differenza delle energie imperturbate (E(0)

n − E_i⁽⁰⁾). Per tempi sufficientemente grandi la funzione ha la forma

ossia la probabilità di transizione differisce apprezzabilmente da zero solo per quegli stati finali che soddisfano

|ω| = ^|E

(0)

n − E_i⁽⁰⁾|

~ . ^2π

t ^. (13.22)

In altri termini, se indichiamo con ∆t l’intervallo di tempo durante il quale la per-turbazione ha agito sul sistema e con ∆E = |E(0)

n − E_i⁽⁰⁾| la differenza delle ener-gie imperturbate relative agli stati finale ed iniziale, si può avere con probabilità apprezzabile una transizione solo se

∆E · ∆t ∼ ~ . (13.23)

Questa relazione è anche detta relazione di indeterminazione tempo-energia. L’espressione (13.21) per la probabilità di transizione i → n e la condizione (13.23) che ne segue esprimono il seguente risultato: se E(0)

n differisce apprezzabil-mente da E(0)

i , la probabilità di transizione i → n è piccola e tale rimane per tutti i valori di t. Questo risultato è richiesto dalla legge di conservazione dell’energia. L’energia totale E è costante, perché l’Hamiltoniano H non dipende esplicitamente dal tempo, pertanto l’energia propria E(0) (cioè l’energia che si ottiene trascurando la parte V dovuta alla perturbazione), essendo approssimativamente uguale ad E, deve essere approssimativamente costante. Ciò significa che se E(0)ha inizialmente il valore E(0)

i , in qualsiasi istante successivo ci deve essere solo una probabilità piccola che esso abbia un valore considerevolmente diverso da E(0)

i .

La relazione (13.23) ci dice anche che un’interazione, sia pure arbitrariamente debole, che agisce per un tempo ∆t, può variare l’energia propria del sistema di una quantità ∆E ∼ ~/∆t.

Questo risultato, puramente quantistico, ha un significato fisico profondo. Esso indica che nella meccanica quantistica la legge di conservazione dell’energia

può essere verificata mediante una misura soltanto a meno di una gran-dezza dell’ordine di ~~~/∆t, dove ∆t è la durata del processo di misura. Infatti, una sia pur debole interazione tra lo strumento di misura ed il sistema in esame, che agisce per un tempo ∆t, può sempre variare l’energia del sistema di una quantità ∆E ∼ ~/∆t.

È utile sottolineare che il significato della relazione (13.23) è essenzial-mente diverso da quello della relazione di indeterminazione ∆p · ∆x ∼ ~~~, per la posizione e la quantità di moto. In quest’ultima ∆p e ∆x sono le indeter-minazioni nei valori della quantità di moto e della posizione in uno stesso istante; essa mostra che queste due grandezze non possono avere contemporaneamente va-lori esattamente determinati. L’energia E(0), invece, può assumere valori in ogni istante determinati con la precisione voluta. La grandezza ∆E = E(0)

n − E_i⁽⁰⁾ è la differenza di due valori esattamente determinati dell’energia E(0) in due stati, e non l’indeterminazione nei valori dell’energia in un istante determinato.

È utile mostrare che per grandi tempi t la probabilità di transizione Pi→n(t), espressa dall’eq. (13.21), può essere considerata proporzionale a t. A questo scopo osserviamo che vale la formula seguente:

lim

t→∞

sen²(αt)

π α2t ^{= δ(α) .} (13.24)

Infatti, per α 6= 0 questo limite è nullo, mentre per α = 0 si ha sen2(αt)/α2t = t, cosicché il limite è infinito. Integrando poi in dα tra −∞ e +∞ si ottiene (sostituendo α t = ξ) 1 πt Z +∞ −∞ dα ^sen 2(αt) α2 = ¹ π Z +∞ −∞ dξ ^sen 2ξ ξ2 = 1 . (13.25) Si veda l’Appendice III di questo capitolo per il calcolo dell’integrale. In tal modo la funzione a primo membro della (13.24) soddisfa effettivamente tutte le condizioni che definiscono una funzione δ. Il risultato espresso nell’eq. (13.24) può essere anche visualizzato dal grafico della funzione f(ω) presentato in precedenza. Al crescere del tempo t l’altezza del picco centrale della funzione cresce (proporzionalmente a t2) e la sua larghezza decresce (proporzionalmente ad 1/t). L’integrale della funzione, ossia l’area sottesa dalla curva è proporzionale a t2· 1/t = t, e dunque la funzione f (ω)/t ha, per grandi t, area costante, come richiesto dalla funzione δ.

Conformemente a quanto detto, troviamo dall’eq. (13.21) che per grandi tempi

P_i→n(t) ' ¹ ~² |V_ni|2π t δ ^E (0) n − E_i⁽⁰⁾ 2~ ! , (13.26)

ossia, utilizzando δ(a x) = ¹ a^δ(x), P_i→n(t) ' ^2π

~

che mostra, come anticipato, che la probabilità di transizione cresce linearmente con il tempo t.

È consuetudine considerare la probabilità di transizione per unità di tem-po, definita come

W_i→n(t) = ^d

dt^{Pi→n(t) ,} (13.28)

che è dunque costante per grandi t. Dall’eq. (13.27) otteniamo allora:

W_i→n(t) = ^2π

~ |V_ni|2δ(E_n⁽⁰⁾− E_i⁽⁰⁾) . (13.29) Questo risultato, di grande importanza pratica, è chiamato regola d’oro di Fermi (sebbene la teoria perturbativa dipendente dal tempo sia stata di fatto sviluppata da Dirac).

L’eq. (13.29) ha particolare rilevanza per le transizioni nello spettro continuo che, praticamente, sono sempre degeneri. In questo caso le probabilità di transizione a tutti i possibili stati finali con energia E(0)

n = E_i⁽⁰⁾ si ottiene integrando l’eq. (13.29) con

Z

dE_n⁽⁰⁾ ρ(E_n⁽⁰⁾) , (13.30) dove ρ(E) rappresenta la densità degli stati, ossia il numero di stati nell’intervallo di energia (E, E + dE).