Il principio di indeterminazione e l’esperimento delle due fen-

Mostriamo, in un caso particolare, come il principio di indeterminazione di Hei-senberg debba essere valido al fine di evitare situazioni inconsistenti. L’argomento che riportiamo qui di seguito è ripreso dal dibattito tra Einstein e Bohr al congresso Solvay nel 1927.

Immaginiamo di modificare l’esperimento di interferenza degli elettroni sostituen-do la parete fissa, con le due fenditure, con una lamina montata su due cuscinetti che si può muovere liberamente in direzione dell’asse x (vedi figura seguente).

Osservando il moto della lamina possiamo provare a determinare attraverso quale foro passa un elettrone. Consideriamo infatti il caso in cui il rivelatore sia posto in x = 0. Ci aspettiamo che un elettrone che passi per il foro 1 debba essere deflesso verso il basso dalla lamina per poter arrivare al rivelatore. Poiché la componente verticale dell’impulso dell’elettrone è variata, la lamina deve muoversi in direzione

opposta con lo stesso impulso. La lamina riceverà quindi una spinta verso l’alto. Se invece l’elettrone passa dal foro inferiore la lamina dovrebbe subire una spinta verso il basso. È chiaro che per ogni posizione del rivelatore l’impulso ricevuto dalla lamina avrà un valore differente a seconda che l’elettrone attraversi il foro 1 o il foro 2. Quindi, senza per nulla perturbare gli elettroni, ma solo osservando la lamina, possiamo determinare il percorso scelto dall’elettrone.

Tuttavia, per determinare di quanto è variato l’impulso della lamina dopo il passaggio dell’elettrone occorre conoscere l’impulso di questa pri-ma che l’elettrone la attraversi. Calcoliamo l’impulso che l’elettrone trasmette alla lamina attraversando un foro:

tan θ ' θ ' ^a 2D

L’impulso trasmesso è dell’ordine di

∆p ' 2p_x = 2p sen θ ' ^pa

D ^, (2.11)

e questa quantità rappresenta anche l’incertezza massima con la quale è necessa-rio conoscere l’impulso della lamina prima che l’elettrone l’attraversi, per poter distinguere se l’elettrone è passato attraverso il foro 1 o il foro 2.

In base al principio di indeterminazione, se l’impulso è noto con una preci-sione maggiore di ∆p, allora la posizione della lamina stessa non può essere conosciuta con una precisione maggiore di:

∆x ≈ ^~

∆p ≈ ^~D

pa ≈ ^λD

a ^, (2.12)

dove λ = h/p è la lunghezza d’onda di De Broglie associata all’elettrone che si muove con impulso p.

L’incertezza ∆x è allora anche l’incertezza con cui è definita la posizione delle due fenditure, che saranno quindi in diverse posizioni per ogni elettrone che le attraversi. Questo significa che il centro delle frange di interferenza avrà una posizione differente per i vari elettroni.

Dimostreremo ora che la lunghezza ∆x, di cui oscillano lungo l’asse x le frange di interferenza, è circa uguale alla distanza tra due massimi vicini. Un tale movi-mento, che avviene a caso, è giusto sufficiente a distruggere le oscillazioni di intensità e quindi a far sì che non si osservi più interferenza.

∆ = a sen θ ' aθ = ^ax D

La differenza di fase tra le onde che giungono nel punto x dalle due fenditure è: δ = k ∆ = ^2π

λ ax

I massimi di interferenza si hanno quando la differenza di fase δ è pari ad un multiplo intero di 2π, ossia δ = 2πn, cioè nei punti di coordinate

x_n = ^λD

a ^{n , n = 0, ±1, ±2, . . .} (2.14) Due massimi consecutivi si trovano dunque a distanza

∆x = ^λD

a ^, (2.15)

che coincide proprio, secondo l’eq. (2.12), con lo spostamento tipico del centro delle frange di interferenza per ciascun elettrone.

Il principio di indeterminazione garantisce quindi che l’aver osservato la fenditura attraverso la quale è passato l’elettrone porta alla scomparsa dell’interferenza.

operatori

Introduciamo qui il formalismo generale della meccanica quantistica descri-vendo, in termini completamente quantistici, ancora un esperimento ideale. Questo esperimento è una generalizzazione di un famoso esperimento realizzato da Stern e Gerlach nel 1921, che ha evidenziato la quantizzazione del momento angolare

3.1

L’esperimento di Stern e Gerlach

L’esperimento di Stern-Gerlach aveva come obiettivo la misura del momento magnetico degli atomi.

Esso consisteva nel far passare un fascio collimato di atomi di argento attraverso un campo magnetico non omogeneo.

Un atomo di momento magnetico ~µ, che si trova in un campo magnetico di intensità ~B, diretto lungo l’asse z, acquista un’energia potenziale

V = −~µ · ~B = −µ_zB . (3.1)

Se il campo magnetico non è omogeneo, ma la sua intensità varia lungo l’asse z, allora l’atomo è soggetto ad una forza

F_z = −^∂V ∂z ^{= µz}

∂B

∂z ^. (3.2)

Nell’esperimento di Stern e Gerlach il campo magnetico era orientato perpendi-colarmente alla direzione di propagazione del fascio, dimodoché la forza F devia gli atomi della loro traiettorie iniziali.

Secondo la teoria classica, tutte le orientazioni del momento magnetico sono ugualmente possibili e la forza F può dunque assumere tutti i valori compresi tra

−µ ∂B/∂z e +µ ∂B/∂z. Atomi diversi verranno quindi differentemente deviati e si dovrebbe osservare, sullo schermo che intercetta il fascio, che questo si è unifor-memente sparpagliato su una regione limitata tra un valore massimo e minimo di altezza.

Il risultato dell’esperimento, invece, fu completamente diverso dalle aspetta-tive classiche: il fascio di atomi si separò perfettamente in due. Si osservò cioè che il momento magnetico dell’atomo non può prendere che due orientazioni discrete: µz = ± µ.

L’atomo di argento è costituito da un nucleo e 47 elettroni, dei quali 46 possono essere visualizzati come una nube elettronica simmetrica priva di momento angolare complessivo. Se ignoriamo lo spin nucleare (che è accoppiato molto debolmente con il campo magnetico), vediamo che l’atomo nel suo complesso ha un momento angolare dovuto unicamente al momento angolare di spin (ossia “intrinseco”) del solo 47-esimo elettrone. Poiché il momento magnetico risulta proporzionale al momento angolare, il risultato dell’esperimento di Stern e Gerlach dimostra che il momento angolare di spin dell’elettrone è quantizzato, e la sua componente z può assumere soltanto due valori discreti. Questi valori sono:

S_z = ±^~