dx0e−~ip0x0ψα(x0) = = √1 2π~ 1 (2πσ2)1/4 Z +∞ −∞ dx0e−~i(p0−p0)x0−x0 2 4σ2 = = √1 2π~ 1 (2πσ2)1/4 Z +∞ −∞ dx0e− x0 2σ+i ~(p0−p0)σ 2 −(p0−p0)2 ~2 σ2 = = 16 σ4 4π2 ~2· 2πσ2 1/4 e−(p0−p0) 2 ~2/σ2 Z +∞ −∞ ds e−s2, (6.71) ossia φα(p0) = 2σ2 π~2 1/4 e−(p0−p0) 2 ~2/σ2 . (6.72)
Per un pacchetto d’onda gaussiano la funzione d’onda nella rappresentazione degli impulsi è pure una gaussiana. Il valore di aspettazione e la varianza di questa gaussiana sono p0 e ~2/4σ2 rispettivamente.
L’espressione ottenuta per la funzione d’onda nella rappresentazione degli impulsi offre una via alternativa per calcolare i valori di aspettazione di p e p2:
hpi = Z +∞ −∞ dp0p0|φα(p0)|2 = p0 hp2i = Z +∞ −∞ dp0p0 2|φα(p0)|2 = p20+ ~ 2 4σ2 . (6.73)
6.5
Operatore posizione nella rappresentazione degli impulsi
Per derivare l’espressione dell’operatore posizione nella rappresentazione degli impulsi calcoliamo esplicitamente gli elementi di matrice hp0| x |p00i. Si ha
hp0| x |p00i = Z +∞ −∞ dx0hp0| x |x0ihx0|p00i = Z +∞ −∞ dx0x0hp0|x0ihx0|p00i = = 1 2π~ Z +∞ −∞ dx0x0e−i~(p0−p00)x0 = i~ ∂ ∂p0 1 2π~ Z +∞ −∞ dx0e−~i(p0−p00)x0, (6.74) ossia, ricordando la rappresentazione integrale della funzione δ,
hp0| x |p00i = i~ ∂
Siamo dunque in grado di esprimere, utilizzando la rappresentazione degli im-pulsi, l’elemento di matrice dell’operatore posizione tra due stati |αi e |βi arbitrari:
hα|x|βi = Z
dp0dp00hα|p0ihp0|x|p00ihp00|βi = = Z dp0dp00hα|p0i i~ ∂ ∂p0 δ(p0− p00) hp00|βi, (6.76) ossia, effettuando l’integrale in dp00:
hα| x |βi = Z dp0hα|p0i i~ ∂ ∂p0 hp0|βi = = Z dp0φ∗α(p0) i~ ∂ ∂p0 φβ(p0) . (6.77)
Vediamo allora che per l’operatore posizione nella rappresentazione degli impulsi vale la relazione
x = i~ ∂
equazione di Schrödinger
7.1
Evoluzione temporale degli stati. Operatore
Hamilto-niano ed equazione di Schrödinger
Nella meccanica quantistica il vettore di stato (o equivalentemente la funzione d’onda) determina in modo completo lo stato di un sistema fisico. Ciò significa che questo vettore, dato in un certo istante, ne definisce anche il comportamento in tutti gli istanti successivi. Il problema che ci proponiamo qui di affrontare è lo studio dell’evoluzione dinamica dei vettori di stato.
Consideriamo un sistema fisico descritto, ad un certo istante di tempo t0, dal vettore di stato |α, t0i. In generale lo stato del sistema evolverà nel tempo e sarà descritto, a ciascun istante di tempo successivo, t > t0, dal vettore |α, ti.
Poiché il vettore di stato |α, ti deve essere determinato univocamente dal vettore di stato al tempo iniziale |α, t0i, possiamo definire una relazione tra i due vettori nella forma:
|α, ti = U (t, t0)|α, t0i , (7.1) dove U(t, t0)è un operatore chiamato operatore di evoluzione temporale.
Per la conservazione della probabilità, il vettore di stato deve rimanere normalizzato a tutti gli istanti di tempo:
hα, t|α, ti = hα, t0|U+(t, t0) U (t, t0)|α, t0i = hα, t0|α, t0i . (7.2) Questo comporta pertanto che l’operatore di evoluzione temporale debba essere unitario:
U+(t, t0) U (t, t0) = 1 . (7.3)
Evidentemente, nel limite di traslazione temporale nulla l’operatore di traslazione
temporale deve ridursi all’operatore identità: lim
t→t0
U (t, t0) = 1 . (7.4)
Inoltre, l’evoluzione temporale da t0 a t1 seguita dall’evoluzione temporale da t1
a t2 deve essere equivalente all’evoluzione dal tempo t0 al tempo t2 direttamente: U (t2, t1)U (t1, t0) = U (t2, t0) . (7.5)
Le proprietà (7.3), (7.4) e (7.5) consentono di dedurre una semplice espressione per l’operatore di evoluzione temporale infinitesimo:
U (t + dt, t) = 1 − i Ω dt , (7.6) dove, in virtù della condizione di unitarietà di U, l’operatore Ω, detto il generatore delle traslazioni temporali, è un operatore hermitiano:
Ω+= Ω . (7.7)
In analogia con quanto già discusso nel caso di traslazioni spaziali e impulso, osserviamo che il generatore Ω è la quantità che si conserva quando il sistema è invariante per traslazioni temporali. Poiché la quantità conservata in tale circostan-za è l’energia totale del sistema, siamo indotti a formulare l’ipotesi che l’operatore hermitiano Ω concida, a meno di un fattore di proporzionalità, con l’operatore Ha-miltonianodel sistema. L’inverso della costante di proporzionalità ha le dimensioni di un’azione e risulta essere uguale alla constante di Planck, ~. Dunque:
Ω = H ~
, (7.8)
e con questa identificazione1:
U (t + dt, t) = 1 − i ~
Hdt . (7.10)
1Nella meccanica classica, una traslazione temporale infinitesima, definita da ~X = ~x + ˙~x dt e ~
P = ~p + ˙~p dt, è una trasformazione canonica, ottenibile dalla funzione generatrice:
Φ(~x, ~P ) = ~x · ~P + Hdt . (7.9)
Ricordando che ~x · ~P è la funzione generatrice della trasformazione identità, riconosciamo che l’eq. (7.9) ha una stretta somiglianza formale con l’operatore di traslazione temporale infinitesimo definito dall’eq. (7.10). In virtù dell’eq. (7.9), anche in meccanica classica l’energia è detta gene-ratore delle traslazioni temporali infinitesime e si conserva per sistemi invarianti rispetto a tale trasformazione.
L’espressione derivata per l’operatore di evoluzione temporale infinitesima può essere convenientemente posta nella forma di un’equazione differenziale per l’opera-tore di evoluzione temporale finita, o, equivalentemente, per il vetl’opera-tore di stato del sistema. A tale scopo osserviamo che:
U (t + dt, t0) − U (t, t0) = U (t + dt, t) U (t, t0) − U (t, t0) = = 1 − i ~Hdt U (t, t0) − U (t, t0) = −i ~H U (t, t0) dt . (7.11) Dividendo entrambi i membri di questa equazione per dt e considerando il limite dt → 0, si ottiene quindi:
i~ ∂
∂tU (t, t0) = H U (t, t0) . (7.12) Questa equazione, con la condizione iniziale U(t0, t0) = 1, definisce completamen-te l’operatore di evoluzione completamen-temporale in completamen-termini dell’operatore Hamiltoniano del sistema.
Ad un’analoga equazione per i vettori di stato si giunge applicando entrambi i membri della (7.12) al ket |α, t0i:
i~ ∂
∂tU (t, t0)
|α, t0i = H U (t, t0) |α, t0i. (7.13) Poiché |α, t0i non dipende dal tempo t, possiamo esprimere questa relazione in termini del vettore di stato al tempo t, |α, ti = U(t, t0)|α, t0i. Si ottiene così:
i~ ∂
∂t|α, ti = H |α, ti . (7.14)
Questa equazione fondamentale della meccanica quantistica è detta equazione di Schrödinger. Se si conosce la forma dell’operatore Hamiltoniano, allora l’equazione di Schrödinger consente di determinare i vettori di stato del sistema fisico dato.
7.2
Stati stazionari
L’Hamiltoniano di un sistema isolato, o di un sistema che si trova in un campo esterno costante e non variabile, non può contenere il tempo esplicitamente. Ciò risulta dal fatto che tutti gli istanti di tempo sono equivalenti per tale sistema fisico.
Per tali sistemi, la soluzione dell’equazione di Schrödinger assume una forma particolarmente semplice. L’operatore di evoluzione temporale è infatti:
U (t, t0) = e−i
~H(t − t0)
, (7.15)
ed i vettori di stato si scrivono nella forma:
|α, ti = e− i
~H(t − t0)
| α, t0i . (7.16)
Queste conclusioni possono essere verificate per sostituzione diretta nell’equazione di Schrödinger.
Se l’Hamiltoniano di un sistema fisico non dipende esplicitamente dal tempo, risulta possibile considerare, per tale sistema, gli stati in cui l’energia assume un valore determinato. Questi stati sono detti stati stazionari e corrispondono agli autostati dell’operatore Hamiltoniano, soddisfano cioè l’equazione agli autovalori:
H |ni = En|ni . (7.17)
Consideriamo l’equazione di Schrödinger per uno stato stazionario:
i~ ∂
∂t|n, ti = H |n, ti = En|n, ti . (7.18) Questa equazione può essere integrata direttamente rispetto al tempo, e dà
|n, ti = e−~iEnt|n, 0i , (7.19)
dove si è considerato, per semplicità t0 = 0. Allo stesso risultato si giunge ovviamente applicando l’operatore di evoluzione temporale allo stato |n, 0i:
|n, ti = U (t, 0) |n, 0i = e−~iHt|n, 0i = e−~iEnt|n, 0i. (7.20) L’eq. (7.19) determina la dipendenza dal tempo dei vettori di stato corrisponden-ti agli stacorrisponden-ti stazionari. Essa indica, in parcorrisponden-ticolare, che se il sistema si trova in un determinato istante in un autostato dell’Hamiltoniano, esso resta in tale autostato per tutti gli istanti seguenti. Il vettore di stato, infatti, varia nel tempo solo per un fattore di fase moltiplicativo. Equivalentemente, possiamo affermare che se, nello stato dato, l’energia ha un valore determinato,
questo valore resterà costante nel tempo. Questo risultato esprime in mecca-nica quantistica la legge di conservazione dell’energia per i sistemi isolati, o sistemi che si trovano in campi esterni non dipendenti dal tempo.
Calcoliamo il valore di aspettazione di una generica osservabile A in uno stato stazionario, come funzione del tempo. Utilizzando l’eq.(7.19) troviamo:
h A it= hn, t| A |n, ti = hn, 0| e~iEntA e−~iEnt|n, 0i = hn, 0| A |n, 0i = h A i0. (7.21) Pertanto il valore di aspettazione di un’osservabile in un autostato dell’e-nergia non cambia nel tempo. Per questo motivo tali stati vengono detti stati stazionari.
Un generico vettore di stato |αi può essere sviluppato in autostati dell’energia. All’istante iniziale t = 0 tale sviluppo ha la forma:
|α, t = 0i =X
n
|nihn|α, t = 0i =X
n
cn(0) |ni . (7.22)
Questo sviluppo consente di derivare una semplice espressione per lo stato evoluto ad un tempo t successivo. A tale scopo è sufficiente applicare allo stato l’operatore di evoluzione temporale: |α, ti = U (t, 0) |α, t = 0i =X n cn(0) e−~iHt|ni =X n cn(0) e−~iEnt|ni . (7.23) In altre parole il generico coefficiente dello sviluppo varia nel tempo come:
cn(t = 0) → cn(t) = e−~iEntcn(0) . (7.24)
I moduli quadri |cn(t)|2 dei coefficienti dello sviluppo rappresentano, come al solito, le probabilità dei diversi valori dell’energia del sistema. La precedente equa-zione mostra come tali probabilità restino costanti nel tempo. Questo risultato può essere visto ancora come un’espressione della legge di conservazione del-l’energia. Se l’energia al tempo iniziale non ha un valore determinato, allora le probabilità dei diversi risultati di una misura dell’energia, e dunque anche il valore medio dell’energia, restano costanti nel tempo.
Il formalismo sin qui sviluppato si estende facilmente al caso in cui gli autovalori dell’energia formino uno spettro continuo.
7.3
Equazione d’onda di Schrödinger
Esaminiamo l’evoluzione temporale dei vettori di stato nella rappre-sentazione delle coordinate. In altre parole studiamo il comportamento della
funzione d’onda
ψ(~x0, t) = h~x0|α, ti (7.25) come funzione del tempo.
La forma specifica dell’equazione di Schrödinger di un sistema fisico è determina-ta dal suo Hamiltoniano, che acquisdetermina-ta perciò un’impordetermina-tanza fondamendetermina-tale in tutto l’apparato della meccanica quantistica.
In perfetta corrispondenza con l’espressione classica, in meccanica quantistica l’Hamiltoniano di una particella sottoposta ad un campo esterno è
H = ~p
2
2m + V (~x) , (7.26)
dove V (~x) è l’energia potenziale della particella nel campo esterno.
L’equazione che determina l’evoluzione temporale della funzione d’onda si ottiene moltiplicando a sinistra per il bra h~x0|l’equazione di Schrödinger (7.14) per i vettori di stato:
i~ ∂
∂th~x0|α, ti = h~x0| H |α, ti. (7.27) Ricordando l’espressione dell’operatore impulso nella rappresentazione delle coor-dinate, possiamo scrivere il contributo dell’energia cinetica al secondo membro della precedente equazione nella forma
h~x0| ~p 2 2m|α, ti = 1 2mh~x0| ~p · ~p |α, ti = 1 2m(−i~∇0) h~x0| ~p |α, ti = = −~ 2 2m∇0 2h~x0|α, ti = − ~ 2 2m∇0 2ψ(~x0, t) (7.28) dove ∇0 2 è l’operatore Laplaciano
∇0 2= ∂ 2 ∂x0 2 + ∂ 2 ∂y0 2 + ∂ 2 ∂z0 2. (7.29)
Quanto al contributo dell’energia potenziale si ha semplicemente:
h~x0| V (~x) |α, ti = V (~x0) h~x0|α, ti = V (~x0) ψ(~x0, t) , (7.30) dove V (~x0) non è più un operatore ma una funzione ordinaria.
Raccogliendo i vari termini otteniamo l’equazione d’onda per una particella sottoposta ad un campo esterno:
i~∂ψ
∂t = Hψ = − ~2
con ψ = ψ(~x0, t). Questa è l’equazione nella forma derivata da Schrödinger nel 1926.
Nella rappresentazione delle coordinate, l’equazione agli autovalori che determina gli stati stazionari si scrive
h~x0| H |ni = Enh~x0|ni . (7.32) Indicando con
ψn(~x0) = h~x0|ni (7.33) le autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano corrispondenti agli autovalori En, ed assumendo per H l’espressione (7.26) otteniamo:
Hψn = −~
2
2m∇0 2ψn+ V (~x0) ψn = Enψn . (7.34) Questa equazione per le autofunzioni dell’energia è detta equazione d’onda di Schrödinger indipendente dal tempo.
Lo spettro degli autovalori dell’energia, determinato dall’equazione di Schrö-dinger indipendente dal tempo può essere sia discreto che continuo. Lo stato stazionario dello spettro discreto corrisponde sempre ad un moto finito della particella, cioè ad un moto in cui la particella non si allontana all’infinito. La condizione di normalizzazione per gli autostati dello spettro discreto implica infatti:
hn|ni = Z +∞ −∞ d~x0hn|~x0ih~x0|ni = Z +∞ −∞ d~x0|ψn(~x0)|2 = 1. (7.35) Ciò significa in ogni caso che |ψn|2 decresce in modo sufficientemente rapido e si annulla all’infinito. In altri termini le probabilità dei valori infiniti delle coor-dinate è nulla, cioè il sistema compie un moto finito o, come si dice ancora, si trova in uno stato legato.
La condizione di normalizzazione
hn|n0i = δ(En− En0) (7.36) per gli autostati dello spettro continuo, implica che l’integrale
Z +∞ −∞
d~x0|ψn(~x0)|2 (7.37) diverge per le autofunzioni dello spettro continuo. Il modulo quadro della funzione d’onda, |ψn|2, non dà in questo caso direttamente la probabilità dei diversi valori delle coordinate e deve essere considerato solamente come una grandezza proporzionale a questa probabilità . La divergenza dell’integrale R d~x0|ψn|2 è sempre dovuta
al fatto che |ψn|2 non si annulla all’infinito (o comunque non si annulla con sufficiente rapidità ). Si può affermare quindi che l’integrale R d~x0|ψn|2 calcolato all’esterno di una superficie chiusa arbitrariamente grande ma finita, continua ancora ad essere divergente. Ciò significa che, nello stato considerato, la particella si trova all’infinito.