Z dx0ψβ∗(x0) x0 2ψα(x0). (5.25)
In generale per un operatore funzione del solo operatore posizione x si ha:
hβ|A(x)|αi = Z
dx0ψ∗β(x0) A(x0) ψα(x0) . (5.26)
Si noti che A(x) nel primo membro di queste equazioni è un operatore, mentre A(x0) nel secondo membro non è un operatore ma una funzione ordinaria.
5.3
Regole di commutazione per gli operatori di posizione
Le proprietà dell’operatore posizione sin qui considerate possono essere facilmen-te generalizzafacilmen-te al caso di tre dimensioni spaziali.
Possiamo indicare con il simbolo |~x0i il vettore di stato di una particella che si trovi nel punto di coordinate ~x0 = (x0, y0, z0).
Una misura di posizione per una particella che si trovi nello stato |~x0i fornisce con certezza i valori x0, y0 e z0 per le tre coordinate spaziali rispettivamente. In altri termini il vettore di stato |~x0i è autostato simultaneo delle osservabili x, y e z:
x |~x0i = x0|~x0i , y |~x0i = y0|~x0i , z |~x0i = z0|~x0i . (5.27) Sappiamo che per poter considerare un autostato simultaneo di x, y, e z dob-biamo assumere che le tre componenti del vettore posizione possano essere misurate simultaneamente con un grado di precisione arbitrario. Dobbiamo perciò avere
[xi, xj] = 0 , (5.28)
dove x1, x2 ed x3 stanno per x, y e z rispettivamente. In altri termini, le diverse componenti della posizione sono osservabili compatibili.
La stretta connessione esistente in meccanica classica tra impulso e trasla-zioni spazialivale anche nella meccanica quantistica.
In meccanica quantistica, così come in meccanica classica, per un sistema che è invariante rispetto a traslazioni lungo un determinato asse, si conserva la componente dell’impulso parallela al dato asse. Inoltre anche in meccanica quantistica è possibile affermare che l’impulso è il generatore delle traslazioni spaziali.
Per introdurre il concetto di traslazione spaziale in meccanica quantistica, consi-deriamo un sistema che sia ben localizzato nell’intorno di un punto ~x0 nello spazio, e sia rappresentato pertanto dal vettore di stato |~x0i. Consideriamo poi una tra-sformazione che cambia questo stato in un altro stato ben localizzato, questa volta attorno al punto ~x0+d~x0. Tutti gli altri parametri da cui dipende lo stato del sistema restano immutati nella trasformazione. L’operatore che realizza questa trasforma-zione è detto operatore di traslatrasforma-zione infinitesima di d~x0 e lo indichiamo con T (d~x0). La sua azione sullo stato |~x0iè pertanto definito da:
T (d~x0)|~x0i = |~x0+ d~x0i . (6.1)
Questa espressione definisce l’azione dell’operatore T (d~x0) su uno stato arbitrario |αi, giacché questo può essere sempre sviluppato in serie di autostati dell’operatore di posizione: T (d~x0)|αi = T (d~x0) Z d3x0 |~x0ih~x0|αi = Z d3x0 |~x0 + d~x0ih~x0|αi (6.2) ossia, con un cambio di variabile,
|α0i ≡ T (d~x0)|αi = Z
d3x0 |~x0ih~x0− d~x0|αi . (6.3) Vediamo anche, allora, che la funzione d’onda corrispondente allo stato |α0i tra-slato di |αi si ottiene a partire dalla funzione d’onda dello stato |αi mediante la sostituzione ~x0 → ~x0− d~x0:
ψα0(~x0) = h~x0|α0i = h~x0|T (d~x0)|αi = h~x0 − d~x0|αi = ψα(~x0− d~x0) . (6.4)
Sia il vettore di stato |αi che il vettore di stato |α0i = T (d~x0)|αi devono essere normalizzati, ossia
hα0|α0i = hα|T+(d~x0)T (d~x0)|αi = hα|αi . (6.5) Ne segue che l’operatore di traslazione deve essere unitario:
T+(d~x0)T (d~x0) = 1 . (6.6)
È evidente che la condizione di unitarietà deve essere soddisfatta non solo dal-l’operatore di traslazione infinitesima ma anche daldal-l’operatore di traslazione finita, così come, più in generale, da un qualunque operatore che effettua trasformazioni tra vettori di stato e deve pertanto conservarne la normalizzazione.
Nel limite di traslazione nulla l’operatore T (d~x0) deve ridursi ovviamente all’i-dentità:
lim
d~x0→0 T (d~x0) = 1 . (6.7) Inoltre, l’effetto combinato di due traslazioni successive, di d~x0 e d~x00 rispettiva-mente, deve essere equivalente ad una traslazione del vettore d~x0 + d~x00:
T (d~x00) T (d~x0) = T (d~x0 + d~x00) . (6.8)
Le eq. (6.6), (6.7) e (6.8) ci consentono di scrivere, al primo ordine in d~x0,
T (d~x0) = 1 − i ~K · d~x0 , (6.9) dove ~K è un operatore vettore di componenti Kx, Ky e Kz.
Il fattore i, introdotto nell’eq. (6.9), comporta che l’operatore ~K è hermitiano. Dalla condizione di unitarietà di T segue infatti
T+(d~x0) T (d~x0) = 1 + i ~K+· d~x0 1 − i ~K · d~x0 = = 1 − i ~K − ~K+· d~x0+ O(d~x0 2) = 1 (6.10) da cui ~ K = ~K+ . (6.11)
L’operatore ~K, così come definito dall’eq.(6.9), è detto in meccanica quantistica il generatore delle traslazioni.
Il significato fisico di ~K può essere derivato con la seguente considerazione. Come vedremo nel capitolo 11, in meccanica quantistica, così come in meccanica classica, all’invarianza di un sistema rispetto ad un insieme di trasformazioni continue cor-risponde una legge di conservazione, e la quantità conservata coincide con il generatore della trasformazione. Poiché la quantità conservata per un sistema inva-riante per traslazioni spaziali è l’impulso totale del sistema, siamo indotti a formulare l’ipotesi che l’operatore ~K coincida, a meno di un fattore costante, con l’operato-re impulso. La costante di proporzionalità deve avel’operato-re le dimensioni dell’inverso di un’azione e risulta essere uguale all’inverso della costante di Planck, ~. Dunque:
~ K = p~
~
. (6.12)
Con questa identificazione l’operatore di traslazione infinitesima si scrive
T (d~x0) = 1 − i
~~p · d~x0 . (6.13)
Il valore numerico della costante universale ~, che dipende peraltro dal sistema di unità di misura adottato, non può essere determinato sulla base di principi primi della teoria quantistica ma può essere solo misurato negli esperimenti.1
È semplice derivare, a partire dall’espressione (6.13) dell’operatore di traslazio-ne infinitesima, la forma esplicita dell’operatore che effettua traslazioni di una quantità finita. Consideriamo ad esempio una traslazione finita di una quantità ∆x0 nella direzione dell’asse x. Questa trasformazione può essere considerata co-me il prodotto di N traslazioni infinitesico-me, di una quantità ∆x0/N, nella direzione dell’asse x, nel limite N → ∞. Troviamo allora:
T (∆x0x) =ˆ lim N →∞ T ∆x0 N xˆ N = lim N →∞ 1 − i ~ px∆x0 N N = = lim N →∞exp N log 1 − i ~ px∆x0 N = exp −i ~px∆x0 (6.15) ossia T (∆x0x) = eˆ −i ~px∆x0 . (6.16)
1Osserviamo come in meccanica classica una traslazione infinitesima, definita da ~X = ~x + d~x e ~
P = ~p, è una trasformazione canonica ottenibile dalla funzione generatrice
Φ(~x, ~P ) = ~x · ~P + ~P · d~x . (6.14)
Poiché ~x · ~P è la funzione generatrice della trasformazione identità, riconosciamo che l’eq. (6.14) ha una stretta somiglianza formale con l’operatore di traslazione infinitesimo definito dall’eq. (6.13). In virtù dell’eq. (6.14), anche in meccanica classica l’impulso è definito essere il generatore delle traslazioni infinitesime e si conserva per sistemi invarianti rispetto a tale trasformazione.
6.1
Le regole di commutazione canoniche e la relazione di
indeterminazione di Heisenberg
Poniamoci in primo luogo il problema di derivare le regole di commutazione tra le diverse componenti dell’operatore impulso.
Una proprietà fondamentale delle traslazioni è che traslazioni successive in direzioni diverse commutano. Così ad esempio, l’effetto combinato di una tra-slazione di ∆x0 lungo l’asse x ed una traslazione di ∆y0 lungo l’asse y è lo stesso di quello ottenuto da una traslazione di ∆y0 lungo l’asse y seguita da una traslazione di ∆x0 lungo l’asse x:
Matematicamente questa circostanza si esprime come:
T (∆y0y) T (∆xˆ 0x) = T (∆xˆ 0x) T (∆yˆ 0y),ˆ (6.17) o, equivalentemente
T (∆x0
ˆ
x) , T (∆y0y) = 0ˆ . (6.18)
Espresso in termini dell’operatore impulso, il commutatore delle due traslazioni si scrive: 0 =T (∆x0 ˆ x) , T (∆y0y) =ˆ = " 1 −ipx∆x 0 ~ − p 2 x∆x02 2 ~2 + . . . , 1 −ipy∆y 0 ~ − p 2 y∆y02 2 ~2 + . . . !# = = − 1 ~2 px, py ∆x0 ∆y0+ . . . (6.19)
Ma per l’arbitrarietà degli spostamenti ∆x0 e ∆y0 questa condizione conduce a
px, py = 0, (6.20)
o, più in generale,
pi, pj = 0 . (6.21)
Questo significa che tutte e tre le componenti dell’impulso di una particella possono avere simultaneamente valori determinati.
Stabiliamo le regole di commutazione tra gli operatori impulso e gli ope-ratori coordinate. A tale scopo deriviamo dapprima la regola di commutazione tra
l’operatore di posizione e l’operatore di traslazione infinitesima. Applicando ad un generico autostato della posizione separatamente l’operatore ~x T (d~x0) o l’operatore T (d~x0) ~xotteniamo:
~
x T (d~x0) |~x0i = ~x |~x0+ d~x0i = (~x0+ d~x0) |~x0+ d~x0i ,
T (d~x0) ~x |~x0i = ~x0T (d~x0) |~x0i = ~x0|~x0 + d~x0i , (6.22) da cui, sottraendo membro a membro,
~x, T (d~x0) |~x0i = d~x0|~x0i, (6.23) dove a secondo membro si è sostituito d~x0|~x0 + d~x0i ' d~x0|~x0i. Poiché uno stato arbitrario |αi può essere sempre espresso come combinazione lineare di autostati della posizione, la precedente equazione vale per uno stato arbitrario e può dunque essere considerata un’identità operatoriale:
[~x, T (d~x0)] = d~x0 . (6.24)
In termini dell’operatore impulso il commutatore si scrive ~ x , 1 − i ~~p · d~x0 = −i ~ ~x ~p · d~x0 − ~p · d~x0~x = d~x0 . (6.25)
Consideriamo allora la componente i-esima di questa equazione vettoriale e conside-riamo uno spostamento d~x0 nella direzione dell’asse j. Troviamo in tal modo:
− i ~
xipjdx0− pjxidx0 = δijdx0, (6.26) ossia
xi, pj = i~ δij . (6.27)
Questa equazione dimostra che la coordinata e la componente dell’impulso di una particella non possono essere misurate simultaneamente lungo uno stesso asse. In particolare, allora, la particella non può trovarsi in un punto determinato dello spazio e, al tempo stesso, avere una quantità di moto determinata. D’altra parte, le precedenti relazioni di commutazione dimostrano che la coordinata della particella lungo uno degli assi può avere un valore determinato simultaneamente con le componenti dell’impulso secondo gli altri due assi.
La relazione di indeterminazione generalizzata h(∆A)2ih(∆B)2i ≥ 1
derivata precedentemente per una coppia qualunque di operatori hermitiani A e B, può essere applicata qui al caso gli operatori x e px per ottenere
∆x · ∆px ≥ ~
2 , (6.29)
dove si è posto ∆x ≡ qh(∆x)2i e ∆px ≡ q
h(∆px)2i. La precedente equazione costituisce la famosa relazione di indeterminazione di Heisenberg, derivata da Heisenberg nel 1927.
L’insieme delle regole di commutazione
xi, xj = 0 , pi, pj = 0 , xi, pj = i~ δij , (6.30)
vengono dette relazioni di commutazione canoniche e costituiscono uno dei fondamenti della meccanica quantistica.
È evidente la somiglianza di queste relazioni con le relazioni
xi, xj = 0 , pi, pj = 0 , xi, pj = −δij , (6.31)
valida per le parentesi di Poisson nella meccanica classica2. Fu Dirac ad osser-vare per primo questa circostanza. Egli postulò allora che le relazioni di commu-tazione della meccanica quantistica possono essere ottenute dalle corri-spondenti relazioni classiche semplicemente sostituendo alle parentesi di Poisson i commutatori nel modo seguente:
, classica → i ~
, . (6.33)
Questa ipotesi è consistente con il fatto che quando si passa al limite classico (~ → 0) l’operatore i , in prima approssimazione diventa zero.
È evidente tuttavia che l’assunzione di Dirac non consente comunque di stabilire, sulla base del limite classico, le regole di commutazione per quelle quantità, quali lo spin, che non hanno analogo classico.
2Ricordiamo che la parentesi di Poisson è definita, per una coppia di osservabili f e g, come:
{f, g} ≡X i ∂f ∂pi ∂g ∂qi − ∂f ∂qi ∂g ∂pi . (6.32)
6.2