Geometria piana
17. Centro e diametri di una conica 1. Centro, diametri ed assi
17.1
* Sia γ l’iperbole equilatera che passa per i punti A(0,−1)e B(−2,−1)ed ha come asintoto la bisettrice del I e I I I quadrante; trovare l’equazione di
γe le coordinate del suo centro.
[ L’iperbole appartiene al fascio(x+1)(x−y) +k(x−y−1)(x−y+1) =0; è equilatera se e solo se I1=1+k+k=0 cioè se k= −12, quindi ha equazione x2−y2+2x−2y+1=0. Il centro è il polo della retta impropria, dunque il punto di incontro delle polari di X∞ ed Y∞ cioè le sue coordinate sono soluzione del sistema
∂ f ∂x =0 ∂ f ∂y =0 Nel nostro caso
(
2x+2=0
−2y−2=0 e qundi C(−1,−1). ]
17.2 Determinare le coordinate del centro delle coniche non degeneri che hanno
equazione del tipo ax2+by2+cx+dy+ f =0. [− c
2a,−d 2a
]
17.3 Si consideri l’iperbole γ di equazione xy=1. Siano:
A il punto(1, 1); a la tangente In A a γ; d il generico diametro di γ;
d0 il diametro coniugato a d rispetto a γ; P l’intersezione di a con d;
P0 l’intersezione di A con d0.
Verificare che P e P0 si corrispondono in una involuzione ω di cui si chie-dono l’equazione ed i punti uniti.
160 Centro 17.4 Siano: γ l’ellisse di equazione x 2 a2 +y2 b2 =1; V un vertice di γ; t la tangente a γ in V;
p e q due diametri coniugati di γ distinti dagli assi.
verificare che p e q tagliano t in due punti P e Q tali che VP·VQ è costante comunque vari la coppia p q.
17.5
* Trovare l’equazione della conica γ che ha centro nelll’origine, un vertice sulla circonferenza di equazione x2+y2 = 4 e quale polare del punto A(0, 1)la retta r di equazione x+y−2=0.
Figura 17.1.
[ Se uno dei vertici sta su γ sarà su di essa anche il suo simmetrico rispetto all’origine. Un asse sarà allora la retta y=mx (si vede subito che i vertici non appartengono all’asse y). La polare di A passa per C quindi la polare di C passa per A e non può essere la retta y=2. La generica conica che ha come asse y=
mx, appartiene al fascio (in coordinate omogenee) x2+y2−4u2+k(y−mx)2. Imponiamo che la polare pAdi A rispetto alla generica conica sia r. pA ha equazione 1· [2y+2k(y−mx)] +1· [−8u] =0 che diventa kmx− (k+1)y+
17.1 centro 161
dell’equazione di r: otteniamo il sistema km 1 = 4 −2 −(k+1) 1 = 4 −2 che ha come soluzione k=1 e m= −2, quindi la conica ha equazione
5x2−4xy+2y2−4=0. Vedi la Figura 17.1 nella pagina precedente ]
17.6 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha centro in C(1, 2), passa per il punto A(−1,−1)e subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci xx0−x−x0 =0
[ L’iperbole passa anche per il simmetrico di A rispetto a C e per i due punti uniti dell’involuzione. . . 5x2−3y2−10x+12=0. ]
17.7 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha centro in C(1, 1)e tale che la polare dell’origine sia l’asse x.
[ L’asse x è tangente. . . l’iperbole passa per A(2, 2)con tangente y=2. . . x2−
2xy−y2+4y=0. ]
17.8 Considerato il fascioF delle iperboli equilatere che passano per A(1,−2)
ed ammettono la retta di equazione x−2y =1 come asintoto, i) Scrivere l’equazione diF ;
ii) Scrivere l’equazione dell’iperbole appartenente ad F che ha centro nel punto C(3, 1).
[(x−2y−u)(2x+y) +k(x−2y−5u)u=0; k= −7]
17.9 Determinare l’equazione dell’involuzione dei punti reciproci subordinata sulla retta x =y dalla conica di equazione x2+2y2 =1.
[È la simmetria rispetto al centro, cioè O(0, 0). . . x+x0 =0.]
17.10 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti O(0, 0), A(4, 0)e B(0, 2), è tangente alla retta r : 2x−y+2=0 ed ammette la retta AB come diametro.
[ Le tangenti agli estremi di un diametro sono tra loro parallele. . . r contiene B . . . quindi la tangente in A è . . . x2+y2−4x−2y=0. (Fig. 17.2 nella pagina seguente) ]
162 Centro Figura 17.2. 17.11 Siano: γ la conica di equazione y2−x2−2y =0; C il centro di γ; A e B rispettivamente i punti(−1, 0)e(0,−2);
D il punto della retta di equazione y=2 reciproco di A rispetto a γ;
p la retta DB;
p0 la retta DC.
Verificare che le rette p e p0sono reciproche rispetto a γ.
[ La polare di A è la retta x = y. . . D(2, 2). . . il diametro coniugato a DC è parallelelo a DB. . . ]
17.12 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ammette l’asse y come po-lare del punto improprio della bisettrice del I I e IV quadrante e subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci di equazione xx0−1=0.
[ Sull’asse x, l’origine è il reciproco di X∞. . . O sta sul diametro x=0 dunque è il centro. . . gli asintoti sono le bisettrici di ogni coppia di diametri coniu-gati. . . la conica passa per(1, 0). . .y+ (1+√
2)x y+ (1−√2)x+1=0. ]
17.1 centro 163
17.13 Dimostrare che tutte le iperboli equilatere che hanno centro nell’origine e tagliano la retta di equazione y = 1 in due punti simmetrici rispetto al punto−4
3, 1hanno gli stessi asintoti.
[ AO è coniugato all’ax. . . gli asintoti sono le bisettrici di ogno coppia di diametri coniugati. . . . ]
17.14
* Sia γ l’iperbole equilatera che ha centro in C(2, 1), passa per l’origine ed ivi ammette come tangente la retta r di equazione y+2x = 0; trovare la retta passante per il punto(−1, 1)che è reciproca dell’asse x rispetto a γ.
[ Basta trovare il polo dell’asse x: esso sarà l’intersezione della polare di O, che è r con quella di X∞Per trovare quest’ultima consideriamo l’involuzione dei diametri coniugati: il diametro CO è coniugato a quello in direzione di r dunque ad m= −2 corrisponde m0 = 12e quindi considerando l’equazione mm0+α(m+m0) +β = 0 si ottiene la condizione−1− 3
2α+β = 0; ora, poiché si tratta di un’iperbole equilatera, gli asintoti, che sono le bistttrici di ogni coppia di diametri coniugati, sono perpendicolari e sono le rette unite nell’involuzione dei diametri coniugati e si ottengono quindi dall’equazione m2+2αm+β = 0 dunque dalle due relazioni ora determinate abbiamo che l’involuzione dei diametri coniugati di γ è mm0−4(m+m0) −3=0 la polare di X∞ha quindi coefficiente angolare che è soluzione dell’equazione 3·0·m0−4(0+m0) −3 = 0 da cui m0 = −34. Il polo dell’asse x ha allora coordinate che sono soluzione del sistema
y+2x=0 y−1= −3 4(x−2) quindi è P0(−2, 4); la retta richiesta, che è PP0, ha dunque equazione y= −3x−2. ]
17.15
* Sia γ una conica che ammette come polare dell’origine la retta r di equazio-ne x =1, come involuzione dei punti reciproci su r la simmetria rispetto al punto S(1, 0)e la retta y= −1 come diametro. Determinare gli asintoti della γ.
[ Nell’involuzione dei punti reciproci su r i punti uniti sono S e R∞. . . le tangenti uscenti da O sono quindi l’asse y (che è uno degi asintoti) e l’asse x . . . il centro è C(0,−1)e l’ax è coniugato a CS . . . l’altro asintoto è l’elemento unito nell’involuzione dei diametri coniugati. . . Ha coefficiente angolare m=
1 2. . . . ]
164 Centro
17.16 Rispetto ad un’iperbole equilatera γ, l’involuzione delle rette reciproche uscenti da O(0, 0)ha equazione mm0+m+m0+3=0 e la polare di O è la retta di equazione x =2; scrivere l’equazione della γ e quelle dei suoi assi.
[ Le tangenti uscenti da O sono le rette unite. . . x2−2xy−y2−16x+16=0;
±x+ (√
2±1)y+4√2=0. ]
17.17 Un’iperbole equilatera γ ammette come polare del punto P(1, 1) la retta p : x=2 e taglia la p nei punti A(2, 1)3 B(2, 3); scrivere l’equazione della
γe dei suoi assi. [x2+2xy−y2−6x+5=0; x−3
2 = −1±√2) x−3 2]
17.18 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ammette i punti O ed A(0, 1)come reciproci ed ha per asintoti gli assi dell’ellisse di equazione 2x2−2xy+5y2−4x+2y=0. [(x−1)2−3(x−1)y−y2= 52]
17.19 Si consideri la conica γ : x2−2xy+2y2−x+2y =0; scrivere l’equazione della parabola avente come asse la retta di equazione x+y+2=0 e che subordina sull’asse y la stessa involuzione dei punti reciproci subordinata da γ. [Le intersezioni con l’asse y sono le stesse di γ. . .(x+y)2+7x−y=0]
17.20 Si consideri la parabolaP di equazione x2+2xy+y2−4x+1=0; scrivere l’equazione di una parabola che passa per l’origine ed ha lo stesso asse di
P. [L’asse è x+y+1=0. . . ]
17.21 Scrivere l’equazione della conica che passa per l’origine, per A(1, 0)e per B(0, 1), è tangente in B alla retta r : x−2y+2=0 ed ha un asse parallelo
alla retta di equazione x−3y =0. [La
polare di(3 : 1 : 0)deve passare per(1 : −3 : 0). . . 2x2+3xy−2y2−2x+2y = 0]
17.22 Scrivere l’equazione della parabola che ha come asse la retta di equazione x+y+1=0 e che subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci
ω : xx0−1 =0
[ La parabola passa per i punti uniti di ω che sono A(−1, 0)e B(1, 0), quindi A è il vertice. Dunque appartiene al fascio(x+y+1)2+λ(x−y−1) =0. . . ]
17.23 Riconoscere le seguenti coniche e determinarne centro, assi e vertice: 3x2−xy+3y2−6x+y−22=0,
17.2 Triangoli autopolari 165
[La prima conica è un’ellisse che ha centro nel punto(1, 0)e come assi le rette y = x−1 e y = 1−x; intersecando tali assi con la conica si ottengono le coordinate dei quattro vertici(1±√5,±√5). La seconda è un’iperbole di centro −16 9 ,− 20 9 ]
17.24 Nel piano si considerino i punti A(2, 0)e B(−1, 1)e la retta r : x+y =0. Scrivere l’equazione della parabolaK che passa per A di vertce B ed asse r e l’equazione della tangente in A aK
17.2. Triangoli autopolari
17.25 Si consideri la conica γ di equazione xy−y2−x = 0; verificare che il triangolo avente come vertici i punti A(1, 0), B(0, 1)e C(−1, 0)è autopolare per la γ.
17.26 Determinare i triangoli aventi un vertice nell’origine che sono autopolari rispetto alle coniche γ : x2−xy+2y−1=0 e γ0 : y2−2xy−2y+1=0.
[ La polare dell’origine è, rispetto ad entrambe le coniche, la retta p : y−1=
0,. . . le polari di un punto di p rispetto alle due coniche coincidono solo per i punti(±1, 1),. . . i terzi vertici dei triangoli così ottenuti sono(∓1, 1). ]
17.27 Si consideri il fascioF di coniche aventi come punti base A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0)e D(0,−1).
Verificare che il triangolo avente come lati le bisettrici dei quadranti e la retta impropria è autopolare per tutte le coniche diF .
[ Considerando l’involuzione dei punti reciproci sui due assi otteniamo che il centro è O(0, 0). . . considerando la retta x−y+1=0 si ha che la polare di
(1 : 1 : 0)passa per12,12. . . ]
17.28 Si consideri il fascioF delle circonferenze tangenti alla bisettrice del I e III quadrante nel punto A(1, 1); determinare la circonferenza diF rispetto alla quale è autopolare il triangolo avente per lati la retta y =1 e gli assi coordinati.
[ Il centro sta sulla polare di X∞, cioè l’asse y . . . è C(0, 2). . . x2+ (y−2)2=2 . . . verifica tutte le condizioni richieste. ]
166 Centro
17.29 Siano dati i punti C(1, 1), A(1, 0)e B(0, 1); scrivere l’equazione della conica che ha centro in C ed ammette come autopolare il triangolo OAB.
[2xy−2x−2y+1=0. . . del resto gli asintoti sono x=1 e . . . ]
17.30 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ammette come autopolare il triangolo di vertici O, A(8, 0)e B(0, 8)e come asintoto la retta di equazione
y=3x−16.
[15x2−2xy−y2+16x+16y−64=0]
17.31 SiaF la famiglia di circonferenze tangenti alla retta di equazione y−x−
1 = 0; trovare la circonferenza di F rispetto alla quale è autopolare il triangolo avente per lati le rette x =1, x =0 e y=1.
[ Il centro della circonferenza sta sulla polare di Y∞, che è la retta y=1.
Figura 17.3.
La tangenza avviene in A(1, 2), dal momento che il punto di tangenza deve stare sulla polare di(0, 1)(V. Fig. 17.3) che appartiene alla tangente, cioè sulla retta x=1. Il centro si ottiene dunque come intersezione della y=1 e della perpendicolare in A alla y=x+1, cioè la x+y−3=0. Pertanto il centro è C(2, 1)ed il raggio r=CA=√
2 da cui x2+y2−4x−2y−2=0. ]
17.32 Scrivere l’equazione della parabola non degenere che ammette come auto-polare il triangolo di vertici O(0, 0), A(2, 0)e B(0, 1)e che ha la tangente
17.2 Triangoli autopolari 167
Figura 17.4.
nel vertice parallela alla retta AB. (v. Fig. 17.4)
[4x2−4xy+y2+4x+8y−4=0]
17.33 Scrivere l’equazione della parabola che ha come asse la retta di equazione x−y+1=0 e rispetto alla qualle il triangolo di vertici O(0, 0), P(5 : 7 : 4)
e Q(0 : −2 : 1)è autopolare dopo aver stabilito se le condizioni assegnate sono indipendenti.
[ Le condizioni sono 6, non indipendenti. . . ; la rete(5y+7x)2+αx2+β(3x−
y−2)2=0 deve essere del tipo k(x−y)2+ · · · =0. . . β= −5, α=16. . . 2(x−