Geometria dello spazio
19. Rette e piani nello spazio 1. Piani e rette
19.1 Determinare gli eventuali valori del parametro k per i quali i piani x+ (1−k)z = 1−k
kx+y+2z = 1
(1−k)x+y+3z = 2
(1+k)x+3y+7z = 4 hanno in comune un solo punto.
[Il sistema formato dalle quattro equazioni deve ammettere una sola soluzio-ne. . . ]
19.2
* Scrivere l’equazione del piano passante per i punti A(1, 1, 0), B(0, 1, 2)e C(3, 0, 4).
[Ci sono vari modi per risolvere un esercizio di questo tipo. Ne esaminiamo due:
i) Il piano cercato sarà parallelo sia al vettore~v = AB = [−1, 0, 2]sia al vettorew~ =AC= [2,−1, 4]; ricordando che per un piano di equazione ax+by+cz+d=0 le componenti del vettore[a, b, c]formano una terna di parametri direttori di una retta ortogonale a tale piano, possiamo ricavare a, b, c dal prodotto vettoriale~v× ~w= [2, 8, 1], quindi l’equazione del piano sarà della forma 2x+8y+z+d=0; per determinare il termine noto d possiamo imporre il passaggio per uno dei tre punti, ad esempio A, ottenendo 2+8+d=0 da cui d= −10.
ii) La generica equazione del piano è ax+by+cz+d= 0 (con[a, b, c] 6= [0, 0, 0]); imponendo successivamente il passaggio per i tre punti si ottiene il sistema di tre equazioni nelle quattro incognite a, b, c e d
a+b+d=0 b+2c+d=0 3a+4c+d=0
le cui soluzioni sono definite a meno di un fattore di proporzionalità, cioè del tipo(2c, 8c, c,−10c): ricordando che l’equazione del piano è definita
176 Rette e piani nello spazio
a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, si perviene al risultato del punto precedente.
]
19.3 Calcolare il coseno dell’angolo ϕ fra i piani π1 ≡ x+y+z = 1 e π2 ≡
x−y−z=2.
[cos ϕ= hv, wi
kvk · kwk, con v= [1, 1, 1]e w= [1,−1,−1]parametri direttori delle
rette ortogonali rispettivamente a π1e π2e ϕ∈h0,π 2 i
. . . cos ϕ= 1 3.]
19.4 Calcolare i coseni direttori del piano che taglia sugli assi coordinati seg-menti OX, OY e OZ lunghi rispettivamente 12, 13 e 3.
[2x+3y−1
3z=0. . .±6 19,±18
19, e±1 19]
19.5 Nello spazio, scrivere le equazioni cartesiane e parametriche della retta passante per i punti A= (3, 0, 4)e B= (−1, 2,−2).
[La retta cercata è parallela al vettore AB = [xb−xa, yb−ya, zb−za] = [−4, 2,−6]e quindi, mettendo in evidenza il punto A come punto di pas-saggio, si ottengono le equazioni parametriche
x=3−4t y=2t z=4−6t
. Per passare alla forma cartesiana è sufficiente ricavare il parametro t da una delle tre equazioni, ad esempio in questo caso la seconda (t= y
2) e sostituirlo nelle altre due: si ottiene
(
x=3−2y z=4−3y ]
19.6 Determinare la posizione reciproca delle seguenti rette (cioè se sono paral-lele, incidenti, coincidenti o sghembe):
r : ( x+y+z+1=0 x−y+z=3 e s : x =t y =2t−1 z =1−2t
[Come sappiamo due rette sono parallele se e solo se hanno parametri di-rettori proporzionali. Una terna di parametri didi-rettori di s è evidentemente 1, 2,−2; per quanto riguarda la r una terna di parametri direttori è data dai tre minor 1 1 −1 1 =2,− 1 1 1 1 =0 e 1 1 1 −1
19.1 Piani e rette 177
proporzionali, quindi le rette non sono parallele, nè tantomeno coincidenti. Per verificare l’incidenza consideriamo il sistema che si ottiene sostituendo nelle equazioni di r le espressioni parametriche di x, y e z di s: otteniamo (
t+2t−1+1−2t+1=0 t− (2t−1) +1−2t=3 da cui
(
t= −1
−3t=1 . Le due equazioni sono in-compatibili, quindi il sistema non ammette soluzioni e di conseguenza le rette sono sghembe. ]
19.7 Sia r la retta che passa per i punti A(3, 0, 4) e B(−1, 2,−2) ed s quella passante per C(2, 2, 5)e D(0, 0,−3). Dimostrare che r ed s si incontrano e trovare le coordinate del loro punto comune.
[ r : ( x =3−2y z=4−3y, s : ( x=y z= −3+4y; punto comune(1, 1, 1)]
19.8 Scrivere le equazioni cartesiane del piano e delle rette passanti per il punto P(0, 1, 0)ed ortogonali alla retta s dell’esercizio 19.7
[Il piano cercato ha equazione 1(x−0) +1(y−1) −3(z−0) =0, cioè x+y−
3z−1=0, essendo[1, 1, 3]il vettore direzione della retta s; la direzione v delle rette perpendicolari ad s si ricava annullando il prodotto scalareh[1, 1,−3], vi
. . . (
y=1+ (3h−1)x z=hx ]
19.9 Calcolare il coseno dell’angolo formato dalle rette r = ( 2x+y−z=0 x+y+z=1 ed s = ( x−y =1 y−z =0.
[ cos ϕ=0, quindi le rette sono ortogonali.]
19.10 Calcolare il seno dell’angolo ψ formato dalla retta r dell’esercizio 19.7 e dal
piano π1dell’esercizio 19.3. [ sin ψ= 4
√
42]
19.11 Determinare l’equazione del piano che contiene la retta r di equazioni x =1+2k y=2−k z=k (19.1)
178 Rette e piani nello spazio
[Il piano cercato sarà parallelo sia al vettore v[2,−1, 1], che individua la dire-zione di r, sia al vettore che ha per estremi P ed un punto qualsiasi di r, per esempio il punto che si ottiene ponendo k=0 nelle equazioni parametriche (19.1) di r e cioè A(1, 2, 0), quindi al vettore w[1,−1,−3]. Il prodotto vettoriale v×w= [4, 7,−1]sarà perciò ortogonale al piano in questione, che avrà quin-di equazione 4x+7y−z+d =0. Imponendo il passaggio per A si ottiene d= −18 da cui l’equazione 4x+7y−z−18=0 ]
19.12
* Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, scrivere l’equazio-ne del piano contel’equazio-nente sia la retta r di equazioni1 x=2y−1=z+1 sia il punto P(1, 0,−1).
[Questo esercizio è analogo all’esercizio 19.11 ma ne proponiamo una solu-zione differente, che in questo caso conviene in quanto la retta r è definita come intersezione di due piani. Tra gli infiniti piani che contengono r e quindi appartenenti al fascio di equazione
λ(x−2y+1) +µ(x−z−1) =0 (19.2) (ottenuta come combinazione lineare delle equazioni dei due piani che defini-scono la r) cerchiamo quello che contiene il punto P. Imponendo il passaggio per P, sostituendo le coordinate di P nella (19.2), si ottiene λ(1+1) +µ(1+
1−1) =0 da cui µ= −2λ e quindi, sostituendo, per esempio, λ=1 e µ= −2 ancora nella (19.2), si ottiene il piano cercato x+2y−2z−3=0. ]
19.13 Nello spazio si considerino le due rette r e s, rispettivamente di equazioni x+y = z−1 =0 e y = x−z+1 = 0; verificare che sono complanari e scrivere l’equazione del piano che le contiene.
[Le coordinate dell’eventuale punto di intersezione sono soluzioni del sistema x+y=0 z−1=0 y=0 x−z+1=0
, quindi le rette si incontrano nel punto P(0, 0, 1). A questo punto il problema si riconduce a quello degli esercizi 19.11 e 19.12 pur di prendere un punto comodo2su una delle due rette (ma diverso dal punto di intersezione) e considerare il piano che passa per questo punto e per l’altra retta.]
1Questa espressione è scritta in forma contratta e sta ad indicare la retta ottenuta come intersezione di due qualsiansi piani tra i tre x=2y−1, x=z+1 e 2y−1=z+1.
2Nel senso di un punto le cui coordinate siano facilmente trattabili, in questo caso, per esempio, può esser comodo il punto S(−1, 0, 0) ∈s.
19.1 Piani e rette 179
19.14 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, si considerino le rette r : ( x=2y+1 y+z =1 e s : x=2t y=1+t z=3−t
verificare che sono complanari e scrivere l’equazione del piano che le contiene entrambe.
[Le due rette sono parallele3, quindi si procede come negli esercizi precedenti considerando una delle due rette ed un punto dell’altra. Si ottiene il piano x−y+z=2. ]
19.15 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali, si considerino le rette r : x=y=z e s : x =1+kt y =2t z =3−t .
Trovare gli eventuali valori del parametro k in corrispondenza dei quali le rette sono complanari. Per ciascuno di tali valori scrivere l’equazione del piano che contiene r e s.
[I vettori[1, 1, 1]e[k, 2, 1], che sono i vettori di direzione di r e s rispettivamente, non sono paralleli per alcun valore di k. Procedendo poi in maniera usuale, si ricava che le rette s’intersecano solo per k=1 nel punto P(2, 2, 2)e che il piano che le contiene ha equazione 3x−y−z=0.]
19.16 Nello spazio, riferito a coordinate cartesiane ortogonali scrivere l’equazione del piano passante per la retta r :
(
x−y =z
z=1 e parallelo alla retta s : (
x =y+2 z= −y .
3Per determinare il vettore direzione della retta r in questo caso, in cui mancano delle incognite nelle equazioni, vale la pena di passare alla forma parametrica fissando, ad esempio, y come parametro ed esprimendo le altre due incognite in funzione di y ed ottenendo così in modo rapido le equazioni parametriche di r che sono
x=2t+1 y=y z=1−t
e quindi il suo vettore di direzione[2, 1,−1].
180 Rette e piani nello spazio
[Nel fascio di piani λ(x−y−z) +µ(z−1) =0 che ha per sostegno r si sceglie quello parallelo alla retta s, si ottiene x−y−1=0 ]
19.17 Scrivere le equazioni della retta r passante per P(1, 1, 1), perpendicolare ed incidente alla retta s≡
(
x−y−z =1 2x−y+z =1
[È facile trovare due piani a cui deve appartenere r: uno è, ovviamente, quello ortogonale ad s che contiene P e l’altro. . . ]
19.18 Scrivere le equazioni dei piani passanti per il punto P(0, 0, 2) e paralleli alla retta r di equazioni
(
x−y+z =1 2x+y+2z =0.
[Tra i piani passanti per P, cioè quelli di equazione ax+by+c(z−2) = 0 scegliamo quelli per cui il vettore[a, b, c]è ortogonale al vettore direzione di r, cioè[1, 0,−1],. . . ax+by+a(z−2) = 0 ovvero a(x+z−2) +by = 0: osserviamo che tali piani altro non sono che gli infiniti piani del fascio che ha per sostegno la retta passante per P e parallela a quella data.]
19.19 Nello spazio, si considerino le rette
r : x =t y =t z =t e s : ( x+y+z=1 x−y−z=0.
Verificare che sono sghembe e scrivere le equazioni della retta r0 perpendi-colare e incidente ad entrambe.
[Consideriamo un generico punto P ∈ r, quindi di coordinate (t, t, t), ed uno di s che possiamo ottenere passando alle equazioni parametriche di s e che sarà 1
2, 1 2−k, k
. A questo punto basta imporre che il vettore PQ, che ha coordinate 1
2 −t, 1
2−k−t, k−t
, sia ortogonale ad entrambe le rette il che avviene per t = 1
3 e k = 1
4. Dunque la retta cercata sarà parallela al vettore 1 6,− 1 12,− 1 12
19.2 Esercizi vari 181
il punto P, avrà equazioni parametriche x= 1 3+2h y= 1 3−h z= 1 3−h ed equazioni cartesiane ( x=1−2z y=z . ]
19.2. Esercizi vari
19.20 Sia P(1, 0, 1). Calcolare la distanza di P dai piani dell’esercizio 19.3 a
pagina 176. [ d(Pπ1) = |1+0+1−1|
√
12+12+12 = 1
√
3, . . . ]
19.21 Determinare il piano assiale del segmento che ha per estremi i due punti A(1,−2, 3)e B(−1, 0, 1).
[Basta uguagliare le distanze del punto generico P(x, y, z)del piano cercato dal punto A e dal punto B; si ha:
(x−1)2+ (y+2)2+ (z−3)2= (x+1)2+y2+ (z−1)2. . . x−y+z−3=0 ]
19.22 Scrivere le equazioni dei piani (o del piano) che distano √2
6 dal punto P(1, 1, 1)e contengono (o contiene) la retta di equazioni
(
x−y=1 y+z=1.
[ Ve n’è uno solo di equazione 2−2y−z=0]
19.23 Risolvere l’esercizio precedente considerando come distanza tra i piani ed il punto il valore √1
6.
[I piani sono due, di equazioni rispettivamente 2x−y+z=0 e x+y+2z−
3=0]
19.24 Scrivere le equazioni della retta s che passa per P(0,−1,−1)ed è perpendi-colare ed incidente alla retta r :
(
x =2y−1
x =z+1 . Calcolare inoltre la distanza di P da r.
182 Rette e piani nello spazio
[Il piano π che passa per P ed è perpendicolare ad r interseca r stessa in un punto H che è la proiezione ortogonale di P su r. La retta cercata è quindi la retta PH e la distanza PH è la distanza Pr. Si ha H
−1 3, 1 3,− 4 3 quindi Pr= PH= s 1 9+ 1 3+1 2 + −4 3 +1 2 =√ 2 ed infine s : x =t y= −1−4t z= −1+3t . ]
19.25 Calcolare la distanza di P(1, 0, 1)dalle rette dell’esercizio 19.7 a pagina 177 19.26 Calcolare la distanza tra il piano π di equazione 2x+2y−z−2 =0 e la
retta r di equazioni (
x+1=0 2y−z=0.
[Piano e retta sono paralleli (verificarlo) quindi la distanza cercata sarà quella tra il piano stesso ed un punto qualsiasi della retta. Ad esempio scegliendo P(−1, 0, 0)si ha d(P, π) = | −2−2|
√
4+4+1 = 4 3. ]
19.27 Siano r e s le due rette parallele dell’esercizio 19.14; calcolare la loro distan-za. [ Basta calcolare la distanza tra un punto qualsiasi di una retta e l’altra. . . ]
19.28 Calcolare la distanza fra le due rette dell’esercizio 19.7.
[ Le rette sono incidenti, quindi. . . ]
19.29
* Calcolare la distanza tra le due rette sghembe dell’esercizio 19.19
[Tra i vari modi per risolvere un esercizio di questo tipo indichiamo i due seguenti:
i) Consideriamo il vettore AB che ha come estremi un punto qualsiasi A ∈ r ed uno B ∈ s e calcoliamo la sua proiezione ortogonale sulla direzione perpendicolare ad entrambe le rette, ovvero quella indivi-duata da v×w (v essendo il vettore direzione di r e w quello di s); tale proiezione si ottiene calcolando il prodotto scalare tra AB ed il versore parallelo a v×w, ovvero | hAB, v×wi |
kv×wk . I vettori v e w sono
stati ricavati nella risoluzione dell’esercizio 19.19, quindi, consideran-do per esempio i punti A(0, 0, 0)e B 1
2, 1 2, 0 , si ha | hAB, v×wi | kv×wk = 1 2, 1 2, 0 ,[2,−√1,−1] 6 = 1 2· 2 √ 6− 1 2√6+0= 1 2√6.
ii) Consideriamo il fascio di pianiF che ha per sostegno una delle due rette, ad esempio s (che è già scritta in forma cartesiana) e tra tutti questi piani scegliamo quello (π) parallelo ad r. La distanza cercata sarà la distanza