Geometria piana
16. Polarità piana
La polarità si intende sempre definita rispetto a coniche irriducibili. Nelle risoluzioni proposte faremo uso di una delle tante forme dell’equazione della polare, nulla vieta, anzi è auspicabile, che lo studente provi a risolvere in altro modo l’esercizio. In alcuni casi la risoluzione non si baserà su un procedimento solo analitico, ma farà uso di considerazioni sintetiche legate alla legge di reciprocità: è un invito alla riflessione.
16.1 SiaF il fascio di coniche di equazione
y2−xy+λ(2x2−3xy+y2−6x+3y) =0
Verificare che tutte le coniche del fascio sono tangenti nell’origine ad una
stessa retta. [2x+y=0]
16.2 Determinare la polare dell’origine rispetto alla conica di equazione ax2+bxy+cy2+dx+ey+f =0
[dx+ey+ f =0]
16.3 Si consideri l’iperbole equilatera γ che ha come asintoto la retta di equa-zione y =2x ed è tangente in P(3, 0)alla retta di equazione 4x+3y =12; scrivere l’equazione dell’altro asintoto.
[È la polare di(−2 : 1 : 0). . . x+2y=0]
16.4 Un’iperbole equilatera γ ammette come asintoto la retta di equazione x+2y−4=0; determinare l’altro asintoto sapendo che γ interseca l’asse x nei punti P(1, 0)e Q(3, 0).
[. . . 2x2+3xy−2y2−8x+4y+6=0. . . gli asintoti sono ortogonali . . . y−2x=0]
16.5 Determinare gli asintoti dell’iperbole equilatera non degenere che passa per l’origine e per A(1, 0), ha gli asintoti paralleli alle rette x−5y = 0 e x−y =0 e taglia l’asse x secondo un segmento lungo 5.
[. . . x2−6xy+5y2−x−25y=0. . . 2x−10y−15=0 e 2x−2y+13=0]
16.6 Considerate le coniche γ1 : x2+y2−2=0 e γ2: 4xy+3=0, determinare i punti P tali che la polare di P rispetto a γ1coincida con la polare di P
152 Polarità piana
16.7 Date le coniche γ : x2+y2+4x =0 e γ0 : y2−6x =0 determinare i punti P ∈γ0tali che la tangente in P alla γ0sia ortogonale alla polare di P rispetto
a γ. [(2,±√3)]
16.8 Nel fascio di coniche che passano per l’origine, per i punti A(0,−1) e B(−1,−1)e sono tangenti alla retta di equazione x+y+2=0 determinare le coniche rispetto alle quali la polare del punto P(−1, 0) e del punto improprio della retta 2x−2y−5 =0 sono tra loro perpendicolari.
[3x2+4xy−y2+7x−y=0; x2+2xy−y2+3x−y=0]
16.9
* Siano:
γ la generica conica che ha fuoco nel punto F(0, 2)e come direttrice coniugata ad F la retta di equazione x+y+1=0;
r la polare del punto P(1, 2)rispetto a γ;
Q ed R le intersezioni di r rispettivamente con la retta di equazione x =1 e con l’asse y
Verificare che Q ed R si corrispondono in una proiettività.
[ Si potrebbe scrivere l’equazione di γ ricorrendo alla definizione di conica tramite fuoco e direttrice, tuttavia la teoria della polarità ci permette una soluzione più rapida ed elegante: la direttrice può essere infatti vista come la polare del fuoco, e quindi la congiungente i punti di contatto delle tangenti uscenti dal fuoco che sono le rette isotrope1; γ appartiene allora al fascio gene-rato dalla direttrice “contata due volte” e dal complesso delle rette isotrope passanti per F, cioè la circonferenza di centro F e raggio nullo. In coordinate omogenee l’equazione di tale fascio è: x2+ (y−2u)2+k(x+y+u)2=0. La polare di P rispetto alla generica conica del fascio è:
1· [2x+2k(x+y+u)]+ +2[2(y−2u) +2k(x+y+u)]+ +1[−4(y−2u) +2k(x+y+u)] =0.
che, semplificando, diventa x+3k(x+y+u) =0. Allora Q=1,−6k−13k ed R=3k+1−3k, 0(k6=0 in quanto la polarità riguarda solo coniche irriducibili), per k = −13 si ha R≡X∞(1 : 0 : 0)). Sarà dunque y= −6k−13k = −2− 1
3k ed x0 = 3k+1−3k cioè x10 = −3k−13k = −1−3k1; da y+2= −3k1= x10+1 si ottiene l’equazione della proiettività yx0+x0−1=0. ]
1Ricordiamo che le rette isotrope sono due rette immaginarie che passano per i punti ciclici del piano e per l’origine e le cui equazioni sono x±iy=0.
153
16.10 Un’iperbole equilatera ha un fuoco nel punto F(−1, 0)ed ammette come polare di F la retta f di equazione 2x+y+1=0; determinarne l’equazione.
[ f è la direttrice. . . 3x2+8xy−3y2−2x+4y−3=0]
16.11 Una parabola P non degenere ha per direttrice la bisettrice del I e III quadrante e come polare del punto A(−1, 1)la retta di equazione 3x−y+
1=0. Determinare il fuoco F e l’asse di simmetria r diP.
[F−3
2,12, r : x+y+1=0]
16.12 Scrivere l’equazione della conica che passa per il punto A(0, 1), è tangente nell’origine alla bisettrice del I I e IV quadrante ed ammette come polare di X∞ la retta di equazione x =2. [x2+4y2−4x−4y=0 ellisse]
16.13 Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti O e P(1,−1) per la quale la retta di equazione y = 1 è un asintoto e quella di equazione 2y+1 =0 è la polare del punto Q(1, 1). [xy−5y2−x−7y=0]
16.14
* Siano γ la circonferenza di equazione x2+y2 = 4 ed A il punto (2, 4). Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera tangente a γ nei punti di contatto delle tangenti ad essa uscenti da A.
[ Si tratta dell’iperbole equilatera del fascio generato dalla circonferenza data e dalla polare pAdi A “contata due volte”, che è la congiungente i punti di tangenza. (v. Fig. 16.1)
Figura 16.1.
La polare di A è x+2y−2u =0 e dunque il fascio suddetto ha equazione x2+y2−4+k(x−2y−2)2 = 0; avremo un’iperbole equilatera se e solo
154 Polarità piana
se I1 = a11+a22 = 1+1+k+4k = 0 cioè per k = −25 da cui l’iperbole 3x2−8xy−3y2+8x+16y−28=0 ]
16.15 Siano γ la conica di equazione 2xy =1 ed F il punto(1, 1); scrivere l’equa-zione dell’involul’equa-zione delle rette reciproche uscenti da F.
[F è uno dei fuochi. . . l’involuzione è quella circolare mm0= −1]
16.16 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha gli stesssi asintoti della x2−xy−
2y2−x+2y+1=0 ed ammette gli assi cartesiani come rette reciproche.
[Gli asintoti sono x−2y=0 e x+y−1=0. . .(x−2y)(x+y−1) +1=0]
16.17 Una conica γ passa per i punti impropri degli assi cartesiani, per il punto A(1, 1), ed ammette come polare del punto P(0,−1)la retta di equazione y=1; scrivere l’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse y reciproci rispetto alla γ. [Y∞è unito e P è coniugato con A. . . y+y0 =0]
16.18 Sia γ l’iperbole equilatera che passa per i punti A(0, 1), B(2, 0) e C(1, 1)
ed è tangente alla bisettrice del I e III quadrante; scrivere l’equazione dell’involuzione dei punti dell’asse x reciproci rispetto a γ
[2xx0−3(x+x0) +4=0]
16.19
* Si considerino il punto A(0,−1)e la conica γ di equazione 2x2+3xy+3y2−x−6y−1=0;
scrivere l’equazione dell’iperbole che passa per il punto B(2, 0)ed ha come asintoti le tangenti alla γ passanti per A.
[ Le due tangenti AT1e AT2sono le rette che congiungono A con i punti in cui la polare di A taglia la γ (v. Fig. 16.2 a fronte). Il fascio a cui appartiene l’iperbole che cerchiamo sarà il fascio di iperboli avente queste due rette come asintoti, cioè tangenti nei punti impropri.
Lavorando in coordinate omogenee, la polare pA di A ha equazione x+
3y−u =0. La conica spezzata nelle due rette AT1 AT2appartiene al fascio 2x2+3xy+3y2−xu−6yu−u2+k(x+3y−u) =0 Ricercando le coniche degeneri, cioè imponendo I3 = 0 si ha k = ∞, a cui corrisponde la retta pA contata due volte e k = −12 che è quella che fa a l caso nostro ed ha equazione x2−y2−2yu−u2=0. La conica richiesta sarà dunque tangente a quest’ultima nei suoi punti impropri, sarà quindi una conica del fascio x2−y2−2yu−u2+ku2 = 0. Imponendo il passaggio per B otteniamo k= −4 da cui l’equazione, in coordinate non omogenee x2−y2−2y−4=0 che è un’iperbole equilatera. ]
155 Figura 16.2. 16.20 Siano: γ l’ellisse di equazione x2−xy+y2−3x+2=0; P il punto di coordinate(0,−1) Q il punto(0, 1).
Verificare che i punti P e Q ed i quattro punti di contatto di γ con le tangenti uscenti da P e da Q appartengono ad una medesima conica.
[Nel fascio di coniche generato da γ e dalle due polari, cercare quella che passa per Q ed osservare che passa anche per P. ]
16.21 Siano:
P la parabola di equazione(x−y)2−4(x+y+1) = 0;
P un punto del piano;
T1e T2 i punti di contatto delle tangenti uscenti da P con la parabola. Scrivere l’equazione del luogo dei punti P tali che T1e T2siano allineati
con l’origine. [È la polare dell’origine. . . x+y+2=0]
16.22
* Trovare il polo della retta impropria rispetto alla conica di equazione x2−3y2−2x+2=0.
156 Polarità piana
[ Per la legge di reciprocità basterà trovare le polari di due punti impropri qualsiansi: i più comodi sono X∞(1 : 0 : 0)e Y∞(0 : 1 : 0)le due polari sono rispettivamente la derivata rispetto ad x e quella rispetto ad y della conica: in coordinate omogenee si ha il sistema
(
2x−2u=0
−6y=0 che ha come soluzione x=u e y=0 da cui il punto P(1, 0). ]
16.23 Trovare il polo della retta x+y+3=0 rispetto alla conica 2x2−3xy+y2+3x =0.
[(1, 2)]
16.24 Siano:
r una retta per l’origine;
P il polo della r rispetto alla circonferenza di equazione x2+y2−2x =0; Q il polo della r rispetto all’iperbole di equazione x2−xy−y+1=0 Trovare le rette r per le quali i corrispondenti punti P e Q sono allineati con
A(−2, 1). [y= 23x, y=3x]
16.25 Data la circonferenza di equazione x2+y2−2x+3y =0 ed i punti A(1, 2)
e B(2, 0), determinare un punto C che sia reciproco sia di A sia di B.
[È il polo della retta AB. . . C207,−4 7
]
16.26
* Verificare che i punti impropri degli assi x e y sono reciproci rispetto a tutte le coniche che passano per i punti O(0, 0)ed A(2, 0)ed ammettono come polare del punto P(1, 2)l’asse x. [(x−y)2+4x−8=0]
[ La polare di P passa per O ed A che sono quindi i punti di contatto delle tangenti uscenti da P. L’equazione del fascio, in coordinate omogenee, si può scrivere come
ky2+ (2x−y)(2x+y−4u) =0.
La polare di X∞(1 : 0 : 0)rispetto alla generica conica del fascio ha equazione 2(2x+y−4u) +2(2x−y) =0 e cioè, semplificando, x−u=0 che passa per Y∞(0 : 1 : 0).]
16.27 Data la parabola y =x2, verificare che l’involuzione dei punti reciproci da essa subordinata sull’asse x è la simmetria rispetto all’origine.
157
16.28
* Una conica taglia l’asse x nei punti A(2, 0)e B(4, 0)e l’asse y in C(0, 2)e D(0, 4). Determinare la polare dell’origine.
[ Considerare l’involuzione dei punti reciproci sugli assi. . . i corrispondenti di O sono rispettivamente A0(3, 0)e B0(0, 3). . . la retta AB è x+y−3=0 ]
16.29
* Si considerino i punti A(0, 1)e B(2, 0)e la retta r di equazione x+2y=4; sia γ la conica non degenere tangente in A all’asse y, tangente in B all’asse x e tangente anche alla retta r.
Senza determinare l’equazione di γ, trovare le tangenti ad essa uscenti dal punto P∞(2 :−1 : 0)
[ Una delle rette cercate è r che è tangente in T(2, 1), l’altra passa per l’al-tro punto unito dell’involuzione dei punti reciproci sulla retta OT, che tie-ne fisso T e manda il punto O tie-nel punto P1,12. . . xx0−4(x+x0) +4 =
0. . . T023,13. . . 3x+6y−4=0. ]
16.30
* Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha come asintoto la retta r : x−y+1=0 e subordina sull’asse x l’involuzione dei punti reciproci di equazione xx0− (x+x0) =0.
[ La conica ha r come asintoto, passa per il punto improprio in direzione ortogonale ad r e per i punti dell’asse x uniti nell’involuzione data . . .
x2−y2−2x+4y=0. ]