Geometria piana
11. La circonferenza nel piano
In questo capitolo, così come nei successivi, tra i punti di intersezione delle curve in questione verranno considerati anche quelli a coordinate complesse, così come tra le curve riducibili verranno considerate anche quelle rappresentate da polinomi riducibili inC
ma non inR.
11.1 Scrivere l’equazione della circonferenza che ha centro nel punto A(5,−7)e passa per il punto P(2,−3). [(x−5)2+ (y+7)2=25]
11.2
* Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(3, 1), B(−2, 6)e C(−5,−3)
[Ci sono vari metodi significativamente diversi per risolvere questo esercizio, ne esaminiamo alcuni:
• Il centroC della circonferenza cercata è il punto equidistante da A, B e C, quindi si ottiene come intersezione degli assi di due dei tre segmenti formati ai punti. Nel nostro caso l’asse del segmento AB è x−y+3=0, l’asse di AC è 2x+y+3=0 da cui le coordinate del centroC(−2, 1). Il raggio sarà allora la distanza diC da uno qualsiasi dei punti dati. Si vede subito che BC =5 e quindi(x+2)2+ (y−1)2=25 che diventa x2+y2+4x−2y−20=0 e che dunque rappresenta l’equazione della circonferenza.
• La generica equazione della circonferenza è:
x2+y2+ax+by+c=0; (11.1) imponendo il passaggio per i tre punti si ottengono tre equazioni in a, b
e c: 3a+b+c+10=0 −2a+6b+c+40=0 −5a−3b+c+34=0 ; (11.2)
le soluzioni del sistema 11.2 sono i coefficienti della 11.1.
• Infine si può pensare la circonferenza cercata come appartenente al fascio F individuato da due di questi punti e poi imporre il passaggio per il terzo.
Lo studente è invitato a confrontare e riflettere su questi modi per risolvere l’esercizio proposto.]
114 La circonferenza nel piano
11.3 Scrivere l’equazione delle circonferenze che hanno raggio 2 e passano per i punti A(−1, 2)e B(1, 0)
[ I centri si possono ottenere come intersezione delle circonferenze di rag-gio 2 aventi centri rispettivamente in A e B. . . quindi le circonferenze hanno equazioni(x+1)2+y2=4 e(x−1)2+ (y−2)2=4. ]
11.4
* Fornire una rappresentazione parametrica razionale della circonferenza di equazione
x2+y2−2x+2y=1 (11.3)
[ La circonferenza di equazione (11.3) si scrive anche come
(x−1)2+ (y+1)2=3, (11.4) quindi ha centro in C(1,−1)e raggio r=√
3. A sua volta l’equazione (11.4) equivale al sistema
( x−1=√
3 cos α y+1=√
3 sin α
con 0 ≤ α ≤ 2π. A questo punto, facendo uso delle cosiddette formule parametriche e ponendo t=tanα
2 ed α6=πsi ottiene x=1+√ 31−t 2 1+t2 = 1+√ 3+ (1−√3)t2 1+t2 y= −1+√ 3 2t 1+t2 = 2√3−1−t2 1+t2 .
Un generico punto della circonferenza data è dunque P 1+ √ 3+ (1−√3)t2 1+t2 ,2 √ 3−1−t2 1+t2 !
dove, come detto t = tanα
2 e α 6= π. Questo comporta però che il punto P(1−√3,−1), ottenuto per α=π, non è raggiunto dalla parametrizzazione considerata; si ha però P→P per α→πqundi per t=tanα
2 →∞.
La parametrizzazione cercata puà essere determinata anche in modo più generale: il punto generico della circonferenza può essere parametrizzato tramite il coefficiente angolare di una retta che lo congiunge ad un punto fissato su di essa. Nel caso in esame, considerato il punto P, l’equazione della generica retta non verticale passante per esso sarà y+1= m(x−1+√
3); dall’intersezione di tale retta con la circonferenza, cioè dal sistema
(
(x−1)2+ (y+1)2=3 y+1=m(x−1+√
115
si ottengono come soluzioni le coordinate del generico punto P 1+ √ 3+ (1−√3)m2 1+m2 ,2 √ 3−1−m2 1+m2 ! .
In effetti abbiamo ancora escluso la retta verticale che, in questo caso, essendo tangente in P alla circonferenza, fornisce il punto P stesso, che comunque è ottenibile come limite per m→∞. Osserviamo infine che abbiamo ottenuto la stessa parametrizzazione perche si ha m =tan β = tanα
2: considerando le corde per un diverso punto si otterrebbero parametrizzazioni razionali diverse. ]
11.5 Siano γ la circonferenza di equazione x2+y2 =1, A e B le intersezioni di
γcon l’asse x e P un punto di γ; verificare, analiticamente e sinteticamente, che le rette AP e BP tagliano l’asse y in punti H e K tali che sia OK·OH =k con k costante da determinare.
[I triangoli BOH e KOA sono simili (v. fig. 11.1). . . k=1]
Figura 11.1.: I triangoli simili dell’Esercizio 11.5
11.6 Rislovere l’esercizio 11.2 con lo strumento dei fasci di circonferenze. 11.7 Scrivere l’equazione di una circonferenza tangente all’asse x nel punto
A(3, 0)ed avente raggio r=6.
[Il centro sarà C1(3, 6)oppure C2(3,−6)da cui...]
11.8 Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per l’origine e tangenti alle rette r : x−2y =0 ed s : x+y−1=0.
116 La circonferenza nel piano
11.9 Siano
γ la circonferenza di equazione x2+y2−2y=0,
T un punto della γ, A e B le intersezioni della tangente in T alla γ rispettivamente con l’asse x e con l’asse y.
Determinare T in modo che i triangoli OAT ed OTB abbiamo la stessa area. (Vedi figura 11.2)
[T dev’essere il punto medio di AB (perché?). . . T1=
√ 3 2 ,32e T2=− √ 3 2 ,32] Figura 11.2.: Esercizio 11.9
11.10 Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i tre punti A(1, 1), B(6, 1)e C 14 5 , 17 5 .
[Osservare che il triangolo ACB è rettangolo in C, dunque AB è un diame-tro. . . x−7
2
2
+ (y−1)2= 254]
11.11 Scrivere le equazioni delle circonferenze che hanno raggio 2 e passano per i punti A(−1, 2)e B(1, 0).
[I centri si possono ottenere come intersezione delle circonferenze di centri A e B e raggio 2. . . ]
117
11.12
* Sia r la retta di equazione x+y−2 = 0 e P il punto di coordinate(2, 0); scrivere l’equazione della circonferenza tangente in P alla retta r e passante per l’origine.
[ Tra i tanti metodi per risolvere questo tipo di esercizi, da quello più ingenuo, consistente nell’imporre all’equazione generale della circonferenza le condi-zioni richieste, a quello più sintetico, consistente nel determinare il centro della circonferenza richiesta come intersezione dell’asse del segmento OP con la perpendicolare ad r passante per P, scegliamo di utilizzare la tecnica dei fasci. Possiamo procedere in due maniere diverse: cercando nel fascio di circonferenze tangenti in P ad r quella passante per O oppure nel fascio delle circonferenze passanti per O e P quella tangente ad r.
• L’equazione del fascio di circonferenze tangenti in P ad r è
(x−2)2+y2+k(x+y−2) =0
ottenuta come combinazione lineare della circonferenza con centro in P e raggio nullo(x−2)2+y2 = 0) con l’asse radicale del fascio, cioè la retta r. Imponendo ora il passaggio per l’origine, cioè sostituendo nell’equazione del fascio le coordinate di O(0, 0), si ottiene k=2 e quindi l’equazione della circonferenza cercata x2+y2−2x+2y=0.
• Il fascio di circonferenze passanti per O e P si ottiene, per esempio, combinando linearmente l’asse radicale, cioè la retta OP y = 0 e la circonferenza che ammette OP come diametro, cioè che ha centro nel punto medio M di OP e raggio MO che ha equazione(x−1)2+y2=0. Quindi la generica circonferenza del fascio sarà(x−1)2+y2+ky=0; essa dovrà essere tangente alla retta r, quindi l’equazione risolvente del
sistema (
(x−1)2+y2=0 x+y−2=0
dovrà avere due radici reali coincidenti. Eliminando, per esempio la x otteniamo 2y2+ (k−2)y =0 che ammette la radice nulla contata due volte se e solo se k=2, da cui il risultato.
]
11.13 Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per l’origine e tangenti alle rette r : x−2y=0 ed s : x+y−1=0
[La tangenza ad r è in O. . . 9x2+9y2−2(1±√10(x−2y) =0]
11.14 Determinare l’equazione della circonferenza tangente nell’origine alla retta r : 3x−4y =0 e tangente alle rette s : x =8 e t : x = −2.
[ Il centro è l’intersezione della bisettrice della striscia formata dalle rette s e t (che sono parallele) e della retta passante per O ortogonale alla tangente r . . .(x−3)2+ (y+4)2=25. ]
118 La circonferenza nel piano
11.15 Trovare asse radicale e punti base del fascio di circonferenze x2+y2−x−y+λ(x2+y2−1) = 0.
[x+y−1=0; A(1, 0), B(0, 1)]
11.16 Sia data la famiglia di curve
F : a(x2+y2−1) +b(x2−y) +c(x−y2) = 0
Verificare che le curve diF che passano per il punto P(0, 1)formano un fascio di circonferenze e trovare i punti base di tale fascio.
11.17 SiaF il fascio di circonferenze tangenti alla bisettrice del I e III quadrante nel punto A(1, 1); scrivere l’equazione della curva diF che interseca l’asse x in due punti simmetrici rispetto al punto B(3, 0).
[Il centro deve essere sulla x=3. . .(x−3)2+ (y+1)2=8]
11.18 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze individuato dalle due circonferenze
γ : x2+y2−y =0
γ0 : x2+y2−2x+y =0
[È la congiungente dei centri di γ e γ0. . . 2x+2y−1=0]
11.19 SiaF il fascio di circonferenze tangenti alla bisettrice del I e III quadrante nel punto A(1, 1); denotate con B e C le ulteriori intersezioni della generica circonferenza di F con le rette di equazioni rispettive x = 1 e y = 1, scrivere l’equazione del luogo dei punti medi dei segmenti BC.
[È il luogo dei centri delle circonferenze del fascio. . . x+y−2=0]
11.20 Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per l’origine O(0, 0), per il punto C(−1, 0)e taglia gli assi coordinati in due punti aventi la stessa proiezione ortogonale sulla retta OC.
[Il centro è il punto medio di OC. . .x+122+y2= 14]
11.21 Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti A(2, 0) e B(0, 2)e rispetto alla quale l’origine ha potenza 4.
[x2+y2−4x−4y+4=0]
119
11.22
* Verificare che se γ e γ0sono due circonferenze, ogni circonferenza del fascio da esse individuato è il luogo dei punti P tali che il rapporto tra la potenza di P rispetto a γ e rispetto a γ0è costante e dedurre da ciò che l’asse radicale di un fascioF di circonferenze è il luogo dei punti che hanno la stessa potenza rispetto a tutte le coniche del fascio.
12. Le coniche
Salvo esplicito avviso contrario, in questo capitolo le coniche si intendono irriducibili e le iperboli non equilatere. Anche se non esplicitamente richiesto si sottintende che ogni conica di cui si parla vada riconosciuta. Si parlerà anche di luoghi geometrici, cioè insiemi di punti che godono di certe proprietà; in questo caso il problema è quello di tradurre queste proprietà in manera analitica, cioè mediante equazioni e poi, di solito, eliminare uno o più parametri presenti nelle equazioni trovate per poter ottenere così l’equazione cartesiana del luogo.
12.1 SianoP la parabola di equazione y2 = 4x, A ∈ P B la proiezione orto-gonale di A sull’asse x, e C il simmetrico di B rispetto all’origine O(0, 0); verificare che la retta CA risulta tangente aP. (v. Fig. 12.1)
Figura 12.1.
12.2 SiaP la parabola di equazione y2 =2x e P il punto di coordinate (2, 2). Determinare un punto Q∈ P tale che l’area del triangolo OPQ sia uguale a 4.
122 Le coniche
Figura 12.2.
[Ricordando che l’area di un triangolo di vertici A(a, b), B(c, d) C(e, f) è
1 2 a b 1 c d 1 e f 1
e ponendo Qt22, tsi ottiene t=. . . da cui i punti Q1(2,−2)e Q2(8, 4). (v. Fig. 12.2) ]
12.3 Siano
P la parabola di equazione y=x2
r ed r0 due rette perpendicolari uscenti dall’origine,
R ed R0 Le ulteriori intersezioni diP con r ed r0rispettivamente.
Verificare che al variare comunque della coppia(r, r0)le rette passanti per R ed R0 passano sempre per un medesimo punto A, di cui si chiedono le
coordinate. [A(0, 1)]
12.4 Verificare che l’equazione xy−2x+y−3 = 0 rappresenta un’iperbole equilatera.
[ Con un’opportuna rototraslazione di assi l’equazione diventa x22 −y22 =2 che è proprio la forma canonica dell’iperbole equilatera. ]
123
12.5 SiaP la parabola che ammette come fuoco il punto F(2, 2)e come vertice il punto V(1, 1); determinare la tangente aP parallela alla retta di equazione r : x−2y+3=0 ed il suo punto di contatto conP.
[Direttice y= −x. . .(x−y)2−8(x+y−2) =0. . . x−2y=8, P(16, 4)(v. Fig. 12.3)]
Figura 12.3.
12.6 Scrivere l’equazione del luogo dei centri delle circonferenze tangenti alla bisettrice del I I e IV quadrante e passanti per P(1, 0).
[È la parabola con direttrice x+y=0 e fuoco P(1, 0). . . x−y)2−4x+2=0]
12.7 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera γ che ammette come fuo-co il punto F(3, 0) e la retta r : x = 1 come direttrice coniugata ad F. Determinare inoltre il centro ed i vertici di γ.
[ Sia P(x, y): allorad(PF)d(P,r) =√
2. . . x2−y2+2x−7=0. . .(x+1)2−y2−8=
0. . . C(−1, 0), V1(−1−2√2, 0), V2(−1+2√2, 0). ]
12.8 Siano
t una tangente all’iperbole di equazione xy−y =1;
A e B le intersezioni di t con l’asse x e con l’altro asintoto, rispettivamente. A0 l’intersezione dell’asse x con la retta per B parallela alla r : y = −2x Trovare la relazione che intercorre tra le ascisse x di A e x0di A0 al variare
di t. [x= x20 +1]
12.9 Si consideri l’ellisse γ di equazione x2+xy+y2 = 1. Scrivere l’equazio-ne di una circonferenza che tagli l’ellisse in quattro punti vertici di un rettangolo.
124 Le coniche
Figura 12.4.
[ Gli assi dell’ellisse sono le bisettrici dei quadranti. . . la circonferenza deve avere centro in O e raggio r con
q
2
3 <r<√
2, vedi un esempio in Fig. 12.4 ]
12.10 Si considerino le parabole P e P0 che hanno fuoco nel punto F(0, 1) e come direttrici rispettivamente le rette r : x = 2 e s : y = 2. Trovare le coordinate dei punti comuni aP e P0
. [P1(1, 1)P2(−3,−3)]
12.11 Scrivere l’equazione della parabola che ammette il punto F(1, 1) come fuoco e l’origine come vertice.
[La direttrice è x+y+2=0 . . .(x−y)2−8(x+y) =0]
12.12 Determinare fuoco e direttrice della parabola che ha il vertice in O, ammette come asse la bisettrice del I e III quadrante e passa per il punto P(2, 1).
[ F(t, t)r : y= −x−2t, ponendo PF=d(P, r). . . F241,241, y= −x− 1 12]
12.13 Sia P la parabola di equazione y2+2x = 0. Scrivere l’equazione della parabolaP0che ha fuoco nel punto F(1, 1)e come direttrice la tangente a P parallela alla retta OF.
[La retta OF ha coefficiente angolare 1. La tangente alla parabola è 2x−2y=1. . . ]
12.14 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera non degenere che passa per O(0, 0)ha un fuoco sull’asse x ed ammette come direttrice coniugata ad F la retta di equazione x−y−√5=0.
[F(t, 0) 6∈r: d(O,r)OF =√
2. . . t= −√
125
12.15 Calcolare l’eccentricità della conica
x2−y2+2y−5=0.
[Si tratta di un’iperbole equilatera, quindi e=√
2]
12.16 Si considerino Il punto F(2, 0)e la retta d : x−2y=0; scrivere l’equazione del luogo dei punti del piano per i quali il rapporto delle distanze da F e da d è√5 e riconoscerlo. [F6∈d. . .√5>1: iperbole. . . 4xy−3y2−4x+4=0 ]
12.17 Si consideri la famiglia di conicheF
2ax2+2y2+4ax+2y+2a=0 (a∈ R)
Determinare le coniche degeneri diF .
[La matrice dei coefficienti della conica è A=
a 0 2a 0 1 1 2a 1 a . Essa è singolare se e solo se a =0 oppure a = −1
3, da cui le coniche degeneri y
2+y = 0 e x2−3y2+2x−3y+1=0]
12.18
* Trovare una rototraslazione di assi che riduca la conicaK x2−xy+y2−5x =0
a forma canonica.
[La matrice dei coefficienti della conica è A =
1 −1 2 − 5 2 −1 2 1 0 −5 2 0 0 ; la
na-tura diK dipende dal segno del determinante I2 della sottomatrice B =
1 −1 2 −1 2 1
formata dalle prime due righe e dalle prime due colonne di A;
poiché I2>0 si tratta di un’ellisse. Per ridurla a forma canonica dobbiamo far sì che l’origine e gli assi del sistema di riferimento coincidano rispettivamente con il suo centro ed i suoi assi. Per determinare il centro dobbiamo risolvere il sistema 1 −1 2 −1 2 1 x y + −5 2 0 =0 0 ,
126 Le coniche da cui C 10 3 , 5 3
; in seguito consideriamo la traslazione di vettore CO di
equazioni x0 =x−10 3 y0 =y−5 3
. Sostituendo nell’equazione della conica i valori di x e y ricavati in funzione di x0 ed y0 si ottiene l’equazione della conica centrata nell’origine: x2−xy+y2= 253. La direzione degli assi è individuata dagli autovettori di B, che sono1
1
e 1
−1
; per ridurre a forma canonica l’equazione della conica è sufficiente ruotare il sistema di riferimento attorno all’origine di un angolo di π
4. Le e quazioni della rotazione sono x= x0 √ 2 − y0 √ 2 y= x0 √ 2 + y0 √ 2 ;
sostituendo tali valori nell’equazione precedentemente trovata, si ottiene l’equazione in forma canonica: 3
50x
2+ 9 50y
2=1.]
12.19 Riconoscere le seguenti coniche e poi ridurle a forma canonica: 3x2−xy+3y2−6x+y−22=0, [ ellisse, 7x2+y2=50. . . ] xy+x−3y+4=0, [iperbole equilatera. . . ] 4x2+4xy+y2−4x+2y+1=0. [parabola. . . ]
12.20 Scrivere l’equazione della conica passante per i punti A(2, 1), B(2,−1), C(0,−1), D(0, 1)e E(3, 0)e riconoscerla. [ x2+3y2−2x−3=0 ellisse.]
12.1. Quesiti
Q.12.137 La conica di equazione(x−y)2+3x =0 è una parabola non degenere.
2 vero 2 falso
Q.12.138 Esistono coppie di coniche distinte che hanno infiniti punti in comune.
12.1 Quesiti 127
Q.12.139 L’equazione della conica x2−2xy+y2+x = 0 può essere ridotta, con un’opportuna rototraslazione, ad una forma canonica del tipo ax2+by2=
k con a, b 6=0 2 vero 2 falso
Q.12.140 L’equazione dell’iperbole equilatera che ha i fuochi nei punti F(0, 0) e F0(−2, 0)nel piano è: a 2x2−2y2+4x−1=0; b x2−2y2+3=0;
c x2−y2+4y=0; d x2+y2+2x−1=0.
Q.12.141 Nel piano, l’equazione 2x2+2xy+y2+2y = 0 rappresenta: a una conica di eccentricità < 1; b un’iperbole; c un’iperbole equilatera;
d un’ellisse.
Q.12.142 Si consideri la famiglia di coniche rappresentata dall’equazione
x2+kxy+y2+kx−1=0 (12.1)
allora esiste almeno un valore di k per cui l’equazione 12.1 rappresenta: a un’iperbole equilatera: b una parabola non degenere; c una conica degenere; d una circonferenza reale.