Fasci di coniche

Da qui in poi il piano si intende completato con gli elementi impropri e con i punti a coordinate complesse; quando è il caso si useranno le coordinate omogenee nella forma

(x : y : u); inoltre indicheremo quasi sempre i fasci con un unico parametro con la convenzione che esso possa, quando non esplicitamente vietato, assumere anche il valore ∞. L’equazione di una generica conica sarà considerata della forma

a₁₁x²+2a₁₂xy+a22y²+2a₁₃xu+2a23yu+a33u² =0 (13.1) ed a questa forma faremo riferimento quando considereremo i coefficienti della (13.1) nelle soluzioni. Infine precisiamo che il parametro che useremo per scrivere l’equazione di un fascio potrà essere una qualunque lettera minuscola dell’alfabeto latino (tranne, ovviamente la x e la y) o di quello greco.

13.1

* Data la conica

γ : x²+2y²+2txy+2y+t=0, (13.2)

stabilire per quali valori del parametro t la γ è: i) degenere;

ii) una circonferenza; iii) un’iperbole equilatera; iv) una parabola non degenere.

[ Per vedere quando una conica è degenere occorrre e basta vedere quando si annulla il determinante della matrice dei coefficienti, cioè, per quanto riguar-da la (13.2), quando       1 t 0 t 2 1 0 1 t      

=0 quindi dev’essere−t3+2t−1=0 le cui soluzioni sono t=1,^−1±

√ 5

2 . Per ottenere una circonferenza, invece, occorre e basta che sia risolubile il sistema

(

a₁₁ =a₂₂

a12 =0 ^{; che nel caso della (13.2) non} ammette soluzioni, essendo a11=16=2=a22quindi non esiste una circonfe-renza nel fascio assegnato. Anche per quanto riguarda l’iperbole equilatera, caratterizzata dal fatto che a₁₁+a22 = 0 osserviamo che non esiste alcun valore del parametro per cui la conica (13.2) è un’iperbole equilatera. Infine

130 Fasci di coniche

abbiamo una parabola quando e solo quando l’invariante I2 =

    a₁₁ a₁₂ a₁₂ a₂₂    è nullo. Nel nostro caso si ha 2−t²=0 da cui t = ±√

2 che rappresentano i due valori per cui la (13.2) rappresenta una parabola non degenere (in quanto diversi da quelli trovati per le coniche degeneri). ]

13.2 Determinare, se esistono, le parabole nel fascio di equazione

λ(x²+1) +µ(2xy+3y²−2x+6y−4) = 0

[x²+1=0 degenere e(x+3y)²−6x+18y−11=0 non degenere]

13.3 Si consideri il fascio F di coniche passanti per l’origine e per i punti A(0, 1), B(2, 0) e C(1, 1). Verificare che le intersezioni di tutte le coniche non degeneri diF con la retta x = 2 sono simmetriche rispetto ad un medesimo punto M e determinare le coordinate di M. [M(0, 2)]

13.4 Si consideri il fascio di coniche passanti per il punto improprio della bi-settrice del I e III quadrante, per l’origine, per A(0, 2)e tangenti alla retta y = 2; trovare l’ascissa dell’ulteriore punto in cui la generica conica del fascio taglia l’asse x.

[ A appartiene alla tangente. . . il fascio è(x−y)(y−2) +kx(x−y+2) =

0. . . per k=0 la conica passa per X_∞, per k6=0 si ha xP= ^2−2k_k . ]

13.5 Nel fascio di coniche tangenti alla retta di equazione y =2 e passanti per A(0, 1), B(2, 1)e C(1, 2), determinare quelle tangenti all’asse x e riconoscer-le. [(y−2)(y−1) =0, parabola degenere; x²+y²−2x−2y+1=0 circonferenza.]

13.6 Determinare, se esistono, le circonferenze nel fascio di coniche che ha come punti base i punti A(2, 1), B(2,−₁), C(0,−₁)e D(0, 1).

[x²+y²−2x−1=0]

13.7 Sia γ la circonferenza di raggio r = √

5 e centro a coordinate entrambe positive che stacca sugli assi x e y corde AB e CD di lunghezza 2. Deter-minare le parabole del fascio di coniche avente come punti base A, B, C, D.

[Fascio(x−2)2+ (y−2)2−5+kxy=0. . . k= ±2. . .(x±y)2−4x−4y+3=0]

13.8 Scrivere l’equazione della conica che passa per il punto improprio dell’asse y, per l’origine e per i punti A(3, 0), B(2, 3)e C(4, 5).

131

13.9 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti O(0, 0), B(1, 1), C(2, 1) ed è tangente alla retta di equazione 2x−y−1 = 0 nel punto D(0,−1)e riconoscerla.

[ È la conica di equazine(x−2y)(2x−y−1) =0, degenere.]

13.10 Scrivere l’equazione della conica passante per i punti A(1, 0), B(1,−1), C(2, 2)e tangente alla retta di equazione 3x−y+1=0 nel punto D(0, 1)

e riconoscerla. [ 7x²−6xy−y²−3x+5y−4=0 iperbole.]

13.11 Determinare l’equazione della conica passante per P(2, 3)e tangente alla circonferenza¹ x²+y²−2x−2y =0 nei punti in cui essa interseca la retta y =x−_{1 e riconoscerla.} [16(x²+y²−2x−2y) −3(x+y−1)²=0.]

13.12 Determinare l’equazione dell’iperbole tangente nell’origine alla bisettrice del I e III quadrante, passante per A(1, 0)ed avente un asintoto parallelo alla bisettrice del II e IV quadrante. [2x²+xy−y²−2xu+2yu=0]

13.13 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha gli stessi asintoti dell’iperbole x²−xy−2y²+1 =0 e passa per il punto P(1, 1). [x²−xy−2y²+2=0]

13.14 Scrivere l’equazione della conica che passa per i punti A(1, 0), B(0, 2) e C(2, 2) ed è tangente alle rette r : x−2y−1 = 0 ed s : x+2y−4 = 0

[A∈r e B∈s. . . 20x²+12xy+29y²−64x+36y+44=0]

13.15 Scrivere l’equazione dell’iperbole che passa per i punti A(1, 1), B(2, 0)e C(0, 3)ed ammette come asintoto la retta y=2x

[L’iperbole è tangente al suo asintoto nel punto improprio. . . 68x²+16xy−

25y2−142x+71y+12=0]

13.16 Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha come asintoti le rette di equazioni x+2y−5=0 e 2x−3y+4=0 e passa per l’origine.

[2x²+xy−6y²−6x+23y=0]

13.17 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera tangente nell’origine all’asse x ed avente come asintoto la retta di equazione x+y+1=0:

[x²−y²−2y=0]

13.18 Scrivere l’equazione della parabola non degenere tangente nell’origine all’asse x ed in P(0, 1)alla retta di equazione y =x+1.

[(x−2y)²−2y=0]

13.19

* Scrivere l’equazione della parabola che ha l’asse parallelo alla retta r : y=

3x e passa per i punti A(1, 0), B(0, 1)e C(1, 1).

132 Fasci di coniche

Figura 13.1.

[ L’asse fornisce il punto improprio della parabola, punto in cui essa è tangente alla retta impropria, quindi i cinque punti sono A, B, C e P_∞contato due volte. Posso scergliere come punti base del fascio A, B e P_∞, P_∞e quindi le coniche degeneri del fascio sono: la retta impropria con la retta AB, e le rette per A e B parallele alla r (Figura 13.1) ]

13.20 Scrivere l’equazione della conica che ha centro in C(1, 0), è tangente in A(0, 2)alla retta di equazione y =2 e passa per il punto P(−1,−1).

[Il centro è centro di simmetria. . . 3x²+3xy+7y²−6x−3y−22=0 ellisse]

13.21 Scrivere l’equazione della conica che passa per l’origine, ha come asse la retta di equazione 2x+3y−₆=0 ed ammette come vertici i punti in cui questa retta taglia gli assi coordinati.

[Le tangenti nei vertici sono perpendicolari all’asse. . . x²+y²−3x−2y=0 circonferenza]

13.22 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che ha centro in C(1, 1), passa per l’origine ed è ivi tangente alla parabola y =x²−x.

[ In O ha la stessa tangente della parabola, cioè y = −x. . . C è centro di simmetria. . . xy−x−y=0]

133

Figura 13.2.

13.23

* Risolvere l’equazione x⁴−4x³+8x−2=0.

[ La tecnica dei fasci di coniche permette di risolvere equazioni di quarto grado non abbassabili di grado con il Teorema di Ruffini o algoritmi analoghi. È facile, nel nostro caso, osservare che l’equazione proposta non ammette radici razionali (esse possono essere solo±1 o±2). Se ora poniamo y=x2

nell’equazione data, si ottiene y2−4xy+8x−2 = 0, cioè le equazioni di due coniche: le soluzioni cercate sono allora le ascisse dei punti di interse-zione delle due coniche, cioè dei punti base del fascio da esse individuato (v. Fig. 13.2). I punti possono essere individuati facilmente considerando le coniche degeneri del fascio, che si possono ottenere dall’equazione del fascio ponendo I3=0; nel nostro caso si ha

      k −2 4 −2 1 −k 2 4 −k 2 −2       , cioè k³−24k+32=0, che ammette la soluzione razionale k=4 a cui corrisponde la conica di equa-zione(2x−y)²+4(2x−y) −2 = 0. Da essa si ottiene 2x−y = −2±^√6, cioè h (2x−y) − (−2+√ 6)^{i h}(2x+y) − (−2−^√6)ⁱ. Il sistema ( y=x² y²−4xy+8x−2=0 risulta allora equivalente al sistema

(

y=x²

134 Fasci di coniche

corrispondente ai due sistemi di secondo grado ( y=x² 2x−y+2−^√6 ( y=x² 2x−y+2+√ 6

A questo punto basta eliminare la y e si ottengono le quattro soluzioni cercate, che sono x=1±^p3∓^√6 ]

13.24 Scrivere l’equazione dell’iperbole equilatera che passa per i punti comuni alla circonferenza di equazione x²+y² =1 ed alla parabola di equazione

y² =x. [x²−y²+2x−1=0]

13.25

* Sia γ la circonferenza passante per l’origine ed avente centro nel punto C(1, 1); siano A e B le ulteriori intersezioni di γ con gli assi coordinati. Scrivere l’equazione della conica passante per P(1, 2)e tangente alla γ in P.

Figura 13.3.

[ Due coniche sono tangenti in un punto se (e solo se) in quel punto hanno una retta tangente in comune. Dunque abbiamo un fascio di coniche bitangenti, la cui equazione può essere determinata combinando linearmente l’equazione della conica degenere formata dalla retta AB “contata due volte” e di quella formata dalla coppia di tangenti in A e B; quest’ultima, (vedi Figura 13.3) in realtà, non è necessario determinarla, in quanto la stessa circonferenza γ fà parte del fascio, la cui equazione sarà allora:

135

Imponendo poi il passaggio per P si ottiene λ=1 da cui l’equazione della conica cercata x2+xy+y2−3x−3y+2=0 che rappresenta un’ellisse. ]

13.26

* Sono date le parabole

P :(ax+by)²+c1x+d1y+e1 =0 P1: (bx−ay)²+c2x+d2y+e2 =0

Verificare che i quattro punti in cui esse si intersecano appartengono ad una medesima circonferenza.

[Basta verificare che nel fascio da esse individuato esiste ua circonferenza. . . ]

OSSERVAZIONE 13.1. Le parabole che compaiono nell’esercizio 13.26 sono due generiche parabole con gli assi perpendicolari. Pertanto la proprietà enunciata è di carattere generale.

13.0.1. Quesiti

Q.13.143 Le coniche di equazione

(x²+y) + (t²+1)(x²−y²) = 0

costituiscono un fascio 2 vero 2 falso

Q.13.144 L’equazione a(x−1)²+b(x−y)²+c(2x+1)²=0 rappresenta, nel piano,

un fascio di coniche 2 vero 2 falso

Q.13.145 Se un fascio di coniche contiene due circonferenze, allora tutte le coniche