In questo capitolo vediamo come le proprietà della polarità piana studiate nel capitolo precedente possano essere utilmente utilizzate per determinare ulteriori elementi di una conica, notevoli da un punto di vista geometrico e già accennati in modo elementare nei precedenti capitoli sulle coniche.
16.1 Centro e diametri di una conica
DEFINIZIONE 16.1. Se γ è una conica irriducibile chiamiamo centro di γ il polo della retta impropria rispetto a γ. Chiamiamo diametro di γ una qualunque retta che passi per il centro, cioè, per la legge di reciprocità la polare di un qualunque punto improprio.
La parabola, in quanto tangente alla retta impropria nel suo punto improprio, ha centro improprio: il punto improprio del suo asse. Ne segue che la parabola ha tutti i diametri paralleli, in quanto passanti tutti per il medesimo punto improprio.
L’ellisse e l’iperbole, invece, hanno centro proprio (e sono perciò dette anche coniche a centro), infatti se esso fosse improprio, sarebbe autoconiugato, visto che apparterrebbe alla propria polare e dunque per il Teorema 15.9 a pagina 156 apparterrebbe alla conica e la sua polare, la retta impropria, sarebbe tangente alla conica, contro l’ipotesi che sia un’ellisse od un’iperbole.
Si mostra facilmente che il polo della retta impropria è centro di simmetria per una conica a centro, cioè ogni corda AA0 che passa per C è tale che C sia il punto medio di AA0(vedi Figura 16.1 nella pagina successiva). Si può facilmente verificare questo fatto considerando
160 Capitolo 16. Centro ed assi la conica in forma canonica, cioè operando una rototraslazione del sistema di riferimento, trasformazione che non altera le proprietà della polarità piana. In questo caso la conica assume equazione a11x2+
a22y2+a33 =0. Una qualunque retta per il centro, che qui è l’origine, ha equazione y=mx da cui l’equazione(a11−a22m2)x2+a33 =0 che è un’equazione di secondo grado tale che la semisomma delle radici è nulla, dunque esse sono simmetriche.
Esempio 16.1. Vogliamo trovare il centro della conica x2−xy+x−3=0. Basta intersecare le polari di due punti impropri qualsiansi, per esempio i più comodi sono i punti impropri degli assi coordinati X∞(1 : 0 : 0) e Y∞(0 : 1 : 0). Le polari sono rispettivamente le rette 2x−y+1=0 e x =0; il punto comune è soluzione del sistema
(
2x−y+1=0
x=0 e cioè il punto C(0, 1).
Figura 16.1 Polo della retta impropria, centro di simmetria
I diametri di una conica irriduci-bile formano un fascio, proprio se la conica è a centro ed improprio se la conica è una parabola. Riveste una particolare importanza, in questo fa-scio, l’involuzione che ad ogni dia-metro fà corrispondere il suo coniu-gato essa prende il nome di involu-zione dei diametri coniugati: due dia-metri sono coniugati se e soltanto se il polo dell’uno è il punto improprio dell’altro.
Gli asintoti di una iperbole sono gli elementi uniti di tale involuzio-ne, essendo diametri ed autoconiuga-ti (tangenautoconiuga-ti alla conica, quindi conte-nenti il loro polo). Più in generale possiamo dire che l’involuzione dei diametri coniugati di una conica γ è ellittica se e solo se la γ è un’ellisse ed è iperbolica se e solo se essa è un’iperbole. Quindi l’esame dell’invo-luzione dei diametri coniugati fornisce un ulteriore strumento per il riconoscimento di una conica.
Si può inoltre dimostrare che ogni diametro di una conica a centro dimez-za le corde in direzione coniugata cioè ogni diametro è asse di simmetria obliqua.
16.1. Centro e diametri 161
Questo risultato permette di determinare graficamente il centro di una conica ed il diametro coniugato ad un diametro dato, come mostrano i seguenti esempi e le seguenti figure.
Esempio 16.2. Vogliamo determinare graficamente il centro della conica γ
di Figura 16.2. Tracciamo due rette a e b parallele che intersecano la conica, e siano A e B e, rispettivamente A0 e B0 i punti di intersezione delle rette con la conica. Indicati con M ed N i punti medi delle corde AB e A0B0 rispettivamente; tracciamo la retta MN. Essa è un diametro (coniugato alla direzione delle rette a e b); se indichiamo con C e D i punti di intersezione di questo diametro con la conica, il centro è il punto medio K della corda CD.
Figura 16.2 Determinazione grafica del centro di una conica
Esempio 16.3. Vogliamo determinare il diametro coniugato al diametro d
nella conica γ di Figura 16.3 nella pagina successiva. Tracciamo una retta parallela alla d che intersechi la conica. Siano A e B le due intersezioni della retta con la conica. e sia M il punto medio di AB allora la retta CM è il diametro coniugato cercato.
Dimostriamo ora l’importante
Teorema 16.1. Sia
a11x2+2a12xy+a22y2+2a13xu+2a23yu+a33 =0
l’equazione di una conica irriducibile γ, allora l’equazione dell’involuzione dei diametri coniugati di γ è
162 Capitolo 16. Centro ed assi Dimostrazione. Consideriamo due qualsiansi diametri della conica e supponiamo che abbiano coefficienti angolari m e m0 rispettivamente e pertanto passino per i punti impropri P∞(1 : m : 0)e Q∞(1 : m0 : 0), essi sono coniugati se e soltanto se la polare p di P∞(1 : m : 0)passa per Q∞(1 : m0 : 0). La p ha equazione 2a11x+2a12y+2a13+m(2a12x+
2a22y+2a23) = 0 che diventa (a11+ma12)x+ (ma22+a12)y+a13+
ma23 = 0; essa passerrà per Q∞(1 : m0 : 0)se e solo se è a11+ma12+
m0(ma22+a12) =0 che con facili passaggi si riconduce alla (16.1).
Esempio 16.4. La conica di equazione3x2−2xy+y2−3x+y−7 = 0 ammette come involuzione dei diametri coniugati l’equazione mm0− (m+
m0) +3 = 0. Le rette unite hanno coefficienti angolari che sono soluzioni dell’equazione m2−2m+3 =0 che non sono reali. L’involuzione è perciò ellittica e quindi la conica è un’ellisse.
Figura 16.3 Determinazione grafica del diametro coniugato
Se la conica è una circonferen-za l’equazione dell’involuzione dei diametri coniugati si riduce a
mm0+1=0 (16.2) relazione che si chiama anche involu-zione circolare, viceversa ogni conica che ammetta la (16.2) come involu-zione dei diametri coniugati è una circonferenza. Osserviamo anche che la (16.2) è la relazione che lega due rette ortogonali quindi in una circon-ferenza i diametri coniugati sono or-togonali e viceversa ogni conica per cui tutti i diametri ortogonali sono coniugati è una circonferenza.
È facile verificare che le tangenti agli estremi A e B di un diametro d sono parallele al diametro coniugato (v. fig. 16.4 a fronte) infatti d è la polare del punto improprio P∞ di d0 e quindi le tangenti alla conica in A e B passano per P∞.
Osserviamo anche che ogni coppia di diametri coniugati forma, con la retta impropria un triangolo autopolare, infatti la polare dell’interse-zione di due diametri, che è il centro della conica, è la retta impropria e la polare del punto improprio di ciascun diametro è quello ad esso co-niugato. Se chiamiamo r e s i due diametri coniugati, la rete di coniche che ammette queste due rette come diametri coniugati ha equazione λr2+µs2+νu2 =0.
16.2. Assi di una conica 163
Esempio 16.5. La conica che ammette le rette r ed s rispettivamente di
equazioni y= x e y= −2x+1 come diametri coniugati e passa per i punti A(1, 2)e B(0, 2)può essere cercata nella rete di coniche che ha equazione
α(x−y)2+β(2x+y−1)2+1=0,
in quanto le due rette date, con la retta impropria, formano un triangolo che è autopolare per la conica imponendo il passaggio per i due punti dati si ottiene il sistema
(
α+9β+1=0
4α+β+1=0 che ha come soluzione α = − 8
35 e β = −353 da cui l’equazione della conica (che è un’ellisse-v. Fig. 16.5 nella pagina successiva):
20x2−4xy+11y2−12x−6y−32=0.
Figura 16.4 Tangenti agli estremi di un diametro
16.2 Assi di una conica
Si dice asse di una conica un diametro proprio che sia coniugato alla direzione ad esso ortogonale; per quanto detto prima un asse dimezza le corde in direzione ortogonale, quindi è asse di simmetria ortogonale.
Per una parabola P tutti i diametri sono paralleli e passano per il punto improprio diP, di conseguenza l’asse è la polare del punto improprio in direzione ortogonale a quello diP; quindi la parabola ha un solo asse.
Consideriamo ora una conica a centro γ e siano a un suo asse e a0 il diametro coniugato ad a. Per definizione di asse il polo di a è il punto improprio di a0, quindi, per la legge di reciprocità il polo di a0è il punto improprio di a dunque anche A0è un asse di γ. Abbiamo così dimostrato il
164 Capitolo 16. Centro ed assi
Teorema 16.2. Se una conica a centro possiede un asse, ne possiede almeno
un altro.
Figura 16.5 Esempio 16.5 nella pagina precedente
Di più, gli assi di una conica a centro diversa da una circonfe-renza sono esattamente due. In-fatti, se nella ( 16.1 a pagina 161) poniamo m0 = −m1 otteniamo −a22+a12 m− 1 m +a11 =0 che diventa a12m2+ (a11−a22)m−a12 =0 (16.3) Per a12 6=0 la (16.3) ammette due radici reali e distinte, quindi la conica ammette esattamente una coppia di assi. Se invece è a12 =0 e a11 6= a22 l’equazione (16.3) si
abbassa di grado ed ammette una radice nulla: si hanno quindi anche in questo caso esattamente due assi, di coefficienti angolari m = 0 e m=∞.
Infine se è a12 6=0 e a11 =a22 cioè se la conica è una circonferenza, la (16.3) diventa un’identità in accordo col fatto che l’involuzione circo-lare è l’involuzione dei diametri coniugati della circonferenza, per la quale, dunque, tutti i diametri sono assi.
Esempio 16.6. Vogliamo determinare gli assi della conica γ: x2+xy−2=
0. In questo caso la (16.3) diventa m2+m−1 = 0 che ha come radici m = −1±
√
5
2 : gli assi della γ possono essere determinati o come polari dei due punti impropri1 : −1±
√
5
2 : 0oppure osservando che il centro di γ è l’origine in quanto la sua equazione manca dei termini lineari. Dunque gli assi sono le rette di equazioni y= −1±
√
5 2 x.