La circonferenza nel piano
DEFINIZIONE 13.3. Dati nel piano una retta r ed un punto F non appartenente alla retta, cioè tale che che F6∈r, una parabola di fuoco F
√ −a2b2+b2x2+b|x|)(√−a2b2+b2x2−b|x|) √ −a2b2+b2x2+b|x| = −a2b2 b|x| +√−a2b2+b2x2.
questa è una quantità che diventa sempre più piccola al crescere di
|x|. Le rette di equazioni y= ±b
ax si chiamano asintoti dell’iperbole. 3 L’iperbole si chiama equilatera se gli asintoti sono perpendicolari.
Consideriamo ora la parabola.
DEFINIZIONE 13.3. Dati nel piano una retta r ed un punto F non appartenente alla retta, cioè tale che che F 6∈r, una parabola di fuoco F
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e direttrice r è l’insieme dei punti P del piano equidistanti da F e da r cioè:
d(FP) =d(Pr).
Figura 13.4 La parabola
Per trovarne l’equazione cano-nica sia p > 0, se Fp 2, 0 al-lora r ha equazione x = −p 2 (v. Fig. 13.4) vogliamo far vedere che l’equazione della parabola è
y2=2px (13.5) infatti d(PF) = r x− p 2 2 +y2 e d(P, r) = x+ p 2 da cui x2+px+ p2 4 = x 2−px+ p2 4 +y 2 che, semplificata, è la (13.5).
Dalle equazioni che abbiamo trovato notiamo che l’ellisse e l’iper-bole sono curve simmetriche: esse posseggono due assi di simmetria tra loro ortogonali che, nel nostro caso coincidono con gli assi del siste-ma di riferimento4, quindi hanno anche un centro di simmetria, che coincide con il punto di incontro degli assi e che, in forma canonica, è l’origine del sistema di riferimento; la parabola, invece, ha un solo asse di simmetria che, in forma canonica, coincide con l’asse x e quindi non ha un centro di simmetria.
Quelle che abbiamo esaminato sono le cosiddette equazioni canoniche delle coniche, cioè quelle in cui appunto gli assi di simmetria delle coniche coincidono con gli assi coordinati, per le coniche a centro e con l’asse x per la parabola. Se ciò non accade la forma dell’equazione può essere molto diversa.
130 Capitolo 13. Le coniche
13.1 Coniche in forma generale
In generale l’equazione di una conica è una generica equazione di secondo grado, quindi ha la forma
ax2+bxy+cy2+dx+ey+ f =0 (13.6) con a, b, c non tutti nulli; oppure, in forma matriciale,
~xA~xT =0
dove~x è il vettorex y 1 ed A è la matrice simmetrica
A= a b2 d2 b 2 c 2e d 2 e2 f
OSSERVAZIONE 13.2. Tra le equazioni della forma (13.6) dobbiamo accettare anche equazioni del tipo x2+y2=0 (circonferenza che ha un solo punto reale, già vista) o x2+2y2+1=0 (ellisse completamente immaginaria) oppure x2−2y2 = 0 spezzata nelle due rette reali x+ √
2y = 0 e x−√2y = 0 ed altre “stranezze” del genere. Quindi, per completezza, dobbiamo chiamare coniche anche curve a punti di coordinate complesse o curve spezzate in coppie di rette, queste ultime prendono anche il nome di coniche degeneri.
13.2 Riconoscimento di una conica
Sorge allora il problema di “riconoscere” la conica, cioè di sapere se l’equazione 13.6 rappresenti un’ellisse, un’iperbole o una parabola, degenere o no.
Il problema del riconoscimento di una conica si può affrontare in vari modi; per i nostri scopi possiamo notare subito che la (13.6) rap-presenta una circonferenza se e solo se b = 0 e a = c. Inoltre, nel caso generale, si dimostra che mediante un opportuno cambiamento di sistema di riferimento l’equazione 13.6) si può portare in una delle tre forme canoniche ( 13.1 a pagina 126), ( 13.4 a pagina 127) e ( 13.5 nella pagina precedente) che non contengono il termine “rettangolare”5.
Se il polinomio a primo membro della (13.6) si scompone in fattori lineari, la conica è detta degenere e spezzata in due rette (reali o immagi-narie, coincidenti o no). Si verifica facilmente, con passaggi elementari
5In realtà le equazioni canoniche dell’ellisse e dell’iperbole non contengono nemmeno termini lineari, ma questi ultimi si possono facilmente eliminare con una traslazione degli assi.
13.2. Riconoscimento di una conica 131
ma un po’ laboriosi, che una conica degenere rimane tale in qualunque sistema di riferimento cartesiano ortogonale; quindi l’essere degenere è un carattere invariante rispetto ad una qualsiasi rototraslazione di assi. Un’altra caratteristica invariante di una conica è la sua natura, cioè il fatto di essere un’ellisse piuttosto che una parabola od un iperbole, equilatera o no.
Questi caratteri invarianti si traducono in termini algebrici esami-nando la matrice A vista nel paragrafo precedente, e la sua sottomatrice formata dalle prime due righe e dalle prime due colonne: B= a b
2 b 2 c
. Si può infatti dimostrare che
Teorema 13.1. Una conica è degenere se e solo se I3=det A =0; la conica è una parabola se I2 =det B =0; è un ellisse se I2 >0 ed è un’iperbole se I2 <0. In particolare se la traccia di B cioè I1= a+c=0 è nulla si tratta di una iperbole equilatera.
OSSERVAZIONE 13.3. Dal teorema 13.1 si vede dunque che la natura di una conica è completamente determinata solo dai coefficienti dei termini di secondo grado della sua equazione ed in particolare che la conica è una parabola se e solo se il complesso dei termini di secondo grado è il quadrato di un opportuno binomio.
OSSERVAZIONE 13.4. Osserviamo anche che la parabola degenera in due rette reali parallele (eventualmente sovrapposte: in questo caso si parla spesso di una retta contata due volte: per esempio l’equazione x2 =0 rappresenta una parabola spezzata nell’asse y contato due volte); l’ellisse degenera in due rette incidenti entrambe prive di punti reali (tranne il loro punto di intersezione) infine l’iperbole degenere è costi-tuita da due rette reali incidenti in un punto, che sono perpendicolari se e solo se l’iperbole è equilatera.
Si può anche dimostrare che con un’opportuna rototraslazione di assi l’equazione generica di una conica ( 13.6 a fronte) si può sem-pre portare in una ed una sola delle forme canoniche elencate nella tabella 13.1.
In riferimento alla tabella 13.1, notiamo che:
i) Nei due casi dell’ellisse, se a=b si ha una circonferenza, rispetti-vamente reale o immaginaria.
ii) Nell’ellisse immaginaria se a=b si ha la circonferenza di raggio nullo, degenere in due rette immaginarie: di equazioni x±iy=0 che si chiamano rette isotrope.
132 Capitolo 13. Le coniche
Tabella 13.1 Le forme canoniche dell’equazione di una conica x2 a2 + y2 a2 =1 (ellisse reale) x2 a2 + y2 a2 = −1 (ellisse immaginaria) x2 a2 + y2 a2 =0 (ellisse degenere) x2 a2 − y 2
a2 =1 (iperbole non degenere) x2
a2 − y
2
a2 =0 (iperbole degenere) y2 =2px (parabola non degenere) y2 =0 (parabola degenere)
iii) Nell’equazione dell’iperbole se a =b si ha l’iperbole equilatera.
Figura 13.5 L’ellisse dell’Esempio 13.2
Osserviamo anche che operare la rotazione che riduce a forma canonica l’equazione di una conica equivale a diagonalizzare ortogonalmente la matri-ce A, il che è sempre pos-sibile, essendo A simme-trica (vedi Teorema 9.8 a pagina 90).