Avete già sentito parlare di vettori, probabilmente avrete visto i vettori in Fisica, visualizzati come segmenti orientati. Completiamo e formalizziamo ora le nozioni viste.
4.1 Definizioni e prime proprietà
In generale diamo la seguente
DEFINIZIONE 4.1. Chiamiamo spazio vettoriale suR e indichiamo con Rn l’insieme delle n–ple ordinate di numeri reali ed indichiamo con
#»v ciascuna di queste n–ple, cioè #»v = [v
1, v2, . . . , vn], chiediamo inoltre che in Rn siano definite due operazioni: la somma componente per componente, quindi il vettore # »
x+y sarà il vettore le cui componenti sono, ordinatamente, la somma delle componenti di #»x e di #»y cioè
#»x +#»y = [x
1, x2, . . . , xn] + [y1, y2, . . . , yn] = [x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn]
ed un prodotto esterno o prodotto per uno scalare α#»v =
α[x1, x2, . . . , xn] = [αx1, αx2, . . . , αxn]
dove α è un numero reale qualsiasi. Chiamiamo vettori le n–ple e scalari i numeri da cui essi sono formati.
Le proprietà di queste due operazioni sono elencate nella Tabella 4.1 nella pagina successiva, in cui α e β sono numeri reali e #»v e #»w sono vettori. Si verifica immediatamente che lo spazio vettorialeRnsoddisfa alle proprietà indicate in Tabella 4.1, in cui abbiamo indicato con 0 il vettore nullo, cioè quello che ha tutte le componenti uguali a 0 e con−#»v il vettore opposto di #»v cioè quello le cui componenti sono gli opposti delle componenti di #»v .
36 Capitolo 4. Spazi vettoriali
Tabella 4.1 Proprietà degli spazi vettoriali
i) #»v + (w#»+ #»u) = (#»v +w#») +#»u associatività della somma ii) #»v +w#»= w#»+ #»v commutatività della somma iii) 0+ #»v = #»v esistenza del vettore nullo iv) #»v + (−#»v) =0 esistenza del vettore opposto v) α(#»v +w#») =α#»v +αw#» distributività rispetto alla somma di vettori vi) (α+β)#»v =
α#»v +
β#»v distributività rispetto alla somma di scalari
vii) α(β#»v) = (αβ)#»v associatività mista
viii) 1·#»v = #»v esistenza dell’unità ix) 0·#»v = 0
OSSERVAZIONE 4.1. I vettori definiti come n–ple ordinate di numeri reali possono essere anche visti come matrici di una sola riga e di n colonne.
Si può generalizzare il concetto di spazio vettoriale su un campo qualsiasiK dando la seguente
DEFINIZIONE 4.2. Uno spazio vettoriale V su K è costituito da un
insieme V e da un campoK; sugli elementi1 di V sono definite due operazioni, una somma ed un prodotto esterno, che godono delle proprietà i). . . ix), elencate nella tabella 4.1 in cui #»v e #»w sono elementi di V e α, β ∈ K. Gli elementi di uno spazio vettoriale V si chiamano
vettori, e scalari gli elementi del campo su cui esso è costruito.
Esempi di spazi vettoriali diversi daRn sono (verificarlo per eserci-zio2):
• Le matrici di tipo (m, n) rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare definite nel capitolo 3.
• I polinomi di grado n in una indeterminata sul campo reale, rispetto alle usuali somma e prodotto per uno scalare.
Riprendiamo ora un concetto fondamentale, già introdotto per le matrici nel § 3.2 a pagina 20
1Sulla natura degli elementi di V non si fa nessuna ipotesi.
2Per verificare che un insieme V è uno spazio vettoriale bisogna verificare anzitutto che la combinazione lineare di due elementi di V appartenga ancora a V e poi che valgano le proprietà i)—ix) della tabella 4.1.
4.1. Definizioni e prime proprietà 37
DEFINIZIONE 4.3. Come per le matrici, si dice che il vettore #»w è combinazione lineare dei k vettori #»v1, #»v2, . . . , #»vk se esistono k scalari α1, α2, . . . , αk tali che #» w = k
∑
i=1 αi#»v i =0. (4.1)Fissiamo ora k vettori e consideriamo la loro combinazione lineare
0 = k
∑
i=1 αi#»v i. (4.2)È ovvio che la (4.2) è verificata quando tutti gli αisono nulli. Può però accadere che una combinazione lineare di vettori dia il vettore nullo senza che tutti i coefficienti siano nulli. In tal caso i vettori si chiamano linearmente dipendenti in caso contrario, cioè se la (4.2) vale solo quando tutti gli αisono nulli, si dice che i vettori sono linearmente indipendenti, quindi diamo la seguente
DEFINIZIONE 4.4. nvettori si dicono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare
n
∑
i=1αi#»v i
uguale al vettore nullo, senza che siano tutti nulli i coefficienti αi Ad esempio i vettori #»v = [1, 2, 1], #»w = [2, 0,−1]e #»u = [3, 2, 0]sono linearmente dipendenti, infatti si ha #»v +w#»−#»u = 0. Invece i vettori
#»e
1 = [1, 0, 0], #»e2 = [0, 1, 0] e #»e3 = [0, 0, 1], che chiameremo anche vettori fondamentali, sono linearmente indipendenti.
Sul concetto di dipendenza lineare sussiste il fondamentale
Teorema 4.1. Siano #»v1, #»v2, . . . #»vkk vettori, essi sono linearmente dipenden-ti se e solo se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri.
Esso è del tutto analogo al Teorema 3.1 a pagina 21 e si dimostra allo stesso modo.
Valgono, per la dipendenza ed indipendenza lineare, le seguenti proprietà:
38 Capitolo 4. Spazi vettoriali i) Se un insieme di vettori contiene il vettore nullo, esso è un insieme dipendente, infatti, ad esempio, 0·#»v +1·0è una combinazione lineare non banale che genera il vettore nullo.
ii) Aggiungendo un vettore qualsiasi ad un insieme linearmente di-pendente, si ottiene ancora un insieme linearmente didi-pendente, infatti, se, per esempio, #»v1, #»v2. . . , #»vk sono linearmente dipendenti significa che∑k
1αi#»v
i =0 con qualche αi 6= 0 e quindi la combinazio-ne licombinazio-neare α1#»v
1+α2#»v
2+ · · · +αk#»v
k+0· #»v
k+1 dà il vettore nullo qualunque sia #»vk+1sempre con gli stessi coefficienti non nulli.
iii) Togliendo da un insieme indipendente un vettore qualsiasi si ottiene ancora un insieme indipendente, infatti se #»v1, . . . , #»vnsono indipendenti, significa che∑n
1αi#»v
i =0 solo quando∀i, αi =0 quindi, a maggior ragione si ha∑n−1
1 αi#»v
i =0 solo quando∀i, αi =0.
4.2 Sottospazi e basi
DEFINIZIONE 4.5. Sia V uno spazio vettoriale. Un sottoinsieme W ⊆
V si chiama sottospazio di V se, rispetto alle stesse operazioni definite in V, è a sua volta uno spazio vettoriale.
In altre parole W è sottospazio di V se in esso continuano a valere le proprietà delle operazioni definite in V.
Ad esempio inR3il sottoinsieme W formato dai vettori le cui com-ponenti sono numeri dispari non è un sottospazio, perché la somma di due vettori cosiffatti è un vettore le cui componenti sono numeri pari e dunque non appartiene a W. Mentre invece lo è quello dei vettori che hanno, per esempio, la terza componente nulla.
In generale per verificare che un certo sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V sia un sottospazio basta verificare che sia soddisfatta la seguente proprietà
• W è “chiuso” rispetto alle combinazioni lineari, cioè ogni combina-zione lineare di vettori di W è ancora un vettore di W.
Infatti le proprietà degli spazi vettoriali (quelle elencate nella Ta-bella 4.1 a pagina 36) valgono in W in quanto valgono in V essendo W ⊆V.
Si osserva subito che una immediata conseguenza di questa proprie-tà è che il vettore nullo 0 appartiene a qualunque sottospazio (infatti si ha 0· #»v =0qualunque sia #»v ).
4.2. Sottospazi e basi 39
Se ora consideriamo un certo numero k di vettori #»v1, #»v2, . . . , #»vk di uno spazio vettoriale V e formiamo tutte le loro possibili combinazioni lineari otteniamo, come è facile verificare, uno spazio vettoriale W sottospazio di V, cioè tale che W ⊆ V. I vettori #»vi si chiamano, in questo caso, generatori di W.
DEFINIZIONE 4.6. Un insieme di generatori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V prende il nome di base di V.
Sulle basi è fondamentale il teorema
Teorema 4.2. Se V è uno spazio vettoriale eB è una sua base, ogni vettore di V si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei vettori di B.
Dimostrazione. Sia B ≡ {#»e
1, . . . , #»en} la base considerata, allora ogni
vettore #»v ∈ V si scrive come combinazione lineare degli #»eiin quanto questi ultimi sono generatori, inoltre, se, per assurdo, #»v si potesse scrivere in due modi diversi come combinazione lineare dei vettori di B, si avrebbe sia #»v =
∑
n 1 αi#»e i sia #»v =∑
n 1 βi#»e icon qualche αi 6= βi, in tal caso, sottraendo membro a membro, si avrebbe la combinazione lineare
0 =
∑
(αi−βi)#»ei (4.3)
ma poichè, per ipotesi, gli #»eiin quanto vettori di una base, sono linear-mente indipendenti, si ha che tutti i coefficienti della combinazione (4.3) devono essere nulli, e quindi∀i, αi =βi.
Se in uno spazio vettoriale esiste una baseB formata da n vettori, allora possiamo sostituire p ≤ n vettori di B con altrettanti vettori indipendenti ed ottenere ancora una base, come precisa il
Teorema 4.3. Sia V uno spazio vettoriale e siaB = {#»e
1, #»e2, . . . , #»en}una sua base. Se #»v1, #»v2, . . . #»vpsono p≤n vettori indipendenti, allora si possono scegliere n−p vettori diB in modo che l’insieme
{#»v
1, #»v2, . . . , #»vp, #»ep+1, . . . , #»en}
40 Capitolo 4. Spazi vettoriali Dimostrazione. Dobbiamo far vedere che i vettori
{#»v
1, #»v2, . . . , #»vp, #»ep+1, . . . , #»en}
sono indipendenti e che generano tutto V. Poiché i #»vi sono indipen-denti, fra di essi non c’è il vettore nullo. Inoltre #»v1è un vettore di V quindi #»v 1 = n
∑
1 αi#»e i (4.4)in quanto gli #»ei formano una base. Mostriamo che{#»v
1, #»e2, . . . , #»en}
formano a loro volta una base: consideriamo una loro combinazione lineare che dia il vettore nullo, sia β1#»v
1+β2#»e 2+ · · · +βn#»e n = 0. Se β1 = 0 allora si ha β2#»e 2+ · · · +βn#»e n = 0 e dall’indipendenza dei vettori #»ei segue che ∀i, βi = 0. Se fosse invece β1 6= 0 potrei
scrivere #»v1 = − 1 β1 n ∑ 2 βi#»e
ima ricordando che vale la (4.4) e per l’unicità della rappresentazione di un vettore mediante gli elementi di una base, concludiamo che i vettori sono indipendenti. Allo stesso modo si procede sostituendo di volta in volta un’altro vettore #»viad uno della base.
Dalla definizione 4.6 segue inoltre che qualunque insieme di vettori indipendenti generatori V costituisce una base per V, quindi che uno stesso spazio vettoriale V ha infinite basi; di più sussiste anche il
Teorema 4.4. Sia V uno spazio vettoriale, se una base di V è formata da n
vettori, allora qualunque base è formata da n vettori.
Dimostrazione. Infatti è facile vedere che qualunque(n−k)–pla di vet-tori non può generare tutto V e viceversa che ogni insieme di n+1 vettori è formato da vettori linearmente dipendenti in quanto ogni vettore di V si esprime, in virtù del Teorema 4.2, come combinazione lineare degli n vettori della base, quindi l’n+1–esimo non può essere indipendente dagli altri.
Da quanto detto fin qui si ricava che il numero n dei vettori di una base non dipende dalla scelta della base stessa, ma caratterizza lo spazio V e prende il nome di dimensione di V.
Lo spazio vettoriale costituito dal solo vettore nullo ha, per conven-zione, dimensione 0. Si può anche osservare che se V è uno spazio vettoriale di dimensione n allora qualsiasi insieme di k < n vettori indipendenti può essere completato ad una base di V aggiungendo altri n−k vettori indipendenti.
4.2. Sottospazi e basi 41
OSSERVAZIONE 4.2. Da quanto detto si deduce anche che in uno spazio vettoriale V di dimensione n, qualunque n–pla di vettori indi-pendenti forma una base per V.
OSSERVAZIONE 4.3. Tutti gli spazi vettoriali fin qui considerati han-no dimensione n finita, ma è facile rendersi conto che esistohan-no spazi vettoriali che non hanno dimensione finita, per esempio se V =P(x)
è l’insieme dei polinomi in una ideterminata sul campo reale con le usuali operazioni di somma e di prodotto per uno scalare si vede subito che V è uno spazio vettoriale; tuttavia se si suppone che esistano p polinomi che generano V e se n è il grado massimo di questi polinomi, è ovvio che nessun polinomio di grado m >n può essere generato da questi. Quindi V =P(x)rappresenta un’esempio di spazio vettoriale di dimensione infinita. Noi ci occuperemo quasi esclusivamente di spazi vettoriali di dimensione finita.
Sorge il problema di come si possa, in uno stesso spazio vettoriale V, passare da una base ad un’altra, cioè quali siano le relazioni che legano i vettori di una base a quelli di un’altra. SianoB{#»e
1, . . . , #»en}
eB0{#»
f1, . . . ,#»
fn} due basi distinte di uno stesso spazio vettoriale V. I vettori #»
fi, in quanto vettori di V si esprimono come combinazione lineare dei vettori #»eidiB, quindi si ha il sistema lineare:
#» f1 =a11#»e 1+a12#»e 2+ · · · +a1n#»e n #» f2 =a21#»e 1+a22#»e 2+ · · · +a2n#»e n . . . . #» fn =an1#»e 1+an2#»e 2+ · · · +ann#»e n (4.5)
La matrice dei coefficienti del sistema (4.5)
A= a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... ... ... an1 an2 · · · ann
costituisce la matrice di passaggio dalla baseB alla base B0.
È facile verificare che l’intersezione insiemistica V∩W di sottospazi è a sua volta un sottospazio (dimostrarlo per esercizio); due spazi vettoriali V e W hanno sempre in comune almeno il vettore nullo, nel caso in cui questo sia l’unico vettore in comune si dice che sono disgiunti e si scrive V∩W = {0}: abbiamo già osservato che l’insieme formato dal solo vettore nullo è considerato uno spazio vettoriale.
42 Capitolo 4. Spazi vettoriali Invece l’unione di due sottospazi non è detto sia un sottospazio: infatti potrebbe non essere chiusa rispetto alle combinazioni lineari, come mostra il seguente
Esempio 4.1. Consideriamo inR3i due sottospazi V = {[x, y, z] | x=y}
formato dai vettori diR3che hanno le prime due componenti uguali e W = {[x, y, z] |z =0}, formato dai vettori diR3che hanno la terza componente nulla, allora si ha
V∪W = {[x, y, z] | x =y oppure z =0}
e se prendiamo #»v = [0, 0, 1] ∈ V e #»w = [1, 0, 0] ∈ W osserviamo che sia #»v sia #»w appartengono a V∪W, ma il vettore #»v +w#» = [1, 0, 1] non ha uguali le prime due componenti nè ha la terza componente nulla, quindi #»v +w#»6∈V∪W. Dunque l’insieme V∪W non è chiuso rispetto alla somma e di conseguenza non è un sottospazio diR3.
Sulla dimensione dei sottospazi di uno spazio vettoriale sussiste anche il
Teorema 4.5. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e sia W un suo
sottospazio allora
i) W ha dimensione finita ii) dim(W) ≤dim(V)
iii) se dim(W) = dim(V)allora W =V
Dimostrazione. Se W= {0}la i)e la ii)sono ovvie. Sia quindi W 6= {0}
e sia #»w1un vettore di W, se #»w1genera W allora dimW =1 e poiché in V vi è almeno un vettore indipendente segue che dimV ≥1 e quindi la
i)e la ii)sono dimostrate. Se invece #»w1non genera W allora esiste in W almeno un altro vettore #»w2indipendente da #»w1. Se #»w1e #»w2generano W allora dim(W) = 2 e, come nel caso precedente dim(V) ≥ 2 e così via. Il procedimento ha termine per un certo numero m ≤ n grazie al fatto che in V non possono esserci più di n vettori indipendenti. Se inoltre dim(W) = dim(V) significa che W è generato da n vettori indipendenti, che per l’oservazione 4.2 generano anche V, quindi è dimostrata anche la iii).
4.2. Sottospazi e basi 43
DEFINIZIONE 4.7. Se V e U sono due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale diciamo che W è somma di U e V se i vettori di W sono tutti e soli quelli che si esprimono come somma di un vettore di U e di uno di V cioè
W =U+V = {w#»|w#»= #»u +#»v , con #»u ∈U, #»v ∈ V}
Si dimostra facilmente (farlo per esercizio) che la somma di sotto-spazi è a sua volta un sottosotto-spazio. Naturalmente non è detto che la scomposizione del vettore w sia unica, questo avviene, però, se e solo se i due spazi sono disgiunti; in questo caso diciamo che la somma è diretta e scriviamo
W =U⊕V. Sussiste infatti il
Teorema 4.6. Siano U e W due sottospazi di V, e sia #»v ∈ V; allora la scomposizione #»v = #»u +w con #»#» u ∈ U e #»w ∈ W è unica se e solo se V =U⊕W.
Dimostrazione. Sia V =U⊕W; per definizione di somma di sottospazi esiste una coppia di vettori #»u ∈ U e #»w ∈ W tali che #»v = #»u +w;#» dobbiamo dimostrare che tale coppia è unica, infatti se fosse anche #»v =
#»u0+w#»0 (con #»u0 ∈ U e #»w0 ∈ W) si avrebbe #»u +w#»= #»u0+w#»0 e quindi #»u −#»u0 = w#»0−w, da cui segue che il vettore #»#» u − #»u0appartenendo sia a U che a W e di conseguenza alla loro intersezione è il vettore nullo; dunque dev’essere #»u = #»u0 e #»w = w#»0.
Viceversa supponiamo che sia #»v = #»u +w in un unico modo e#» facciamo vedere che U∩W = {0}. Supponiamo per assurdo che esista un vettore #»z ∈ U∩W diverso dal vettore nullo, allora anche i vettori #»u +#»z e #»w−#»z , appartenenti rispettivamente a U e W avrebbero come somma #»v contro l’ipotesi dell’unicità della decomposizione.
Sulla dimensione dello spazio somma di due sottospazi vale la relazione (di Grassmann3)
dim(U+V) = dimU+dimV−dim(U∩V), (4.6) che diventa, se la somma è diretta,
dim(U⊕V) = dimU+dimV.
cioè la dimensione della somma diretta di due sottospazi è uguale alla somma delle loro dimensioni.
3Herrmann Günther GRASSMANN, 1809, Stettino (Germania-odierna Polonia) – 1877, Stettino (Germania-odierna Polonia).
44 Capitolo 4. Spazi vettoriali
Esempio 4.2. Sia Tn lo spazio vettoriale delle matrici triangolari alte e sia Tn quello delle triangolari basse. Vogliamo verificare la (4.6). Osserviamo che Tn∩Tn =Dn dove con Dn abbiamo indicato lo spazio vettoriale delle matrici diagonali e che Mn = Tn+Tn lo spazio vettoriale delle matrici quadrate è somma (non diretta) di quello delle matrici triangolari basse e di quello delle matrici triangolari alte.
• • • • • • • • • • | {z } nelementi
Figura 4.1 Matrici triangolari
Per calcolare la dimensione di Tn, ovviamente uguale a quella di Tn, procediamo così: dalla figura 4.1 si vede subito che gli elementi che non sono certamente nulli in Tn ed in Tn sono: 1 nella prima riga 2 nella seconda ecc. quindi in totale si ha 1+2+ · · · +n= n(n+1)
2 ; dunque possiamo dire che dim(Tn) = dim(Tn) = n(n+1)
2 , inoltre dim(Dn) = n e dim(Mn) = n 2 ed infatti, applicando la ( 4.6 nella pagina precedente), si ha
n2 = n(n+1)
2 +
n(n+1)