Due sistemi lineari di m equazioni in n incognite si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni, cioè se ogni n–pla che

è soluzione dell’uno lo è anche dell’altro.

Ad esempio i sistemi ( x+3y =7 2x−y =0 ( (1+6)x=7 y=2x ( x =1 y =2 sono equivalenti, come si verifica facilmente.

Un’ottima tecnica per risolvere un sistema lineare è quella di trovare un sistema equivalente a quello dato ma con una struttura più semplice. Vedremo nei prossimi capitoli come si possa passare da un sistema lineare ad uno equivalente basandoci sull’osservazione che un sistema è definito quando sono dati i vari coefficienti nelle rispettive posizioni: per far questo nel prossimo capitolo introdurremo il concetto di matrice.

Capitolo 3

Matrici

Esistono molti metodi per applicare la strategia esposta alla fine del capitolo 2, per la maggior parte dei quali è comodo introdurre uno strumento matematico molto potente ed utilizzato nei più svariati campi della Matematica e di tutte le Scienze: il calcolo matriciale.

3.1 Nomenclatura e prime operazioni

Osserviamo che un sistema è completamente determinato quando siano dati i termini noti ed i coefficienti nelle loro rispettive posizioni. Ad esempio, riferendoci al sistema ( 2.6 a pagina 13), per tener conto dei coefficienti e delle loro posizioni possiamo scrivere la tabella:

A =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a21 a22 . . . a2n .. . .._. .._. .._. a_m1 a_m2 . . . amn      (3.1)

che chiamiamo matrice dei coefficienti e i termini noti possiamo incolon-narli B=      b₁ b2 .. . bm     

ottenendo la matrice (o vettore) dei termini noti.

16 Capitolo 3. Matrici È anche importante, come vedremo, la matrice

C =      a₁₁ a₁₂ . . . a_1n b₁ a21 a22 . . . a2n b2 .. . .._. .._. .._. .._. a_m1 a_m2 . . . amn bm      (3.2)

detta anche matrice completa, costruita a partire dalla A accostandole a destra la colonna B dei termini noti: possiamo anche scrivere C = [A|B].

Più in generale chiamiamo matrice (reale o complessa) di tipo(m, n)una tabella di numeri (reali o complessi), organizzata in m righe orizzontali e n colonne verticali. Indicheremo sempre, da ora in poi, le matrici con lettere latine maiuscole e gli elementi con lettere minuscole dotate eventualmente di due indici che ne individuano la posizione nella tabella, ad esempio, se A è una matrice di tipo m×n, scriveremo A = [a_ik] dove 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ n. L’elemento a_ik sarà allora l’elemento che appartiene alla i–esima riga e alla k–esima colonna.

Ad esempio nella matrice A=

  1 2 3 3 4 5 5 6 7  si ha a32 =6, in quanto il numero 6 è nella posizione(3, 2)cioè appartiene alla terza riga ed alla seconda colonna, allo stesso modo si ha: a23 =a31 =5.

Osserviamo che in alcuni testi le matrici sono indicate cona b c d



cioè con le parentesi tonde, anziché cona b c d 

. Noi seguiremo sempre la notazione con le parentesi quadre.

Per imparare a lavorare con le matrici dobbiamo innanzitutto defi-nire quando due matrici sono uguali. Due matrici sono uguali quan-do. . . sono la stessa matrice, cioè quando sono dello stesso tipo e sono formate dagli stessi elementi nelle stesse posizioni; formalmente scrivia-mo che se A = [a_ik]e B = [b_ik] sono due matrici, A = B se e solo se sono dello stesso tipo e se a_ik =b_ik ∀i, k.

Come controesempio consideriamo le matrici A = 1 2 3 4  e B = 2 1 3 4 

; esse, pur essendo formate dagli stessi elementi, non sono uguali, infatti abbiamo a₁₁ 6=b₁₁ e a₁₂ 6=b₁₂, cioè gli elementi uguali non sono nelle stesse posizioni.

3.1. Nomenclatura e prime operazioni 17

Se A= [a_ik]è una matrice di tipo(m, n)chiamiamo trasposta di A la matrice, che indicheremo con AT, di tipo(n, m)ottenuta scambiando ordinatamente le righe con le colonne¹, dunque B è la trasposta di A se b_ik = a_ki ∀i, k. Ad esempio se A=   1 2 3 4 5 6  si avrà A_T =1 3 5 2 4 6  ; ovviamente la trasposta di una matrice di tipo(m, n)è una matrice di tipo(n, m)e la trasposta di una matrice di tipo n×n è ancora dello stesso tipo.

Sussiste anche la proprietà(AT)_T = A, cioè la trasposta della traspo-sta di una matrice A è ancora la matrice A. La semplice dimostrazione di questa proprietà è lasciata come esercizio al lettore.

Una matrice di tipo(m, n)in cui m=n, cioè in cui il numero delle righe è uguale a quello delle colonne, si chiama matrice quadrata di ordine n. Daremo ora un po’ di nomenclatura sulle matrici quadrate.

Se A = A_T (il che implica che A sia quadrata, dimostrarlo per esercizio), cioè se a_ik = a_ki ∀i, k diciamo che A è simmetrica; se invece A = −AT, cioè se aik = −aki ∀i, k diciamo che A è emisimmetrica². Come esercizio dimostrare che una matrice emisimmetrica ha tutti gli elementi principali uguali a zero.

Esempio 3.1. La matrice   1 2 3 2 4 5 3 5 6   è simmetrica, mentre la matrice

  0 1 −₂ −1 0 3 2 −3 0   è emisimmetrica

Gli elementi a_ik con i =k si chiamano elementi principali o elementi appartenenti alla diagonale principale e la loro somma si chiama traccia della matrice, si indica con trA e si ha quindi

trA =

n

∑

1 a_ii.

1Anche la notazione ATper la trasposta di una matrice A non è univoca: a volte la trasposta viene indicata con Ato contA o anche con A^toppure A^|o in altri modi che sono comunque chiariti una volta per tutte dal contesto. Noi useremo sempre la notazione AT.

2Qui, come faremo d’ora in poi, abbiamo indicato con−A (leggere, ovviamente, meno A) la matrice che si ottiene da A cambiando segno a tutti i suoi elementi.

18 Capitolo 3. Matrici

Per esempio se A è la matrice1 0 2 −₃



la sua traccia è

trA=1−3 = −2 .

Sia ora A una matrice quadrata di ordine n; nella tabella 3.1 definia-mo alcune particolari matrici quadrate.

Tabella 3.1 Particolari matrici quadrate

diagonale se a_ik =0 per ogni i6=k; cioè se gli elementi non principali sono tutti nulli;

scalare se è diagonale e gli elementi principali (cioè gli elementi a_ii) sono uguali tra loro;

unità se è scalare e ∀i, a_ii = 1; la indicheremo con I, sottintendendo l’ordine quando non c’è ambiguità;

triangolare inferiore se∀i > k si ha a_ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli; triangolare superiore se∀i < k si ha a_ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli.

Osserviamo esplicitamente che non si fà nessuna ipotesi sugli ele-menti principali di una matrice diagonale o triangolare: essi potrebbero a loro volta essere tutti o in parte nulli.

Esempio 3.2. La matrice A=   1 0 0 0 0 0 0 0 9 

è una matrice diagonale, mentre

la matrice B=   −_{2 0 0} 0 −2 0 0 0 −2 

è una matrice scalare e C =

  3 0 0 1 2 0 0 2 0  è una matrice triangolare.

Osserviamo anche che una matrice diagonale può essere considerata sia triangolare inferiore sia triangolare superiore.

3.2. Operazioni sulle matrici 19

3.2 Operazioni sulle matrici

Ci proponiamo, in questo paragrafo, di introdurre un’Algebra delle matrici, cioè di imparare a fare dei conti con le matrici; iniziamo con la somma di due matrici.

Somma di matrici

Se A= [a_ik]e B = [b_ik]sono due matrici dello stesso tipo, diciamo che C = [c_ik] (dello stesso tipo di A e B) è la somma di A e B e scri-viamo C = A+B se ogni elemento di C è la somma degli elementi corrispondenti di A e B, cioè se si ha,

c_ik =a_ik+b_ik; ∀i, k.

La somma di matrici gode delle proprietà elencate nella tabella 3.2, che sono le proprietà di un gruppo abeliano. Nella tabella, A e B sono

Tabella 3.2 Proprietà della somma di matrici i) A+ (B+C) = (A+B) +C proprietà associativa

ii) A+B=B+A proprietà commutativa

iii) A+0= A esistenza elemento neutro

iv) A+ (−A) =0 esistenza opposto

v) (A+B)_T = AT+BT

matrici dello stesso tipo ed abbiamo indicato con 0 la matrice che ha tutti gli elementi nulli (che chiameremo matrice nulla). La verifica delle proprietà della somma di matrici è quasi immediata e costituisce un utile esercizio per il lettore volenteroso.

OSSERVAZIONE 3.1. Attenzione! non confondere il numero zero³