Abbiamo ora in mano tutti gli strumenti necessari per completare lo studio dei sistemi lineari; in particolare per decidere quando un sistema è possibile e quante soluzioni ammette, cioè per studiare la teoria dei sistemi lineari.
Ricordiamo che, per l’appunto, questa teoria si riferisce solo ai sistemi lineari, cioè quelli contenenti solo equazioni lineari e non è applicabile a sistemi di grado superiore al primo.
6.1 Numero delle equazioni uguale a quello delle
incognite
Cominciamo a considerare il caso particolare di un sistema in cui il numero delle equazioni (diciamo n) è uguale a quello delle incognite. In questo caso sussiste il
Teorema 6.1(di Cramer1). Un sistema lineare di n equazioni in n incognite della forma a11x1+a12x2+ · · · +a1nxn =b1 a21x1+a22x2+ · · · +a2nxn =b2 · · · · an1x1+an2x2+ · · · +annxn =bn
la cui matrice dei coefficienti A sia quadrata e non singolare, ammette una ed una sola soluzione costituita dalla n–pla
x1 = det(A1)
det(A) , x2 = det(A2)
det(A) , . . . , xn = det(An)
det(A)
1Gabriel CRAMER, 1704, Ginevra – 1752, Bagnols sur Céze (Francia).
58 Capitolo 6. Teoria dei sistemi lineari dove Aiè la matrice ottenuta dalla A sostituendo al posto della i–esima colonna la colonna dei termini noti.
Dimostrazione. Il sistema può essere riscritto, in forma matriciale, come A #»x = #»
b
e la matrice A è, per ipotesi, non singolare, dunque esiste A−1. Allora si ha, moltiplicando per A−1a sinistra entrambi i membri, A−1A #»x =
A−1#» b e quindi #»x = A−1#» b . Ma ricordando che A−1 = A∗ det(A) si conclude che #»x = 1 det(A)A∗#» b ; osserviamo ora che A∗#»
b è un vettore colonna, ciascuno dei componenti del quale è, ricordando la definizione 5.2 a pagina 46, il det(Ai).
6.2 Caso generale
Per un generico sistema lineare, in cui quindi il numero delle equa-zioni non è necessariamente uguale a quello delle incognite, vale il Teorema ( 3.5 a pagina 30) di Rouché-Capelli, di cui qui diamo una dimostrazione basata sulla definizione di rango 5.6 a pagina 52 che abbiamo visto nel capitolo precedente.
Ricordiamo l’enunciato del Teorema 3.5:
Teorema(3.5 di Rouché–Capelli). Sia A #»x = #»
b un sistema lineare di m equazioni in n incognite; esso ammette soluzioni se e solo se r(A) =r(A|b)
dove con A|b abbiamo indicato la matrice ottenuta da A completandola con la colonna dei termini noti.
Dimostrazione. Sia
A #»x = #»
b (6.1)
un sistema lineare di m equazioni in n incognite e immaginiamo di scrivere la matrice A = [A1A2 . . . An] scomposta in blocchi formati ciascuno da una delle sue colonne, che indicheremo con Ai. Allora la relazione (6.1) si può scrivere come
# »
A1x1+# »
A2x2+ · · ·# »
Anxn = #» b
e quindi ci dice che il sistema ammette soluzioni se e solo se #»
b è combi-nazione lineare delle colonne di A. Ma allora, in virtù del Teorema 5.8 a pagina 53 questo accade se e solo se il rango di A è uguale al rango della matrice completa.
6.3. Sistemi omogenei 59
Segue anche, sia dal Teorema 3.5, sia dalla definizione di rango data nel precedente capitolo, che se un sistema possibile ha rango r, esistono esattamente r equazioni e r incognite indipendenti, dunque le altre m−r equazioni sono combinazione lineare delle r indipendenti e non dicono nulla di nuovo, quindi si possono trascurare, e le altre n−r incognite si possono considerare come parametri; in conclusione
Proposizione 6.2. Un sistema lineare possibile di m equazioni in n incognite
in cui il rango della matrice dei coefficienti sia r <n ammette∞n−rsoluzioni, cioè infinite soluzioni dipendenti da n−r parametri. Se r = n il sistema equivale ad un sistema di r equazioni in r incognite con matrice dei coefficienti non singolare, quindi ammette una ed una sola soluzione per il Teorema di Cramer ( 6.1 a pagina 57).
6.3 Sistemi omogenei
Se il vettore #»
b =0è il vettore nullo, il sistema A #»x = 0si chiama omogeneo. Segue immediatamente dalla definizione (e dal teorema 3.5) che un sistema omogeneo è sempre possibile ed ammette sempre come soluzione banale il vettore nullo. Siamo quindi interessati ad eventuali soluzioni non banali (dette anche autosoluzioni). Una semplice conseguenza del Teorema di Cramer è il
Corollario 6.3. Un sistema omogeneo di n equazioni in n incognite Ax =0 ammette soluzioni non banali se e solo se det(A) = 0.
Dimostrazione. In virtù del Teorema di Cramer se fosse det A 6= 0 ci sarebbe una sola soluzione, quindi quella banale, viceversa se ci fosse solo la soluzione banale dovrebbe essere det A 6=0.
Poichè aggiungendo ad una matrice una colonna nulla il rango non cambia, segue dal teorema di Rouché-Capelli ( 3.5 a pagina 30) e dalla Proposizione 6.2, il
Corollario 6.4. Un sistema omogeneo di m equazioni in n incognite ammette
autosoluzioni se e solo se r(A) <n.
Se il rango della matrice dei coefficienti è r allora il sistema possiede n−r soluzioni indipendenti, nel senso che tutte le altre, che, ricordiamo, sono infinite, sono combinazioni lineari delle precedenti.
60 Capitolo 6. Teoria dei sistemi lineari
6.4 Esempi
Nei seguenti esempi chiameremo B la matrice completa del sistema, cioè la matrice B= [A|b]dei coefficienti completata con la colonna dei termini noti.
Esempio 6.1. Discutiamo il sistema
hx+z=h (h+2)x+3y =3 (h−2)y+z=h−1 .
Si tratta di un sistema di tre equazioni in tre incognite, applichiamo quindi il Teorema di Cramer. Il determinante dei coefficienti è:
h 0 1 h+2 3 0 0 h−2 1 = (h− 1)(h+4).
Quindi per h 6=1 e h6= −4 il sistema ammette una ed una sola soluzione:
x = h 0 1 3 3 0 h−1 h−2 1 (h−1)(h+4) , y = h h 1 h+2 3 0 0 h−1 1 (h−1)(h+4) , z = h 0 h h+2 3 3 0 h−2 h−1 (h−1)(h+4) Per h=1 si ha x+z=1 x+y=1 y−z=0
con r(A) = 2=r(B), dunque ammette∞1soluzioni ad esempio x =k, y=
1−k, z=1−k.
Per h= −4 il sistema diventa 4x−z=4 2x−3y = −3 6y−z=5
6.4. Esempi 61
in cui la matrice dei coefficienti 4 0 −1 2 −3 0 0 6 −1
ha rango 2 mentre quella completa ha rango 3, pertanto il sistema è impossibile.
Esempio 6.2. Discutiamo il sistema
hx+ (h+2)y=0 (h+2)y=h (h+1)x=1
di tre equazioni in due incognite. Se la matrice completa (di ordine 3) non è singolare, ha rango 3 e quindi il sistema è impossibile, perché la matrice dei coefficienti è di tipo(3, 2), e di conseguenza ha rango al più uguale a 2; quindi i valori di h per cui il sistema può essere possibile sono da ricercare solo tra quelli che annullano il determinante della matrice completa, nel nostro caso h= 0 e h= −2. Per tutti gli altri valori il sistema non ammette soluzioni. Per h=0 il sistema diventa
y=0 y=0 x=1
e quindi la soluzione è x =1, y =0; per h= −2 si ha x =0 0 = −2 −x =1
manifestamente impossibile (verificare che in questo caso i due ranghi sono diversi).
OSSERVAZIONE 6.1. Consideriamo un sistema lineareS : Ax = b; il sistema lineare omogeneo Ax =0che ha la stessa matrice dei coef-ficienti si chiama sistema omogeneo associato aS . Se si conoscono la soluzione generale x0del sistema omogeneo associato ed una soluzione particolare x1del sistemaS , la soluzione generale di quest’ultimo si può esprimere come
x =x0+x1 (6.2)
Infatti, ricordando che Ax0 =0, si ha A(x0+x1) = Ax0+Ax1=b e, viceversa se Ax = b si ha A(x−x1) = Ax−Ax1 = 0, e quindi, posto x0 =x−x1si ha x=x0+x1.
62 Capitolo 6. Teoria dei sistemi lineari
Esempio 6.3. Si consideri il sistema
(
x+2y+2z =4 2x+y+z =2,
di due equazioni in tre incognite la cui matrice dei coefficienti ha rango 2, che ammette dunque∞1soluzioni. Si vede subito che una soluzione particolare è data dalla terna x = 0, y = 1, z = 1. Per trovare la soluzione generale consideriamo il sistema omogeneo ad esso associato che è:
(
x+2y+2z=0 2x+y+z=0
la cui soluzione generale è x = 0, y = t, z = −t dunque la soluzione generale del sistema dato sarà x=0, y=1+t, z=1−t.