La retta nel piano
Esempio 11.3. Vogliamo scrivere l’equazione della la retta che passa per i
punti A(1, 0)e B(2,−3). Essa appartiene al fascio che ha per sostegno, per esempio, il punto A e quindi di equazione
x−1+ky =0 (11.9)
2Il concetto di fascio –di rette, di piani, di circonferenze. . . – è molto generale e lo incontreremo ancora.
11.5. Coordinate omogenee 111
ottenuta come combinando linearmente le equazioni x = 1 e y = 0 delle rette parallele agli assi coordinati e passanti per A. La retta cercata si otterà imponendo il passaggio della generica retta del fascio per il punto P, quindi sostituendo le coordinate di P nella (11.9), cioè scrivendo 2−1−3k =0 da cui si ottiene k = 1
3 ed ottenendo quindi l’equazione 3x+y−3 =0.
Esempio 11.4. Vogliamo l’equazione della retta passante per P(1, 0)e per-pendicolare alla retta 3x−2y+1 =0. Scriviamo l’equazione del fascio di rette per P; essa sarà:
λx+µ(y−1) =0
per la condizione di perpendicolarità si avrà 3λ−2µ=0 da cui, per esempio, λ=2 e µ=3 a cui corrisponde la retta 2x+3y−3=0
11.5 Coordinate omogenee
Siccome due rette non parallele hanno in comune un punto e due rette parallele una direzione, fà comodo, in certi contesti, assimilare una direzione ad un punto “improprio” o punto “all’infinito”. Con questa convenzione due rette distinte nel piano hanno sempre un punto (proprio o improprio) in comune, quindi due rette sono parallele se (e solo se) hanno in comune un punto improprio. I punti impropri verrano denotati con il pedice∞, per esempio P∞, che si legge “P infinito”.
Sorge il problema di come “coordinatizzare” i punti impropri. Nel piano, come sappiamo, un punto al finito può essere rappresentato da una coppia ordinata di numeri reali, per poter rappresentare anche i punti impropri conviene utilizzare una terna di coordinate, cosiddette omogenee, precisamente, se P(X, Y)attribuiamo a P le tre coordinate, non tutte nulle, x, y e u legate alle precedenti dalla relazione
X = x
u e Y =
y
u (11.10)
Possiamo allora dire che il punto P ha coordinate omogenee x, y, u e scrivere P(x : y : u). Se u 6= 0 possiamo scrivere che P(X, Y) ha coordinate omogenee P(X : Y : 1), per esempio possiamo attribuire all’origine le coordinate omogenee O = (0 : 0 : 1); i punti impropri saranno allora tutti e soli quelli la cui terza coordinata omogenea è nulla.
OSSERVAZIONE 11.5. Le coordinate omogenee di un punto sono de-finite a meno di un fattore di proporzionalità, questo significa che il punto di coordinate omogenee P(3 : 2 : 1) coincide con il punto di
112 Capitolo 11. La retta nel piano coordinate omogenee P(6 : 4 : 2), e quindi che un punto a coordinate razionali si può sempre considerare come un punto a coordinate omo-genee intere: per esempio il punto proprio P= 1
5, 3 5 ha coordinate omogenee P(1 : 3 : 5)
Consideriamo ora l’equazione generale della retta: in coordinate non omogenee essa sarà aX+bY+c =0: applicando le ( 11.10 nella pagina precedente) diventerà l’equazione omogenea ax+by+cu =0 ed avrà come punto improprio il punto per cui u=0 che sarà dunque P∞(−b : a : 0).
In questo contesto, l’equazione u=0 rappresenta tutti e soli i punti la cui terza coordinata omogenea è nulla, quindi tutti (e soli) i punti impropri, essendo un’equazione lineare possiamo dire che essa rappre-senta una retta, precisamente quella che chiamiamo retta impropria, cioè il luogo dei punti impropri del piano.
Concludiamo il paragrafo con la seguente
OSSERVAZIONE 11.6. Un sistema lineare omogeneo di tre equazioni in tre incognite può sempre essere interpretato geometricamente, in coordinate omogenee, come la ricerca dell’eventuale punto comune di tre rette.
Il seguente esempio chiarisce la situazione.
Esempio 11.5. Il sistema hx−y+hu =0 hx−y−u =0 x−hy+u =0
è lineare omogeneo, quindi ammette la soluzione banale(0 : 0 : 0) che in coordinate omogenee non rappresenta alcun punto. La matrice dei coefficienti è: h −1 h h −1 −1 1 −h 1
; essa ha rango r = 3 per h 6= ±1, ha r =2 per h = 1 e r = 1 per h = −1 quindi per h 6= ±1 le rette non hanno in comune alcun punto nè proprio nè improprio, per h = 1 ci sono ∞1 soluzioni, che sono le coordinate omogenee di uno ed un solo punto (proprio o improprio) e per h = −1 ci sono∞2soluzioni che rappresentano le coordinate omogenee dei punti di una retta; quindi le tre rette coincidono.
11.6. I sistemi di riferimento 113
11.6 I sistemi di riferimento
Cambiamento del sistema di riferimento
Abbiamo visto che un sistema di riferimento cartesiano ortogonale è determinato da un’origine O, che corrisponde al punto di coordi-nate (0, 0) e dai due versori fondamentali degli assi u1 e u2 e che il punto P(x, y,)è rappresentato dal vettore OP =xu1+yu2, cioè è una combinazione lineare dei versori fondamentali.
Figura 11.2 Traslazione
Se P(x, y)è il generico punto del piano e se si effettua una traslazio-ne di assi che porta l’origitraslazio-ne traslazio-nel nuovo punto O0(α, β), le coordinate
(x0, y0)di P rispetto ai nuovi assi saranno: (
x0 = x+α y0 =y+β come si vede chiaramente nella figura 11.2.
Ci si rende conto molto facilmente che le traslazioni sono trasfor-mazioni lineari diR2in sè che conservano le distanze –verificarlo per esercizio–. Ci si può chiedere che cosa succede delle coordinate di P(x, y) quando si cambia il sistema di riferimento, prendendo altri due vettori indipendenti come base. Questo significa effettuare una rotazione del sistema di riferimento. Al punto P saranno associati altri due numeri (x0, y0)e ci si chiede qual è il legame tra queste coppie di numeri.
Nella figura 11.3 nella pagina seguente OQ ed OR sono rispettiva-mente l’ascissa e l’ordinata del punto P rispetto al sistema di riferimento non ruotato e OQ0ed OR0quelle rispetto al sistema ruotato.
114 Capitolo 11. La retta nel piano O P R0 Q0 Q R Figura 11.3 Rotazione
Si effettua in questo modo un cambiamento di base nello spazio vettoriale R2 che, come sappiamo, è rappresentato da una matrice quadrata di ordine 2.
Se consideriamo i cambiamenti di sistema di riferimento che lascia-no ferma l’origine (escludiamo il caso lascia-noto delle traslazioni di assi), osserviamo che se P ha coordinate(x, y)in un sistema di riferimento e(x0, y0)nell’altro, le equazioni che legano le coordinate di P nei due sistemi di riferimento sono date dal sistema
(
x =ax0+by0
y=cx0+dy0 (11.11)
o, in forma più compatta da
#»x = A #»x0 dove #»x =x y e #»x0 =x0 y0 ed A=a b c d , Dimostriamo ora il