Conducibilità termica

contenuto in un recipiente collegato con la camera dove si deve fare il vuoto e con una pompa ausiliaria a medio vuoto. I vapori di olio escono ad alta velocità dagli ugelli e trascinano le particelle di gas verso il recipiente dove vengono aspirate dalla pompa ausiliaria. I condotti di collegamento con la camera e con la pompa ausiliaria sono muniti di diaframmi e raffreddati, così da far condensare i vapori d'olio evitandone la fuoriuscita.  Gli strumenti di misura: servono per monitorare i parametri durante lo svolgimento dei test.

In particolare, sono presenti dei vacuometri per controllare i valori della pressione all’interno della camera da vuoto e nei condotti che la collegano alle pompe.

Si utilizzano poi dei pirometri per la misura locale delle temperature sul disco e per la misura dell’emissività dei materiali al variare della temperatura. Ci sono due tipi di pirometro: uno per le basse temperature (LT - Low Temperature) che ha un range di misure tra i 600 e i 1400 °C ed uno per le alte temperature (HT - High Temperature) che ha un range di misure tra i 1000 e i 3000 °C.

3.3 Conducibilità termica

La conducibilità termica è la proprietà che regola la distribuzione della temperatura in un corpo ed è perciò fondamentale conoscerla per i materiali di interesse e di impiego nel progetto SPES. È la proprietà direttamente collegata alla generazione dei gradienti termici radiali sui dischi.

Ad una data temperatura corrisponde anche una dilatazione del volume del corpo, se su un corpo si è in presenza di un gradiente termico allora si avrà anche la formazione di un campo di deformazioni non uniforme. In particolare, quando una parte di un corpo tende a dilatare più di un'altra si genera uno stato tensionale che, se di entità critica, può portare alla rottura del componente.

Ovviamente per ridurre l’entità di tali tensioni bisogna rendere il campo di temperature il più omogeneo possibile e per fare ciò è necessaria una conducibilità termica molto elevata.

La conducibilità termica se non è nota bisogna determinarla anche per le alte temperature. Esistono diversi metodi per tracciare il suo andamento al variare della temperatura per un materiale di interesse ma ci si concentra prima sulla teoria che descrive tale parametro.

3.3.1 Definizione

Il passaggio dell’energia tra due zone a temperatura diversa di un corpo solido, liquido o gassoso, senza apprezzabile trasporto di materia, prende il nome di trasmissione di calore per conduzione. La trattazione generale della conduzione termica è fatta su di un modello matematico del corpo fisico continuo, uniforme, isotropo e con caratteristiche fisiche invariabili nel tempo ed indipendenti dalla temperatura, senza riferimento al meccanismo o ai meccanismi del fenomeno.

In figura 3.7 è rappresentata una lastra di materiale compatto con le due superfici piane, parallele, isoterme a temperature diverse T1 e T2 costanti:

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La trasmissione del calore in tale lastra è stata descritta con la relazione 3.1:

𝑄 = 𝜆𝑆^{𝑇 − 𝑇} 𝑙 ^∆𝜏 3.1 Dove:  Q è la quantità di calore  λ è la conducibilità termica  S è la superficie interessata  l è lo spessore  ∆𝜏 è l’intervallo di tempo

Più generalmente si possono considerare due superfici isoterme parallele rispettivamente a temperatura T e T+ΔT, non necessariamente costanti nel tempo, poste a distanza x e x+Δx. Definito il flusso termico come nell’equazione 3.2:

𝑞 = lim

∆ →

𝑄

∆𝜏 3.2

Dunque l’equazione 3.1 può essere scritta in forma differenziale, equazione 3.3:

𝑞 = −𝜆𝑆 lim ∆ → 𝑄 ∆𝜏^{= −𝜆𝑆} 𝜕𝑇 𝜕𝑥 3.3

È questa la formulazione differenziale della legge di Fourier della conduzione termica.

Considerando dunque il flusso termico q e non la quantità di calore Q, si può riarrangiare l’equazione 3.1 e definire la conducibilità termica con la relazione 3.4:

𝜆 = ^{𝑞 ∙ 𝑙} 𝑆 ∙ ∆𝑇

𝑊

𝑚 ∙ °𝐶 3.4

Ed è il rapporto tra il flusso di calore ed il gradiente di temperatura che provoca il passaggio del calore.

Nei solidi ci sono due meccanismi principali che regolano il trasporto dell’energia termica e che dunque descrivono il fenomeno della conducibilità termica:

 Il movimento libero degli elettroni

 Le vibrazioni del reticolo cristallino. Gli atomi in un solido sono strettamente uniti tra lodo e un aumento dell’energia vibrazionale dovuta ad un aumento di temperatura si trasmette alle parti adiacenti. Si parla in questo caso di fononi come quanti di energia trasmessa in tale modo.

La conducibilità termica è quindi la somma di due componenti, una elettronica ed una fononica, come descritto nella relazione 3.5:

𝜆 = 𝜆 + 𝜆 3.5

In base al valore della conducibilità termica si possono suddividere i materiali in due categorie: quella dei conduttori, caratterizzati da elevata conducibilità termica, e quella degli isolanti, che presentano una conducibilità termica inferiore a 1 W/m°C.

Per il target del progetto SPES si ha bisogno di materiali ad elevata conducibilità, come la grafite ed il carburo di silicio.

3.3.2 Proprietà termiche per la caratterizzazione

Per caratterizzare termicamente un materiale è necessario stimare l’andamento delle sue proprietà termiche per descrivere il suo comportamento al variare delle condizioni esterne.

In particolare, per modellare un corpo e le sue caratteristiche al variare della temperatura è necessario conoscere la sua densità, il calore specifico e la conducibilità termica. Queste proprietà sono tra loro legate nel descrivere la diffusività termica, secondo l’equazione 3.6:

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𝛼 = ^𝜆 𝜌 ∙ 𝑐

𝑚

𝑠 3.6

La diffusività termica è una proprietà specifica del materiale che caratterizza la conduzione non stazionaria del calore. Questa grandezza descrive quanto rapidamente un materiale reagisce a una variazione di temperatura.

Per predire processi di raffreddamento o simulare campi di temperatura, la diffusività termica deve essere nota, è un prerequisito nella risoluzione dell’equazione di Fourier per il trasferimento non stazionario del calore. Dunque, devono essere note le proprietà che permettono di determinarla. Perché un materiale trasmetta efficacemente il flusso di calore non è solamente sufficiente che esso abbia elevata conducibilità termica ma è anche necessario che esso sia a bassa densità e con basso calore specifico. In questo modo il corpo trasmette il calore a tutto il suo volume invece di immagazzinarlo in un’unica zona densa.

In regime stazionario l’unica proprietà che determina la distribuzione di temperatura di un componente è la sua conducibilità termica. Il calore specifico e la densità determinano solamente il tempo che il corpo impiega a raggiungere la mappa termica definitiva e non i suoi valori.

I test eseguiti presso i Laboratori Nazionali di Legnaro si può considerare che avvengano in regime stazionario, l’apparato sperimentale lavora in controllo di corrente ed ogni step di corrente ha una durata tale da permettere di raggiungere la stabilità termica dei provini. Ci si sofferma dunque sulla stima della conducibilità termica al variare della temperatura.

3.3.3 Metodo della funzione ottima

Presso i Laboratori Nazionali di Legnaro sono stati sviluppati dei metodi per la stima della conducibilità termica, tra i quali il “metodo del gradiente” ed il “metodo della funzione ottima”. Quest’ultimo è il metodo più evoluto ed è quello che viene utilizzato per la caratterizzazione dei materiali per il target.

Per l’utilizzo di tale metodo si lavora in parallelo con l’apparato sperimentale presente nel laboratorio di Alte Temperature, descritto precedentemente, e con un modello numerico appositamente sviluppato.

In particolare, con l’apparato sperimentale si svolgono dei test non distruttivi sui dischi per raccogliere dei dati sull’andamento della temperatura centrale e periferica. Il test consiste nel far passare corrente ad intensità crescente (step da 5 A) attraverso un riscaldatore ohmico in grafite che si scalda per effetto Joule e per irraggiamento trasmette il calore alla zona centrale del disco che si trova posizionato sopra di esso. In questo modo si ha solo la parte centrale del provino riscaldata tenendo la periferia a temperature inferiori, generando così i gradienti termici radiali. Maggiore è la conducibilità termica del materiale e minore sarà l’intensità del gradiente termico poiché il calore si distribuisce velocemente su tutto il volume del corpo.

Effettuando delle misure col pirometro si rilevano le temperature a durante i vari step di corrente, sia in centro che in periferia, e si determina così il valore del gradiente. Tale valore viene dato in input nel modello matematico, figura 3.8, dove entra in gioco il metodo della funzione ottima che stima il valore della conducibilità termica, in funzione della temperatura, che dovrebbe avere il materiale per generare tali gradienti termici sul corpo testato.

Figura 3.8: Modello CAD (a sinistra) e FEM (a destra) dell’apparato sperimentale. Nel passaggio al modello FEM si danno in input le temperature misurate sperimentalmente

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Per utilizzare tale metodo bisogna però prima realizzare un modello matematico dell’apparato sperimentale e calibrarlo in modo che rispecchi il più fedelmente possibile la realtà.

Si spiega ora più nel dettaglio il procedimento svolto per l’utilizzo del metodo della funzione ottima: 1. Come prima anticipato, è necessario acquisire sperimentalmente i valori della temperatura

del disco ed è questo il primo step da eseguire. Dunque, durante un test non distruttivo, si effettuano delle misure col pirometro in corrispondenza del centro e della periferia del disco, come rappresentato in figura 3.9, e per ogni step di corrente.

Figura 3.9: Rappresentazione dei punti di acquisizione delle temperature con il pirometro È conveniente rilevare la temperatura in periferia del disco in direzione ortogonale al riscaldatore, dove il gradiente termico è massimo, poiché a causa della sua geometria esso non riscalda il disco in modo uguale lungo tutte le direzioni. Si definisce quindi il gradiente termico con la relazione 3.7:

∆𝑇 = 𝑇 − 𝑇 3.7

La differenza di temperatura aumenta all’aumentare dell’intensità della corrente riscaldante. 2. Una volta acquisite le temperature, le si danno in input al modello numerico e si avvia la simulazione. Il software agli elementi finiti utilizzato è ANSYS 16.2 nell’ambiente Mechanical APDL. Dopo aver importato in esso il modello CAD dell’apparato sperimentale, si creano le mesh adeguate, si applicano i carichi e le condizioni al contorno e si utilizza il Design Optimization Tool che, avendo in input solamente le temperature di centro e periferia del disco, lavora con un processo iterativo facendo variare i valori della conducibilità termica del materiale del disco finché i valori delle temperature numerico non sono simili ai valori delle temperature sperimentali date in input, con un errore inferiore al 4%.

Per svolgere un problema di ottimizzazione bisogna far riferimento a tutte le variabili in gioco e riordinarle nelle corrette categorie:

 Variabili di stato: sono quelle che fungono da vincolo per l’ottimizzazione;

 Variabili di design: sono variabili indipendenti che possono essere fatte variare per avvicinarsi al design ottimale;

 Variabili obbiettivo: sono le variabili dipendenti che si vuole ottimizzare.

Il processo iterativo lavora utilizzando sempre come primo tentativo il set di dati per cui si ha il minor scarto quadratico tra le temperature sperimentali e numeriche. In particolare, la relazione matematica fa riferimento alla tecnica dei minimi quadrati, equazione 3.8:

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𝑅𝑄 = (𝑇𝐶𝑆 − 𝑇𝐶𝑁 ) + (𝑇𝑃𝑆 − 𝑇𝑃𝑁 ) 3.8

Dove:

 TCSi: è la temperatura al centro del disco misurata sperimentalmente;  TPSi: è la temperatura alla periferia del disco misurata sperimentalmente;  TCNi: è la temperatura al centro del disco misurata numericamente;  TPNi: è la temperatura alla periferia del disco misurata numericamente.

3. Come ultimo step, si leggono i dati in output una volta terminata la simulazione e si ottiene una relazione in forma polinomiale, quadratica in questo studio, equazione 3.9, che descrive la conducibilità termica al variare della temperatura:

𝜆 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑇 + 𝐶 ∙ 𝑇 3.9

Dove:

 λ è la conducibilità termica;

 C0, C1, C2 sono delle costanti risultati dalla simulazione numerica;  T è la temperatura.

Si ottiene così una stima della conducibilità termica e la caratterizzazione termica del materiale per il regime stazionario. Il procedimento descritto viene rappresentato nello schema a blocchi in figura 3.10:

Figura 3.10: Schema a blocchi del processo iterativo che svolge il Design Optimization Tool applicato alla stima della conducibilità termica