CAPITOLO 6 - Caratterizzazione strutturale di materiali ceramici
6.4 Maximum Likelihood Method
Il Maximum Likelihood Method (metodo della massima verosimiglianza), in statistica, è un procedimento matematico per determinare la stima di uno o più parametro di un modello statistico. Con tale metodo si ottengono le stime dei parametri cercandone il valore che massimizza la Likelihood Function.
L’applicazione di metodi per la stima di parametri basati sulla tecnica del Maximum Likelihood presenta alcuni vantaggi, specialmente quando i parametri vengono determinati da una popolazione caratterizzata dai valori delle tensioni di rottura di provini.
Le stime ottenute con il Maximum Likelihood Method sono uniche e all’aumentare del numero di campioni le stime ai avvicinano sempre più ai valori reali dei parametri che caratterizzano una data popolazione.
In statistica, ogni popolazione è identificata da una corrispondente distribuzione di probabilità e associata a ogni distribuzione di probabilità c'è una parametrizzazione unica. Variando questi parametri deve essere generata una differente distribuzione di probabilità.
Riassumendo, ecco le proprietà generali del Maximum Likelihood Method:
Per un numero elevato di campioni, la Likelihood Function è simile ad una distribuzione Gaussiana;
Le stime dei parametri ricavate con questo metodo sono solitamente costanti e per un numero elevato di campioni la stima dei parametri converge al loro valore reale.
Le stime dei parametri ricavate con questo metodo sono solitamente indipendenti; Le stime dei parametri ricavate con questo metodo presentano la minima varianza; La soluzione fornisce stime dei parametri uniche per quella determinata distribuzione.
6.4.1 Modello analitico
[22]Una volta che si è visto graficamente che la distribuzione di valori delle rotture viene interpolata bene da una retta e che si può ricavare una distribuzione di Weibull valida con i dati che si hanno a disposizione, si può ricavare il modulo di Weibull e la resistenza caratteristica con il Maximum Likelihood Method.
La Likelihood Function, L, per la distribuzione di un solo tipo di cricca critica è fornita dall’espressione 6.21: 𝐿 = 𝑚 𝜎 𝜎 𝜎 𝑒𝑥𝑝 − 𝜎 𝜎 6.21 Dove:
N è il numero di provini rotti;
σfj è la tensione di rottura del j-esimo provino; σ0 è la tensione caratteristica;
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m è il modulo di Weibull.
Si cerca il massimo della funzione derivandola in funzione di m e 𝜎 e ponendola uguale a zero, equazione 6.22, stimando così i valori di 𝑚 e 𝜎 sviluppando un processo iterativo al variare di 𝑚 finché non si raggiunge lo zero:
∑ 𝜎 𝑙𝑛𝜎 ∑ 𝜎 − 1 𝑁 𝑙𝑛𝜎 − 1 𝑚= 0 6.22 𝜎 = 𝜎 1 𝑁 / 6.23
6.4.2 Unbiasing Factor
[22]La stima del valore di 𝑚 valutata con questo metodo contiene un errore che sovrastima il reale valore del modulo di Weibull m. Dunque, si moltiplica la stima per un fattore correttivo tabulato, tabella 6.1, in funzione del numero di provini e ricavato da simulazioni con il metodo di Monte Carlo, equazione 6.24:
𝑚 = 𝑚 ∙ 𝑏 6.24
Dove:
𝑚 è il valore del modulo ancora affetto da errore, prima della correzione; b è la correzione da apportare ed è un valore tabulato.
Tabella 6.1: Valori del fattore di correzione b in funzione del numero di provini N
L’errore per 𝜎 è trascurabile se confrontato con quello di 𝑚 e non è necessario eseguire alcuna correzione.
L’errore statistico associato alle stime dei parametri ricavate con il Maximum Likelihood Method può essere ridotto aumentando il numero di campioni N. Questo si può facilmente notare dai valori presenti in tabella, si ha un aumento del valore dell’Unbiasing Factor all’aumentare del numero di provini.
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6.4.3 Calcolo dell’intervallo di confidenza
[22]È necessario fornire una misura dell’incertezza delle stime ricavate per i due parametri, tale incertezza corrisponde all’intervallo di confidenza che va determinato normalmente per ogni set di campioni.
Il primo passo è la determinazione del livello di confidenza richiesto, 1-α. È pratica comune scegliere il 90% o il 95% in accordo con le richieste per il calcolo della confidenza. Questa è una scelta che spetta al progettista in base a quanto in favore di sicurezza vuole ottenere le stime dei parametri. Il più alto ed il più basso valore di 𝜎 corrispondono al limite superiore e inferiore dell’intervallo di confidenza e si determinano rispettivamente con le relazioni 6.25 e 6.26:
𝐶 = 𝜎 ∙ 𝑒𝑥𝑝 −𝑡
𝑚 6.25
𝐶 = 𝜎 ∙ 𝑒𝑥𝑝 −𝑡
𝑚 6.26
Dove:
𝑚 è il valore del modulo ancora affetto da errore, prima della correzione; 𝜎 è la resistenza caratteristica;
tu è il parametro presente in tabella 6.2 per il calcolo del limite superiore dell’intervallo di confidenza;
tl è il parametro presente in tabella 6.2 per il calcolo del limite inferiore dell’intervallo di confidenza.
Tabella 6.2: Valori per il calcolo dell’intervallo di confidenza al 90% della tensione caratteristica in funzione del numero di provini N e del livello di confidenza voluto
Il limite superiore ed inferiore dell’intervallo di confidenza di 𝑚 si determinano rispettivamente con le equazioni 6.27 e 6.28:
𝐷 =𝑚
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𝐷 =𝑚
𝑙 6.28
Dove:
𝑚 è il valore del modulo ancora affetto da errore, prima della correzione;
lu è il parametro presente in tabella 6.3 per il calcolo del limite superiore dell’intervallo di confidenza;
ll è il parametro presente in tabella 6.3 per il calcolo del limite inferiore dell’intervallo di confidenza.
Tabella 6.3: Valori per il calcolo dell’intervallo di confidenza al 90% del modulo di Weibull in funzione del numero di provini N e del livello di confidenza voluto
6.4.4 Procedura grafica
[22]Data una distribuzione di resistenza, l’identificazione dei due parametri fondamentali m e σ0 è assai facile, per interpolazione lineare, associando ad ogni valore dello sforzo di rottura σ un livello di sopravvivenza.
Per avere una rapida ed approssimativa visualizzazione della distribuzione della resistenza dei provini e per dimostrare la validità di questo metodo statistico, si deve realizzare un diagramma di Weibull. In questo modo si può facilmente vedere se la serie di dati raccolti corrispondono ad una distribuzione tramite la traccia di una retta di interpolazione lineare.
La funzione di distribuzione può essere rappresentata anche in forma logaritmica secondo la relazione 6.33, ricavata dopo pochi e semplici passaggi analitici (equazioni 6.29 - 6.33):
𝑃 (𝑉 ) = 𝑒 ( ) 6.29 𝑙𝑛[𝑃 (𝑉 )] = −(𝜎 𝜎) 6.30 𝑙𝑛 1 𝑃 (𝑉 ) = ( 𝜎 𝜎) 6.31
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𝑙𝑛{𝑙𝑛 1 𝑃 (𝑉 )} = 𝑚 ∙ 𝑙𝑛 𝜎 𝜎 6.32 𝑙𝑛{𝑙𝑛 1 𝑃 (𝑉 )} = 𝑚 ∙ 𝑙𝑛𝜎 − 𝑚 ∙ 𝑙𝑛𝜎 6.33 Dove: Ps(V0) è la probabilità di sopravvivenza di un provino di volume V0; σ è la tensione di rottura del provino;
σ0 è la tensione caratteristica; m è il modulo di Weibull.
Si ottiene così una retta di pendenza m ed intercetta q=-mlnσ0, figura 6.8:
Figura 6.8: Esempio, a scopo illustrativo, di un diagramma di Weibull Dunque, per ricavare il diagramma di Weibull è sufficiente seguire queste indicazioni:
1. Ordinare i valori della tensione di rottura in ordine crescente. Si assegna poi ad ogni dato una probabilità in accordo con l’equazione 6.34:
𝑃 = 𝑖 − 0.5
𝑁 6.34
Dove:
i è l’i-esimo provino
Pfi è il valore della probabilità di rottura per l’i-esimo provino 2. Si crea un grafico con i valori per le ordinate ricavati con la relazione 6.35:
𝑦 = 𝑙𝑛 𝑙𝑛 1
1 − 𝑃 6.35
E per le ascisse, equazione 6.36:
𝑥 = 𝑙𝑛 𝜎 6.36
Dove:
σfi è la tensione di rottura dell’i-esimo provino
Per il calcolo della probabilità di rottura con il solo scopo rappresentativo del diagramma di Weibull, l’uso di una relazione piuttosto di un’altra è indifferente perciò si usa la formula sopra riportata come descritto in normativa ASTM 1239-07. Inoltre, tale formula ha un peso determinante sulla stima dei valori finali nel caso di determinazione dei parametri solamente per via grafica con il Linear
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Regression Method. In questa trattazione i parametri vengono determinati per via analitica utilizzando il Maximum Likelihood Method.