Confronto tra riassicurazione e cat bond

Tradizionalmente gli assicuratori si sono rivolti al mercato della riassicurazione per compensare i rischi che superavano la propria capacità di carico. Gli assicuratori primari sono spesso fortemente geograficamente concentrati, tipicamente limitati dai confini nazionali o statali; questo offre ai riassicuratori la possibilità di ottenere vantaggi di diversificazione mediante riassicurazione primaria su base globale. Dal momento che questi vantaggi di diversificazione sono maggiori per quei riassicuratori che sono in grado di diversificare attraverso più paesi e linee di business, il settore della riassicurazione è diventato fortemente concentrato con i maggiori cinque riassicuratori (Monaco Re, Swiss Re, Berkshire Hathaway, Hannover Re e la società Di Lloyds) sottoscrivendo oltre il 50% dei premi in tutto il mondo.

Allo stesso tempo, le perdite catastrofali assicurate sono aumentate più velocemente dell'inflazione per diversi decenni. Ciò significa che catastrofi molto grandi hanno la possibilità di generare perdite che superino la capacità di carico ragionevole del settore della riassicurazione.

Un'altra preoccupazione per gli assicuratori primari è la volatilità dei prezzi di riassicurazione. Le perdite di riassicurazione sono intrinsecamente imprevedibili, ma data la relativa rarità delle catastrofi, il settore sperimenta tipicamente diversi anni di perdite basse, seguite da anni con elevate perdite. I cat bonds permettono agli assicuratori di affrontare in modo efficiente sia il problema del rischio di credito di riassicurazione sia la volatilità dei prezzi di riassicurazione. I fondi risultanti dalla vendita del cat bond sono detenuti in un conto separato che viene gestito al fine di ridurre al minimo il rischio di credito. Di conseguenza, la probabilità di una incapacità di pagare crediti dopo una catastrofe è considerata molto bassa.

Quindi, dal lato degli emittenti, è possibile minimizzare il rischio di credito, previsto che il capitale viene messo a disposizione prima che l'evento si verifichi ed impiegato in titoli sicuri a breve termine, mentre, dal lato degli investitori, le opportunità di diversificazione degli investimenti ad alto rendimento tendono a moltiplicarsi.13

Il trasferimento del rischio mediante il mercato riassicurativo è incompleto, in quanto la copertura delle perdite è sottoposta al rischio di una possibile insolvenza del riassicuratore:

13 Birindelli G.,Ferretti P., Evoluzione del rischio operativo nelle imprese bancarie, Giuffrè, 2006, pp. 130- 137

al contrario, i catastrophe bonds precostituiscono presso lo Spv i fondi da utilizzare per la copertura delle eventuali perdite, e in questo modo annullano il rischio di credito.

Poiché le offerte di cat bonds sono tipicamente tre anni o più, gli assicuratori possono utilizzare questi strumenti per bloccare i tassi di riassicurazione.

I prestiti obbligazionari sono attraenti per gli investitori, perché gli eventi catastrofici hanno basse correlazioni con i rendimenti dei mercati mobiliari e pertanto sono preziosi per scopi di diversificazione.14

Essendo il mercato finanziario più vasto e concorrenziale rispetto al mercato riassicurativo, a parità di altre condizioni, questo tenderà ad essere più efficiente nella gestione del rischio catastrofale: tutto ciò dovrebbe tradursi in una riduzione di premio per chi trasferisce il rischio mediante cat bond, e quindi lo spread rispetto al tasso risk-free pagato ai sottoscrittori di catastrophe bonds dovrebbe essere inferiore al premio generalmente pagato a un riassicuratore per la cessione di un uguale rischio rischio alle medesime condizioni (attachment point e limite di copertura).

Tuttavia, il mercato ha spesso visto il contrario: gli spread di cat bonds hanno generalmente superato quelli per obbligazioni societarie con rating equivalenti.

Sono evidenti delle differenze anche in relazione alla durata della copertura: la durata dei contratti di riassicurazione è tipicamente annuale, a differenza delle emissioni di Cat Bond che tendenzialmente interessano un arco di tempo pluriennale. Questo fa si che ci sia un vantaggio legato al non necessario rinnovo annuale con i relativi costi e la possibilità di godere di un premio annuale fissato fino alla scadenza, facilitando in tal modo il processo di gestione delle risorse. Nel caso dei cat bond, se l'evento catastrofale avviene in un fase temporale intermedia tra l'inizio e l'estinzione della copertura, nel momento esatto di accadimento la copertura decade; in tal caso l'assicuratore avrà due alternative: rimanere scoperto o sottoscrivere una nuova copertura a prezzi più alti.

Anche se le catastrofi sono eventi che si ripetono di rado, occorre comunque costituire una nuova copertura. Questo è un problema che si riscontra anche nella riassicurazione finanziaria, e che può comunque essere ovviato contenendo la durata del prestito.

Per quanto riguarda i cat bond, bisogna tuttavia tener presente i tempi e i costi della cartolarizzazione che possono di fatto essere di entità rilevante.

Relativamente a questo tipo di costi, il problema principale risiede nel fatto che i catastrophe bonds sono uno strumento finanziario del tutto atipico, e richiedono di

14 Cummins J. David, Olivier Mahul, Catastrophe Risk Financing in Developing Countries. Principles for public intervention, The world bank, 2009, pp. 25-26

conseguenza un’attenta definizione delle clausole contrattuali; questi costi diminuirebbero in caso di recepimento nelle varie normative nazionali di questa e di altre nuove forme di trasferimento dei rischi assicurativi.

È possibile notare una similitudine fra l'attività svolta dal riassicuratore nella riassicurazione tradizionale e quella svolta dal sottoscrittore dei catastrophe bonds: il primo si mette in condizione di assumere il rischio grazie alla costituzione di un portafoglio di polizze, all’interno del quale le perdite vengono diversificate fra più assicurati; il secondo si mette in condizione di assumere il rischio grazie all’inserimento di questo in un portafoglio di attività finanziarie, all’interno del quale perdite e utili delle diverse attività tendono a compensarsi. Questo perchè in virtù della esigua correlazione dei rischi finanzniari rispetto ai rendimenti delle attività finanziarie tradizionali, gli investitori possono ragionevolmente diversificare il rischio.

Un ruolo importante è associato all’informazione nell'ambito del problema dell'efficienza del comportamento economico: i mercati finanziari sono in grado di gestire i rischi finanziari grazie alla disponibilità di numerose e dettagliate informazioni sulle attività dei soggetti che emettono titoli, informazioni che vengono ulteriormente filtrate ed elaborate per il tramite di operatori specializzati; nel caso dei catastrophe bonds, l’informazione verte non sulle condizioni economiche dell’emittente (che sono irrilevanti), ma sul rischio che viene trasferito. E’ possibile ritenere che il mercato riassicurativo, grazie alla competenza specifica degli operatori che vi operano, abbia vantaggi informativi strutturali sul mercato finanziario nella comprensione e nell’analisi dei rischi catastrofali e puri in genere: per quanto rigorosa sia la modellizzazione del rischio e serio il lavoro di verifica delle agenzie di rating, è possibile che gli investitori finanziari si trovino comunque in un deficit informativo a causa della difficoltà di comprendere a fondo rischi che sono assai diversi da quelli con cui abitualmente trattano; ciò significa che il mercato riassicurativo, grazie all’esperienza nella gestione dei rischi puri e a competenze tecniche specifiche, potrebbe compensare la maggiore efficienza degli investitori nella diversificazione del rischio.

Un altro vantaggio dei catastrophe bonds è legato alla flessibilità: le condizioni dei catastrophe bonds sono definite dal soggetto che desidera trasferire il rischio in funzione delle proprie esigenze; in particolare, la sponsoring firm ha completa libertà per quanto riguarda la definizione dei limiti inferiori e superiori di copertura, la definizione

dell’esposizione da trasferire (tipo di polizze, tipo di esposizione, zona geografica) e la durata della copertura. Questo significa una flessibilità pressochè totale, totalmente differente rispetto ai rapporti riassicurativi, inquadrati all’interno di schemi contrattuali standard e di pratiche consolidate.

In generale, le emissioni di catastrophe bonds dovrebbero rispettare 5 condizioni:

1. la ritenzione deve essere elevata: i catastrophe bonds sono poco adatti al trasferimento di bassi layers di rischio. In primo luogo, perdite di basso ammontare si verificano abbastanza di frequente anche in caso di eventi catastrofici (scosse sismiche di bassa intensità, eventi metereologici di media gravità): se esse dovessero essere trasferite, il catastrophe bond genererebbe perdite per gli investitori abbastanza spesso, e di conseguenza la frequency of loss sarebbe relativamente alta; ciò porta inevitabilmente all’attribuzione di un basso punteggio di rating, e quindi alla necessità di offrire ai sottoscrittori alti tassi di interesse. In secondo luogo, i catastrophe bonds, come la riassicurazione, determinano un rischio di moral hazard e di selezione avversa: al fine di rendere i titoli appetibili, gli investitori devono essere protetti contro questo rischio, ed elevati livelli di ritenzione rappresentano la migliore garanzia (gli investitori possono essere protetti anche per mezzo di clausole contrattuali, ma questa soluzione produce risultati meno certi e tende ad aumentare la complessità della transazione, e quindi i relativi costi).

2. Il limite di copertura non deve essere troppo elevato: ciò significa che i layers di perdita dovrebbero essere alti, ma non troppo: il principale motivo è che, oltre un certo livello di perdite, le corrispondenti probabilità diventano assai basse. Dato che i costi fissi dell’emissione sono elevati, i catastrophe bonds sono economicamente sensati solo se l’ammontare di rischio trasferito non è troppo piccolo.

3. Il valore nominale dell’emissione deve essere ingente: questa è una ulteriore conseguenza del peso dei costi fissi. Un elevato valore nominale può corrispondere o ad un portafoglio di esposizioni molto ampio, oppure ad un layer di perdite relativamente largo: assicuratori di piccole dimensioni possono accedere ai catastrophe bonds solo aggregando rischi differenti, ossia utilizzando la formula multiperil. Un valore nominale relativamente piccolo è sostenibile solo con bonds a lunga scadenza: tuttavia, oltre a comportare il pericolo di un precoce esaurimento della copertura, questi titoli risultano più rischiosi per i sottoscrittori, in quanto le esposizioni possono cambiare in maniera significativa nel corso del tempo; occorre quindi che il prestito venga strutturato in modo da proteggere i sottoscrittori da tale eventualità.

4. Il livello delle perdite deve essere al di fuori del controllo di chi cede il rischio: ciò significa che, anche nel caso in cui le perdite coperte dai sottoscrittori dei catastrophe bonds siano quelle effettivamente subite dalla sponsoring firm, è necessario che quest’ultima non possa influenzare l’entità delle perdite stesse. Le catastrofi si prestano al trasferimento ai mercati finanziari non solo per le dimensioni del rischio, ma anche perché sono eventi esogeni, sottratti al controllo di agenti umani: tuttavia, gli assicuratori mantengono comunque un controllo sulle perdite indennizzate, tramite le politiche di assunzione del rischio e di liquidazione dei sinistri. Questo problema può essere in parte risolto grazie all’adozione di un “dual trigger”, ossia di un meccanismo in cui il catastrophe bond genera perdite solo se due condizioni sono allo stesso tempo soddisfatte: ad esempio, si può stabilire che, quando le perdite della sponsoring firm derivanti dall’evento coperto superano l’attachment point, gli investitori non ne rispondono se le perdite dell’intero settore assicurativo relative allo stesso evento non superano un determinato ammontare; questo secondo trigger garantisce che gli investitori non debbano subire le conseguenze di performance particolarmente negative di chi cede il rischio. 5. La transazione deve essere trasparente per gli investitori: non bisogna sottovalutare l’importanza dell’accuratezza e completezza della documentazione fornita, circa la modellizzazione del rischio e le condizioni del prestito; è anche importante che le clausole contrattuali, anche se predisposte nell’interesse degli investitori, non siano eccessivamente complesse, in modo che l’insieme delle condizioni economiche del prestito emerga con chiarezza. 15

Una scarsa diffusione tra gli investitori può essere legata alla valutazione del profilo rischio-rendimento: i cash flows dipendono da eventi a bassa frequenza con scarsità di dati storici. Una soluzione può essere rappresentata dalle società specializzate finalizzate

alla modellizzazione dei rischi catastrofali. Queste società, infatti, sono autonome rispetto allesocietà emittenti e forniscono una valutazione (rating) del rischio relativo ad un cat bond.Dati i vantaggi dei cat bonds, allora, l' emissione di questi strumenti potrebbe essere piùalta. Un freno a questa crescita sono rappresentati dai costi per l'emissione di cat bonds iquali sono superiori a quelli di un contratto di riassicurazione tradizionale e non sonoeconomicamente sostenibili per piccoli importi di capitale. In secondo luogo, il numerodegli investitori disposti ad acquistare cat bond è ancora limitato, soprattutto a causa della mancanza di familiarità con il rischio di catastrofe.

15 Università degli studi di Cagliari, Annali della facoltà di economia di Cagliari, Franco Angeli , 2006, pp. 339

CAPITOLO 3

Cat bond e diversificazione di portafoglio 3.1 Inserimento di un Cat bond in portafoglio

I titoli legati al rischio assicurativo, come ad esempio i rischi catastrofali, contribuiscono alla diversificazione dei portafogli di investimento, consentendo la riduzione della variabilità della performance del portafoglio e massimizzando i rendimenti attesi a un determinato livello di rischio. Con l'emissione di cat bonds, gli assicuratori e i riassicuratori ottengono accesso immediato ad una maggiore capacità di capitale sulla base di investimenti da parte degli investitori istituzionali in tali obbligazioni.

La combinazione di attività finanziarie o titoli del portafoglio fornisce diversi rendimenti per diversi livelli di rischio, il che significa che per diversificazione del portafoglio l'investitore può raggiungere il massimo tasso di rendimento per livello di rischio accettabile o il tasso di rendimento previsto per il minimo rischio possibile.

Gli investitori che prevedono o stimano di ottenere un tasso di rendimento più elevato devono essere disposti ad accettare livelli più alti di rischio, normalmente misurati e espressi attraverso varianze o scostamenti del tasso di rendimento.

Secondo il modello sviluppato da Markowitz, ciò che è essenziale per l'ottimizzazione del portafoglio sono i rendimenti attesi e la varianza o il rischio complessivo di tutti i titoli nel portafoglio, nonché la covarianza o le relazioni tra coppie di titoli nel portafoglio. 16

I cat bonds hanno permesso agli investitori di migliorare la diversificazione dei rischi in un portafoglio di investimenti poichè il rischio assicurativo non è associato ad altri rischi di mercato, come ad esempio il rischio di variazioni nei tassi di interesse o nei tassi di

cambio. .

La limitata capacità del mercato tradizionale di riassicurazione e l'emergere di grandiperdite di catastrofe hanno causato la creazione di opportunità estremamente redditizie perl'investimento.

La caratteristica fondamentale, quindi, dei cat bonds che ha causato un crescente interesse

16 INVESTMENT PORTFOLIO OPTIMIZATION BY INVESTMENTS IN CATASTROPHE BONDS pp. 441-444

degli investitori è la loro mancanza di correlazione con altri rischi nei portafogli di investimento.

Lo studio di Heike e Kiernan mostra che l'aggiunta di obbligazioni di catastrofe nel portafoglio di investimenti consente agli investitori di ridurre la variabilità del rendimento del portafoglio e di migliorare il rendimento atteso futuro.

La scarsa correlazione è confermata dall'influenza, più debole, che gli attacchi terroristici dell'11 settembre 2001 negli Stati Uniti hanno avuto sui cambiamenti relativi all'indice delle obbligazioni catastrofali (da obbligazioni con un rating di BBB le variazioni dell'indice sono state espresse in 20 punti base, mentre da obbligazioni con rating BB le variazioni dell'indice sono passate da 55 a 100 punti base) rispetto agli altri titoli di debito (variazioni sugli indici di titoli di debito di base con rating di BB variano tra i 300 e i 400 punti base). 17

La trattazione di questo paragrafo procede con un'analisi pratica volta a verificare quanto affermato in precedenza e ad evidenziare il contributo fornito dalle obbligazioni catastrofali all'interno di un portafoglio diversificato.

A tal fine, si è costruito un portafoglio di partenza in cui sono stati inseriti diverse classi di investimento finanziarie USA, quali quella azionaria, obbligazionaria e immobiliare, rappresentate con i relativi indici di mercato statunitense. Successivamente, in tale portafoglio di partenza, viene inserito un indice rappresentativo di un fondo di Cat bond in modo da confrontare le rispettive frontiere efficienti, ovvero quella relativa al portafoglio di partenza e quella relativa al portafoglio con l'inserimento del cat bond, e i miglioramenti apportati.

L'analisi in questione prende come riferimento indici azionari con una ulteriore suddivisione della componente azionaria per capitalizzazione. In particolare si fa riferimento a:

S&P Large-Cap 500 (titoli di aziende con elevata capitalizzazione) S&P Mid-Cap 400 (titoli di aziende con media capitalizzazione) S&P Small-Cap 600 (titoli di aziende con bassa capitalizzazione)

Relativamente agli indici obbligazionari, si considerano indici relativi a obbligazioni governative, in particolare Titoli di stato USA 1-3 anni e 10 - 20 anni, e ad obbligazioni societarie USA, Baml us corporate master.

Per quanto riguarda il settore immobiliare, si fa riferimento all'indice US Real Estate Index.

La tabella 4 rappresenta le serie storiche del prezzo di chiusura, riguardante il primo di ogni mese qualora questo sia disponibile (altrimenti si prende come riferimento la data immediatamente successiva disponibile), di tutti gli indici presi in considerazione e che compongono il portafoglio, relativamente al periodo Gennaio 2013- Agosto 2017.

Tabella 4

Data chiusura

S&P mid cap 400

S&P 500 S&P small cap 600

S&P U.S. Treasury Bond 1-3 Year Index

S&P U.S. Treasury Bond 10-20 Year Index Baml us corporate master US Real Estate Index 01/13 1093,4 1498,11 503,84 306,68 643,55 2442,11 255,24 02/13 1102,64 1514,68 510,43 306,85 636,16 2428,75 262,48 03/13 1153,68 1569,19 531,38 307,04 645,38 2452,96 264,57 04/13 1160,02 1597,57 529,6 307,12 647,02 2541,58 270,57 05/13 1184,32 1630,74 551,98 307,47 664,4 2501,05 284,55 06/13 1160,82 1606,28 550,52 307,04 631,74 2437,28 266,94 07/13 1231,9 1685,73 587,76 306,73 613,34 2369,99 257,41 08/13 1183,87 1632,97 572,82 307,11 601,12 2385,08 256,83 09/13 1243,85 1681,55 607,76 306,78 597,72 2370,52 239,95 10/13 1289,18 1756,54 629,27 307,7 611,89 2386,32 252,2 11/13 1304,18 1805,81 656,85 307,99 614,43 2416,27 259,47 12/13 1342,53 1848,36 665,54 308,32 605,02 2410,83 243,82 01/14 1313,08 1782,59 639,51 307,95 597,93 2418,39 247,01 02/14 1375,33 1859,45 667,33 308,68 624,89 2467,77 250,09 03/14 1378,5 1872,34 671,12 308,69 620,86 2489,29 265,57 04/14 1355,96 1883,95 651,97 308,16 619,78 2477,64 265,8 05/14 1377,98 1923,57 653,01 308,69 636,32 2525,71 273,94 06/14 1432,94 1960,23 682,87 309,13 636,32 2534,78 279,43 07/14 1370,7 1930,67 644,93 308,81 635,57 2549,71 280,63 08/14 1438,18 2003,37 671,88 309,31 647,51 2557,89 280,93 09/14 1370,97 1972,29 634,99 309,31 655,22 2591,15 288,86 10/14 1418,71 2018,05 679,5 309,68 659,52 2573,09 270,4 11/14 1442,63 2067,56 676,82 310,11 664,01 2580,97 295,02 12/14 1452,44 2058,9 695,08 310,36 669,97 2592,1 299,9 01/15 1435,1 1994,99 670,38 309,95 684,74 2603,26 305,34 02/15 1506,53 2104,5 709,98 311,52 712,79 2667,52 317,04 03/15 1524,03 2067,89 720,2 310,59 689,39 2631,89 309,49

04/15 1500,19 2085,51 702,97 311,66 706,92 2659,63 312,88 05/15 1524,67 2107,39 712,88 311,54 689,21 2628,02 297,39 06/15 1502,17 2063,11 719,2 311,6 686,02 2609,65 290,68 07/15 1502,89 2103,84 712,64 312,03 675,18 2572,06 284,53 08/15 1416,75 1972,18 674,86 312,23 697,23 2606,19 292,95 09/15 1368,91 1920,03 650,19 312,21 690,94 2582,51 275,43 10/15 1444,77 2079,36 689,36 313,38 707,62 2594,44 281,74 11/15 1461,81 2080,41 706,75 312,62 695,74 2603,82 301,52 12/15 1398,58 2043,94 671,74 312,15 699,75 2611,72 297,7 01/16 1317,74 1940,24 629,95 311,84 695,97 2584,21 291,9 02/16 1334,2 1932,23 636,03 313,44 716,16 2583,2 282,91 03/16 1445,19 2059,74 686,97 313,56 730,82 2603,22 289,75 04/16 1461,65 2065,3 694,56 314,33 732,73 2679,95 307,2 05/16 1493,05 2096,96 705,14 314,51 725,89 2718,62 305,85 06/16 1496,5 2098,86 708,36 314,2 735,71 2719,41 309,49 07/16 1559,46 2173,6 743,98 316,1 764,97 2783,38 324,91 08/16 1564,76 2170,95 753,07 315,91 764,47 2806,93 338,01 09/16 1552,26 2168,27 756,9 315,45 760,11 2816,28 326,96 10/16 1509,46 2126,15 722,59 315,65 755,2 2813,16 312,71 11/16 1627,52 2198,81 812,02 315,68 739,89 2792,06 291,22 12/16 1660,58 2238,83 837,96 314,08 697,56 2714,25 290,1 01/17 1687,19 2278,87 834,2 314,25 700,36 2735,99 306,22 02/17 1729,34 2363,64 846,49 314,64 701,26 2741,38 305,13 03/17 1719,65 2362,72 844,17 314,57 703,3 2755,96 314,83 04/17 1732,76 2384,2 851,36 315,39 713,98 2799,4 311,82 05/17 1721,69 2411,8 832,17 315,57 715,89 2791,28 314,82 06/17 1746,65 2423,41 855,85 315,94 724,83 2839,6 313,9 07/17 1760,68 2470,3 863,62 315,6 720,38 2833,58 319,84 08/17 1708,97 2443,05 866,06 316,51 726,7 2868,47 321,14

Data la serie storica dei prezzi, è possibile calcolare i rendimenti di ciascun indice, nella Tabella 5, utilizzando la seguente formula :

Rendimenti=(Pt-Pt-1)/Pt-1.

Tabella 5

S&P mid cap 400

S&P 500 S&P small cap 600 S&P U.S. Treasury Bond 1-3 Year Index S&P U.S. Treasury Bond 10-20 Year Index Baml us corporate master US Real Estate Index 0,0085% 0,0111% 0,0131% 0,0006% -0,0115% -0,0055% 0,0284% 0,0463% 0,0360% 0,0410% 0,0006% 0,0145% 0,0100% 0,0080% 0,0055% 0,0181% -0,0033% 0,0003% 0,0025% 0,0361% 0,0227%

0,0209% 0,0208% 0,0423% 0,0011% 0,0269% -0,0159% 0,0517% -0,0198% -0,0150% -0,0026% -0,0014% -0,0492% -0,0255% -0,0619% 0,0612% 0,0495% 0,0676% -0,0010% -0,0291% -0,0276% -0,0357% -0,0390% -0,0313% -0,0254% 0,0012% -0,0199% 0,0064% -0,0023% 0,0507% 0,0297% 0,0610% -0,0011% -0,0057% -0,0061% -0,0657% 0,0364% 0,0446% 0,0354% 0,0030% 0,0237% 0,0067% 0,0511% 0,0116% 0,0280% 0,0438% 0,0009% 0,0042% 0,0126% 0,0288% 0,0294% 0,0236% 0,0132% 0,0011% -0,0153% -0,0023% -0,0603% -0,0219% -0,0356% -0,0391% -0,0012% -0,0117% 0,0031% 0,0131% 0,0474% 0,0431% 0,0435% 0,0024% 0,0451% 0,0204% 0,0125% 0,0023% 0,0069% 0,0057% 0,0000% -0,0064% 0,0087% 0,0619% -0,0164% 0,0062% -0,0285% -0,0017% -0,0017% -0,0047% 0,0009% 0,0162% 0,0210% 0,0016% 0,0017% 0,0267% 0,0194% 0,0306% 0,0399% 0,0191% 0,0457% 0,0014% 0,0000% 0,0036% 0,0200% -0,0434% -0,0151% -0,0556% -0,0010% -0,0012% 0,0059% 0,0043% 0,0492% 0,0377% 0,0418% 0,0016% 0,0188% 0,0032% 0,0011% -0,0467% -0,0155% -0,0549% 0,0000% 0,0119% 0,0130% 0,0282% 0,0348% 0,0232% 0,0701% 0,0012% 0,0066% -0,0070% -0,0639% 0,0169% 0,0245% -0,0039% 0,0014% 0,0068% 0,0031% 0,0911% 0,0068% -0,0042% 0,0270% 0,0008% 0,0090% 0,0043% 0,0165% -0,0119% -0,0310% -0,0355% -0,0013% 0,0220% 0,0043% 0,0181% 0,0498% 0,0549% 0,0591% 0,0051% 0,0410% 0,0247% 0,0383% 0,0116% -0,0174% 0,0144% -0,0030% -0,0328% -0,0134% -0,0238% -0,0156% 0,0085% -0,0239% 0,0034% 0,0254% 0,0105% 0,0110% 0,0163% 0,0105% 0,0141% -0,0004% -0,0251% -0,0119% -0,0495% -0,0148% -0,0210% 0,0089% 0,0002% -0,0046% -0,0070% -0,0226% 0,0005% 0,0197% -0,0091% 0,0014% -0,0158% -0,0144% -0,0212% -0,0573% -0,0626% -0,0530% 0,0006% 0,0327% 0,0133% 0,0296% -0,0338% -0,0264% -0,0366% -0,0064% -0,0090% -0,0091% -0,0598% 0,0554% 0,0830% 0,0602% 0,0037% 0,0241% 0,0046% 0,0229% 0,0118% 0,0005% 0,0252% -0,0024% -0,0168% 0,0036% 0,0702% -0,0433% -0,0175% -0,0495% -0,0015% 0,0058% 0,0030% -0,0127% -0,0578% -0,0507% -0,0622% -0,0010% -0,0054% -0,0105% -0,0195% 0,0125% -0,0041% 0,0097% 0,0051% 0,0290% -0,0004% -0,0308% 0,0832% 0,0660% 0,0801% 0,0004% 0,0205% 0,0078% 0,0242% 0,0114% 0,0027% 0,0110% 0,0025% 0,0026% 0,0295% 0,0602% 0,0215% 0,0153% 0,0152% 0,0006% -0,0093% 0,0144% -0,0044% 0,0023% 0,0009% 0,0046% -0,0010% 0,0135% 0,0003% 0,0119% 0,0421% 0,0356% 0,0503% 0,0060% 0,0398% 0,0235% 0,0498% 0,0034% -0,0012% 0,0122% -0,0006% -0,0007% 0,0085% 0,0403% -0,0080% -0,0012% 0,0051% -0,0015% -0,0057% 0,0033% -0,0327% -0,0276% -0,0194% -0,0453% 0,0006% -0,0065% -0,0011% -0,0436% 0,0782% 0,0342% 0,1238% 0,0001% -0,0203% -0,0075% -0,0687% 0,0203% 0,0182% 0,0319% -0,0051% -0,0572% -0,0279% -0,0038% 0,0160% 0,0179% -0,0045% 0,0005% 0,0040% 0,0080% 0,0556% 0,0250% 0,0372% 0,0147% 0,0012% 0,0013% 0,0020% -0,0036% -0,0056% -0,0004% -0,0027% -0,0002% 0,0029% 0,0053% 0,0318%

0,0076% 0,0091% 0,0085% 0,0026% 0,0152% 0,0158% -0,0096% -0,0064% 0,0116% -0,0225% 0,0006% 0,0027% -0,0029% 0,0096% 0,0145% 0,0048% 0,0285% 0,0012% 0,0125% 0,0173% -0,0029% 0,0080% 0,0193% 0,0091% -0,0011% -0,0061% -0,0021% 0,0189% -0,0294% -0,0110% 0,0028% 0,0029% 0,0088% 0,0123% 0,0041%

Una volta ottenuti i rendimenti, si può calcolare la media mensile e annuale, i cui valori sono evidenziati nella Tabella 6. È inoltre possibile ricavare la deviazione standard, che esprime di quanto il rendimento effettivo si discosta da quello atteso.

Tabella 6

S&P mid cap 400

S&P 500 S&P small cap 600 S&P U.S. Treasury Bond 1-3 Year Index S&P U.S. Treasury Bond 10-20 Year Index Baml us corporate master US Real Estate Index Rendimento mensile 0,0087% 0,0093% 0,0106% 0,0006% 0,0024% 0,0030% 0,0049% Rendimento annuale 0,1040% 0,1117% 0,1274% 0,0069% 0,0291% 0,0362% 0,0586% Deviazione standard annuale 0,1128% 0,0969% 0,1333% 0,0069% 0,0717% 0,0453% 0,1303%

Poiché il ragionamento segue una logica di portafoglio, oltre al rischio del singolo indice, ciò che rileva è il legame tra gli indici considerati. Per questa ragione, si ricava la matrice delle covarianze nella Tabella 7. Essa è una matrice simmetrica e a doppia entrata, che rappresenta la variazione di ogni variabile rispetto alle altre, inclusa se stessa. Sulla diagonale principale si trovano le varianze.

Tabella 7

S&P mid cap 400

S&P 500 S&P small cap 600 S&P U.S. Treasury Bond 1-3 Year Index S&P U.S. Treasury Bond 10-20 Year Index Baml us corporate master US Real Estate Index

S&P mid cap 400

0,0123% 0,0093% 0,0134% 0,0002% 0,0011% 0,0087% 0,0003%

S&P 500 0,0093% 0,0090% 0,0097% 0,0002% 0,0016% 0,0004% 0,0017%

S&P small cap 600 0,0134% 0,0097% 0,0171% 0,0002% 0,0006% -0,0003% -0,0011% S&P U.S. Treasury Bond 1-3 Year Index 0,0002% 0,0002% 0,0002% 0,0000% 0,0003% 0,0002% 0,0002%

S&P U.S. Treasury Bond 10-20 Year Index 0,0011% 0,0016% 0,0006% 0,0003% 0,0050% 0,0021% 0,0040% Baml us corporate master 0,0087% 0,0004% -0,0003% 0,0002% 0,0021% 0,0020% 0,0030% US Real Estate Index 0,0003% 0,0017% -0,0011% 0,0002% 0,0040% 0,0030% 0,0164%

In base ai dati a disposizione è possibile calcolare il rendimento atteso e il rischio di un portafoglio di titoli. Si suppone inizialmente che l'investitore scelga di costruire un portafoglio equiponderato, distribuire quindi la propria ricchezza in ugual misura su tutti i titoli, e di investire tutta la ricchezza disponibile nel mercato.

Si può inoltre verificare se a parità di rischio atteso, con una diversa combinazione di titoli in portafoglio, è possibile conseguire un rendimento maggiore. Questo può essere verificato attraverso una massimizzazione vincolata del rendimento atteso, ovvero massimizzare il rendimento a parità di varianza e con la condizione che l'investitore investa tutta la propria ricchezza disponibile. Oppure, da un altro punto di vista, si può minimizzare il rischio per un dato livello di rendimento. Si seguirà questo secondo approccio.

In questo caso in particolare, si suppone inoltre che non siano possibili vendite allo scoperto per cui un ulteriore vincolo andrebbe inserito nel problema di minimizzazione, ossia i pesi devono essere non negativi, ai > 0, per ogni i.

È evidente come assumendo lo stesso rischio si può ottenere un rendimento superiore allocando la ricchezza in maniera differente rispetto ai vari titoli. Un portafoglio si definisce efficiente se massimizza il tasso atteso di rendimento per un dato grado di rischio. Non esiste un solo portafoglio efficiente, ma diversi portafogli efficienti tutti posizionati sulla frontiera., detta appunto frontiera dei portafogli efficienti. In base alla propensione al rischio dell'investitore si sceglierà il portafoglio con miglior combinazione rischio- rendimento. La frontiera dei portafogli efficiente è un iperbole che comincia sempre con il portafoglio di minima varianza e termina con quello di massimo rendimento. Partendo sempre dal portafoglio equiponderato si possono calcolare i pesi dei portafogli posizionati