Probability excedeence curve

Data l'importanza di come gli assicuratori utilizzano la modellazione di catastrofe e la curva della probabilità di superamento per gestire il rischio, è essenziale soffermarsi su come tale curva possa essere creata dalla produzione di perdite.

Ai fini dell'illustrazione, vengono apportate alcune ipotesi semplificative per generare una curva EP. Supponiamo che ci sia una serie di eventi di disastri naturali, che potrebbero danneggiare un portafoglio di strutture. Ogni evento ha una probabilità annuale di verificarsi e una perdita associata. Il numero di eventi per anno non è limitato a uno; numerosi eventi possono verificarsi nell'anno determinato. Un elenco di 15 tali eventi è elencato nella Tabella 3, classificato in ordine decrescente dell'ammontare della perdita. Questi eventi sono stati scelti in modo che l'insieme sia esaustivo (cioè, somma delle probabilità per tutti gli eventi uguali a uno).

Gli eventi elencati sono considerati indipendenti variabili casuali di Bernoulli, ciascuna con una funzione di probabilità definita come:

Se non si verifica un evento, la perdita è pari a zero. La perdita attesa per un determinato evento, in un determinato anno, è semplicemente:

La perdita globale attesa per l'intero insieme di eventi, indicata come perdita media annuale (AAL), è la somma delle perdite attese di ciascuno degli eventi individuali per un determinato anno e viene data da:

Supponendo che durante un determinato anno si verifichi un solo disastro, la probabilità di superamento per un dato livello di perdita può essere determinata calcolando:

La probabilità di superamento risultante è la probabilità annuale che la perdita superi un dato valore. Come si vede nell'equazione precedente, ciò si traduce in una minor probabilità che tutti gli altri eventi inferiori a questo valore non si siano verificati. La curva di probabilità di superamento degli eventi della Tabella 3 è mostrata in Figura 9.

Tabella 3

La curva di probabilità di superamento illustrata nella Figura 9 consente a un assicuratore di determinare la sua perdita massima PML o probabile per un portafoglio di strutture in un determinato periodo di tempo. Il termine PML è una metrica del rischio soggettivo ed è associata ad una determinata probabilità di superamento specificata dall'assicuratore. Ad esempio, supponiamo che un assicuratore specifichi il suo livello di rischio accettabile come probabilità di superamento del 0,4%.

L'assicuratore può utilizzare la curva del PE per determinare quando una grande perdita si verificherà a questo livello di probabilità. Spesso, i limiti PML sono inquadrati in termini di periodo di ritorno. Il periodo di ritorno è semplicemente l'inverso della probabilità annuale di superamento. In questo esempio, un PML da 1 a 250 anni è il limite inferiore della perdita con una probabilità di superamento del 0,4% sulla curva EP. Dalla parte

inferiore della figura 9, si può vedere che il PML è di circa 21 milioni di dollari. Figura 9

La curva di probabilità di superamento può essere utilizzata anche per distribuire le perdite tra le parti interessate. Supponiamo che ci siano tre stakeholder che condividano le perdite di un particolare disastro. Il proprietario conserva la prima parte della perdita, una seconda parte copre la porzione centrale e una terza parte copre la porzione estrema. Questo scenario potrebbe rappresentare un portafoglio di case con i proprietari di abitazioni che dispongono di detrazioni sulle loro polizze assicurative in modo da coprire la prima parte della perdita, un assicuratore copre la parte centrale e un riassicuratore gestisce le perdite al di sopra di una certa somma.

La Figura 10 mostra un semplice esempio. La perdita potenziale per un portafoglio con un valore complessivo di 100 milioni di dollari è divisa tra tre partecipanti: P1, P2 e P3. I primi 5 milioni di dollari di perdita (L1) sarebbero coperti da P1 (proprietari di abitazione), perdite tra $ 5M e $ 30M (L3) da P2 (assicuratore) e perdite superiori a $ 30M (L3) da P3 (riassicuratore). Se gli eventi nei confronti delle tre parti erano quelli indicati nella tabella 3, allora il riassicuratore non avrebbe mai sperimentato pagamenti di sinistri perché la perdita massima sarebbe di $ 25 milioni.

Combinando le distribuzioni di perdita per tutti gli eventi, è possibile calcolare la probabilità di superare un livello di perdita specifico. Questo diventa quindi la base per sviluppare curve EP per ciascuna delle parti con risorse a rischio.

Figura 10

La Figura 11 mostra un insieme di eventi che causano perdite con un elevato livello di incertezza nelle distribuzioni di perdite in cui il coefficiente di variazione (CV) sulle perdite di evento è 1,0. Per definizione, il coefficiente di variazione è il rapporto tra la deviazione standard e la media. L'effetto di questa alta incertezza è più chiara su L3. Se non ci fosse alcuna variabilità nelle perdite, L3 non sarebbe influenzato perché nessun evento è in grado di raggiungere una perdita di 30 milioni di dollari, come precedentemente indicato. Sulla base dell'ipotesi (CV = 1.0), c'è una probabilità annuale dello 0,28% che un evento causerebbe una perdita a L3. Questo esempio illustra come la modellazione di catastrofe fornisce un mezzo per quantificare i rischi e allocarli tra le parti interessate.

Utilizzando queste metriche, è possibile prendere decisioni razionali e informate su come determinare i prezzi e la quantità di copertura necessaria in base a un livello di rischio accettabile. Tuttavia, esistono incertezze inerenti al processo di modellazione delle catastrofi che possono avere un grande impatto sulla distribuzione del rischio tra le parti interessate. La quantificazione e la disaggregazione dell'incertezza forniscono delle opportunità agli stakeholder per ridurre il rischio. 12

12 Grossi P., H. Kunreuther, Don Windeler, An Introduction to Catastrophe Models and Insurance, 2005, pp. 26-39