Un primo set di simulazioni ha coinvolto corpi generati automaticamente con rpg, con una scelta di parametri
N 1000 ρp 3000 kg{m
3 R
p 50 m .
e impostando un valore nullo del momento angolare. Come parametri di restituzione si sono scelti
ǫnǫt0, 8 .
Il valore di ǫn`e tipico in letteratura, e dalla letteratura appare un parametro non troppo
significativo, a meno di non scegliere valori eccessivamente prossimi a 1. Il valore di ǫt
`e stato impostato, in mancanza di valori di riferimento a priori, allo stesso valore. Tali corpi sono stati quindi fatti evolvere con un passo di integrazione di1
τ 810 6
anni
2π 40 s
che `e1% del tcl, per un tempo di 500 passi.
Il valore di θc `e stato impostato a 0,5 rad, e quello di dCL `e stato infine impostato
a 104
, valori tipico dalla letteratura.
risultati
Il risultato mostra due ordini di comportamenti differenti. Alcuni corpi, quelli con a2 ¤a3
2
appaiono sostanzialmente immobili: anche nei casi di estremo allungamento α2 α3 0, 1, o schiacchiamento α2 1; α3 0, 2, che
corrispondono rispettivamente ad angoli di riposo di 37
e 69
(!), non vi sono apprezzabili movimenti.
Questo risultato `e in linea con [D.C. Richardson e al., 2005], dove corpi generati in modo simile (limitati al caso α2 α3) appaiono perfettamente stabili per basso momento
angolare.
I corpi con a2 ¡a3, invece, generati in maniera del tutto analoga ai precedenti con
la sola variazione di aver invertito l’orientazione degli assi a2 e a3, mostrano un com-
portamento del tutto differente: essi si muovono nella direzione della forma idrostatica di equilibrio (nel caso di momento angolare 0, la sfera con α2 α3 1) in due fasi
distinte: nella prima, i due assi minori a2 e a3 tendono a convergere verso un valore
comune senza grosse variazioni dell’asse maggiore a1; nella seconda, questi tendono a
crescere a scapito dell’asse maggiore fino a raggiungere una configurazione stabile nei pressi della forma sferica.
Una tale sistematica discrepanza di comportamento per due casi apparentemente fisicamente equivalenti `e da ricercare nella struttura cristallina dei corpi iniziali: rpa
1
l’unit`a di misura peculiare `e dovuta al fatto che, essendo pkdgrav stato scritto per simulazioni nell’ambito del Sistema Solare, ed utilizza un sistema di unit`a per il quale GM
a
C
1, per il quale il periodo di rivoluzione terrestre vale 2π
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 rapporti assiali tempo (giorni) a2/a1 a3/a1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 rapporti assiali tempo (giorni) a2/a1 a3/a1
Figura 7.1: Evoluzione di corpi cristallini di analoga formap10, 80, 2q, con gli assi orientati lungo gli assi del riferimento; la giacitura cristallina sempre parallela al pianopx; yq. In alto, pax; ay; azq 9 p1; 0, 8; 0, 2q: nessuna evoluzione. In basso, pax; ay; azq 9 p1; 0, 2; 0, 8q: l’asse medio si contrae e infine rompe la struttura cristallina.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a3/a1 a2/a1
Figura 7.2: evoluzione nel piano pa2{a1; a3{a1qdel corpo cristallino della figura 7.1 in basso sovrapposto all’andamento del gradiente di ˜E. Si notano le due fasi descritte nel testo. I forti vincoli interni non permettono all’aggregato di seguire il gradiente.
sistema infatti le giaciture dei piani preferenziali del cristallo parallelamente al piano
px; yq, sovrapponendo da una parte e dall’altra del piano equatoriale i piani successivi.
Gli impacchettamenti di questo tipo hanno il difetto di possedere una elevata ani- sotropia di comportamento: la struttura cristallina fa s`ı che il corpo sia molto resisten- te alle forze agenti parallelamente ad uno dei piani del cristallo che, rappresentando l’impacchettamento massimo per una serie di cerchi nel piano, non `e ulteriormente comprimibile; ci`o non vale per`o per gli altri piani.
Come si `e visto, questa anisotropia `e molto forte, potendo arrivare a reggere spinte compressive caratteristiche di un angolo φ di70
se la giacitura principale del cristallo `e orientata opportunamente; se apparentemente il modello pu`o rendere conto della forma supposta degli asteroidi oggi noti ([D.C. Richardson e al., 2005]), rimane il fatto che ci`o avviene grazie all’utilizzo fin dall’inizio di un reticolo cristallino con giacitura equatoriale, artificialmente resistente alla compressione maggiore, che `e quella che agisce lungo l’asse maggiore a1: i test con un diverso orientamento del cistallo mostrano che la
resistenza lungo gli altri piani `e sensibilmente inferiore, ed incapace di reggere le stesse forme.
Un impacchettamento di tipo cristallino presenta pregi e difetti.
Da una parte, gli asteroidi reali non ci si aspetta siano composti da oggetti sferici (e di grandezza omogenea!), ma piuttosto di componenti delle forme pi`u varie, i quali, come accade per gli asteroidi di piccole dimensioni, non sono tenuti assieme per gravit`a ma sostenuti dalle forze di stato solido, e anzi ci si aspetta che i due gruppi siano almeno
in parte derivati da una stessa popolazione. Questo ha come intuibile effetto quello di limitare la mobilit`a interna dei componenti rispetto al caso delle sfere, e un reticolo cristallino opportunamente orientato pu`o aiutare a sopperire a questa mancanza. D’altra parte, non appare plausibile supporre una tale forte anisotropia per i cumuli di macerie reali, che ci si attende mostrino una disposizione piuttosto casuale dei fram- menti. Ci`o conferisce al modello cristallino limiti di validit`a difficilmente individuabili. Rimane inoltre il fatto che un impacchettamento “cristallino” delle sfere non `e di ori- gine “naturale”, ma possibile solamente con espressa costruzione artificiale, fatto che in ogni caso non `e chiaro quale collegamento abbia con i casi reali di componenti di forma irregolare.
Un accenno rimane da fare nel caso di impacchetto geometrico semi-cristallino, ot- tenuto con una alternanza casuale di strati (es. abcbac, cfr. § 3.4.2): poich´e il reticolo cubico e quello esagonale compatto presentano piani obliqui a differenti angoli rispetto a quello comune (cio`e la giacitura degli strati usati per la costruzione), una struttura semi-cristallina ci si aspetta che sia resistente solo lungo il piano preferenziale utilizzato per la costruzione, ma per il resto abbia comportamenti simili ai casi pi`u regolari.
Nel caso di corpi cristallini non all’equilibrio, la spinta principale verso la forma sfe- rica `e operata lungo la direzione dell’asse maggiore, che tende a comprimersi. Tuttavia, nel caso in cui l’asse maggiore si presenti (come in tutti i casi qui considerati) lungo la giacitura del piano cristallino, questo movimento `e fortemente ostacolato.
Nel caso dei corpi del primo tipo, in cui anche l’asse medio giace sul piano cristal- lino, sebbene ci troviamo di fronte a spinte non indifferenti, la configurazione di fatto impedisce qualunque tipo di deformazione.
Nei corpi del secondo tipo, d’altra parte, l’asse medio `e orientato perpendicolarmente al piano cristallino: in tal caso, almeno esso pu`o liberamente contrarsi in favore dell’asse minore, generando il primo tratto evolutivo di forte spinta verso la diagonale dello spazio delle configurazioni α2 α3. A questo punto, il corpo ha subito uno shock sufficiente
da indebolire la struttura cristallina originaria, cosa che pu`o quindi permettere una contrazione dell’asse maggiore in favore degli altri due spingendo il corpo verso la forma sferica e generando il secondo tratto di evoluzione lungo la diagonale in fig. 7.2.
Per completezza, si `e scelto di generare un corpo con l’asse maggiore perpendicolare al piano cristallino: la relativa evoluzione `e mostrata in fig. 7.3.
L’analisi delle forme del primo tipo, che appaiono stabili, mostra una resistenza alla deformazione notevolmente superiore a quanto la struttura tetraedrica lascerebbe supporre quando le forze compressive in gioco sono orientate lungo la giacitura del cristallo; i casi di tipo due mostrano invece come questa struttura sia scarsamente resistente nella direzione ortogonale.
La scoperta di questo comportamento peculiare degli aggregati cristallini ci ha por- tati ad abbandonare questo modello in favore di un aggregato pi`u “naturale” da un punto di vista evolutivo.