pkdgrav `e stato creato assieme ad una serie di utility apposite per la gestione degli aggregati e pi`u in generale per una dispersione generica di oggetti, facendo tutti affi- damento ad una estesa biblioteca comune di algoritmi di base. Essi, opportunamente modificati dove occorre per adattarli alla situazione specifica, sono stati estensivamente utilizzati per la creazione dei parametri iniziali e l’interpretazione dei dati utilizzate nel lavoro di tesi.
5.6.1 rpa
rubble pile analyzer`e un programma che si occupa di fornire alcuni valori statistici riguardanti una data distribuzione di particelle.
Il primo problema da affrontare `e innanzitutto l’individuazione stessa degli aggre- gati: in una generica dispersione di particelle, occorre isolare tra di loro gli aggregati, tentando di comprendere sulla base dei dati disponibili, principalmente le posizioni delle particelle, quali di esse facciano effettivamente parte di un singolo aggregato.
rpa utilizza a questo proposito un test ricorsivo per determinare ed isolare i singoli aggregati tendando di accumularli gli uni sugli altri se si trovano a distanza sufficiente- mente piccola, basandosi su un parametro selezionabile linking scale¡1; esso inizia col
considerare ogni particella come un aggregato a s´e stante, e poi si basa sul seguente algoritmo:
1. analizza un aggregato alla volta e cerca gli aggregati pi`u vicini con un metodo analogo a quanto fa pkdgrav per rilevare le collisioni (v. sez. 5.4); se su tutti
i vicini trovati sono stati gi`a eseguiti i test, si passa all’analisi dell’aggregato successivo
2. per ognuno degli aggregati vicini determina se le sfere centrate nei centri di massa dei due aggregati e aventi come raggi i rispettivi semiassi maggiori moltiplicati per la linking scale si sovrappongono almeno parzialmente (per la determinazione degli assi, v. oltre): in caso negativo, la proposta di fusione in un singolo corpo `e rigettata, e si procede all’analisi degli altri vicini
3. in caso positivo, determina innanzitutto se sono o meno entrambi particelle singole, nel qual caso il test si considera riuscito, e le due particelle vencono fuse in un unico aggragato, e si prosegue con le analisi successive
4. in caso contrario, controlla che almeno uno dei seguenti fatti sia verificato: • le due sfere centrate nei centri di massa e aventi come raggi i semiassi minori
moltiplicati per la linking scale si sovrappongono anch’esse
• il centro di uno dei due si trova all’interno dell’ellissoide stimato per l’altro, riscalato mediante la linking scale
nel qual caso avviene la fusione, altrimenti no; in entrambi i casi si procede quindi con l’analisi di altre coppie di aggregati.
5. finito un ciclo di analisi, se si `e rilevata almeno una fusione, si procede a riana- lizzare da capo ogni aggregato risultante e a procedere a nuove eventuali fusioni, altrimenti l’algoritmo termina.
Isolati gli aggregati, il programma cerca di fornire una stima delle loro dimensioni, con la supposizione che siano approssimativamente ellissoidali. Esso si preoccupa in- nanzitutto di determinare il centro di massa, e quindi tenta di determinare la direzione degli assi mediante il calcolo del tensore d’inerzia
Iij n ¸ n pδijx n kxnkxixjq , (5.13)
di cui cerca gli autovettori: questi forniscono le direzioni degli assi e cio`e l’orientazione spaziale dell’ellissoide.
Per la determinazione delle lunghezze effettive, esso considera a partire dal centro di massa la distanza delle particelle pi`u lontane nelle tre direzioni considerate:
ai max n
|r n
ˆı| (5.14)
dove le r sono le distanze dal centro di massa e ˆı `e l’orientazione dell’i-esimo asse. A questo punto, esso procede riscalando le tre dimensioni trovate di un fattorep1 10
3 q
quanto necessario per includere nell’ellissoide tutte le particelle. La velocit`a angolare Ω `e determinata mediante la relazione
dove il momento angolare rispetto al centro di massa L `e facilmente ricavabile dalla posizione e dalla velocit`a di tutte le particelle.
rpa si occupa del calcolo di alcune altre quantit`a che non sono state utilizzate nel lavoro di tesi, come la stima di quanto materiale non accumulatosi sull’aggregato princi- pale sia in orbita stabile attorno a quest’ultimo, destinato a cadere sul corpo o destinato a disperdersi all’infinito: si tratta ovviamente di stime basate sulle dimensioni istanta- nee e sui parametri orbitali osculatori, data in generale la difficolt`a di determinazione anche approssimata della soluzione del problema analitico degli N corpi, che va al di l`a degli scopi del programma e che `e d’altra parte la ragione principale dell’utilizzo di tecniche numeriche.
5.6.2 rpg
rubble pile generator `e un programma che si occupa della creazione di aggregati gravitazionali di forma ellissoidale formati da sfere omogenee.
Selezionato il numero di sfere desiderato, le dimensioni relative degli assi, le densit`a e le dimensioni delle particelle, la velocit`a angolare iniziale (lungo l’asse z), ed il valore massimo di una dispersione iniziale omogenea casuale di velocit`a, esso genera un corpo quanto pi`u possibile vicino ai valori scelti.
Esso costruisce il corpo mediante una sovrapposizione di strati compatti come de- scritto nel § 3.4.2 a partire dal piano equatoriale.
A causa della natura discreta dell’aggregato, i valori ottenuti delle dimensioni del corpo finale e delle dimensioni e del numero di particelle utilizzate rispettano solo ap- prossimativamente quelli forniti in ingresso, alla ricerca di un compromesso che tenga conto delle varie esigenze.
5.6.3 rpx
rubble pile transformer`e un programma per la semplice modifica dello stato globale di un aggregato, che permette di modificare la massa totale, la scala delle dimensioni, la densit`a media, la posizione e la velocit`a del centro di massa, l’orientazione assiale e la velocit`a angolare dell’insieme.
Per modificare la velocit`a angolare, esso aggiunge al sistema una opportuna rotazione di corpo rigido, preoccupandosi opportunamente di riorientare il corpo prima e dopo l’operazione facendo uso dell’orientazione delle direzioni degli assi d’inerzia.
Capitolo 6
Le simulazioni: la creazione delle
condizioni iniziali e l’analisi dei
rubble pile
Il tema principale sviluppato nella tesi `e quello dell’analisi del funzionamento delle simulazioni a N corpi per lo studio degli asteroidi visti come aggregati gravitazionali a coesione trascurabile, in particolare per quanto concerne le forme di equilibrio sotto rotazione.
In letteratura ([T.R. Quinn e al., 2000], [J.F. Consigli e al., 2006], [P. Tanga e al., 2008 II]) sono presenti un certo numero di risultati riguardanti l’analisi delle evoluzioni di aggregati di oggetti sferici: in questa sede ci si `e preoccupati di un approccio sistematico al problema, con lo scopo di comprendere la natura complessiva del modello utilizzato ed i suoi limiti nel produrre configurazioni rispondenti ai dati osservativi.
Il modello a particelle sferiche usato da pkdgrav presenta alcuni limiti che sono risultati evidenti nelle simulazioni effettuate e che sono presentati in questo capitolo e nel successivo. Qui vengono illustrati vari problemi intrinseci nella creazione e dell’analisi dei dati complessivi di un aggregato di particelle, che le procedure illustrate nella sez. 5.6 tentano in parte di risolvere, ma che hanno bisogno in alcuni casi di qualche rifinitura.
6.1
Le configurazioni iniziali
Poich´e per un corpo non in equilibrio la massa tender`a a riorganizzarsi in una nuova forma mantenendo sempre costante il momento angolare, si `e scelto di procedere a varie serie di simulazioni, dove in ciascuna serie si sono considerati vari corpi iniziali di numero, massa e dimensioni delle particelle omogenei che campionassero lo spazio delle configurazionipα2; α3qr0; 1sr0; 1simponendo a tutti un momento angolare costante
predefinito.
I valori scelti sono quelli di
0, 1 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0
per ciascuno dei due rapporti assiali a2{a1 e a3{a1, per un totale di 36 configurazio-
Figura 6.1: esempio di aggregato con impacchettamento ordinato
gli assi x, y, z, e sulle quali viene imposta una rotazione attorno all’asse z di grandez- za opportuna in modo tale che tutte le configurazioni possiedano lo stesso momento angolare.
6.1.1 creazione dei corpi con impacchettamento casuale
rpg si preoccupa della creazione di condizioni iniziali cristallini in maniera abbastanza efficiente; mentre per la generazione di corpi con impacchettamento disordinato si `e invece dovuto ricorrere a tecniche pi`u empiriche.
L’idea `e quella di generare una dispersione di N " 1000 particelle con posizioni casuali e velocit`a nulle a creare una nube diffusa, e di lasciare collassare il sistema sotto l’effetto della propria gravit`a.
Una volta che al centro la massa si `e accumulata, si pu`o sperare di poter ricavare le forme inziali volute ritagliandole opportunamente dal corpo pi`u grosso.
Per poter ritagliare il corpo con N 1000 particelle da una sfera pi`u grossa, questa deve possedere un raggio sufficiente ad accogliere il semiasse maggiore della prima; il caso pi`u sfavorevole `e ovviamente quello del corpo (α2 α3 0, 1): per esso si dovrebbe far
ricorso, supponendo che la densit`a delle particelle non dipenda dalle dimensioni (come `
e in effetti), ad una sfera formata da 105 particelle, decisamente troppo gravosa da accumulare.
Vista l’impossibilit`a di procedere in maniera semplice, si `e scelto di creare una dispersione con N 5000 particelle, che richiede un tempo ragionevole di integrazione, e di procedere poi alla sua deformazione in forme pi`u schiacciate mediante l’azione di un forte momento angolare in modo da poter allungare la circonferenza equatoriale ad accogliere la lunghezza e larghezza delle forme pi`u allungate e schiacciate.
Ci`o nonostante, si `e dovuto raggiungere un compromesso con i limiti di stabilit`a del corpo massiccio, in quanto una forma troppo allungata non pu`o essere sostenuta, e per i corpi pi`u estremi (α2 1; α3 0, 1) e (α2 0, 1; α3 0, 1) ci si `e dovuti accontentare di rispettivamente 800 e 500 particelle che, secondo la letteratura pregressa, non paiono discostarsi in maniera significativa da corpi formati da pi`u particelle.
Figura 6.2: esempio di aggregato con impacchettamento casuale
le omogenea, si `e usato un algoritmo che scegliesse, tra le 5000 complessive, le 1000 particelle caratterizzate dal valore minore del modulo della quantit`a
˜ r pr1; r2 α2 ; r3 α3q (6.1) che rappresenta la distanza dal centro di massa in uno spazio deformato in modo che la forma α voluta sia caratterizzata da una superficie a |˜r| costante.
Poich´e siamo in presenza di un caso granulare irregolare, non sempre l’algoritmo pu`o fornire corpi delle dimensioni cercate, per ottenere i quali si sono dovuti opportunamente variare leggermente i parametri.
In questo modo si sono ricavate le 21 configurazioni iniziali caratterizzate da α2¥ α3;
le restanti si sono ottenute mediante semplice rotazione attorno all’asse x. Le 36 configurazioni ottenute sono presentate in fig. 6.3