Il comportamento delle forze interne ad un materiale ed i suoi effetti su piccola scala possono essere modellizzati in vari modi. Un approccio globale prevede l’utilizzo del tensore delgli sforzi σij definito come
σijpxq
dFipxq
dAj
(3.43) dove F `e la forza di contatto agente sulla superficie orientata A nel punto interno x (negativo in caso di forze compressive); esso descrive lo stato delle forze interne in termini di forze normali (σxx, σyy, σzz) e tangenziali (σxy, σxz, σyz: il tensore `e simmetrico)
agenti lungo le varie direzioni.
A seconda del modello utilizzato, σ deve sottostare ad alcune restrizioni perch´e il corpo possa stare all’equilibrio senza che si verifichino deformazioni permanenti del materiale o rotture.
Per ricavare σ, nel caso di un ellissoide triassiale, si assume ([K.A. Holsapple, 2001]), per la simmetria del corpo, una forma del tipo:
σiiki0 kijx 2
j σij κijxixj (3.44)
dipendente da 15 parametri, i quali vanno fissati mediante altrettante relazioni. Tre sono date dall’equazione generale dell’equilibrio con le forze di massa:
Bσij Bxj ρ BV Bxi (3.45) dove V `e il potenziale a cui `e sottoposta la materia: nel caso di corpi in rotazione attorno all’asse z, sar`a pari alla somma del potenziale gravitazionale V e di quello centrifugo
C ω 2 2 px 2 y2 q . (3.46)
In secondo luogo, occorre far s`ı che il vettore di tensione sulla superficie del corpo sia ovunque nullo (superficie libera). Esso `e dato da:
tˆnσ (3.47)
dove ˆn `e la normale alla superficie nel punto x, proporzionale a px{a 2, y {b 2, z {c 2 q.
Sostituendo l’equazione della superficie x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 (3.48)
e imponendo che sia nullo per ogni punto, determina per ognuna delle 3 equazioni (3.47) 3 combinazioni fisse dei coefficienti della (3.44) che devono annullarsi, fissando 9 ulteriori parametri.
Per determinare completamente σ `e infine necessario imporre un modello specifico: per un fluido perfetto si avr`a ad esempio
σxxσyyσzz σxy σxz σyz0 .
Un’altra possibilit`a consiste nell’utilizzare la legge di Hook per legare σ al tensore delle deformazioni ǫ, ma ci`o richiede una conoscenza a priori di una forma supposta “originaria” la quale `e stata trascinata nella forma attuale a causa delle deformazioni indotte elasticamente dalle forze di pressione: questo modello `e di difficile utilizzo nel caso degli asteroidi, in cui la conoscenza di tale forma a riposo `e possibile solo conoscendo tutta la storia pregressa del corpo e delle eventuali rotture subite, cosa che richiede inoltre una formulazione pi`u ampia del problema originario, che deve prevedere oltre ad una massa variabile anche una precisa analisi dei flussi indotti dal superamento del limite di rottura dei legami elastici (cd. snervamento). Inoltre, un tale approccio `e molto dipendente da una supposta continuit`a dell’interno del corpo, cosa non necessariamente adatta per la modellizzazione di corpi ad elevata porosit`a, come sembrano essere un certo numero di asteroidi medio-grandi.
Una possibilit`a interessante per quanto riguarda i cumuli di macerie `e offerta dall’u- tilizzo del modello di Mohr-Coulomb per le tensioni massime: un certo insieme ampio di materiali (anche ad elevata granularit`a, come un particolare tipo di sabbia o di ter- riccio) pu`o essere schematizzato come possedente una resistenza (strenght) alla frattura dovuta alle forze tangenziali che `e una funzione lineare della forza compressiva normale agente sulla stessa superficie: quando una forza supera suesta soglia, avviene una de- formazione irreversibile del corpo (deformazione plastica, frattura, risistemazione delle posizioni reciproche dei grani). Secondo questo modello, per un generico materiale vale la legge:
pσ1 σ3qsenφ2Y cos φ¤pσ3σ1q (3.49)
dove σ1 e σ3 sono il massimo (minormente compressivo) e il minimo (maggiormente
compressivo) degli autovalori di σ, Y la tensione di coesione, cio`e la forza tangenziale di snervamento in assenza di compressione (attrito statico), dipendente dal materiale, ed un coefficiente φ, l’angolo di portata massima (angolo di riposo), anch’esso dipendente dal materiale, che esprime la proporzionalit`a della dipendenza tra forza compressiva e forza tangenziale.
I cumuli di macerie sono solitamente assunti essere privi di coesione interna: ponendo Y 0, risulta: tg φ¥ 1σ1{σ3 2 a σ1{σ3 . (3.50)
Quest’ultima relazione, se applicata ai sei punti di intersezione tra gli assi e la superficie dell’ellissoide, permette di determinare i tre ultimi parametri delle (3.44): in ciascuno di questi punti, scelti come assi di riferimento in cui scrivere σ i tre assi del corpo, le tre tensioni tangenziali sono nulle per simmetria: il tensore `e dunque in forma diagonale; d’altra parte, la componente normale alla superficie `e nulla1
e ci`o comporta che, non essendo possibili tensioni positive (trazioni), esso sia necessariamente il massimoσ1;
per la (3.49) o la (3.50) `e nullo anche σ3 e di conseguenza tutti e tre. 1
3.3.1 la fascia di stabilit`a
Con questi vincoli, il tensore risultante `e: σiiρcia 2 iS (3.51) dove S 1 ¸ i xi ai 2
e ci sono i coefficienti del potenziale
VpxqV0 ¸
i
cix2i
che nel caso di corpi soggetti solo alla propria gravit`a e alla forza centrifuga valgono (cfr. (3.24), (3.28) e (3.46) c1 ρπGA1 ω2 2 c2 ρπGA2 ω2 2 c3 ρπGA3 . (3.52)
Il tensore risulta dunque sempre diagonale se scritto nel riferimento con gli assi allineati lungo quelli del corpo, e i rapporti tra le componenti sono indipendenti dalla posizione: ci`o significa che, in caso di superamento del limite (3.50) ci si aspetta un generale cedimento su tutto il corpo piuttosto che una frattura locale.
Grazie alla (3.50) `e poi possibile confrontare una generica forma α rotante a velocit`a angolare fissata con l’angolo di riposo necessario a sostenerla: il risultato `e una “zona di stabilit`a” a φ φ˜ fissato attorno alle sequenze classiche di equilibrio idrostatico di
Maclaurin e Jacobi, dove un corpo formato da materiale con angolo di portata¥
˜ φpu`o esistere all’equilibrio.
Un confronto con i dati disponibili su dimensioni e periodo di rotazione degli asteroidi (v. fig. 3.6) mostra che la grande maggioranza si ritrova entro una regione caratterizzata da un angolo φ dipendente dalla classe spettrale.