Corpi rigidi

4.1. Sistemi rigidi 4.1.1. Corpo rigido non degenere.

Definizione 4.1. Una terna (C, ρ,S) si dice corpo rigido (non degenere) se:

1) S = (XO,M) `e un sistema di riferimento mobile nel senso della Defini-zione 2.10, con M = (uh).

C ⊂ R³ `e un sottoinsieme chiuso e limitato, detto immagine o supporto del corpo rigido, o, per brevit`a, corpo rigido. I moti

X(t; λ) = XO(t) + X3 h=1

λhu_h(t) , λ∈ C , (4.1) si dicono moti dei punti del corpo rigido.

2) La densit`a ρ `e una funzione integrabile e positiva ρ : C → (0, ∞) , con integrale strettamente positivo.

3) C contiene tre punti non allineati.

Il sistema di riferimento mobile S si dice sistema di riferimento solidale con il corpo rigido, e la sua velocit`a angolare si dice anche velocit`a angolare del corpo rigido.

Infine si definisce spazio delle coordinate solidali con il corpo rigido Λ^∗ = R³,

e le λ∈ R³ si dicono appunto coordinate solidali.  L’integrabilit`a di ρ va intesa in senso opportuno, vedi l’Osservazione 4.10.

4.1.2. Asta rigida, o corpo rigido degenere rettilineo. La parte 3) della Definizione4.1non `e soddisfatta nei casi, peraltro di notevole interesse, dell’asta rigida e del singolo punto materiale.

Definizione 4.2. Una terna (C, ρ,S0) si dice corpo rigido degenere rettili-neo, o asta rigida, se:

1) S0 = (XO, u) `e una coppia formata da un moto XO e da un versore mobile u.

C ⊂ R `e un sottoinsieme chiuso e limitato, detto immagine o supporto dell’asta rigida, o, per brevit`a, asta rigida. I moti

X(t; λ) = XO(t) + λu(t) , λ∈ C , (4.2) si dicono moti dei punti dell’asta rigida.

2) La densit`a ρ `e una funzione integrabile e positiva ρ : C → (0, ∞) ,

35

con integrale strettamente positivo.

3) C contiene almeno due punti distinti.

Si dice velocit`a angolare dell’asta il vettore ˜ω perpendicolare a u tale che du

dt = ˜ω∧ u .

Infine si definisce spazio delle coordinate solidali con il corpo rigido Λ^∗= R ,

e le λ∈ R si dicono appunto coordinate solidali.  Osservazione 4.3. Si noti che, assegnata un’asta rigida, si possono trovare infiniti sistemi di riferimento mobili tali che u sia per ciascuno un vettore solidale, e che ciascuno di tali sistemi abbia una differente velocit`a angolare.

Questi sistemi di riferimento mobile si dicono talvolta solidali con l’asta; si noti che, in questo senso, la velocit`a angolare di un sistema solidale con il rigido non `e definita in modo univoco, a differenza del caso del rigido non degenere.

Lo scopo dell’introduzione di ˜ω `e quello di sopprimere la componente di rotazione lungo l’asta, che non ha senso nel caso di un corpo rigido rettilineo.

Questa ‘velocit`a angolare minimale’ `e invece definita in modo univoco (vedi il Lemma4.4).

Comunque nel seguito riprenderemo a indicare con la lettera ω la velocit`a

angolare dell’asta. 

Lemma 4.4. Assegnato un versore u∈ C¹(I), esiste un’unica funzione ˜ω∈ C (I) tale che

˜

ω(t)· u(t) = 0 , t∈ I , (4.3)

e

du

dt(t) = ˜ω(t)∧ u(t) , t∈ I . (4.4) Dimostrazione. Se ˜ω come nell’enunciato esiste, deve essere, per il Lem-ma A.18,

˜

ω= u∧ ( ˜ω∧ u) = u ∧du

dt , (4.5)

che dimostra l’unicit`a di ˜ω.

Ancora dal Lemma A.18, e dal fatto che u·du

dt = 0

segue che la ˜ω definita nella (4.5) soddisfa i requisiti dell’enunciato.  Esempio 4.5. Un’asta rigida AB di lunghezza L `e vincolata ad avere l’e-stremo A nell’origine O del sistema di riferimento fisso; l’el’e-stremo B descrive con legge oraria s(t) la curva

ψ(s) = X3 i=1

ψi(s)ei, s∈ (α, β) ,

ove s `e l’ascissa curvilinea. Troviamo la velocit`a angolare ω dell’asta.

4.1. SISTEMI RIGIDI 37

In questo caso X_O(t) = 0 per ogni t, C = [0, L], e il versore u `e dato da u(t) = 1

Lψ(s(t)) , ˙u(t) = ˙s(t)

L ψ^′(s(t)) . Dunque, secondo la (4.5),

ω(t) = ˙s(t)

L² ψ(s(t))∧ ψ^′(s(t)) . Nel caso particolare in cui

ψ(s) = R cos s

Re₁+ R sin s

Re₂+ he₃, ove h∈ [0, L) `e fissato, e R =√

L²− h², si ha per esempio ω(t) = ˙s(t)

L²

h− h cos s(t)

R e₁− h sins(t)

R e₂+ Re₃i .

 Definizione 4.6. Nei due casi del corpo rigido non degenere, e dell’asta rigida, si definiscono moti solidali con il corpo rigido i moti della forma

(4.1), o rispettivamente (4.2), con λ∈ Λ^∗. 

Osservazione 4.7. La velocit`a v e l’accelerazione a di ciascuno dei moti solidali con il corpo rigido si ottengono come derivate del moto, come `e ovvio:

v(t; λ) = ∂X

∂t (t; λ) , a(t; λ) = ∂²X

∂t² (t; λ) ,

per ciascun λ fissato. 

4.1.3. Punto materiale, o corpo rigido degenere puntiforme.

Definizione 4.8. Una terna (X_O, C, ρ) si dice corpo rigido degenere pun-tiforme, o punto materiale, se:

1) XO `e un moto, detto moto del punto materiale.

C = {0} ⊂ R `e detto immagine o supporto del punto materiale, o, per brevit`a, punto materiale.

2) La densit`a ρ `e una funzione integrabile e positiva ρ : C → (0, ∞) , ossia una costante positiva.

Infine si pone per convenzione uguale al vettore nullo ω = 0 la velocit`a angolare del punto e si definisce

Λ^∗={0} .

 Osservazione 4.9. La definizione data sopra di punto materiale pu`o sem-brare (e in effetti `e) artificiosa, ma `e utile per introdurre un linguaggio che permette di enunciare risultati relativi a tutti e tre i casi di corpi rigidi introdotti, quello di corpo rigido non degenere, e i due casi degeneri. Nel seguito, se non specificato altrimenti, il termine corpo rigido, e la notazione abbreviata (C, ρ) si riferir`a a uno dei tre casi precedenti. 

4.1.4. Parametrizzazione dei corpi rigidi. Useremo spesso una para-metrizzazione del corpo rigido, nella forma

C = Λ(D) ={λ(s) | s ∈ D} ,

ove D `e un insieme di parametri che conserva traccia della dimensione del sistema rigido; nel seguito considereremo solo i casi seguenti:

D.1 D un insieme finito;

D.2 D un intervallo chiuso di R;

D.3 D un dominio compatto regolare di R²; D.4 D un dominio compatto regolare di R³.

La funzione s 7→ λ si assume soddisfare le usuali condizioni di regolarit`a, e in particolare la biunivocit`a.

Si noti che il caso dell’asta rigida corrisponde a 4.D.1 o a 4.D.2 (ma non viceversa: questi due casi possono corrispondere a corpi rigidi non degeneri).

Osservazione 4.10. L’integrabilit`a di ρ va intesa nel senso opportuno, associato alla dimensione di D.

Per esempio, nel caso 4.D.2 la ρ deve essere integrabile nel senso degli in-tegrali di curva, nel caso 4.D.3 nel senso degli integrali di superficie, e nel caso 4.D.4 nel senso degli integrali di volume.

Infine, nel caso4.D.1l’integrale si riduce a una somma finita. Uniformeremo comunque sempre la simbologia come in

Z

Λ(D)

ρ(λ) dµ(λ) , (4.6)

per indicare tutti questi casi. 

Osservazione 4.11. La misura di integrazione sul rigido dµ(λ) ,

pu`o essere estesa anche fuori di Λ(D), su tutto lo spazio delle coordinate solidali Λ^∗, a valori nulli. Nel seguito stipuleremo sempre questa convenzio-ne, salvo diverso avviso. In questo modo integrali come (per esempio) (4.6), (4.7) o (4.16) possono essere calcolati come estesi al dominio di integrazione costituito da

• Λ^∗ = R³ nel caso del corpo rigido non degenere;

• Λ^∗ = R nel caso dell’asta rigida;

• Λ^∗ = 0 nel caso del punto (in questo caso l’integrale si riduce a un unico addendo).

Si noti anche che, per esempio nel primo caso, il corpo rigido pu`o essere costituito da un numero finito (almeno tre) di punti isolati, e l’integrale pu`o quindi ridursi a una somma finita, o essere costituito da una curva, e l’integrale pu`o quindi ridursi a un integrale curvilineo.  4.1.5. Esempi. In tutti gli esempi seguenti prendiamo come intervallo temporale I = (0,∞), e denotiamo con α, β, R e L costanti positive.

4.D.1) Caso D = insieme finito: tre punti a distanze fisse.

Sia D ={1, 2, 3}. Il sistema di riferimento solidale S = (O, M) sia dato da XO(t) = R(cos αt, sin αt, 0) , M = (uⁱ) ,

4.1. SISTEMI RIGIDI 39

con

u₁(t) = cos βte1+ sin βte2, u₂(t) =− sin βte1+ cos βte₂, u₃(t) = e₃.

Sia poi

C ={λ(1), λ(2), λ(3)} , ove

λ(1) = (0, 0, 0) , λ(2) = (L, 0, L) , λ(3) = (L, 0, 0) , cosicch´e

X(t; λ(1)) = R(cos αt, sin αt, 0) ,

X(t; λ(2)) = X_O(t) + L(cos βt, sin βt, 1) , X(t; λ(3)) = XO(t) + L(cos βt, sin βt, 0) . 4.D.2) Caso D⊂ R: asta rigida.

Sia D = [−L, L].

Introduciamo il sistema di riferimento mobile dato da X_O(t) = (αt², βt, 0) , M = (ui) , con

u₁(t) = αν(t)t²e₁+ βν(t)te2, u₂(t) =−βν(t)te1+ αν(t)t²e₂, u₃(t) = e₃,

ove

ν(t) = (α²t⁴+ β²t²)⁻¹² . Sia poi

C ={λ(s) | −L ≤ s ≤ L} , ove

λ(s) = (s, 0, 0) , cosicch´e per ogni fissato s

X(t; λ(s))− X^O(t) = su₁(t) . Ossia

X(t; λ(s)) = (αt², βt, 0) + ν(t)(αt², βt, 0)s .

Nella notazione della Definizione 4.2 il versore u coincide quindi con u₁, e il sistema rigido solidale con l’insieme dei moti

X(t; (λ₁, 0, 0)) = XO(t) + λ₁u₁(t) , λ₁∈ R .

4.D.3) Caso D⊂ R²: disco, giacente su un piano coordinato solidale.

Sia

D ={s = (s1, s₂)| s²1+ s²₂ ≤ R²} . Il sistema di riferimento solidale S = (O, M) sia dato da

XO(t) = (0, 0, L cos αt) , M = (uⁱ) ,

con

u₁(t) = cos βt²e₁+ sin βt²e₃, u₂(t) = e₂,

u₃(t) =− sin βt²e₁+ cos βt²e₃. Sia poi

C ={λ(s) | s ∈ D} , ove

λ(s) = (s1, s2, 0) , cosicch´e per ogni fissato s

X(t; λ(s))− X^O(t) = s₁u₁(t) + s₂u₂(t) , ossia

X(t; λ(s)) = (s₁cos βt², s₂, L cos αt + s₁sin βt²) .

4.D.4) Caso D ⊂ R³: cilindro circolare, con asse giacente su un asse coordinato solidale.

Sia

D ={s = (s1, s₂, s₃)| s²1+ s²₂ ≤ R², 0≤ s3≤ L} . Il sistema di riferimento solidale S = (O, M) sia dato da

X_O(t) = (0, 0,−αt) , M = (ui) , con

u₁(t) = cos βte₁− sin βte2, u₂(t) = sin βte₁+ cos βte₂, u₃(t) = e₃.

Sia poi

C ={λ(s) | s ∈ D} , ove

λ(s) = (s₁, s₂, s₃) , cosicch´e per ogni fissato s

X(t; λ(s))− XO(t) = s₁u₁(t) + s₂u₂(t) + s₃u₃(t) , ossia

X(t; λ(s)) = (s₁cos βt + s₂sin βt,−s1sin βt + s₂cos βt, s₃− αt) . Esercizio 4.12. Secondo la nostra definizione formale, un insieme di moti `e rigido se viene a priori identificato come associato a un sistema di riferimento (quindi detto solidale).

Per decidere se un generico assegnato insieme di moti pu`o essere descritto come rigido nel senso sopra, `e utile saperlo descrivere in termini geometrici elementari; per esempio il moto del caso 4.D.4 `e quello di un cilindro che trasla lungo il proprio asse, ruotando allo stesso tempo intorno a esso.

Dare un’analoga descrizione degli altri casi. 

4.2. QUANTIT `A MECCANICHE NEI RIGIDI 41

Esempio 4.13. Vogliamo descrivere come sistema rigido il moto di una calot-ta emisferica di raggio R, che ruocalot-ta intorno all’asse fisso x₃, a essa tangente nel suo polo, o vertice, O, assunto fisso anch’esso.

Scegliamo O come origine del sistema di riferimento solidale, cosicch´e nel sistema solidale la parametrizzazione potr`a essere

λ₁(s) = R cos s₁sin s₂, λ₂(s) = R sin s₁sin s₂− R , λ₃(s) = R cos s₂,

(s₁, s₂)∈ D = [0, π] × [0, π] .

Dobbiamo ora descrivere il moto della terna solidale. La nostra scelta della parametrizzazione solidale implica che e₃ dovr`a appartenere al piano della tangente a Λ(D) in O, ossia dovr`a essere ortogonale a u2. Scegliamo per semplicit`a u₃ = e₃.

I moti del corpo rigido saranno allora X(t; λ(s)) =

λ₁(s) cos α(t)− λ2(s) sin α(t), λ₁(s) sin α(t) + λ₂(s) cos α(t), λ₃(s) + x_3O
, ove (0, 0, x_3O) sono le coordinate di O nel sistema di riferimento fisso. 

4.2. Quantit`a meccaniche nei rigidi La massa del rigido si calcola come

m = Z

Λ(D)

ρ(λ) dµ(λ) . (4.7)

La quantit`a di moto `e definita da Q(t) = L’energia cinetica `e data da

T (t) = 1

e infine il moto del centro di massa da X_G(t) = 1

m Z

Λ(D)

X(t; λ)ρ(λ) dµ(λ) . (4.11)

Esempio 4.14. Troviamo l’energia cinetica di una circonferenza materiale che ruota intorno all’asse fisso a essa ortogonale, passante per il suo centro, che a sua volta si muove lungo tale asse.

In questo caso D = [0, 2π], e i moti del sistema sono dati da

X(t; λ(s)) = R cos(s + α(t)), R sin(s + α(t)), β(t)

. (4.12)

La densit`a si assume uniforme, ρ(λ(s)) = ρ0, 0≤ s ≤ 2π. Qui R, ρ0 sono costanti positive, e α, β ∈ C²(R).

Secondo la (4.10) (e la definizione di integrale curvilineo) si ha

T (t) = 1 2

Z2π

0

 

∂X

∂t (t; λ(s))  

2

ρ₀  

∂

∂sX(t; λ(s))   ds

= 1 2

Z2π

0

R²˙α(t)²+ ˙β(t)²

ρ0R ds = π R²˙α(t)²+ ˙β(t)²

ρ0R . (4.13)

 Esempio 4.15. Troviamo il momento delle quantit`a di moto della superficie materiale

x₃ = βx₁x₂, 0≤ x²1+ x²₂ ≤ R², (4.14)

che ruota intorno all’asse fisso x₃ con moto uniforme.

In questo caso D ={s²1+ s²₂≤ R²}, e i moti del sistema sono dati da

X(t; λ(s)) = s₁cos αt + s₂sin αt,

− s1sin αt + s₂cos αt, βs₁s₂

.

(4.15)

La densit`a si assume uniforme, ρ(λ(s)) = ρ₀, s ∈ D. Qui R, α, β, ρ0

sono costanti positive. Dalla definizione (4.9) si ha, prendendo P = O, ove O `e l’origine comune al sistema di riferimento fisso e a quello solidale, e denotando

X˙h = ∂Xh

∂t , h = 1 , 2 , 3 ,

4.3. IL TENSORE D’INERZIA 43

(usando qui argomenti di simmetria, e disparit`a dell’integrando)

= e₃ρ₀

4.3. Il tensore d’inerzia

Notazione. In questa Sezione ω `e la velocit`a angolare del corpo rigido

(C, ρ). 

Definizione 4.16. L’operatore lineare σ : R³ → R³ definito da

σv=− Per brevit`a la notazione σ non contiene riferimenti n´e a t n´e a X_P, nono-stante il tensore d’inerzia dipenda da entrambi.

Teorema 4.17. Se JP denota il momento delle quantit`a di moto definito nella (4.9), si ha

Qui O denota l’origine del sistema di riferimento solidale S.

Dimostrazione. Dalla definizione (4.9) e dalla formula per le velocit`a di moti solidali (2.21) si ha:

J_P(t) = Corollario 4.18. Se il moto XP `e solidale con il rigido, allora

J_P(t) = σω(t) + m XG(t)− XP(t)

∧ dX_P

dt (t) . (4.18) Se inoltre, in particolare,

dX_P

Teorema 4.19. Se T denota l’energia cinetica definita nella (4.10), e se σ denota il tensore d’inerzia di polo XO, si ha

T (t) = 1

4.4. SCOMPOSIZIONE DEL TENSORE D’INERZIA. ASSI PRINCIPALI. 45

Dimostrazione. Dalla definizione (4.10) e dalla formula per le velocit`a di moti solidali (2.21) si ha:

T (t) = 1

da cui la tesi, ricordando che per la (A.3) vale ω(t)∧ X (t; λ) − X^O(t)

Osservazione 4.21. La (4.24) `e una versione, nel caso dei corpi rigidi, del teorema di K¨onig, il quale asserisce che l’energia cinetica di un corpo `e data dal secondo termine del membro di destra della (4.24) (‘energia cinetica del centro di massa’), sommata all’energia cinetica relativa del corpo nel sistema di riferimento con origine in G e assi paralleli a quelli fissi. Quest’ultima nel caso dei rigidi si scrive appunto come il primo termine del membro di destra

della (4.24). 

4.4. Scomposizione del tensore d’inerzia. Assi principali.

Notazione. Qui indicheremo con O il polo per σ.  Come tutte le applicazioni lineari di R³ in s´e stesso, la σ `e esprimibile, una volta scelta una base ortonormale M = (uh) di R³, come una matrice

ove

σhk = σuk· uh, h , k = 1 , 2 , 3 .

Iniziamo con l’identificare gli elementi σhk, mostrando che coincidono con i cosiddetti momenti d’inerzia e deviatori del corpo rigido, di cui diamo la definizione.

Definizione 4.22. Sia u un vettore unitario. Allora si chiama momento d’inerzia del corpo rigido (C, ρ) rispetto alla retta r per O di direzione u la quantit`a

I_uu= Z

Λ(D)

dist(X (t; λ), r)²ρ(λ) dµ(λ) . (4.28)

 Definizione 4.23. Siano u e v due vettori unitari, tra di loro ortogonali.

Allora si chiama momento deviatore del corpo rigido (C, ρ) rispetto ai due piani per O di normali u e v la quantit`a

Iuv=− Z

Λ(D)



[X (t; λ)− XO(t)]· u

 

[X (t; λ)− XO(t)]· v



ρ(λ) dµ(λ) . (4.29)

 Osservazione 4.24. Il momento deviatore in sostanza `e dato dall’integrale del prodotto delle distanze (con segno) dai piani normali ai due versori assegnati. Quindi pu`o assumere in genere valori positivi, negativi o nulli.

Invece il momento d’inerzia assume sempre valore non negativo, e in realt`a si annulla se e solo se tutti i punti del corpo rigido giacciono su r (caso

dell’asta rigida). 

Osservazione 4.25. La (4.28) si pu`o anche riscrivere come I_uu=

Z

Λ(D)

|[X (t; λ) − XO(t)]∧ u|²ρ(λ) dµ(λ) . (4.30)

 Si noti che I_uu e I_uv dipendono in genere dal tempo t, sia perch´e i moti X(t; λ) e XO(t) sono funzioni di t, sia perch´e non abbiamo affatto escluso che i versori u e v siano anch’essi mobili.

Infatti saremo interessati soprattutto a quest’ultimo caso, a causa del se-guente risultato.

Proposizione 4.26. Se X_O e u, v sono solidali con il rigido, i momenti Iuu e Iuv sono costanti nel tempo.

Dimostrazione. L’enunciato segue subito dalle (4.29) e (4.30), quando si compia l’osservazione elementare che, se a₁ e a₂ sono vettori solidali con una medesima terna mobile M, le quantit`a

a₁· a2, |a1∧ a2|

sono costanti nel tempo, come segue subito dalla Definizione 2.8. 

4.4. SCOMPOSIZIONE DEL TENSORE D’INERZIA. ASSI PRINCIPALI. 47

Nel prossimo Teorema si prescinde comunque da ogni assunzione sulla soli-dalit`a di O e u, v.

Teorema 4.27. Se u `e un vettore unitario, allora

σu· u = Iuu. (4.31)

Se u e v sono due vettori unitari ortogonali tra di loro, allora

σu· v = Iuv. (4.32)

Dimostrazione. Per la definizione (4.16) di σ si ha, invocando anche il Lemma A.6

Ancora dalla definizione (4.16) e dal LemmaA.18 segue che σu· v = −

ricordando che u e v sono ortogonali. 

Nel seguito, fissata una terna M = (u^h), denoteremo I_hk = I_uhuk.

Come immediata conseguenza del Teorema 4.27si ha

Corollario 4.28. La matrice che rappresenta σ in M `e simmetrica e soddisfa

Il seguente risultato `e centrale nella meccanica dei rigidi.

Teorema 4.29. La forma quadratica definita da σ `e semidefinita positiva, ed `e anzi definita positiva se il corpo rigido non `e composto di soli punti allineati su una retta.

Dimostrazione. Sia v un qualunque vettore di R³, non nullo, e denotiamo u= v

|v|. Allora

σv· v = I^uu|v|² ≥ 0 .

La disuguaglianza `e stretta se i punti di (C, ρ) non sono tutti allineati sulla retta per O parallela a u, come gi`a osservato.  La forma quadratica definita da σ, nella base M, si scrive come

σv· v = σMx· x = X3 h,k=1

Ihkxhxk, se v = X3 h=1

xhu_h. (4.34) Ricordiamo il seguente risultato, noto dall’algebra lineare:

Lemma 4.30. Sia A una matrice N× N simmetrica reale. Esiste allora una matrice invertibile reale N × N B tale che B⁻¹= B^t e che

B^tAB

`e una matrice diagonale.

Teorema 4.31. Sia XO un moto solidale con il rigido. Esiste (almeno) una terna solidale M = (uh) tale che la matrice σM `e diagonale, ossia

σ_M =



I₁₁ 0 0 0 I₂₂ 0 0 0 I₃₃



 . (4.35)

Dimostrazione. Iniziamo con lo scomporre σ in una qualunque terna so-lidale ortonormale N = (wh); la relativa matrice σ_N `e simmetrica, come visto nel Corollario 4.28. Quindi esiste una matrice B = (b_ij) come nel Lemma 4.30tale che

B^tσ_NB = diag(α1, α₂, α₃) ,

per tre numeri reali opportuni α_h. Si noti che B e gli α_h sono costanti nel tempo perch´e σN `e costante nel tempo (vedi la Proposizione4.26).

Definiamo poi

u_h= X3 i=1

bihw_i, h = 1 , 2 , 3 .

In altri termini, le componenti di ciascun u_h nella base N formano una colonna di B: `e noto, ma comunque verifichiamolo, che anche M = (uh) `e ortonormale. Infatti (se (eh) denota la base standard in R³)

u_h· uk= Beh· Bek= (Bek)^tBeh= ektB^tBeh = ekte_h = δhk. E poi ovvio per definizione che` M `e solidale.

Resta da dimostrare che la matrice σ_M`e diagonale. Calcoliamone l’elemento di posizione hk:

σu_h· uk = σNBe_h· Bek= (Bek)^tσ_NBe_h= ektB^tσ_NBe_h

= ektdiag(α₁, α₂, α₃)eh= αhδhk. E quindi dimostrata la (4.35) con I` _hh= α_h.  Definizione 4.32. Una terna M tale che valga la (4.35) si dice principale d’inerzia in O.

Pi`u in generale, un versore v tale che Ivu= 0

per ogni u normale a v si dice principale. 

4.4. SCOMPOSIZIONE DEL TENSORE D’INERZIA. ASSI PRINCIPALI. 49

Ricordiamo che un vettore v 6= 0 si dice autovettore per σ con autovalore C ∈ R se

σv= Cv . Si verifica che C ∈ R `e un autovalore se e solo se

det(σ_M− CI) = 0 . (4.36)

Segue subito dalla Definizione 4.32

Corollario 4.33. Un versore `e principale se e solo se `e un autovettore di σ.

Quindi, dal Teorema 4.31si ha

Corollario 4.34. Fissiamo O solidale. La σ ha tre autovalori reali coin-cidenti con i momenti Ihhrelativi a una terna principale d’inerzia in O. Gli autovettori corrispondenti sono i versori della terna medesima.

La (4.34) diviene, seM `e principale,

σMx· x = I11x²₁+ I₂₂x²₂+ I₃₃x²₃. (4.37) 4.4.1. Propriet`a di estremo degli assi principali. Se

u= X3 h=1

αhuh,

ove (uh) `e una terna principale, e αh ∈ R, allora da (4.37) segue, introdu-cendo il vettore colonna (α_h) = (α₁, α₂, α₃)^t

Iuu= σu· u = σM(αh)· (α^h) = X3 h=1

Ihhα²_h. (4.38) Proposizione 4.35. Vale per ogni versore u, se (uh) `e una terna principale,

1≤h≤3min I_hh≤ Iuu≤ max

1≤h≤3I_hh. (4.39)

Se I₁₁= I₂₂, allora

Iuu= I₁₁= I₂₂, per ogni u = α₁u₁+ α₂u₂. (4.40) Se poi I₁₁= I₂₂= I₃₃, allora Iuu= I₁₁ per ogni u.

Dimostrazione. Ovvia per la (4.38), e per α²₁+ α²₂+ α²₃ = 1 .



Il Lemma4.30e il Teorema4.31possono essere sostituiti, in vista del Corollario4.33, dal seguente risultato, che ha il vantaggio di porre in luce pi`u diretta le propriet`a di massimo e minimo della terna principale.

Teorema 4.36. Se A = (aij) `e una matrice reale simmetrica 3 × 3, allora esiste una base ortonormale in R³ formata di autovettori di A.

Tra i corrispondenti autovalori si trovano il massimo e il minimo della forma quadratica x^tAx , |x| = 1 .

Dimostrazione. Consideriamo la funzione

e quindi f assume tutti i suoi valori sulla sfera

S= {x ∈ R³| |x| = 1} .

Dunque f ha minimo [rispettivamente massimo] assoluto in R³\ {0}, assunto in x1 ∈ S [rispettivamente in x2∈ S]. In questi punti deve quindi annullarsi il gradiente ∇ f , che si trova calcolando come segue dal TeoremaA.20. Dunque si ha

∇ f (x) = 2

Distinguiamo poi due casi:

A) Se vale la disuguaglianza stretta

C1= min f < max f = C2, (4.42)

per il TeoremaA.21x₁e x2 sono ortonormali. Consideriamo poi il terzo versore ortonor-male

x3= x1∧ x2,

cosicch´e (xh) risulta una terna ortonormale positiva. Resta solo da dimostrare che anche x3`e un autovettore di A.

Valgono, per la simmetria di A,

xitAx3= x3tAxi= Cix₃^txi= 0 , i= 1, 2 .

Dunque Ax3 risulta ortogonale sia a x1 che a x2, e perci`o deve essere diretto lungo x3: Ax3= C3x₃,

per C3∈ R opportuno.

B) Se invece vale l’uguaglianza

C1= min f = max f = C2, (4.43)

allora la f `e costante. Quindi tutti i punti di S sono di massimo e di minimo, tutti sono autovettori, ed `e senz’altro possibile scegliere una terna ortonormale positiva di autovettori

di A. 

Osservazione 4.37. Con riferimento alla notazione della dimostrazione del Teorema4.36, nel caso min f < max f anche x3ha un significato per la ricerca dei minimi e dei massimi di f . Infatti x3`e il punto ove la f , ristretta alla circonferenza

Σ= S ∩ {x · x2= 0} , raggiunge il massimo. Dimostriamo questo fatto.

Σ pu`o essere descritta come

x= x1cos ϕ + x3sin ϕ , ϕ∈ R . Dunque per x ∈ Σ

f(x) = (x1cos ϕ + x3sin ϕ)^tA(x1cos ϕ + x3sin ϕ)

= C1cos²ϕ+ C3sin²ϕ=: g(ϕ) .

4.5. RICERCA DEGLI ASSI PRINCIPALI 51 Derivando in ϕ

dg

dϕ = 2(C3− C1) sin ϕ cos ϕ . I punti di estremo si ottengono perci`o come

ϕ= nπ , f(x) = f (x1) , ϕ=π

2+ nπ , f(x) = f (x3) , al variare di n ∈ Z. Dunque, visto che f (x1) = min f , deve essere

f(x3) = max

Σ f .



4.5. Ricerca degli assi principali

Notazione. Denotiamo con un apice il punto in cui si calcola la quantit`a:

per esempio I_uu^G `e un momento d’inerzia calcolato nel centro di massa G.  Definizione 4.38. Un corpo rigido (C, ρ,S) si dice avere un piano solidale di simmetria materiale ortogonale Π se la funzione densit`a ρ `e simmetrica rispetto a Π, ossia se, data l’equazione del piano

λ· ν = λ0· ν ,

con ν versore normale e λ0 ∈ R³ fissato, vale per ogni λ∈ Λ^∗

ρ(λ) = ρ(λ^′) , per λ^′ = λ− 2(λ − λ0)· ν ν . (4.44)

 Teorema 4.39. Se il corpo rigido ha un piano solidale di simmetria mate-riale ortogonale Π, in ogni punto di Π l’asse ortogonale a Π `e principale d’inerzia.

Dimostrazione. Si tratta di dimostrare che Iν u= 0

per ogni versore u normale a ν. Introduciamo la notazione

Σ+= {λ | λ · ν > λ0· ν} , Σ⁻= {λ | λ · ν < λ0· ν} , Σ0= {λ | λ · ν = λ0· ν} = Π .

Allora si ha per definizione Iν u= −

Z

Λ(D)

[(λ − λ0) · ν] [(λ − λ0) · u] ρ(λ) dµ(λ)

= − Z

Σ+

. . . − Z

Σ₋

. . . − Z

Σ0

. . . .

Vale anzitutto Z

Σ₀

[(λ − λ0) · ν] [(λ − λ0) · u] ρ(λ) dµ(λ) = 0 .

Osserviamo che, con la notazione λ^′introdotta in (4.44) si ha λ^′∈ Σ+ ⇐⇒ λ∈ Σ−. Per la simmetria di λ e λ^′ valgono le

(λ − λ0) · ν = −(λ^′− λ0) · ν , (λ − λ0) · u = (λ^′− λ0) · u .

Dunque

Z

Σ−

[(λ − λ0) · ν] [(λ − λ0) · u] ρ(λ) dµ(λ)

= Z

Σ₋

[−(λ^′− λ0) · ν] [(λ^′− λ0) · u] ρ(λ) dµ(λ)

= − Z

Σ₊

[(λ^′− λ0) · ν] [(λ^′− λ0) · u] ρ(λ) dµ(λ^′)

= − Z

Σ+

[(λ^′− λ0) · ν] [(λ^′− λ0) · u] ρ(λ^′) dµ(λ^′) .

Quindi Iν u= 0. 

Esercizio 4.40. (Simmetrie di rotazione) Sia (C, ρ,S) un rigido con una simmetria materiale di rotazione intorno all’asse solidale r. Allora in ciascun punto di r l’asse r stesso `e principale. Gli altri due assi possono essere scelti ad arbitrio, e i due corrispondenti momenti d’inerzia sono uguali.  Proposizione 4.41. Se (C, ρ,S) `e un corpo rigido piano, ossia se C `e con-tenuto in un piano solidale, allora in un punto P qualsiasi di questo piano l’asse normale al piano `e principale.

Inoltre, fissata una terna principale che contiene questo asse, il momento d’inerzia relativo a tale asse `e la somma dei momenti relativi agli altri due assi.

Dimostrazione. La prima parte dell’enunciato segue subito dal Teorema4.39: infatti il piano che contiene C `e di simmetria materiale ortogonale.

Possiamo poi supporre che la normale al piano sia u3, e di denotare con u1, u2 gli altri due vettori della terna principale. Supponiamo anche che il punto P coincida con l’origine del sistema di riferimento solidale. Allora

I33= Z

Λ(D)

(λ²1+ λ²2)ρ(λ) dµ(λ) = Z

Λ(D)

λ²1ρ(λ) dµ(λ) + Z

Λ(D)

λ²2ρ(λ) dµ(λ) = I11+ I22,

visto che

Z

Λ(D)

λ²₃ρ(λ) dµ(λ) = 0 .



Teorema 4.42. Se P appartiene a uno degli assi di una terna principale di inerzia nel centro di massa, una terna principale in P si trova per traslazione di quella nel centro di massa.

In altri termini: Se (ui) `e una terna principale d’inerzia nel centro di massa G, che prendiamo coincidente con O, e se λ<sup>P</sup> `e tale che

λ^P = τ u_j,

per opportuni τ ∈ R e j ∈ {1, 2, 3}, allora la (ui) `e principale anche in λ^P.

Dimostrazione. Supponiamo per definitezza j = 1. Dobbiamo allora dimostrare che I12^P = I₁₃^P = 0 .

4.5. RICERCA DEGLI ASSI PRINCIPALI 53

Si ha

I12^P = Z

Λ(D)

(λ1− τ )λ2ρ(λ) dµ(λ)

= Z

Λ(D)

λ1λ2ρ(λ) dµ(λ) − Z

Λ(D)

τ λ2ρ(λ) dµ(λ)

= I₁₂^G− τ λ^G₂ = 0 .



Teorema 4.43. (Huygens) Se I_uu^P denota il momento d’inerzia relativo al polo P , solidale con il rigido, allora

I_uu^P = I_uu^G + md²,

ove G `e il centro di massa del rigido, m la sua massa e d =−−→GP ∧ u

la distanza tra gli assi paralleli a u passanti per P e G rispettivamente.

Dimostrazione. Possiamo supporre che il sistema di riferimento solidale S abbia origine in G, e che in tale sistema P abbia coordinate λ^P. Dunque

Iuu^P = Z

Λ(D)

˛˛

˛(λ − λ^P) ∧ u˛˛˛²ρ(λ) dµ(λ)

= Z

Λ(D)

˛˛

˛(λ ∧ u) − (λ^P∧ u)˛˛˛²ρ(λ) dµ(λ)

= Z

Λ(D)

|λ ∧ u|²ρ(λ) dµ(λ) − 2 Z

Λ(D)

(λ ∧ u) · (λ^P∧ u)ρ(λ) dµ(λ)

+ Z

Λ(D)

˛˛

˛λ^P∧ u˛˛˛²ρ(λ) dµ(λ)

= Iuu^G + md². Infatti

Z

Λ(D)

(λ ∧ u) · (λ^P∧ u)ρ(λ) dµ(λ) = Z

Λ(D)

λρ(λ) dµ(λ) ∧ u · (λ^P∧ u) = 0 ,

perch´e per ipotesi λ^G= 0. 

CAPITOLO 5

Nel documento Appunti per il corso di Modelli Matematici per la Meccanica (pagine 41-61)