3. La mappa delle Prestazioni
3.3 Costruzione della mappa delle prestazioni
Per costruire la mappa delle prestazioni occorre poter organizzare tutti i dati riguardanti il propulsore, ad esempio, le costanti necessarie devono poter essere espresse in unità di misura commensurabili in modo da non comportare errori nelle relazioni. Considerando lo scopo della mappa delle prestazioni è stato scelto di utilizzare un foglio di calcolo elettronico tipo Excel. Innanzitutto sono stati compilati i dati riguardanti le diverse costanti, quelle di uso generale in elettromagnetismo, quelle specifiche dello xeno, quelle relative all’emettitore catodico e le prestazioni nominali del propulsore da 1350 W.
General constants
1 amu 1,66E-27 kg
Avogadro's number N_A 6,02E+23 p/mol elementary charge e 1,60E-19 C
void permeability ε_0 8,85E-12 F/m
Boltzmann k 1,38E-23 J/K
k_eV 8,62E-05 CV/eV
gravity g_0 9,82 m/s^2
Xenon properties
ion/neutral mass M 1,31E+02 amu 2,18E-25 kg electron mass m 9,11E-31 kg first ionization Ф_i 1,22E+01 eV
LaB_6 properties melting point 2483 K thermal conductivity k_t 130 W/m*K work function ϕ 2,67 eV Richardson-Dushman constant D 29 A/cm^2K^2 290000 A/m^2K^2
62 Thruster nominal properties
discharge current I 4,5 A
discharge voltage V 300 V
specific impulse I_sp 2134 s
chamber area A 3642 mm^2
3,64E-03 m^2
power P 1350 W
Magnetic field B 200 mT
0,2 T
Non tutte le costanti riportate saranno utili per la costruzione della mappa delle prestazioni, ma il foglio di calcolo può essere utilizzato anche per altre computazioni e quindi è conveniente avere queste informazioni disponibili in forma chiara. Con queste informazioni è possibile eseguire tutti i calcoli utilizzando un sistema di unità di misura congruente come il sistema internazionale e procedere con il calcolo del parametro:
2*e/M= 1,47E+06
La costante di proporzionalità (𝑐𝑖) tra il costo di energia per ione (𝐸𝐼) e il potenziale di ionizzazione dello xeno (𝜙𝐼 𝑒𝑉) è assunta:
c_I= 3
E il modo di scala della corrente rispetto al rendimento di massa (𝛾): ϒ= 0,5
È possibile assegnare un valore provvisorio della corrente di scala (𝐼𝑜) pari a un terzo del valore medio della corrente nell’intervallo di interesse. In questo caso il valore della corrente è di 4,5 A, quindi, si possono costruire le curve a partire dai valori iniziali dei parametri come segue:
α= 0,7 ɳ_i= 0,7 I_0= 1,5
63 Con queste informazioni si può calcolare il fattore di perdite di ionizzazione 𝛽 attraverso
l’espressione riportata nel paragrafo precedente,
β= 3,76E+07
stabilire un intervallo di tensione
V 220 260 300 340 380 420 460
e calcolare l’impulso specifico limite relativo a ciascun valore di tensione nell’intervallo: V I_splim 220 1394 260 1539 300 1671 340 1794 380 1908 420 2016 460 2119
Analogamente, dopo aver stabilito un apposito intervallo di corrente, I 6,136 5,192 4,500 3,971 3,553 3,214 2,935
64 Si procede col calcolo del rendimento di massa attraverso l’espressione del modello (ɳ𝑚(𝐼)) mostrata alla fine del paragrafo precedente:
I ɳ_m 6,136 0,898 5,192 0,878 4,500 0,859 3,971 0,841 3,553 0,824 3,214 0,809 2,935 0,794
Per le diverse combinazioni dei valori assegnati negli intervalli di tensione e corrente, si può calcolare il valore dell’impulso specifico dal prodotto del rendimento di massa e dell’impulso specifico limite: P=1350W V I I_splim ɳ_m I_sp 220 6,136 1394 0,898 1252 260 5,192 1539 0,878 1351 300 4,500 1671 0,859 1435 340 3,971 1794 0,841 1508 380 3,553 1908 0,824 1573 420 3,214 2016 0,809 1631 460 2,935 2119 0,794 1683
A questo punto si può procedere in diversi modi a seconda delle informazioni a disposizione. La precedente tabella è un esempio dei calcoli relativi ad una potenza costante, ma è altrettanto possibile che si disponga invece di dati sperimentali dell’impulso specifico in funzione della corrente applicata parametrizzate in un intervallo di valori di tensione assegnati e in quest’ultimo caso sarebbe necessario ordinare i risultati a tensione costate e a potenza variabile nell’intervallo di corrente disposto. In ogni caso, è adesso possibile ricavare le curve dell’impulso specifico rispetto alla corrente e sovrapporle ad un plot di dati sperimentali per successivamente aggiustare i valori di 𝛼, ɳ𝑖 𝑒 𝐼0 fino ad ottenere la migliore corrispondenza.
Nel caso in cui non si disponga di un set di dati sperimentali al momento della creazione della mappa delle prestazioni e si voglia aggiustare i parametri di scala in un secondo momento, è
65 possibile costruire la mappa delle prestazioni ricavando analiticamente i valori dei parametri di scala a partire da valori noti delle prestazioni nominali di un propulsore noto, che in questo caso sarebbe l’SPT-100.
I dati di riferimento dell’SPT-100 ripresi, ad esempio, da Andrenucci et al. [9], [26], sono: 𝜀𝑎 = 0,054 𝜀𝑤 = 0,25 ɳ𝑖 = 0,81 𝑚̇ = 4,992 mg/s 𝐼 = 4,5 𝐴 𝑉 = 300 𝑉 𝐼𝑠𝑝 = 1734 s
Con questi dati è possibile stabilire una stima analitica dei parametri necessari alla modellazione: 𝛼 = 1 − (𝜀𝑎+ 𝜀𝑤) = 0,696
Il valore del rendimento di massa e della corrente di scala in condizioni nominali si stima dalle relazioni: ɳ𝑚 = 𝑀 𝑒 ɳ𝑖 𝑚̇ 𝐼 = 0,994 𝐼0 = 𝐼 [ln(1 − ɳ𝑚)]2 = 0,17536
Il valore ottenuto della corrente di scala (𝐼0) può essere assegnato ad una casella del database per farvi il riferimento nella formula del rendimento di massa in modo da poter calcolare quest’ultimo in funzione di ciascun valore di corrente dell’intervallo. Applicando la modellazione del rendimento di massa in funzione della corrente presentata nel capitolo precedente, l’espressione risulta numericamente del tipo:
66 al posto dei valori numerici in questa espressione, nel database vi sono i riferimenti alle caselle su cui sono stati assegnati i valori della corrente di scala (𝐼0) e quello del modo di scala (𝛾). Al posto della corrente (𝐼) possono essere assegnati valori nelle celle della corrente nell’intervallo prescelto. L’impulso specifico alle condizioni nominali (𝐼𝑠𝑝), si ricava dal prodotto del rendimento di massa (ɳ𝑚) e dell’impulso specifico limite (𝐼𝑠𝑝 𝑙𝑖𝑚), anch’essi calcolati alle condizioni nominali.
L’espressione dell’impulso specifico limite (𝐼𝑠𝑝 𝑙𝑖𝑚) dipende dal valore di 𝛽 e da quello di 𝛼, che è assunto costante. Il fattore 𝛽 dipende dal rendimento di corrente (ɳ𝑖), assunto anch’esso costante e dal parametro libero 𝑐𝑖, al quale è impostato il valore iniziale pari a 3. Una volta definita la relazione funzionale tra i parametri nelle diverse celle del database, il valore ottenuto nell’espressione dell’impulso specifico è calibrato al valore dell’impulso specifico nelle condizioni di riferimento modulando il parametro libero 𝑐𝑖. Il valore di riferimento di 1734 s dell’impulso specifico, è ottenuto impostando il parametro libero 𝑐𝑖 pari a 0,91.
Una volta determinati i parametri necessari, conviene aprire una nuova scheda del foglio elettronico e riportare i parametri come segue:
g_o 9,82 2*e/M 1,47E+06 α 0,696 β 1,3E+07 ɳ_i 0,81 I_0 0,175363 c_i 0,91 ϒ 0,5 M/e 1,36E-06 Ф_i 12,17216
Con questi valori noti, l’impulso specifico limite (𝐼𝑠𝑝 𝑙𝑖𝑚) risulta essere esclusivamente funzione della tensione applicata (𝑉), per cui può essere calcolato per ciascuno dei valori dell’intervallo di tensione prescelto e disposto verticalmente come segue:
67 V I_splim 220 1482 260 1619 300 1745 340 1863 380 1973 420 2078 460 2178
Per il calcolo dell’impulso specifico (𝐼𝑠𝑝) e della spinta (𝑇) si è scelto un apposito intervallo di
corrente, a partire da 1 A, fino a 8 A, a intervalli di 0,5 A. Dato che il rendimento di massa (ɳ𝑚(𝐼)) nel modello è una funzione esclusiva della corrente, a ogni valore dell’intervallo di corrente viene calcolato il rispettivo valore del rendimento di massa e sono disposti orizzontalmente come segue:
I 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
ɳ_m 0,908 0,946 0,966 0,977 0,984 0,989 0,992 0,994 0,995 0,996 0,997 0,998 0,998 0,999 0,999
I dati dell’impulso specifico limite e del rendimento di massa sono sufficienti per calcolare l’impulso specifico, un frammento della tabella risultante è mostrato di seguito (Figura 3.1):
V I_splim I_sp 220 1482 1346 1403 1432 1448 1458 1465 1470 1473 260 1619 1470 1532 1564 1582 1593 1600 1605 1609 300 1745 1585 1651 1686 1705 1717 1725 1730 1734 340 1863 1692 1763 1799 1820 1833 1841 1847 1851 380 1973 1792 1867 1906 1928 1942 1951 1957 1961 420 2078 1887 1966 2007 2030 2045 2054 2061 2065 460 2178 1978 2061 2103 2128 2143 2153 2159 2164 I 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 ɳ_m 0,908 0,946 0,966 0,977 0,984 0,989 0,992 0,994
Figura 3.1 Frammento della tabella per il calcolo dell’impulso specifico previa eliminazione dei dati in eccesso. Le righe corrispondono ai valori definiti dell’intervallo di tensione e le colonne all’intervallo di corrente.
Le righe della tabella corrispondono ai valori dell’impulso specifico a tensione costante e le colonne a corrente costante. Le celle evidenziate utilizzano la formattazione condizionale: se il
68 valore nella cella corrisponde ad una potenza inferiore ad un valore scelto al 60% della potenza nominale, pari a 810 W, allora la cella è evidenziata. L’evidenziazione è analoga se il valore della potenza associato alla cella supera il valore scelto del 120% della potenza nominale, pari a 1620 W. Questo sarà utile per individuare velocemente quali sono i valori che si possono escludere dall’area del grafico, conservando soltanto gli estremi dei valori evidenziati (Figura 3.2):
V I_splim I_sp 220 1482 1465 1470 1473 260 1619 1593 1600 1605 1609 300 1745 1705 1717 1725 1730 1734 340 1863 1799 1820 1833 1841 1847 1851 380 1973 1906 1928 1942 1951 1957 1961 420 2078 1966 2007 2030 2045 2054 2061 460 2178 2061 2103 2128 2143 2153 2159 I 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 ɳ_m 0,908 0,946 0,966 0,977 0,984 0,989 0,992 0,994
Figura 3.2 Frammento della tabella utilizzata per il calcolo dell’impulso specifico dopo l’eliminazione dei dati in eccesso, attraverso l’assistenza grafica della formattazione condizionale.
Al di sotto della tabella dell’impulso specifico si costruisce una tabella analoga con i valori della spinta, in modo da utilizzare le righe con i valori della corrente e del rendimento di massa come riferimento per entrambe le tabelle. Un frammento della tabella è riportato nella Figura 3.3:
I 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 ɳ_m 0,908 0,946 0,966 0,977 0,984 0,989 0,992 0,994 V I_splim T 220 1482 0,016 0,024 0,032 0,040 0,048 0,056 0,064 0,072 260 1619 0,018 0,026 0,035 0,044 0,053 0,061 0,070 0,079 300 1745 0,019 0,028 0,038 0,047 0,057 0,066 0,076 0,085 340 1863 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060 0,071 0,081 0,091 380 1973 0,021 0,032 0,043 0,053 0,064 0,075 0,085 0,096 420 2078 0,022 0,034 0,045 0,056 0,067 0,079 0,090 0,101 460 2178 0,024 0,035 0,047 0,059 0,071 0,083 0,094 0,106
69 I valori nelle celle dell’impulso specifico nella Figura 3.2 e della spinta nella Figura 3.3 costituiscono le coppie di valori che saranno successivamente rappresentati nella mappa. Le serie di dati dell’area di grafico possono essere impostate su tutta l’estensione della tabella e il programma funziona in modo che se il dato che corrisponde all’ascissa della coppia di valori non è presente, il rispettivo valore in ordinata non viene considerato. Una volta eliminati dalla tabella dell’impulso specifico i valori che non si desidera rappresentare, non è quindi necessario eliminare anche i valori corrispondenti di spinta. Attraverso le informazioni delle tabelle precedenti, vi sono tutte le informazioni necessarie a costruire le curve a tensione costante, le righe della tabella dell’impulso specifico saranno i valori in ascissa e le righe della tabella della spinta quelli in ordinata. Le curve a corrente costante si costruiscono in maniera analoga utilizzando l’informazione delle colonne.
Procediamo adesso con l’informazione necessaria a costruire le curve a potenza costante. Innanzitutto bisogna stabilire un apposito intervallo di potenze. In questo caso è scelto un valore minimo pari al 60% della potenza nominale, a intervalli del 10%, fino al valore massimo del 120% della potenza nominale. I valori sono stati scelti arbitrariamente e possono essere modificati con facilità in modo da fornire risultati in intervalli differenti.
Preso un valore specifico della potenza, ad esempio il valore minimo di 810 W, si procede come segue: facendo uso degli stessi valori dell’intervallo di tensione stabilito in precedenza e i rispettivi valori dell’impulso specifico limite, si calcola la corrente su ciascuna riga dal rapporto della potenza e la relativa tensione. Alle correnti calcolate si associano i rispettivi valori del rendimento di massa e quindi vi sono tutte le informazioni necessarie per calcolare l’impulso specifico e la spinta: P 810 W 60% V I_splim I ɳ_m Isp T 220 1482 3,682 0,990 1467 0,06 260 1619 3,115 0,985 1595 0,05 300 1745 2,7 0,980 1711 0,05 340 1863 2,382 0,975 1816 0,05 380 1973 2,132 0,969 1913 0,05 420 2078 1,929 0,964 2003 0,04 460 2178 1,761 0,958 2086 0,04
70 Vale la pena di sottolineare che, dato che questo specifico valore della potenza rappresenta il riferimento del valore minimo della formattazione condizionale, la cella che riporta il valore della potenza è anch’essa evidenziata nello stesso colore per indicare la corrispondenza. Il procedimento è analogo per gli altri valori dell’intervallo di potenze prescelto e le curve a potenza costante saranno ottenute collocando in ascissa la colonna dei valori dell’impulso specifico e in ordinata i rispettivi valori della colonna della spinta.
Nella mappa può essere inclusa un’ulteriore serie di dati, riguardanti le curve a portata di massa costante. I dati in funzione della portata si possono ottenere in maniera analoga a quelli a corrente costante in quanto, dato che il rendimento di corrente è assunto costante e che il rendimento di massa è modellato in funzione della corrente, esiste una costante di proporzionalità nella relazione tra la portata di massa e la corrente, per cui le curve a portata di massa costante saranno parallele a quelle a corrente costante. Il layout dei dati è analogo quindi a quello della tabella che contiene la formattazione condizionale, con la differenza che questa volta i valori della corrente applicata e del rendimento di massa saranno funzione di un’ulteriore riga, contenente i valori della portata di massa. Per stabilire le relazioni necessarie, del rendimento di massa e della corrente in funzione della portata di massa, è necessario introdurre il fattore di scala della portata:
𝑚̇0 =
𝑀 𝑒
ɳ𝑖 ɳ𝑚 𝐼0
in questa espressione il rendimento di massa (ɳ𝑚) è quello calcolato in precedenza alle condizioni nominali ed è pari a 0,994. Successivamente si può assegnare, alle caselle del rendimento di massa, la relazione in funzione della portata:
ɳ𝑚(𝑚̇)= 1 − exp [ − (𝑚̇ 𝑚̇0)
𝛾
]
infine, i valori nelle celle della corrente si ottengono tramite la relazione: 𝐼 (𝑚̇)= ɳ𝑚(𝑚̇)
ɳ𝑖 𝑒 𝑀 𝑚̇
Dopo aver scelto un intervallo di portata tra 2 mg/s e 6,5 mg/s, a intervalli di 0,5 mg/s, la tabella che contiene i dati necessari a mappare le curve a portata costante è mostrata nella Figura 3.4. Nella parte superiore vi sono le celle che contengono i dati relativi all’impulso specifico, mentre
71 nella parte inferiore quelle che contengono i dati della spinta. I valori assegnati sono quelli dell’intervallo di portata prescelto e sono posti nella riga in mezzo contrassegnata come “mdot”. Nelle righe delle tabelle che riportano i valori dell’impulso specifico e della spinta ci sono i valori di tensione nell’intervallo prestabilito, che è il medesimo delle serie di dati precedenti.
Figura 3.4 Dati relativi ai valori assegnati di portata costante.
Una volta che sono stati compilati tutti i dati precedenti, è possibile creare la mappa delle prestazioni. Nelle più recenti versioni di Excel, i grafici si presentano in finestre svincolate dalla griglia dei dati, in una finestra che è possibile posizionare a piacimento. La scheda in cui sono presenti le tabelle dei dati delle diverse curve, è molto voluminosa e densa di contenuti e sarebbe opportuno che la finestra dell’area del grafico sia invece chiaramente leggibile. In modo da ottenere un grafico pulito e con una presentazione più professionale, è stata aggiunta una nuova scheda iniziale nel database denominata “Dashboard” per collocare il grafico della mappa, in modo che all’apertura del file sia immediatamente visibile la mappa delle prestazioni. I dati necessari
V I_splim 220 1482 1460 1466 1470 1473 1475 1476 1478 260 1619 1595 1601 1606 1609 1611 1613 1614 300 1745 1710 1720 1726 1731 1734 1737 1738 340 1863 1809 1825 1835 1842 1847 1851 1854 380 1973 1916 1933 1944 1952 1957 1961 420 2078 2018 2036 2048 2055 2061 460 2178 2115 2134 2146 2154 I 2,202 2,666 3,129 3,589 4,049 4,507 4,97 5,42 5,88 ɳ_m 0,971 0,980 0,985 0,989 0,992 0,994 0,995 0,996 0,997 mdot 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 V I_splim 220 1482 0,035 0,043 0,050 0,058 0,065 0,072 0,080 0,087 0,094 260 1619 0,039 0,047 0,055 0,063 0,071 0,079 0,087 0,095 0,103 300 1745 0,042 0,050 0,059 0,068 0,076 0,085 0,094 0,102 0,111 340 1863 0,044 0,054 0,063 0,072 0,082 0,091 0,100 0,109 0,119 380 1973 0,047 0,057 0,067 0,077 0,086 0,096 0,106 0,116 0,126 420 2078 0,050 0,06 0,070 0,081 0,091 0,101 0,112 0,122 0,132 460 2178 0,052 0,063 0,074 0,085 0,095 0,106 0,117 0,128 0,139
mass flow rate lines Isp
72 alla calibrazione dei parametri appariranno nella seconda scheda del file e infine, nella terza scheda appariranno i dati delle curve rappresentate nel grafico della scheda iniziale.
I dati che saranno rappresentati nella mappa delle prestazioni sono nettamente delimitati a sinistra dalla curva di tensione minima (in questo caso 220 V) e a destra dalla curva della tensione massima (in questo caso 460 V). Gli estremi inferiore e superiore non sono così nettamente definiti, la curva in basso della curva di potenza minima (in questo caso 810 W) e la curva in alto relativa alla potenza massima (in questo caso di 1620 W) sono utilizzate come guida per stabilire gli estremi. Per far in modo che vi sia continuità delle curve entro tale delimitazione, le serie di dati rappresentate contengono anche la prima cella che corrisponde ad una potenza inferiore a quella minima e anche la prima cella che corrisponde ad una potenza superiore a quella massima, vale a dire, le più vicine delle celle evidenziate dalla formattazione condizionale. Naturalmente è possibile assegnare un contorno differente a seconda dei dati che si desideri escludere.
Una volta inserite le diverse serie di dati nell’area di grafico, il programma permette di assegnare un nome a ciascuna curva e di posizionare l’etichetta dei dati in prossimità dei valori. Il layout grafico può essere raffinato scegliendo la dimensione in pixel delle curve e i colori, in particolare è stato scelto di rappresentare tutte le curve in colore blu, fatta eccezione di quelle a portata costante che sono state impostate in colore celeste. Con la scelta delle etichette degli assi, che devono includere le unità di misura e con l’aggiunta del titolo, la mappa delle prestazioni completa appare come mostrato nella Figura 3.5.
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