Indici di prestazioni

I principali parametri che controllano l’operazione di un HET sono la differenza di potenziale interelettrodica (𝑉), la potenza elettrica (𝑃), la portata di propellente anodica (𝑚̇𝑎 ≅ 𝑚̇) e

l’intensità massima del campo magnetico (𝐵𝑚𝑎𝑥_{). Per ogni combinazione di tensione e portata, il}

campo magnetico massimo deve essere aggiustato al valore ottimale (𝐵𝑜𝑝𝑡_{) per evitare le}

fluttuazioni di potenza, le instabilità nel plasma e per massimizzare il rendimento di spinta (ɳ_𝑇). Quest’ultimo è definito come il rapporto tra la potenza utile (𝑃_𝑈), ovvero quella strettamente necessaria ad ottenere un dato livello di spinta e la potenza richiesta per farlo, che in questo caso è di tipo elettrico (𝑃).

ɳ_𝑇 = 𝑃𝑈 𝑃

Per motivi pratici, risulta conveniente esprimere la potenza utile attraverso parametri direttamente misurabili o controllati. A questo fine è adatto introdurre la velocità effettiva di scarica (𝑣_𝑒) definita come il rapporto tra la spinta (𝑇) misurata e la portata totale immessa (𝑚̇):

𝑣_𝑒 = 𝑇 𝑚̇

In questo modo, la potenza utile può essere espressa come la potenza cinetica associata alla velocità effettiva scarica:

𝑃_{𝑈 = 1 2}⁄ 𝑚̇ 𝑣_𝑒2

E quindi l’espressione del rendimento di spinta risulta: ɳ_𝑇 = 𝑚̇ 𝑣𝑒 2 2 𝑃 = 𝑇 𝑣𝑒 2 𝑃 = 𝑇2 2 𝑚̇ 𝑃

Il rendimento di spinta è il fattore che tiene conto di tutti i processi di perdita coinvolti nella generazione della spinta. Nell’analisi condotta in seguito, tutti i parametri utilizzati per descrivere il flusso degli ioni fanno riferimento ad un flusso ionico ideale in cui il numero di carica (𝑍) è unitario, con una velocità di deriva perfettamente assiale e omogenea sulla larghezza del canale.

44 Il rendimento di spinta può essere modellato in funzione del discostamento dalle condizioni di scarica ideali dei processi fisici coinvolti, parametrizzati attraverso i rispettivi rendimenti.

Un primo parametro deriva dal fatto che non tutta la portata di gas immessa nella camera risulta ionizzata durante la fase di accelerazione. Possiamo scrivere la portata di propellente nella zona di accelerazione del propulsore come:

𝑚̇ = 𝑚̇_𝑖 + 𝑚̇_𝑛

La portata degli ioni (𝑚̇_𝑖) è la parte della portata anodica che sarà coinvolta nell’accelerazione elettrostatica, mentre la frazione restante è la portata degli atomi neutri (𝑚̇_𝑛) che, essendo privi di carica elettrica, non contribuiranno alla spinta. Si definisce quindi il rendimento di massa che terrà conto di questo:

ɳ_𝑚 = 𝑚̇𝑖 𝑚̇

Come detto in precedenza, in condizioni ottimali di funzionamento, questo tipo di propulsori sono degli ottimi dispositivi ionizzanti, per cui il valore del rendimento di massa è molto vicino all’unità:

ɳ_𝑚≥ 0,98

Inoltre, soltanto una frazione della differenza di potenziale interelettrodico sarà effettivamente utilizzata per accelerare il getto. Il rapporto tra il salto di potenziale che avviene nella zona di accelerazione (𝑉_𝐴) e la tensione totale applicata agli elettrodi (𝑉) è il rendimento energetico (ɳ_𝜀), che presenta valori intorno al 60% in HET ottimizzati ed è legato al fattore di perdita (𝜀_𝐿) dalla relazione:

ɳ_𝜀 = 𝑉𝐴

𝑉 = 1 − 𝜀𝐿

Dato che il fattore di perdita è la somma totale delle frazioni di perdita di energia, possiamo scriverlo tenendo in considerazione i principali motivi che comportano delle perdite. Sono considerati tre fattori dominanti: quello dell’energia spesa per la ionizzazione (𝜀_𝐼), quello della potenza dissipata nella guaina anodica (𝜀𝑎) e quello dell’energia persa nelle collisioni delle

45 la resistenza termica del materiale della camera e lo sputtering della superficie sono stati fino ad ora i fattori che maggiormente hanno limitato la vita operativa del propulsore.

𝜀_𝐿 = 𝜀_𝑎+ 𝜀_𝐼 + 𝜀_𝑤

Il salto di potenziale nella zona di accelerazione (𝑉_𝐴) permette di ricavare l’espressione della velocità di scarica (𝑢𝑖), che in questa analisi lineare semplificata coincide con la velocità di deriva

assiale del fluido ionico:

𝑢_𝑖2 _{= 〈𝑣} 𝑖〉2

𝑢_𝑖 = √2 𝑒 𝑉𝐴

𝑀 = √ɳ𝜀 𝑣∗

La corrente che circola nel sistema di controllo elettrico (𝐼) deve essere la stessa che è raccolta all’anodo. Ipotizzando che ogni evento di ionizzazione risulti nella produzione di uno ione e un elettrone secondario e che la corrente raccolta all’anodo sia la somma della corrente degli elettroni primari e di quelli secondari, possiamo scrivere la corrente applicata (𝐼) come la somma della corrente elettronica primaria (𝐼_𝑒) e la corrente ionica (𝐼_𝑖).

𝐼 = 𝐼_𝑖 + 𝐼_𝑒

Considerando ancora una volta che è soltanto il contributo della specie ionica a produrre la spinta, è possibile definire il rendimento della corrente (ɳ_𝑖) come il rapporto tra la corrente ionica e quella applicata.

ɳ_𝑖 = 𝐼𝑖 𝐼

Come visto nella Figura 2.15, il rendimento della corrente (ɳ_𝑖) presenta un massimo intorno al valore 0,8. Dato che questa condizione deriva dall’ottimalità dell’intensità del campo magnetico radiale, HET di potenze differenti dovrebbero presentare rendimenti di corrente prossimi a questo valore.

La corrente degli ioni (𝐼𝑖) è in rapporto proporzionale alla loro portata (𝑚̇𝑖), per cui possiamo

considerare le rispettive definizioni e ricavare che l’entità della proporzione è pari al rapporto tra la massa degli ioni e la carica elettrica:

46 {_𝑚̇𝐼𝑖 = 𝑒 𝑛 𝑢𝑖 𝐴

𝑖 = 𝑀 𝑛 𝑢𝑖 𝐴 ⇒ 𝑀 𝐼𝑖 = 𝑒 𝑚̇𝑖

Attraverso i parametri di rendimento e le precedenti relazioni, possiamo quindi determinare la relazione tra la portata (𝑚̇) e la corrente di scarica (𝐼):

𝑚̇ = 𝑀 𝑒

ɳ_𝑖 ɳ_𝑚 𝐼

Per cui la potenza applicata (𝑃) può essere espressa dalla relazione: 𝑃 = 𝐼 𝑉 = 𝑒

𝑀 ɳ_𝑚

ɳ_𝑖 𝑚̇ 𝑉 L’espressione della spinta diviene:

𝑇 = 𝑚̇ 𝑣_𝑒 = 𝑚̇ ɳ_𝑚√ɳ_𝜀 𝑣∗ _{= 𝑚 ̇ ɳ} 𝑚√ ɳ𝜀 2 𝑒 𝑉 𝑀 = 𝑚̇ ɳ𝑚𝑢𝑖 = 𝑚̇𝑖 𝑢𝑖 = 𝑀 𝑒 ɳ𝑖 √ɳ𝜀 𝑣∗ 𝐼

Quindi per la velocità effettiva di scarica (𝑣𝑒) si ottiene:

𝑣_𝑒 = 𝑇

𝑚̇= ɳ𝑚 √ɳ𝜀 𝑣∗ = ɳ𝑚 𝑢𝑖 = ɳ𝑚√ ɳ𝜀

2 𝑒 𝑉 𝑀 Infine, il rendimento di spinta risulta:

ɳ_𝑇 = 𝑇2 2 𝑚̇ 𝑃 = ɳ_𝑚2 𝑚̇2 _ɳ 𝜀 2 𝑒 𝑉 𝑀 2 𝑚̇ _𝑀 𝑒 ɳ𝑚 ɳ_𝑖 𝑚̇ 𝑉 = ɳ_𝑚 ɳ_𝑖 ɳ_𝜀

Nel modello possono essere inclusi altri fattori di perdita minori. La perdita di energia associata alla divergenza del getto, con un semi angolo di apertura (𝜑) che è massimo alla sezione di uscita del canale e presenta valori tipicamente intorno ai 30° - 35° [7] e che come mostrato da V. Kim [8] dipende dal gradiente assiale del campo magnetico radiale (∇𝑧𝐵𝑟), per cui non dovrebbe

presentare variazioni significative in HET con una topologia ottimizzata. Il rendimento associato alla divergenza del getto (ɳ_φ) risulta [9]:

47 ɳ_φ ≈ 〈cos(𝜑)〉2 _≈ 〈𝑣𝑖𝑧〉2

〈𝑣𝑖〉2 ≥ 0,9

Un altro fattore di secondo ordine è legato al fatto che le velocità degli ioni, fino ad ora considerate uniformi nella zona di accelerazione in realtà presentano degli scostamenti. Il rendimento della dispersione della velocità degli ioni (ɳ_𝑣) è il parametro che tiene conto di questo:

ɳ_𝑣 ≈ 〈𝑣𝑖〉2

〈𝑣𝑖2〉 ≥ 0,9

In definitiva, il rendimento di spinta (ɳ_𝑇), che negli HET presenta valori compresi tra il 40% e il 60%, risulta:

ɳ_𝑇 = ɳ_𝑚 ɳ_𝜀 ɳ_𝑖 ɳ_φ ɳ_𝑣

Nonostante la velocità effettiva di scarica (𝑣_𝑒) sia un parametro molto utile nella determinazione delle caratteristiche del propulsore, per motivi storici in letteratura è molto diffuso l’utilizzo del parametro anglosassone equivalente: l’impulso specifico (𝐼_𝑠𝑝). La convenzione moderna è quella di assumere che l’impulso specifico sia semplicemente proporzionale alla velocità effettiva di scarica per mezzo della costante gravitazionale standard sulla superficie della terra (𝑔0):

𝑣𝑒 = 𝑔0 𝐼𝑠𝑝

Al posto della velocità di scarica, possiamo introdurre l’impulso specifico limite, tramite la stessa convenzione: 𝐼_{𝑠𝑝 𝑙𝑖𝑚} = 𝑢𝑖 𝑔₀ = 1 𝑔₀ √ ɳ𝜀 2 𝑒 𝑉 𝑀

In realtà, il flusso effettivo degli ioni all’interno del getto è composto da ioni con diversi gradi di ionizzazione. Le perdite legate all’energia impiegata nelle ionizzazioni di ordine superiore sono molto basse rispetto quelle di prima ionizzazione, ma in seguito vedremo come il loro effetto può essere incluso nella trattazione ideale della specie ionica con numero di carica unitario, analizzando le correzioni che essi apportano alla spinta e alla velocità effettiva di scarica.

Per mantenere coerenza con la simbologia utilizzata fino ad ora, saranno indicate senza apice le condizioni riferite al flusso di ioni ideale con numero di carica unitario. Indicando con 𝑛𝑀𝐼 la

48 densità numerica del flusso ionico con diversi gradi di ionizzazione, possiamo utilizzare le espressioni valide per le miscele di gas, per determinare l’effetto delle frazioni del flusso con gradi superiori di ionizzazione rispetto al flusso ionico ideale con carica unitaria. Indicando con s il generico grado di ionizzazione del flusso, la densità numerica complessiva sarà la somma delle densità numeriche dei costituenti:

𝑛𝑀𝐼 _{= ∑ 𝑛}

𝑠 = 𝑛1 + 𝑛2+ 𝑛3+ ⋯

In quest’ultima relazione il termine 𝑛₁ indica la densità numerica della frazione del flusso reale con numero di carica unitario, 𝑛₂ quella con numero di carica pari a 2, ecc. C’è da tenere presente che il contributo di ciascun ordine superiore è così tanto minore che nella pratica soltanto i più sofisticati codici numerici di calcolo includono al più il terzo grado di ionizzazione.

Rappresentando la densità numerica di una specie reale generica 𝑛_𝑠 come una frazione 𝜁_𝑠 della densità numerica riferita al flusso di ioni ideale con carica unitaria (𝑛):

𝑛_𝑠 = 𝜁_𝑠 𝑛

Allora la densità numerica nel caso di ioni multipli può essere scritta in relazione al ionico ideale tramite la relazione:

𝑛𝑀𝐼 _{= 𝑛 ∑ 𝜁} 𝑠

In questo caso, la sovrapposizione dell’energia cinetica di tutte le specie deve eguagliare la frazione di energia disponibile per l’accelerazione:

∑ 𝑀

2 𝑢𝑠2 = ɳ𝜀 ∑ 𝑒 𝑍𝑠 𝑉𝑠

Dato che il salto di potenziale è il medesimo per tutte le specie, è possibile ricavare la relazione che lega la velocità di deriva di una specie generica rispetto al caso ideale:

𝑉𝑠= 𝑉

⇒ 𝑀

2 𝑢𝑠2 = ɳ𝜀 𝑒 𝑉 𝑍𝑠

49 Inoltre, la corrente di una singola specie (𝐼_𝑠 = 𝑒 𝑛_𝑠 𝑍_𝑠 𝑢_𝑠 𝐴) può essere espressa come una frazione (𝜉_𝑠) della corrente ionica nel caso ideale di carica unitaria (𝐼_𝑖):

𝜉_𝑠 = 𝐼𝑠 𝐼_𝑖 = 𝑍𝑠 3 2 ⁄ 𝜁_𝑠

Tenendo inoltre in considerazione le relazioni della portata di ciascuna specie, possiamo elaborare la relazione tra la portata ideale di ioni semplici con quella risultante del flusso con ionizzazione multipla: 𝑚̇_𝑠 = 𝑀 𝑒 𝐼_𝑠 𝑍_𝑠 𝑚̇_𝑖𝑀𝐼 _{= ∑ 𝑚̇} 𝑠 = 𝑚̇𝑖 ∑ 𝜉𝑠 𝑍_𝑠 Analogamente per la spinta:

𝑇_𝑠 = 𝑚̇_𝑠 𝑢_𝑠 = 𝑚̇_𝑖 𝑢_𝑖 𝜉𝑠 𝑍𝑠 𝑇𝑀𝐼 _{= ∑ 𝑇} 𝑠 = 𝑇 ∑ 𝜉_𝑠 √𝑍𝑠 = 𝑇 𝜋1

La velocità effettiva di scarica nel caso di ioni multipli si ottiene, per definizione, dal rapporto tra la spinta e la portata: 𝑣𝑒𝑀𝐼 = 𝑇𝑀𝐼 𝑚̇𝑀𝐼 = 𝑇 𝜋1 𝑚̇_𝑖𝑀𝐼 ɳ_𝑚 ⁄ = 𝑇 𝜋1 ɳ_𝑚 𝑚̇𝑖 ∑_𝑍𝜉𝑠 𝑠 = 𝑣𝑒 𝜋1 ∑ 𝜉𝑠 𝑍𝑠 = 𝑣𝑒 𝜋2

Nella pratica, quindi, il flusso ionico reale con diversi gradi di ionizzazione può essere trattato come un flusso di ioni con carica unitaria, inglobando il contributo della spinta (𝜋1) nel rendimento

di corrente (ɳ_𝑖) e il contributo della velocità effettiva di scarica (𝜋2) nel rendimento di massa (ɳ_𝑚):

𝜋₁ ~ ɳ_𝑖 𝜋2 ~ ɳ_𝑚

50 Ricapitolando, le espressioni dell’impulso specifico (𝐼𝑠𝑝) e della spinta (𝑇) risultano:

𝐼𝑠𝑝 = ɳ_𝑚 𝐼𝑠𝑝 𝑙𝑖𝑚

𝑇 = ɳ_𝑖 𝑀

𝑒 𝐼 𝑔0 𝐼𝑠𝑝 𝑙𝑖𝑚

Le caratteristiche di un HET possono essere visualizzate graficamente attraverso uno strumento molto utile denominato mappa delle prestazioni o Performance Map. Si tratta di un grafico che presenta in ascissa l’impulso specifico (𝐼_𝑠𝑝) e in ordinata la spinta (𝑇). In esso vengono parametrizzate le linee che corrispondono ad una potenza (𝑃) costante, ad una tensione (𝑉) costante e ad una corrente-portata costante. La mappa delle prestazioni è uno strumento analitico molto utile per prevedere le prestazioni operative di un HET intorno alle condizioni nominali di progetto e sarà meglio discussa nel capitolo successivo assieme alla descrizione della procedura per realizzarla. Nel paragrafo successivo vedremo invece quali sono le relazioni tra questi indici di prestazioni e le dimensioni del propulsore.

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