De’ massi soggetti a spinte: Il problema della determinazione delle grossezze murarie

Il Borgnis distingue due moti principali per azioni spingenti atte a <<smuovere>> i <<massi assoggettati>> ad esse: quelle che inducono un <<moto progressivo>> e quelle che generano un <<moto rotatorio>>. Nella prima casistica ricadono pannelli murari tozzi o con profilo a scarpa, soggetti essenzialmente a semplice traslazione; nella seconda ipotesi invece, si menzionano muri di mediocre grossezza o a scarpa poco inclinata. Mantenendo ben distinti i due fenomeni, egli delinea due modi di verifica differenti: il semplice raffronto della forza spingente con la resistenza del pannello murario per i moti di tipo traslazionali e l’equilibrio fra i momenti, ribaltante e stabilizzante, per i moti rotatori. <<Per i moti di semplice traslazione devesi istituire il confronto tra la semplice spinta e la resistenza de’ massi, mentre pei moti rotatorii il paragone deve farsi tra il momento della spinta e la somma de’ momenti della resistenza, riferendo i momenti allo spigolo esterno attorno cui il sistema può rivolgersi>>

(G.A.Borgnis, libro II, p 126) Nell’ipotesi che la spinta prevalga sulla resistenza sopportabile, vista la geometria dell’elemento in analisi, ed abbia luogo il caso in cui si generi l’attivazione di un meccanismo di tipo rotatorio, egli si preoccupa di individuare non soltanto la spinta massima, ma anche la posizione secondo cui la sezione di rottura si disporrà; ed evidenzia come quest’ultima coinciderà con la sezione di base, se e solo se, la coesione <<sarà grandissima>>, ed osserverà, ancora, come al diminuire di questa,

fra la sezione di rottura e l’orizzontale) aumenterà e la linea di rottura s’allontanerà sempre più dalla base […]>>

(G.A.Borgnis, libro II, p 129-30)

Figura 1.24 I massi omogenei soggetti alle spinte: l’individuazione dell’inclinazione della linea di frattura (Borgnis, 1842)

Invece, nel caso in cui il moto sia di tipo traslazionale, a quest’azione non si opporrà soltanto la forza coesiva, ma <<concordemente coesione ed attrito>>.

Un contributo fondamentale volto a definire le condizioni d’equilibrio limite di stabilità di un pannello sollecitato da una spinta, ci giungono, prima dal Belidor, in fine da Coulomb, senza tralasciare la trattazione del Borgnis e del Rondelet.

Figura 1.25 Studi sulla stabilità di un muro soggetto alla spinta dei terreni: Tavola del trattato originale La Science des Ingènieurs (Belidor, 1813).

Il trattato di Bernard Foster de Belidor, La Science des Ingènieurs, (vedi Figura 1.25) si pone come una pietra miliare nel panorama scientifico Europeo, di inizio 700’ infatti, con i suoi 6 volumi, quest’opera si propone come un testo onnisciente e didattico, nel quale è racchiuso tutto il sapere in materia di costruzioni. Edito nel 1729; egli dapprima si preoccupa di stabilire l’entità della spinta, ad esempio, generata da un cumolo di terra, esercitata su di un pannello murario isolato, atto a contenerla. Secondo la trattazione proposta dal Benvenuto, il Belidor individua P (la spinta) pari ad ½ del peso specifico (γ) del cumulo di terra considerato, moltiplicato per il quadrato della sua altezza, che successivamente modifica con P = ¼ γh2 al fine di tenere conto dell’attrito che ne contrasta ed impedisce lo scivolamento (vedi Figura 1.26).In altre parole, nel tentativo di valutare numericamente la spinta, egli cerca dapprima di stimare l’inclinazione del declivio naturale generato da un ammasso di terra: P = Q tg  (vedi Figura 1.26 A), con  erroneamente ritenuto corrispondente a 45° (vedi Figura 1.26 B), ottenendo così P = Q; considerando poi, γ il peso specifico della terra comune accumulata ed ABC il prisma che essa forma con altezza AB e profondità unitaria, si otterrà, quindi, Q =½ γh2 (vedi Figura 1.27).

A) B)

Figura 1.26 Studi sulla stabilità di un muro soggetto alla spinta dei terreni: A) Immagine reperita dalla trattazione del problema esposta dal Benvenuto; B) Giovanni Battista Borra Trattato della Ricognizione Pratica delle resistenze geometricamente dimostrato, Torino 1748 (Benvenuto, 1981).

Il Belidor, giunto quindi alla determinazione della spinta (P) come forza che cresce linearmente da A verso B, propone come criterio per il dimensionamento di un generico muro di contenimento, l’imporre il momento ribaltante, generato da P e valutato rispetto allo spigolo esterno posto alla base del pannello, minore del momento stabilizzante,

Tavola del trattato originale La Science des Ingènieurs (Belidor, 1813).

Da cui quindi:

Mr = 1/12 γ h3 Ms = 1/2 γI ha2 + γI haa₀ + 1/3 γI ha₀ 2

Con equazione d’equilibrio:

1/2 γI ha2 + γI haa₀ + 1/3 γI ha₀ 2 – 1/12 γ h3 = 0

Figura 1.28 Condizione d’equilibrio limite per la stabilità di un muro soggetto alla spinta dei terreni: Schema (Benvenuto, 1981).

Attraverso semplici passaggi matematici è possibile ricavare lo spessore necessario, che altro non è, che la nostra a:

a = - a₀ + (1/3 a₀ 2 + 1/6 γ/ γI h2)1/2

Coulomb, forte delle sue osservazioni circa le forze reattive e l’esistenza di una forza tangenziale limite e dell’attrito, rivede quanto riportato da

Belidor circa il calcolo della spinta massima ed individua, com’è ben noto, il metodo certo per determinare fra tutti i prismi possibili, al variare di , quello che realizza la pressione maggiore su di un muro caratterizzato, come rappresentato in Figura 1.29 dalla configurazione ABDE. Si otterrà quindi, che secondo Coulomb la spinta massima è data dalla equazione:

P = [½ γ Y Z (Y – fs Z) – τlim (Y2 + Z2)]/[Z + fs Y], con Q = ½ γ Y Z

Figura 1.29 Sulla teoria di Coulomb per le spinte esercitate dai terreni: Schema (Benvenuto, 1981).

Individuata quindi, l’azione orizzontale limite oltre la quale la stabilità e l’equilibrio non sono più garantiti, è da osservarsi come, tuttavia, la verifica a ribaltamento rimarrà invariata dei suoi contenuti basilari, ed implementata della nozione di coefficiente di sicurezza. Ciò vale a dire che egli prevede un fattore che va ad incrementare il momento stabilizzate, compreso fra 1,50 e 2,50; concetto questo molto interessante, che verrà ripreso dal Borgnis, il quale però chiamerà in causa gli aspetti morfologico-costruttivi dei materiali di cui è composto il pannello murario e cercherà in qualche modo di tenere conto dell’attrito e della coesione, come forze di reazione opposte alle pressioni orizzontali: <<Le forze che agiscono sopra un masso non possono smoverlo se pria non lo disuniscono nella sezione più debole; a questa separazione s’oppongono la coesione e l’attrito.>> (G.A.Borgnis, libro II, p 117)

quella che è effettivamente, supposizione che tende a fare aumentare la grossezza del masso istesso con vantaggio della stabilità.>>

(G.A.Borgnis, libro II, p 131) Inizia, finalmente, a darci le prime indicazioni circa la stretta intercorrelazione che sussiste fra le dimensioni geometriche <<dei massi di muratura>> e la stabilità degli stessi.

<<Ingrossando adunque un muro rettangolare, la sua resistenza alla semplice rimozione cresce in ragione della grossezza, mentre resiste al rovesciamento in ragion duplicata della grossezza.[…] Se il muro fosse assoggettato a semplici pressioni verticali basterebbe che la risultante di esse passasse per il centro di gravità della base delle fondamenta.

[…] La grossezza dei muri isolati dipende dall’altezza loro; dalla configurazione, dalla qualità dei materiali, e dalla accuratezza più o meno grande della mano d’opera. Fra tutte le figure che avere può la direttrice d’un muro isolato, il circolo offre, ad altre cose pari, maggior solidità, e richiede minor grossezza. I poligoni regolari tengono il secondo rango per robustezza, ed avranno tanto maggior forza quanto il numero dei lati sarà maggiore. Il quadrato offre poi maggior resistenza che il rettangolo, la cui forza scema di mano in mano ch’è più allungato.

Il più debole fra tutti i muri isolati è quello la cui direttrice è rettilinea, senza essere collegato con altri muri che facciano angolo con lui, giacchè in tal senso potrà bastare un abbassamento irregolare del suolo o della muratura, oppure un gagliardo urto accidentale a difformarlo od anche rovesciarlo.

Figura 1.30 Modalità di rottura per ribaltamento fuori dal piano pannello murario, quando AB è eccessivamente grande.(Borgnis, 1848)

Una porzione di un muro, compresa fra due angoli A, B, per rovesciarsi, deve rompersi in tre luoghi. Una delle fessure mm sta nel mezzo ed è verticale, le altre due ll, pp vicine agli angoli sono obblique. La resistenza del muro, essendo evidentemente tanto maggiore quanto più gli angoli sono vicini e viceversa, ne risulta quindi che se la distanza AB fosse assai grande, la resistenza della parte di mezzo di poco avanzerebbe quella d’un muro isolato. (Figura 1.30)>>

(G.A.Borgnis, libro II, p 159-60)

come quelle dei terreni, e, o sottoposti a pressioni verticali prodotte da solai e coperture.

Figura 1.32 Studi sulla stabilità dei muri isolati (Rondelet, 1832).

Si ricordi che Coulomb alla fine dell’estesa trattazione sui muri di sostegno, desumerà che la distanza E-A della Figura 1.29, ossia l’a della Belidor, dovrà essere pari a 1/7 dell’altezza A-B. (a = 1/7 di H)

Secondo Rondelet un muro isolato avrà la sua massima stabilità se la grossezza della sua profondità sarà pari all’ottava parte della sua altezza (a = 1/8 di H). Analogamente, la stabilità sarà dimezzata se queste due grandezze geometriche si troveranno in rapporto di 1/10 di E-A rispetto ad A-B. (a = 1/10 di H); tuttavia, il rapporto darà luogo ad una stabilità non ottimale ma sufficiente.

Circa queste proporzioni, desunte dall’osservazione di centinaia di fabbriche antiche, egli ci rende un metodo grafico, finalizzato a dare forma e compimento, al complesso pannello-spessore murario-distanza setti trasversali, armonizzata come riportato in Figura 1.33.

Figura 1.33 Studi sulla stabilità dei muri isolati. (Borgnis, 1848)

<<Il rapporto fra la grossezza e l’altezza del muro deve scemare allorquando la sua direttrice, invece di formare una sola retta, cinge uno spazio determinato; e questa diminuzione crescerà d’altrettanto più, che i lati compresi tra due angoli consecutivi avranno minore lunghezza. Il sovraccitato Rondelet propone un metodo grafico assai semplice per fissare questa diminuzione. sia abcd la faccia d’un pezzo di muro rettilineo compreso tra due angoli, dopo di avere segnata la diagonale bd, si prenda l’ottava parte dell’altezza, se richiedesi molta solidità, la nona e la decima parte per una costruzione leggiera; si trasporti questa misura da b in i, poi si guidi ic parallela ad ab; così ac indicherà la grossezza del muro.>>

(G.A.Borgnis, libro II, p 161) Egli trae, quindi, spunto e fondamento dai modelli ideale proposti degli stereotipi classici, rintracciando sostanzialmente i rapporti formali su cui si basavano gli <<antichi ruderi>>, leggiamo le parole dello stesso Rondelet:

<<[…] avendo osservato particolarmente più di duencentottanta fabbriche d’ogni genere, si antiche che moderne in Italia e nella Francia, ho riconosciuto […]>> Edifici ad 1 piano con tetto a falde

<<[…]in quelle che sostengono soltanto il tetto a due declivi, la minor grossezza dei muri in mattoni od in pietre grezze ben eseguite è la ventiquattresima parte della larghezza interna del fabbricato medesimo.[…]

Edifici a più livelli con solai intermedi

<<Nelle case particolari divise in più piani dalle impalcature, le grossezze de’ muri di facciata variano da quindici siano a ventiquattro pollici, quelle de’ muri intermedi da sedici a venti, e finalmente quelle de’ muri d’interna separazione da dodici a diciotto pollici. Nelle fabbriche di maggior entità i muri di facciata hanno da due sino a tre piedi di grossezza; gli intermedi da venti a ventiquattro pollici, e quelli d’interna separazione da quindici a venti pollici.

Nelle case particolari, in cui l’altezza dei piani non oltrepassa dodici o quindici piedi, per determinare la grossezza dei muri interni, devesi avere soltanto riguardo allo spazio intermedio ad al numero delle impalcature. Pei muri di facciata poi, i quali internamente sono isolati su tutta l’altezza, devosi prendere in considerazione la larghezza del fabbricato, non che la sua altezza, Perciò se il fabbricato sarà semplice in larghezza richiederà muri meno grossi a cose pari, che un fabbricato doppio; perché la loro stabilità è in ragion reciproca della distanza che separa un muro dall’altro.>> I muri divisori ed i piedritti isolati

<<La grossezza de’ muri di divisione si determina aggiungendo alla

distanza tra muro e muro, l’altezza del piano e prendendone la trentaseiesima parte. S’aggiunge poi a tal grossezza un mezzo pollice di più per ogni piano al disopra del pian terreno, qualora il muro sia di mattoni oppure di pietra si mezzana durezza, ed un pollice per ogni piano se fosse di pietre tenere o di tufo.

Per le tramezze leggiere che non sopportano impalcature basterà il quarto della grossezza assegnata dalle regole precedenti.

Devesi procurare di disporre le parti che circondano i piedritti isolati in modo che concorrano a mantenerli verticali; la larghezza poi delle loro basi varia tra l’ottava parte e la duodecima dell’altezza.>>

Edifici in aggregato

<<Se i muri che sostengono il tetto fossero fiancheggiati da altre costruzioni o da tetti laterali più depressi, si addizioni l’altezza totale del muro coll’altezza parziale al di sotto dell’appoggio laterale; prendesi la ventiquattresima parte di tal somma, poi si porti tal misura sulla diagonale, e si guidi al solito la parallela ic.>>

Edifici con strutture a volta al piano inferiore

<<Ne’ palazzi ed in altri fabbricati, il cui piano terreno è a volta, i muri di facciata hanno da quattro sino a nove piedi, ed i muri di separazione da due sino a sei piedi (piede parigino = 0,3248m)>>

Circa quest’ultima osservazione il Cavalieri riporta la medesima testimonianza e si sofferma sul tema mostrando 12 diverse combinazioni secondo le quali è possibile racchiudere la casistica dei muri instabilizzati da spinte laterali, o meglio <<destinati a resistere all’azione di qualche spinta laterale>>. Ogni caso verrà esposto e risolto secondo i principi della meccanica essenzialmente sviluppati dai canoni statici dell’equilibrio e della stabilità dei piedritti; egli si servirà di quanto divulgato dal Venturoli nell’opera già citata. Di seguito riportiamo l’elenco delle dodici ipotesi avanzate dal Cavalieri di cui si andranno a ricercare le condizioni ottimali di stabilità; tuttavia, solo 3 casi verranno esposti per esteso, il primo, il secondo ed il sesto:

1) Piedritto generico la cui sezione longitudinale risulta di forma circolare o poligonale inscrivibile in un cerchio;

2) Piedritto la cui sezione longitudinale e trasversale risulta di forma rettangolare: ossia un muro;

3) Parete la cui sezione trasversale richiede un profilo a scarpa; 4) Parete la cui sezione trasversale richiede ambedue i profili a

scarpa;

5) Calcolo del momento resistente di un muro con sezione longitudinale e trasversale di tipo rettangolare;

6) Parete rettangolare rinfiancata da contrafforti esterni, di forma parallelepipeda, uguali ed equidistanti;

7) Parete rettangolare rinfiancata da contrafforti disposti sulla faccia interna, di forma parallelepipeda, uguali ed equidistanti;

Pertanto, partiamo dal caso 1), ecco le parole dell’autore:

<<[…] qualora contro un piedritto simmetrico attorno del piano verticale ABCD, che abbia in G il suo centro di gravità, e il cui peso sia M, agisca una forza obliqua S diretta per quello stesso piano ed equivalente a due spinte, una P verticale, l’altra Q orizzontale, chiamando x ed y le due coordinate A E, F S d’un punto qualunque S preso ad arbitrio sulla direzione SR della forza, e k l’ascissa A X del centro di gravità, ed esprimendo per f il coefficiente dell’attrito, la stabilità del piedritto dipende da queste due condizioni:

f ( M P)>Q M k + P x > Q y (equilibrio alla traslazione) (equilibrio alla rotazione)

delle quali la prima può dirsi la combinazione delle forze, e riguarda la possibilità che alla massa del piedritto venga per azione della spinta impresso un movimento di traslazione verso il punto A, e la seconda, che può chiamarsi condizione dei momenti, provvede al caso che il piedritto potesse spostarsi con un movimento rotatorio intorno al punto A. Ora è chiarito che gli elementi M, k contengono implicitamente le dimensioni del piedritto, dipendentemente dalla forma di esso, e quindi generalmente dovranno tali dimensioni essere determinate in guisa che ne risultano tali valori di M e di k per cui entrambe le condizioni di stabilità si trovino adempite.

Più semplicemente la condizione de’ momenti può esprimersi senza risolvere la spinta S, solo che si conduca pel punto A la normale A Z sulla direzione S R della spinta stessa; poiché evidentemente il piedritto non potrà rovesciarsi girando intorno al punto A, sempre che sia M x A X > S + A Z. Sinteticamente se intendesi prolungata la verticale X G, condotta pel centro di gravità del solido, sinché giunga ad incontrare in I la direzione S R della spinta, ed applicate al punto I le due forze M, S, affinché i piedritto non possa concepire un movimento rotatorio intorno al punto A, sarà d’uopo

che la direzione della risultante di codeste due forze intersechi la base A B del piedritto fra i punti A e B.>>

Schematizzando, il Cavalieri in parole povere vuole ragguagliarci circa la necessità che la risultante dei carichi verticali e delle spinte, anche diversamente inclinate, si compongano secondo una risultante totale che intersechi la base senza fuori uscire dalla stessa, generando pericolose parzializzazioni della sezione muraria. Pertanto, raccomanda che le condizioni d’equilibrio, rispettivamente, alla traslazione ed alla rotazione, siano rigorosamente osservate; in modo tale che in nessun caso la componente orizzontale del vettore che individua la spinta S, e che genera essenzialmente il momento delle forze ribaltanti o traslazione rigida, possa oltrepassare il momento delle forze stabilizzanti o la pressione che le stesse, moltiplicate del coefficiente d’attrito che si conviene maggiormente al materiale costituente, esercitano sull’elemento in analisi.

caso 2):

<<Se il piedritto sia un muro rettangolare, e sia a la sua altezza, b la sua grossezza, supponendo che venga stimolato semplicemente da una spinta orizzontale Q sull’unità della sua lunghezza, sarà la condizione delle forze così espressa, abfG>Q, e quella dei momenti ab2G>2 Q y. Laonde se si supponga un muro laterizio alto m 12, stimolato verso la sommità da una spinta orizzontale si chilog. 4500, facendo f = 0,75 e G = 1522, si troverà che la prima condizione basterebbe che la grossezza del muro fosse maggiore di m. 0,33, ma che per l’adempimento della seconda converrà che la grossezza b sia maggiore di m. 2,43>>

L’interesse circa questo secondo caso, che apparentemente non ci riferisce nulla di nuovo, ruota intorno alla possibilità di estendere le condizioni di equilibrio che regolano la stabilità di un piedritto su di una parete muraria supponendola di lunghezza unitaria.

caso 6):

<< Se un muro rettangolare sia rinfiancato da contrafforti esteriori parallelepipedi, uguali, ed equidistanti, le condizioni della sua stabilità, supponendolo stimolato da una semplice spinta orizzontale Q, all’altezza y, e supponendo che sia c la lunghezza

stimolato in sommità da una spinta rappresentata da chilog. 4500, e rinfiancato da contrafforti esteriori distanti m.5 l’uno dall’altro da mezzo a mezzo, e ciascuno di essi lungo m. 1,50 e grosso m.1; ed esaminando quanto dovrebb’essere la grossezza b di esso muro. Si troverà che per la prima condizione sarebbe sufficiente che la grossezza b fosse maggiore di m. 0,10; ma che la seconda occorre che la grossezza del muro sia maggiore si m. 1,27.>>

Risulta molto interessante osservare l’effetto stabilizzante dei contrafforti, ponendo a confronto il caso 2 e 6; per ciascuna condizione si verifica una riduzione notevole dello spessore murario: equilibrio alla rotazione il dimensionamento finale dello spessore murario è quasi dimezzato; mentre per l’equilibrio alla traslazione è addirittura ridotto di circa 2/3.

Il Cavalieri, inoltre, a differenza del Borgnis e di altri autori coevi tratta con estremo rigore il tema dell’abbattimento dei carichi e si sofferma sul dimensionamento di piedritti e sezioni murarie resistenti a carichi verticali: la <<stabilità di resistenza dei muri alle pressioni verticali>>; nonché, sui rapporti formali che governano e danno compimento e proporzionalità alle fabbriche nel loro complesso planimetrico.