Denizione di Particelle Multicomponenti (Legge 7)

miscela di specie all'interno delle goccioline/particelle. La massa m della particella è la somma delle masse dei componenti

m=X

i

mi (4.104)

La densità della particella ρp può essere costante, o una media sul volume:

ρp = X i mi mρi !−1 (4.105) Per le particelle che contengono più di una componente è dicile assegnare l'intera particella ad un processo come l'ebollizione o riscaldamento. Di conseguenza può essere modellata soltanto da una legge che integri tutti i processi di rilevanza in un'equazione. I termini di sorgente per la massa e la temperatura della componente sono la somma delle sorgenti dai processi parziali: mpcp  dTp dt  = Appσ(θR4−Tp4)+hAp(T∞−Tp)+ X i dmi dt (hi,p−hi,g) (4.106) dmi

dt = ApMw.ikc,i(Ci,s− Ci,∞) (4.107) L'equazione per la temperatura della particella consiste dei termini per radia- zione, riscaldamento convettivo (equazione 4.71) e vaporizzazione. Il trasfe- rimento di calore per irraggiamento alla particella è incluso solo se i modelli appropriati sono stati attivati anche nelle caratteristiche dell'iniezione. La massa mi delle componenti della particella è inuenzata soltanto tramite

la vaporizzazione (equazione 4.80), dove Mw,i è il peso molecolare della spe-

cie i. La concentrazione di vapore alla supercie della particella Ci,sdipende

Legge di Raoult

La correlazione fra la concentrazione nel vapore di una specie Ci,s sopra

la supercie e la sua frazione molare nella fase condensata XL

i è descritta da legge di Raoult: Ci,s= pi RT = X_iLp RT (4.108)

Modello di Gas Reale di Peng-Robinson

Per il calcolo della concentrazione di vapore di una specie Ci,s sulla su-

percie dipende dal fatto che la compressibilità della fase vapore ZV _venga

presa in considerazione:

Ci,s= xiV

p

ZV_RT (4.109)

I dati per la pressione di vapore non sono più disponibili, quando un materiale della gocciolina è scelto come componente di una miscela, perché non sono necessari per il calcolo. Oltre a utilizzare la legge di Raoult e l'equazione di stato di Peng-Robinson, è possibile denire funzioni da parte dall' utente per il calcolo della concentrazione di vapore alla supercie della particella.

4.7 Teoria dell' Equilibrio Liquido Vapore

Un certo numero di importanti processi su scala industriale, quale distil- lazione, assorbimento e l'estrazione, mettono in contatto due fasi che non sono all' equilibrio. La velocità a cui una specie è trasferita a partire da una fase all'altra dipende dall'allontanamento del sistema dall'equilibrio. Il trattamento quantitativo di questi tassi di processo richiede la conoscenza delle condizioni di equilibrio del sistema. Oltre a questi casi, i rapporti di equilibrio vapore-liquido (VLE) nei sistemi a più componenti sono necessari per la soluzione di molte altre classi di problemi di ingegneria, quale il calcolo dei tassi di evaporazione nelle applicazioni di combustione a spray.

In FLUENT il tasso di vaporizzazione di una gocciolina a singola componen- te è calcolato dall'equazione 4.80, dove Ci,s è la concentrazione di equilibrio

delle specie della gocciolina nella fase gassosa ed è calcolato nell'equazione 4.81 come:

Ci,s= psat/RTp (4.110)

dove il Tp è la temperatura della gocciolina e psat è la pressione di saturazio-

ne delle specie della gocciolina a Tp.

Per il caso generale dove N componenti stanno volatilizzando da una goc- ciolina (distillazione), il tasso di evaporazione di ogni specie è dato di nuovo dall'equazione 4.80; tuttavia, il psatnell'equazione 4.110 deve essere sostitui-

to da pi, la pressione parziale della specie i, per calcolare la concentrazione

La pressione parziale della specie i può essere ottenuta dall'espressione ge- nerale per equilibrio bifase, identicante la fugacità delle componenti della miscela del vapore e del liquido [32]:

fiV = xiVφiVp= xiLφiLp= fiL (4.111)

dove xi è la frazione molare, φi è il coeciente fugacità per le specie i nella

miscela e p è la pressione assoluta. Gli apici V e L sono rispettivamente le variabili di fase vapore e liquida. I coecienti fugacità tengono conto per la non idealità nella miscela di gas e liquidi. La fugacità della fase liquida può essere calcolata dalla pressione di saturazione della componente pura psat,i

[38]:

fiL= xiLφiLp= γixiLφsat,iLpsat,iexp

 ViL(p − psat,i)

RT 

(4.112) Qui, φL

sat,i è il coeciente di fugacità per la i pura alla pressione di satura-

zione; γiè il coeciente di attività per la specie i nella miscela e rappresenta

la non idealità nella fase liquida; T è la temperatura in supercie della parti- cella. Si assume la perfetta conducibilità termica all'interno della particella, pertanto la temperatura della particella è preferibilmente da usare; R è la costante universale di gas; ViL è il volume molare del liquido. Il termine

esponenziale è il fattore di correzione di Poynting e tiene conto degli eetti di compressibilità all'interno del liquido. Tranne alle alte pressioni, il fattore di Poynting è solitamente trascurabile. In condizioni di bassa pressione dove si presume che la fase di gas sia ideale, φiV ≈ 1 e φsat,i ≈ 1. Inoltre, se si

suppone anche che il liquido sia ideale, quindi l'equazione 4.111 si riduce alla legge di Raoult,

xiVp= xiLpsat,i (4.113)

La legge di Raoult è l'espressione di equilibrio vapore-liquido predenita utilizzata da FLUENT nel modello di gocciolina a più componenti. C'è tuttavia un collegamento disponibile per UDF per i modelli di equilibrio di vapore-liquido diversi da quelli forniti.

Mentre la legge di Raoult rappresenta la forma più semplice dell'equazione VLE, si deve tenere presente che è di uso limitato, poichè le ipotesi fatte per la sua derivazione sono solitamente poco realistiche. Il presupposto più critico è che la fase liquida sia una soluzione ideale. Questo non è probabile che sia valido, a meno che il sistema è costituito da specie di analoghe di- mensioni molecolari e natura chimica.

Quando la legge di Raoult è applicabile, il tasso di vaporizzazione di ogni specie da una gocciolina a più componenti può essere calcolato dall'equazio- ne 4.80, con la concentrazione di equilibrio della specie i nella fase gassosa Ci,s calcolata come:

dove Tp è la temperatura della gocciolina, il xi è la frazione molare della

specie i nella gocciolina e il psat,i è la pressione di saturazione della specie i

a Tp.

Per le pressioni più alte, soprattutto vicino o al di sopra il punto critico delle componenti, devono essere considerati gli eetti di gas reale. La maggior parte dei modelli che descrivono i coecenti di fugacità usano un'equazione di stato cubica con la forma generale:

p= RT

V − b −

a(V − η)

(V − b)(V2_{+ δV − )} (4.115)

dove V è il volume molare. Per le applicazioni all'interno del cilindro, l'equa- zione di stato di Peng-Robinson è spesso usata [[29]], dove δ = 2b,  = −b2

e η = b:

p= RT

V − b −

a

(V2_{+ 2bV − b}2₎ (4.116)

Questa equazione denisce la compressibilità Z = pV RT = RT V − b − aV /RT (V2_{+ 2bV − b}2₎ (4.117)

L'implementazione dell'equazione di stato di Peng-Robinson in FLUENT utilizza questa espressione per entrambe le fasi, liquida delle particelle e la fase di vapore. I parametri a e b sono determinati dalla composizione utilizzando una legge di miscelazione semplice:

a =PN i=1 PN j=1xixj √ aiaj b =PN i=1xibi (4.118) dove N è il numero delle componenti nella miscela. I parametri dei compo- nenti puri possono essere ottenuti utilizzando la relazione con le costanti di Peng-Robinson: ai=  4.57235R 2_T2 c,i pc,i   1 + (0.480 + 1.574ωi− 0.176ωi2)  1 −_TT c,i 1/22 bi = 0.077796RT_pc,ic,i (4.119) dove Tc,i è la temperatura critica, pc,i è la pressione critica e il ωi è il fattore

acentrico della componente i.

Le fugacità delle componenti dipendono dalla compressibilità della fase di vapore e del liquido:

ln φi =  ∂(Aγ_/RT) ∂Ni  T,V,Nj6=i − ln Z (4.120)

dove Aγ _{è l'energia residua di Helmholtz, che è una funzione della compres-}

sibilità: Aγ RT = Z ∞ V [1 − Z]dV V + ln Z (4.121)

In sintesi, la frazione molare del vapore xV

i , la pressione p e le compressibilità

delle fasi vapore (ZV_{) e liquida (Z}L_{) alla supercie della particella sono}

determinate dalla frazione molare nella particella liquida xL

i delle componenti

e dalla temperatura Tp della particella. Le concentrazioni di vapore alla

supercie sono calcolate utilizzando la seguente equazione: Ci,s= xVi

p

ZV_RT (4.122)

4.8 Teoria di Erosione e di Accrescimento delle Par-