SCUOLA DI INGEGNERIA
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Aerospaziale
Tesi di laurea:
Analisi CFD dell’immissione
di uno spray in un condotto.
(Caso studio: Dispositivo SCR)
Candidato:
Fabio Capponi
Relatore:
Prof. Ing. G. Lombardi (DIA)
Relatore esterno:
Dott. Ing. G. Osbat (Magneti Marelli, Bologna)
Nella presente tesi si espone lo studio CFD per l'applicazione industriale di uno spray iniettato in un condotto percorso da gas caldi. Il modello si-co matemati si-co che si è scelto di adottare per lo spray è il Discrete Phase Model (DPM). Il lavoro proposto si sviluppa in due parti, uno studio termo- uidodinamico stazionario ed uno studio non stazionario dello spray e delle traiettorie delle gocce che lo compongono. La discussione dei risultati verrà eseguita attraverso la comparazione di funzioni obiettivo opportunamente scelte.
Abstract
In this thesis is exposed the CFD study for the industrial application of a spray injected in a duct routed from hot gases. The mathematical physical model who has been chosen to adopt the spray is the Discrete Phase Model (DPM). The proposed work is developed in two parts, a thermo uidody-namic steady study and an unsteady study of the spray and the trajectories of the droplets that compose it. The discussion of results will be done through the comparison of target functions properly chosen.
Indice
I Studio termo uidodinamico 9
1 Introduzione al problema 10
1.1 I diversi aspetti . . . 10
1.2 Le con gurazioni . . . 12
2 Soluzione usso stazionario 14 2.1 Creazione della griglia di calcolo . . . 14
2.2 Scelta parametri simulazione . . . 16
2.2.1 Scelta del solutore . . . 16
2.2.2 Modelli di turbolenza . . . 20
2.2.3 Equazione dell'energia . . . 28
2.2.4 Condizioni al Contorno . . . 29
2.2.5 De nizione Dei Materiali . . . 37
2.3 Analisi di sensibilità alla griglia . . . 39
2.4 Qualità Delle Griglie . . . 40
2.5 Discussione Dei Risultati . . . 40
2.5.1 Andamento dei residui . . . 41
2.6 Conclusioni . . . 41
3 Postprocessing usso stazionario 46 II Analisi non-stazionaria dello spray 52 4 Il Discrete Phase Model in Fluent 53 4.1 Introduzione . . . 53
4.1.1 Limitazioni . . . 53
4.2 Teoria del moto delle particelle . . . 54
4.3 Dispersione turbolenta delle particelle . . . 56
4.3.1 Tracciamento stocastico . . . 57
4.3.2 Tracciamento nube di particelle . . . 59
4.4 Integrazione dell'equazione di moto della particella . . . 62
4.5 Leggi per i Coe cienti di Resistenza . . . 64
4.5.1 Legge sferica di resistenza . . . 64 3
4.5.2 Legge non-sferica di resistenza . . . 65
4.5.3 Legge di resistenza di Stokes-Cunningham . . . 65
4.5.4 Legge di resistenza per alti numeri di Mach . . . 66
4.5.5 Teoria del modello di resistenza dinamica . . . 66
4.5.6 Leggi di resistenza del modello di fase discreta densa . 67 4.6 Leggi per lo Scambio di Calore e di Massa . . . 67
4.6.1 Riscaldamento o Rareddamento Inerte (Legge 1/Legge 6) . . . 67
4.6.2 Vaporizzazione della Gocciolina (Legge 2) . . . 70
4.6.3 Combustione di Super cie (Legge 5) . . . 76
4.6.4 De nizione di Particelle Multicomponenti (Legge 7) . 77 4.7 Teoria dell' Equilibrio Liquido Vapore . . . 78
4.8 Teoria di Erosione e di Accrescimento delle Particelle . . . 81
4.9 Teoria del Modello di Disfacimento Secondario . . . 82
4.9.1 Modello di Disgregazione per Analogia di Taylor (TAB) 82 4.9.2 Modello di Disgregazione Onda . . . 87
4.9.3 Calcolo del Numero di Weber . . . 90
4.10 Teoria del Modello di Collisione e di Coalescenza della Goc-ciolina . . . 91
4.10.1 Teoria . . . 92
4.11 Accoppiamento Unidirezionale e Bidirezionale . . . 94
4.11.1 Accoppiamento Fra le Fasi Discreta e Continua . . . . 94
4.11.2 Scambio della Quantità di Moto . . . 95
4.11.3 Scambio di Calore . . . 96
4.11.4 Scambio di Massa . . . 97
4.11.5 Sotto Rilassamento dei Termini di Scambio Interfase . 97 4.11.6 Scambi Interfase Durante il Tracciamento Stocastico . 99 4.11.7 Scambi Interfase Durante il Tracciamento di Tipo Nube 99 5 Soluzione del Flusso Non Stazionario 100 5.1 Strategia Adottata . . . 100
5.2 Discretizzazione Temporale . . . 100
5.2.1 Integrazione Temporale Implicita . . . 101
5.2.2 Integrazione Temporale Esplicita . . . 101
5.3 Algoritmo di Avanzamento del Tempo . . . 102
5.3.1 Schema Iterativo di Avanzamento del Tempo . . . 103
5.3.2 Schema Non Iterativo di Avanzamento del Tempo . . . 104
6 Parametri di Inezione 107 6.1 Condizioni Iniziali per la Fase di Discreta . . . 107
6.1.1 Tipi di Particelle . . . 108
6.1.2 Proprietà del Punto per le Iniezioni di Tipo Cono . . . 109
6.1.3 Utilizzo del Metodo di Distribuzione del Diametro di Rosin-Rammler . . . 112
6.1.4 Calcolo Del Coe ciente Esponenziale n . . . 116
6.2 Condizioni al Contorno per la Fase Discreta . . . 117
6.2.1 Tipi di Condizioni Contorno per la Fase Discreta . . . 118
6.3 Impostazione delle Proprietà dei Materiali per la Fase Discreta 120 6.3.1 Riepilogo degli Input delle Proprietà . . . 121
6.3.2 Impostare le Proprietà Fisiche della Fase Discreta . . . 121
6.3.3 Descrizione delle Proprietà . . . 121
7 Strategie di Soluzione per la Fase Discreta 132 7.1 Esecuzione dei calcoli della traiettoria . . . 132
7.1.1 Calcoli Accoppiati . . . 132
7.1.2 Procedure per un Flusso Bifase Accoppiato . . . 134
7.1.3 Tracciamento Stocastico nei Calcoli Accoppiati . . . . 134
7.1.4 Sotto-Rilassamento dei Termini di Scambio Interfase . 135 8 Risultati delle prove per la Fase Discreta 137 8.1 Resoconto degli Esiti delle traiettorie . . . 138
8.2 Resoconto di riepilogo . . . 139
8.3 Analisi dei Risultati . . . 144
8.3.1 Condotto con Flap a 30◦ . . . 144
8.3.2 Condotto con De ettore a 90◦ . . . 145
8.3.3 Confronto delle Soluzioni . . . 146
Elenco delle gure
2.1 Qualità della griglia attorno al de ettore . . . 15
2.2 Qualità della griglia alla radice del de ettore . . . 16
2.3 Condizione al contorno di Mass Flow Inlet . . . 30
2.4 Condizione di Pressure Outlet . . . 32
2.5 Condizione al contorno Wall . . . 33
2.6 Pro li della temperatura statica con Twall= 300K . . . 34
2.7 Pro li delle temperatura statica con convezione forzata e Twall= 335.336 K . . . 36
2.8 Impostazioni del usso di calore alla parete . . . 37
2.9 Andamento della velocità. . . 42
2.10 Andamento della temperatura. . . 43
2.11 Andamento della pressione statica. . . 44
2.12 Andamento dei residui delle prove campione. . . 45
3.1 Andamento della temperatura statica. . . 47
3.2 Andamento della temperatura statica. . . 48
3.3 Andamento del campo di velocità. . . 50
3.4 Andamento del campo di velocità. . . 51
4.1 Trasferimento di calore, massa e quantità di moto fra le fasi discreta e continua . . . 95
4.2 Eetto del numero degli aggiornamenti del termine di sorgente sul termine di sorgente applicato alle equazioni del usso . . . 98
5.1 Panoramica dei Metodi di Soluzione Basati sulla Pressione . . 104
5.2 Generalità dell'avanzamento di tempo del metodo iterativo della soluzione per il solutore segregato. . . 105
5.3 Generalità del metodo di soluzione con avanzamento del tem-po non iterativo . . . 106
6.1 Semi Angolo del Cono e Raggio . . . 111
6.2 Esempio di Distribuzione Cumulativa della Dimensione delle Particelle . . . 114
6.3 Curva di Rosin-Rammler interpolata per i dati di dimensione
delle particelle dell' esempio . . . 115
6.4 Distribuzione nel punto Y = −4mm . . . 124
6.5 Distribuzione nel punto Y = −2mm . . . 125
6.6 Distribuzione nel punto Y = 0mm . . . 126
6.7 Distribuzione nel punto Y = −8mm . . . 127
6.8 Distribuzione nel punto Y = 0mm . . . 128
6.9 Distribuzione nel punto Y = 8mm . . . 129
6.10 Condizione al Contorno Re ect per la Fase Discreta . . . 130
6.11 Condizione al Contorno Trap per la Fase Discreta . . . 130
6.12 Condizione al Contorno Trap per la Fase Discreta . . . 131
7.1 Calcoli Accoppiati per la Fase Discreta . . . 133
7.2 Eetto del Numero di Aggiornamenti del Termine Sorgente sul Termine Sorgente Applicato alle Equazioni del Flusso . . . 135
8.1 Estratto dei dati ottenuti. . . 143
8.2 Geometria del condotto per soluzione con de ettore a 30◦ . . 144
8.3 Distibuzione del riducente per condotto con de ettore a 30◦ . 145 8.4 Campo di velocità associato alla geometria con de ettore a 30◦146 8.5 Curve isolivello dell' Energia Cinetica Turbolenta con de et-tore a 30◦ . . . 147
8.6 Rappresentazione dell' accumulo di riducente sulle pareti per de ettore a 30◦ . . . 148
8.7 Geometria del condotto per soluzione con de ettore a 90◦ . . 149
8.8 Distibuzione del riducente per condotto con de ettore a 90◦ . 150 8.9 Campo di velocità associato alla geometria con de ettore a 90◦151 8.10 Curve isolivello dell'Energia Cinetica Turbolenta con de etto-re a 90◦ . . . 151
8.11 Rappresentazione dell'accumulo di riducente sulle pareti per de ettore a 90◦. . . 152
8.12 Rappresentazione dell'accumulo di riducente sulle pareti per de ettore a 90◦, super cie opposta al punto di iniezione. . . . 152
Elenco delle tabelle
2.1 Proprietà siche dei uidi di lavoro. . . 38
2.2 Proprietà siche dell' acciaio. . . 39
2.3 Qualità delle griglie. . . 40
3.1 Temperatura statica nel punto di iniezione. . . 49
4.1 Leggi attivate al variare del tipo di particelle. . . 68
4.2 Confronto tra un sistema molla-massa e una gocciolina in distorsione. . . 83
6.1 Qantità iniettate per ogni DC. . . 111
6.2 Esempio di distribuzione delle dimensioni delle particelle. . . 113
6.3 Esempio di tting dei dati alla distribuzione di Rosin-Rammler113 6.4 Riepilogo degli input per le caratteristiche del riducente. . . . 121
8.1 Diametri medi comuni e loro campi di applicazione . . . 143
Studio termo uidodinamico
Introduzione al problema
1.1 I diversi aspetti
Con il progresso il trasporto su gomma sia pubblico che privato è di-ventato un fenomeno di massa, ciò ha portato ad un notevole contributo in termini di quote degli inquinanti prodotti, questi sono composti chimici di diversa e natura e con eetti dierenti sull'ambiente e sull'uomo. Allo scopo di porre un tetto alla produzione di inquinanti si è vista la necessità dell' introduzione di norme sempre più stringenti per la protezione dell' ambien-te da parambien-te degli enti governativi, le norme Euro 6 di futura introduzione rendono necessaria da parte dei produttori di autoveicoli l'adozione di nuove soluzioni in aggiunta a quelle gia esistenti.
La soluzione qui studiata si basa sulla Riduzione Selettiva Catalitica (SCR); è un processo chimico per l'abbattimento degli NOx dei gas di
sca-rico. I dispositivi SCR sono comunemente utilizzati sia nella combustione industriale che nelle applicazioni mobili (come autoveicoli). Un agente chi-mico riducente allo stato liquido o gassoso viene aggiunto ai gas di scarico in presenza di un catalizzatore. Il riducente reagisce con gli NOx all'interno
del gas di scarico formando H2O (vapore acqueo) e N2 (gas azoto).
Diversi riducenti sono attualmente usati nelle applicazioni SCR compresi ammoniaca anidra, ammoniaca acquosa o urea. Tutti e tre i riducenti sono ampiamente - disponibili in grandi quantità.
L' ammoniaca anidra pura pur se estremamente tossica e di cile da im-magazzinare in modo sicuro, non ha bisogno di ulteriore conversione per funzionare all'interno di un SCR. Poiché non richiede ulteriore conversio-ne per essere utile, è preferita tipicamente dai grandi operatori industriali dell'SCR. L'ammoniaca acquosa deve essere idrolizzata per essere usata ma è signi cativamente più sicura da immagazzinare e trasportare che l'am-moniaca anidra. L'urea è la più sicura da immagazzinare, ma richiede la conversione ad ammoniaca attraverso la decomposizione termica per essere usata come un e cace riducente.
Le reazioni chimiche che hanno luogo sono le stesse della Riduzione Seletti-va Non Catalitica, ma la presenza di catalizzatore permette che la reazione abbia luogo a temperature minori (fra i 265 e i 425◦C) e con rendimenti di
riduzione più elevati (circa 80%). Il catalizzatore può essere costituito da un supporto, in genere ceramico, sulla cui super cie porosa è disperso un metallo (il più comunemente usato è il Vanadio) in grado di catalizzare la reazione.
In presenza di ammoniaca la reazione di riduzione degli NOx saranno le
seguenti:
4N O + 4N H3 → 4N2+ 6H2O (1.1)
2N O2+ 4N H3 → 3N2+ 6H2O (1.2)
N O+ N O2+ 2N H3 → 2N2+ 3H2O (1.3)
In presenza di urea la reazione sarà invece:
2CO(N H2)2+ 4N O + O2 → 4N2+ 2CO2+ 4H2O (1.4)
Con diverse reazioni secondarie:
2SO2+ O2 → 2SO3 (1.5)
2N H3+ SO3+ H2O →(N H4)2SO4 (1.6)
N H3+ SO3+ H2O → N H4HSO4 (1.7)
Nell' ambito della realizzazione di questo nuovo dispositivo per l'abbattimen-to degli inquinanti da gas di scarico per mezzo dell' iniezione di un liquido reagente, è stato proposto uno studio di uidodinamica interna su condotti di forma opportuna per consentirne l'installazione lungo la linea di scarico assecondando le esigenze dei produttori tenendo conto dei problemi tecno-logici legati ai materiali utilizzati e delle principali problematiche di questo sistema di abbattimento degli ossidi di azoto che sono principalmente:
• La corrente di fumi contiene una percentuale di NOx generalmente inferiore all'1%. Risulta dunque fondamentale ottenere una corretta miscelazione tra la corrente dei fumi e quella di ammoniaca, per per-mettere ai reagenti di entrare a contatto. Questo problema si ri ette anche nel fenomeno dell' ammonia slip: immettere l'ammoniaca ste-chiometrica provocherebbe la sua presenza nei fumi, poiché nelle parti nali dell'abbattitore la concentrazione di NOx sarebbe troppo bassa
per ottenere la reazione completa di tutte le molecole di ossido di azoto presenti nei fumi. Questo fenomeno è altamente indesiderato, in quan-to l'ammoniaca è ancora più dannosa degli NOx stessi, e per questo
l'e cienza di questi sistemi non va generalmente oltre l'85%.
• La corrente di fumi miscelati ad ammoniaca deve essere equamente distribuita su tutto il catalizzatore. Se infatti la corrente tendesse a
concentrarsi su determinate zone del catalizzatore piuttosto che su di altre l'e cienza del sistema diminuirebbe sensibilmente.
• Un altro problema particolarmente comune nelle applicazioni automo-bilistiche è la temperatura relativamente insu ciente del gas di scarico con conseguente bassa temperatura del monolito del catalizzatore del-l'SCR fuori della gamma ottimale. Ciò è un problema particolarmente nelle circostanze di avviamento a freddo.
• Per accertarsi che l'unità dell'SCR rimanga esente dagli agenti inqui-nanti, i materiali di costruzione corretti devono essere usati sia per l' immagazzinaggio che per erogare. I fornitori dell'unità dell'SCR hanno speci cato che, senza l' uso di materiali di costruzione compatibili, gli ioni possono essere passati dai materiali d'erogazione nella testa po-rosa sull'unità dell'SCR. Ciò può rendere l'unità dell'SCR ine cace e ridurre la vita operativa più del 60%.
• Altra grande questione con l'SCR è la necessità di sintonizzare il si-stema dell'SCR al ciclo di funzionamento del motore. Ciò richiede la corsa del motore per una simulazione del ciclo operativo della macchina a cui verrà installato. La simulazione può essere fatta funzionare su un dinamometro, o su una veicolo reale durante un suo giorno di normale lavoro (registrazione di dati). Anche nel migliore dei casi, la registra-zione di dati tende ad essere inesatta, perché non esistono due operatori che utilizzeranno l'apparecchiatura nello stesso modo. Anche quando utilizzata per gli stessi usi generali (cioè, un camion che trasporta le merci ai depositi in una città), le piccole dierenze nell'itinerario quali le colline, i sensi unici, quantità scaricate, ecc., può rendere i carichi del motore abbastanza dierenti al punto che l'e cacia del sistema ne sorirà.
Si è proceduto all'analisi dei campi di temperatura del uido per veri carne l'ammissibilità in relazione alle caratteristiche meccaniche del materiale di cui è composto il dispositivo di iniezione, in seguito sono state ssate due funzioni obiettivo per valutare l'e cienza dell'iniezione al variare della forma del condotto con lo scopo poter ottenere un grado di riduzione il più alto possibile.
1.2 Le con gurazioni
Nello sviluppo di questo dispositivo, dovendo prendere in considerazione la possibilità di montaggio in diversi punti lungo la linea di scarico, a seconda delle esigenze dei vari costruttori, si è proceduto allo studio di diverse geo-metrie di condotto. Le geogeo-metrie proposte sono state realizzate pensando
al rispetto dei requisiti prima esposti, dovendo quindi garantire una certa vita operativa al dispositivo questo è stato installato a varie distanze dal usso principale dei gas caldi, sfruttando come isolante termico un volume di uido presente all' interno di un tubo più piccolo in diametro che svolge anche la funzione di supporto per il dispositivo comprendendo anche la parte elettrica, oltre alla lunghezza cambia anche l' angolo che l'asse quest' ultimo forma con l' asse del condotto di scarico,questo è un parametro geometrico che va ad in uenzare il mescolamento del riducente iniettato.
Si procederà quindi in due fasi, verranno scartate quelle geometrie che non garantiscono il rispetto delle speci che termiche,nella seconda si lavorerà quindi sulle geometrie delle rimanenti, in seguito alla valutazione delle fun-zioni obiettivo e del campo uidodinamico sulla geometria di base fornita per avere un termine di paragone, verranno valutate diverse possibilità tra cui l' inserimento di un de ettore e l' utilizzo di un tubo di supporto troncoconico anziché cilindrico.
Soluzione usso stazionario
2.1 Creazione della griglia di calcolo
Dai documenti cartacei ed informatici forniti è stato ricavato un modello tridimensionale delle varie geometrie di condotto, si è poi proceduto alla co-struzione su tale geometria della griglia di calcolo. Il modello CAD è stato creato nel preprocessore di FLUENT chiamato GAMBIT, questo per evi-tare problemi che si possono avere durante il trasferimento dall' ambiente di disegno al preprocessore dovuto alla creazione di elementi geometrici che vengono identi cati come virtuali, non sempre tali elementi vengono con-vertiti correttamente in elementi reali sui quali è poi possibile applicare la griglia di calcolo.
A seconda della geometria tale operazione può essere quella che richiede il maggior numero di ore, inoltre deve essere creata tenendo conto delle speci- cità del problema. Nel caso proposto infatti, essendo il uido viscoso sarà presente uno strato limite sulle pareti, inoltre data la dierenza di tempe-ratura presente fra il gas di scarico e l' ambiente esterno in prossimità sarà presente un elevato gradiente di temperatura, quindi per avere una corretta rappresentazione di questi è necessario costruire una griglia con una densità di celle maggiore in prossimità delle pareti. Inoltre celle troppo grandi in prossimità delle pareti possono compromettere la convergenza se si è fuori dall' intervallo di valori delle grandezze y+ o y∗ compatibile con il modello
turbolento scelto.
La risoluzione adeguata della griglia per i ussi turbolenti è infatti molto im-portante. A causa della forte interazione del usso medio e della turbolenza,i risultati numerici per i ussi turbolenti tendono ad essere più suscettibili del-la dipendenza di griglia che quelli per i ussi del-laminari. Neldel-la regione vicino alla parete, dierenti risoluzioni della griglia sono richieste a seconda del mo-dello che si sta usando in tale regione.
Ciò è possibile in GAMBIT attraverso diversi strumenti, per le geometrie prive di ap è stato usato lo strumento Boundary Layer dove è possibile
Figura 2.1: Qualità della griglia attorno al de ettore
costruire un numero de nito dall' utente di strati sovrapposti di celle pri-smatiche, questi si accrescono dalla parete in direzione normale ad essa dove possibile, mentre in presenta di spigoli è possibile attivare delle funzione che permettono di contornare in maniere adeguata i particolari geometrici al -ne di evitare la creazio -ne di griglie che contengano celle con una skew -ness elevata.
Questo infatti è uno dei parametri fondamentali per valutare la bontà del-la griglia, un modello ben impostato applicato su una griglia con skewness elevata di cilmente arriverà a convergenza, in genere per un caso tridimen-sionale è preferibile un valore massimo attorno a 0.8. Purtroppo questi ac-corgimenti si sono rivelati controproducenti nelle geometrie con de ettore, infatti in presenza di angoli acuti interni questi portano alla formazione di celle con skewness molto elevata ≈ 1 o nel caso peggiore nel tentativo da parte del programma di contornare un angolo interno acuto, la costruzione di celle con volume negativo dovuta alla compenetrazione fra celle causata dalla condizione imposta dalla normale alla parete.
Nella gura 2.2 è riportata la qualità delle celle che compongono lo strato limite avendo preso come piano di sezione quello di simmetria che passa per gli assi dei due condotti, il particolare evidenziato si riferisce alla zona di collegamento fra de ettore e pareti del condotto.
Per queste geometrie si è seguito diverso approccio, usando un' altro stru-mento le Size Function. Queste permettono di de nire la dimensione delle celle in prossimità di una o più entità geometriche (curve o super ci) che costituiscono il volume di simulazione, partendo dalla griglia di calcolo
ap-Figura 2.2: Qualità della griglia alla radice del de ettore
plicata su una o più di esse ed imponendo la dimensione di quegli elementi che la compongono, da queste le celle tetraedriche si accrescono verso l'interno del volume con un grado di accrescimento de nito attraverso un parametro numerico, minore è quest'ultimo più graduale sarà l'accrescimento. Questo ha consentito di costruire una griglia più tta dove richiesto senza dover usa-re una dimensione delle celle omogenea ovunque, che avusa-rebbe portato ad un elevato numero di celle non necessario in alcune zone del volume aumentando così i tempi di calcolo, in modo da ottenere una griglia più ne in prossimità delle pareti solide simile a quella ottenuta con lo strumento Boundary Layer, tale accorgimento si è reso necessario per ottenere la convergenza della solu-zione per i problemi prima citati.
2.2 Scelta parametri simulazione
2.2.1 Scelta del solutore
Per la soluzione del problema proposto è stato usato il software FLUENT, dopo aver caricato la griglia è necessaria una veri ca su di essa per deter-minare la presenza o meno di celle a volume negativo od altri problemi, si procede poi alla de nizione del modello matematico adatto al nostro caso. Sono stati forniti dati sperimentali rappresentativi di tre diverse condizioni di utilizzo del motore dette Punti Motore, ognuno di questi è stato de nito attraverso le seguenti grandezze:
• Giri al minuto [RPM]
• Pressione Media Eettiva [bar] • Rapporto Aria-Combustibile [%]
per i tre punti motore con rapporto stechiometrico è stato eseguito il campio-namento della Massa d' Aria in [kg/h] ad intervalli di 65 ms e della quantità di riducente iniettato in mm3/str con una frequenza di 30 Hz.
Le temperature invece sono state rilevate su diverse postazioni per mezzo di sonde lungo la linea di scarico anche per condizioni di utilizzo diverse da quelle con rapporto aria-combustibile stechiometrico, precisamente:
DCmagro= DCstechim − 6% (2.1)
DCgrasso= DCstechim + 6% (2.2)
è stata quindi calcolata la media per la portata d'aria durante il tempo di simulazione e presi i valori delle temperature a regime nei punti d'interesse lungo il condotto, questi sono stati utilizzati per determinare i modelli più appropriati per il usso che si presenta in tali condizioni, si è scelto di analiz-zare uno soltanto dei punti motore disponibili in condizioni stechiometriche utilizzando i seguenti modelli:
• Solver: Pressure Based storicamente,questo metodo è stato svilup-pato per i ussi incompressibili a bassa velocità. Tuttavia, recentemen-te il metodo è stato esrecentemen-teso e riformulato per risolvere e funzionare su una vasta gamma di condizioni di usso oltre il loro intento tradizio-nale o origitradizio-nale. In tale metodo il campo di velocità è ottenuto dalle equazioni di quantità di moto. Nel metodo pressure-based, il campo di pressione è ricavato risolvendo un'equazione di correzione della pres-sione o di prespres-sione che è ottenuta dalla manipolazione dalle equazioni di quantità di moto e di continuità. Usando questo metodo, FLUENT risolverà le equazioni integrali di governo per la conservazione della massa e della quantità di moto e (quando appropriato) per energia ed altri scalari quale le specie dei prodotti chimici e la turbolenza. La tecnica utilizzata è basata sul volume di controllo che consiste di:
1. Divisione del dominio in volumi di controllo discreti usando una griglia di calcolo. Per questo metodo numerico il processo di discretizzazione è quello dei volumi niti.
2. Integrazione delle equazioni governanti sui diversi volumi di con-trollo per costruire le equazioni algebriche per le variabili di-pendenti discrete (incognite) quali le velocità, la pressione, la temperatura e gli scalari conservati.
3. Linearizzazione delle equazioni discretizzate e soluzione del siste-ma risultante di equazioni lineare per rendere aggiornati i valori delle variabili dipendenti.
• Formulation: Implicit possiede più vaste caratteristiche di stabi-lità,quindi una soluzione stazionaria convergente può essere ottenuta molto più velocemente usando la formulazione implicita piuttosto che la formulazione esplicita. Tuttavia, la formulazione implicita richie-de più memoria che la formulazione esplicita. Nello schema implicito, una discretizzazione implicita di Eulero nel tempo delle equazioni di governo Γ∂ ∂t Z V QdV + I [F − G] · dA = Z V HdV (2.3)
è combinata con una linearizzazione di Newton dei ussi per produrre il seguente sistema linearizzato in forma delta:
D + Nfaces X j Sj,k ∆Qn+1= −Rn (2.4)
Le matrici dei coe cienti D e Sj,k, sono date da:
D = V ∆tΓ + Nfaces X j Sj,i (2.5) Sj,k = ∂Fj ∂Qk − ∂Gj ∂Qk Aj (2.6)
ed il vettore dei residui Rn e l'intervallo di tempo ∆t sono de niti
dall'equazione Ri = Nfaces X F(Qi) − G(Qi) · A − V H (2.7) e dall' equazione ∆t = P2CFL · V fλfmaxAf (2.8)
,rispettivamente dove V è il volume delle celle, Af è la faccia della
cella, e λfmax è il massimo degli autovalori locali de niti come:
u, u, u, u0+ c0, u0− c0 (2.9) dove u = v · ˆn u0 = u (1 − α) c0 = pα2u2+ U2 r α = 1 − βUr2 /2 β = ρp+ ρT ρCp
• Space: 3D sta ad indicare il numero di dimensioni del caso che si andrà a risolvere.
• Time: Steady signi ca che si sta risolvendo un usso stazionario, le equazioni di governo per il solutore pressure-based non contengono i termini dipendenti dal tempo.
Nel caso stazionario, è assunto che il tempo continui a procedere no ad una soluzione stazionaria sia raggiunta. Il sotto-rilassamento delle variabili è utilizzato in tutti i casi per alcune proprietà materiali, nel solutore NITA per le variabili della soluzione, e nell'algoritmo accop-piato pressure-based dove questo sotto-rilassamento esplicito è usato per quantità di moto e pressione.
A causa della non linearità del sistema di equazioni da risolvere con FLUENT, è necessario controllare il cambiamento di φ.Ciò è realizzato tipicamente tramite il sotto-rilassamento delle variabili (anche citato come rilassamento esplicito), che riduce la variazione di φ prodotto durante ogni iterazione. In forma sempli cata, il nuovo valore della variabile φ all'interno di una cella dipende dal vecchio valore, φold, il
cambiamento calcolato in φ, ∆φ, ed il fattore di sotto-rilassamento, α, come segue:
φ= φold+ α∆φ (2.10)
Il sotto-rilassamento delle equazioni, anche conosciuto come rilassa-mento implicito, è utilizzato nel solutore pressure-based per stabilizza-re il comportamento di convergenza delle iterazioni non lineari esterne introducendo quantità selettive di φ nel sistema delle equazioni discre-tizzate. Ciò è equivalente all' intervallo di tempo location-speci c:
apφ α = X nb anbφnb+ b + 1 − α α apφold (2.11)
Il numero di CFL è un parametro della soluzione nell' algoritmo ac-coppiato pressure-based e può essere scritto in termini di α:
1 − α
α =
1
CF L (2.12)
• Velocity Formulation: Absolute è preferibile usare la formulazio-ne di velocità che risulterà avere per la maggior parte del dominio di usso le più piccole velocità in tale sistema riferimento, quindi ridurre la diusione numerica nella soluzione e conducendo ad una soluzione più accurata.
La formulazione assoluta della velocità è preferita nelle applicazioni dove il usso nella maggior parte del dominio non sta girando.
• Gradient Option: Green-Gauss Cell Based I gradienti sono ne-cessari non solo per la costruzione dei valori di uno scalare alle facce delle celle, ma anche per calcolare i termini secondari di diusione e delle derivate della velocità. Il gradiente ∇φ di una data variabile φ è usata per discretizzare i termini di diusione e di convezione nelle equazioni di conservazione del usso.
Quando il teorema di Green-Gauss è usato per calcolare il gradiente dello scalare φ al centro delle celle c0, la seguente forma discreta è scritta come (∇φ)c0= 1 V X f φf A~f (2.13)
dove φf è il valore di φ al centroide della faccia della cella, calcolato
secondo le indicazioni che seguono qui sotto. La sommatoria è su tutte le facce che racchiudono la cella.
Da impostazione, il valore nominale, φf, nell'equazione 2.13 è preso
dalla media aritmetica dei valori ai centri delle celle con nanti, cioè, φf = φc0+ φc1
2 (2.14)
• Porous Formulation: Super cial Velocity questa scelta in uisce sulla soluzione nel caso in cui nel volume di calcolo sia presente un mezzo poroso attraverso il quale passi il uido. Nel caso analizzato non sono presenti zone porose, indica il modello applicato per il calcolo della velocità all'interno del mezzo poroso.
2.2.2 Modelli di turbolenza
Altro punto centrale nella de nizione dei parametri è la scelta del mo-dello di turbolenza,attualmente nessun momo-dello di turbolenza è accettato come essere nettamente superiore per tutte le casistiche di problemi. Quin-di la scelta del modello Quin-di turbolenza Quin-dipenderà dal tipo Quin-di usso che ci aspettiamo nel nostro speci co problema, dalle risorse computazionali che abbiamo, dal tempo a disposizione per la simulazione, dal livello di accu-ratezza che vogliamo soprattutto se interessano particolarmente gli eetti alle pareti.Mentre è impossibile stabilire categoricamente quale modello sia il migliore per un'applicazione speci ca, sono presenti linee guida generali per aiutare a scegliere il modello di turbolenza adatto per il usso che si vuole modellare.In alcune situazioni, è adatto speci care un valore uniforme della quantità di turbolenza al contorno dove avviene l'entrata del usso, ad esempio ussi in condotti completamente sviluppati dove i pro li esatti delle quantità di turbolenza sono sconosciuti.
Nella maggior parte dei ussi turbolenti, i livelli più alti di turbolenza sono generati all'interno degli strati limite piuttosto che entrare nel dominio dai
contorni del usso, rendendo il risultato del calcolo relativamente insensibile ai valori al contorno all' ingresso scelti. Tuttavia, attenzione deve essere usa-ta per accerusa-tarsi che i valori al contorno non siano così lonusa-tani della realtà tali da contaminare la soluzione o impedire la convergenza. In questo caso non avendo a disposizione dati sperimentali per tali valori e ritenendo, dato il tipo di usso, non necessario l'uso di formule empiriche per la de nizione di pro li, le condizioni al contorno sulla turbolenza sono state fornite per mezzo delle seguenti grandezze:
• Intensità di turbolenza, I, è de nito come il rapporto del valore qua-dratico medio delle uttuazioni di velocità, u0, alla velocità di usso
media, uavg.
Un'intensità di turbolenza del 1% o di meno è considerata generalmen-te bassa e ingeneralmen-tensità di turbolenza maggiori di 10% sono considerati elevati. Per i ussi interni, l'intensità di turbolenza agli ingressi di-pende completamente dalla storia a monte del usso. Se il usso a monte è sottosviluppato ed indisturbato, potete usare un'intensità di turbolenza bassa. Se il usso è completamente sviluppato, l'intensità di turbolenza può essere nell'ordine di alcuni punti percentuali. L'in-tensità di turbolenza al centro di un usso completamente sviluppato in un condotto può essere valutata dalla seguente formula derivata da una correlazione empirica per i ussi in tubi:
I ≡ u
0
uavg
= 0.16(ReDH)
−1/8 (2.15)
Dai dati forniti si calcolato un livello di intensità di turbolenza pari a 4% − 5%.
• La scala di lunghezza della turbolenza, `, è una quantità sica relativa alla dimensione dei grandi vortici che contengono l'energia nei ussi turbolenti.
Nei ussi completamente sviluppati in condotti, ` è limitato dalla di-mensione del condotto, poiché i vorici turbolenti non possono essere più grandi del condotto. Una relazione approssimativa tra ` e la dimensione sica del condotto è
`= 0.07L (2.16)
dove L è la relativa dimensione del condotto. Il fattore di 0.07 è ba-sato sul valore massimo della lunghezza di mescolamento in un usso turbolento completamente sviluppato in condotto, dove L nel nostro caso è il diametro del condotto.
Dovrebbe essere notato che la relazione dell'equazione precedente,la quale collega una dimensione sica (L) alla scala di lunghezza di tur-bolenza (`), non è necessariamente applicabile a tutte le situazioni. Per la maggior parte dei casi, tuttavia, è un'approssimazione adatta.
Il caso in esame tratta di moto in condotti, si ha dunque la corri-spondenza L = DH dove DH indica il diametro idraulico, essendo il
condotto circolare si ha DH = d = 0.057 m
Si riporta di seguito la descrizione dei due modelli utilizzati nella soluzione del caso in esame:
k − Standard
Questo è il modello relativamente più completo che consta di due equazio-ni di trasporto, la cui risoluzione separata permette alla velocità turbolenta e alle lunghezze di scala di essere calcolate indipendentemente. Ha molti pregi: dà una ragionevole accuratezza, è economico e robusto e può essere applicato ad un range abbastanza ampio di ussi turbolenti. Si tratta di un modello semi-empirico che però non è consigliabile per alcune classi par-ticolari di problemi. L'equazione di trasporto del modello per k è derivata dall'equazione esatta, mentre l'equazione di trasporto del modello per è sta-ta ottenusta-ta usando ragionamento sico e sostiene poca rassomiglianza alla sua controparte matematicamente esatta. L'energia cinetica della turbolen-za, k, ed il suo tasso di dispersione, , sono ottenuti dalle seguenti equazioni di trasporto: ∂ ∂t(ρk)+ ∂ ∂xi (ρkui) = ∂ ∂xj µ+ µt σk ∂k ∂xj +Gk+Gb−ρ−YM+Sk (2.17) e ∂ ∂t(ρ) + ∂ ∂xi µ+µt σ ∂ ∂xj + C1 k(Gk+ C3Gb) − C2ρ 2 k + S (2.18) In queste equazioni, Gk, rappresenta la generazione di energia cinetica di
turbolenza dovuta ai gradienti medi di velocità. Gb è la generazione di
energia cinetica di turbolenza dovuta al galleggiamento. YM rappresenta il
contributo della dilatazione oscillante nella turbolenza compressibile al tasso generale di dissipazione. C1, C2, C3 sono costanti. σk e σ sono i numeri
di Prndtl per k e , rispettivamente. Sk e S sono termini sorgente de niti
dall' operatore.
La viscosità turbolenta, µt, è calcolata per mezzo della combinazione di k e
come segue:
µt= ρCµ
k2
(2.19)
dove Cµ è una costante.
Le costanti del modello C1, C2, Cµ, σk e σ hanno i seguenti valori
presta-biliti:
Questi valori sono stati determinati a partire da esperimenti con aria ed acqua per ussi tangenziali turbolenti fondamentali compresi i ussi tangen-ziali omogenei e il decadimento della turbolenza isotropa di griglia. Sono stati dimostrati funzionare ragionevolmente bene per una vasta gamma dei ussi tangenziali limitati da parete e liberi.
La sua utilità, però è stata testata per i problemi di trasferimento di calore ed è per questo che sarà utilizzato per l'applicazione in esame. Ne sono state sviluppate delle varianti per aumentarne il range di applicazioni:
• RNG: il modello è stato derivato usando una tecnica statistica rigoro-sa (denominata teoria del gruppo di rinormalizzazione), ha un termine addizionale nell'equazione della che incrementa l'accuratezza per us-si che us-si deformano rapidamente e per us us-si che hanno comunque una alta rotazionalità. Possiede, inoltre, una gamma di formule per il nu-mero di Prandtl turbolento mentre nel modello k − standard bisogna intervenire dall'esterno digitando per lo stesso una funzione user de -ned.
Mentre il modello standard k- è un modello per alti numeri Rey-nolds, la teoria RNG fornisce una formula dierenziale derivata ana-liticamente per la viscosità eettiva che tiene conte degli eetti di un basso numero Reynolds. L'e cace uso di questa caratteristica, tutta-via, dipende da un appropriato trattamento della regione vicino alla parete.
Queste caratteristiche fanno il modello RNG k- più accurato e a da-bile per una categoria più ampia dei ussi che il modello standard k-. • Realizable k − model: contiene una nuova formulazione della vi-scosità turbolenta, in più possiede una nuova equazione del rateo di dissipazione, , che proviene da una equazione esatta per il trasporto delle uttuazioni quadratiche medie della vorticità. Il termine realiza-ble signi ca che il modello soddisfa certi vincoli matematici sul tensore di Reynolds. Un immediato bene cio di questa variante è una maggiore accuratezza nel calcolo del rateo di diusione di ussi piani e circolari. Maggiore accuratezza si legge anche in ussi rotazionali, strati limite sottoposti a gradienti di pressione avversi molto forti, separazioni e ri-circolazioni. Un limite di questa variante è la perdita di accuratezza in ussi dove vi è la presenza e di parti rotazionali e di parti stazionarie. k − ω Standard
Tale modello è in grado di predire, in buon accordo con le misurazioni, fenomeni come la scia di un corpo tozzo, ussi che si mescolano a diverse velocità, getti piani, circolari e radiali. Dispone di varianti come l'SST (Shear Stress Transport) k −ω che risulta piu accurato ed applicabile ad una
gamma piu ampia di problemi rispetto a quello standard (es. gradienti di pressione avversi, pro li alari, onde d'urto in transonico). Entrambi i modelli hanno forme simili,con equazioni di trasporto per k e ω. I principali motivi per cui il modello SST è diverso dal modello standard sono i seguenti:
• cambiamento graduale dal modello standard k − ω nella regione inte-riore dello strato limite ad una versione per alti numeri di Reynolds del modello k − nella parte esterna dello strato limite
• una formulazione modi cata della viscosità turbolenta per compensare gli eetti di trasporto dello sforzo di taglio turbolento principale Il modello standard k − ω nel solutore si basa sul modello k − ω di Wilcox, il quale incorpora modi che per gli eetti dei bassi numeri di Reynolds, com-primibilità e diusione del usso tangenziale. Il modello di Wilcox prevede tassi di espansione libera del usso tangenziale che sono in stretto accordo con le misure per scie lontane, strati di mescolamento ed getti piani, rotondi e radiali ed è quindi applicabile a ussi limitati da pareti e ussi tangenziali liberi.
Il modello standard di k − ω è un modello empirico basato sulle equazioni di trasporto di modello per l'energia cinetica di turbolenza (k) ed il tasso speci co di dissipazione (ω), che può anche essere pensato come al rapporto di a k.
Come è stato modi cato il modello k − ω nel corso degli anni, i termini di produzione sono stati aggiunti alle equazioni sia di k che di ω, i quali hanno migliorato l'esattezza del modello per la predizione dei ussi liberi tangen-ziali.
L'energia cinetica di turbolenza, k, e il tasso speci co di dispersione, ω, sono ottenuti dalle seguenti equazioni di trasporto:
∂ ∂t(ρk) + ∂ ∂xi (ρkui) = ∂ ∂xj Γk ∂k ∂xj + Gk− Yk+ Sk (2.20) e ∂ ∂t(ρω) + ∂ ∂xi (ρωui) = ∂ ∂xj Γω ∂ω ∂xj + Gω− Yω+ Sω (2.21)
In queste equazioni, Gkrappresenta la generazione di energia cinetica di
tur-bolenza dovuto ai gradienti medi di velocità. Gω rappresenta la generazione
di ω. Γke Γω rappresentano la diusività eettiva di k e ω, rispettivamente.
Yk e Yω rappresentano la dissipazione di k e ω dovuta alla turbolenza. Sk e
Sω sono termini di sorgente da fornire.
Andando più in dettaglio, le diusività eettive per il modello k − ω sono date da Γk= µ + µt σk (2.22) Γω = µ + µt σω (2.23)
dove σk e σω sono i numeri di Prandtl turbolenti per k e ω, rispettivamente.
La viscosità turbolenta, µt, è calcolata combinando k e ω come segue:
µt= α∗
ρk
ω (2.24)
Il coe ciente α∗attenua la viscosità turbolenta causando una correzione per
bassi numeri Reynolds. È dato da: α∗= α∗∞ α ∗ 0+ Ret/Rk 1 + Ret/Rk (2.25) dove Ret= ρk µω (2.26) Rk= 6 (2.27) α∗0= βi 3 (2.28) βi = 0.072 (2.29)
Si noti che, nella forma per alti numeri Reynolds del modello k − ω, α∗ =
α∗∞= 1.
Il termine Gk rappresenta la produzione di energia cinetica turbolenta. Dall'
equazione esatta per il trasporto di k, questo termine può essere de nito come
Gk= −ρu0iu0j
∂uj
∂xi (2.30)
Per valutare Gk in un modo costante con l'ipotesi di Boussinesq,
Gk= µtS2 (2.31)
dove S è il modulo del tensore della velocità di deformazione media, de nito allo stesso modo per il modello k − .
La produzione di ω è data da
Gω = α
ω
kGk (2.32)
Dove Gk è calcolato con la formula 2.30 vista in precedenza.
Il coe ciente α è dato da α= α∞ α∗ α0+ Ret/Rω 1 + Ret/Rω (2.33) dove Rω = 2.95. α∗ e Ret sono calcolati utilizzando le equazioni 2.25 e
α= α∞= 1. La dissipazione di K è data da Yk= ρβ∗fβ+kω (2.34) dove fβ+ = ( 1 χk≤ 0 1+680χ2 k 1+400χ2 k χk>0 (2.35) in cui χk≡ 1 ω3 ∂k ∂xj ∂ω ∂xj (2.36) e β∗ = βi∗[1 + ζ∗F(Mt)] (2.37) βi∗ = β∞∗ 4/15 + (Ret/Rβ)4 1 + (Ret/Rβ)4 (2.38) ζ∗ = 1.5 (2.39) Rβ = 8 (2.40) β∞∗ = 0.09 (2.41)
dove Ret è calcolato con la formula 2.26.
La dissipazione di ω è data da Yω= ρβfβω2 (2.42) dove fβ = 1 + 70χω 1 + 80χω (2.43) χω = ΩijΩjkSki (β∗ ∞ω)3 (2.44) Ωij = 1 2 ∂ui ∂xj −∂uj ∂xi (2.45) Il tensore medio di velocità di deformazione, Sij è de nito dall' equazione
Sij = 1 2 ∂uj ∂xi + ∂ui ∂xj (2.46) La funzione di comprimibilità, F (Mt), è data da
F(Mt) = 0 Mt≤ Mt0 M2 t− M2t0 Mt>Mt0 (2.47) dove M2t ≡ 2k a2 (2.48)
Mt0 = 0.25 (2.49)
a = pγRT (2.50)
Si noti che, nella forma per alti numeri di Reynolds del modello k − ω, βi∗ = β∞∗ . Nella forma incomprimibile, β∗= βi∗.
Le costanti utilizzate nel modello sono α∗
∞ = 1, α∞ = 0.52, α0 = 19,
β∞∗ = 0.09, βi = 0.072, Rβ = 8, Rk = 6, Rω = 2.95, ζ∗ = 1.5,
Mt0= 0.25, σk= 2.0, σω = 2.0
Sono presenti anche altri modelli di turbolenza, dei quali per completare l' esposizione si riporta una breve descrizione:
Modello v2− f
Risulta simile al modello k − standard ma incorpora gli eetti della ani-sotropia della turbolenza vicina alle pareti. Una limitazione è quella di non poter essere usato nei problemi multifase, al contrario del k − . Si tratta di un modello di turbolenza che viene usato generalmente per bassi numeri di Reynolds ed anche se il modello originale è stato sviluppato per gli strati di limite attaccati o leggermente separati, inoltre simula accuratamente i ussi dominati dalla separazione.
La caratteristica che distingue il modello v2− f è l'utilizzo della scala di
ve-locità, v2, invece dell'energia cinetica turbolenta, k per la valutazione della
eddy viscosity. v2, che può essere pensata come la uttuazione di velocità
normale alle linee di corrente, ha mostrato di fornire la giusta scalabilità nel rappresentare lo smorzamento del trasporto turbolento vicino alla parete, una caratteristica che k non fornisce.
Reynolds Stress Modell (RSM)
É il modello di turbolenza più elaborato che FLUENT fornisce. Abban-donando l'ipotesi che la viscosità turbolenta sia isotropa, l'RSM chiude le equazioni RANS risolvendo le equazioni di trasporto del tensore di Reynolds insieme ad una equazione per il rateo di dissipazione. Questo signi ca che sono richieste 5 equazioni addizionali in 2−D e sette in 3−D. Il risultato di questo è la maggiore accuratezza del suddetto metodo per gli eetti di cur-vatura delle linee di corrente, cambiamento rapido del rateo di deformazione rispetto ai metodi semplici ad una o due equazioni. Comunque, nonostan-te questo appesantimento sulle equazioni da risolvere, anche questo metodo presenta delle limitazioni relative alle assunzioni impiegate nella modellizza-zione di vari termini nelle equazioni di trasporto, altri svantaggi di cui tenere conto sono una non su ciente validazione, un lavoro di modellizzazione che è ancora oggetto di ricerca ed il presentare gli stessi problemi del modello k − per quanto riguarda l'equazione in . L'RSM deve , comunque, essere
necessariamente usato in problemi in cui il usso presenti anisotropia del tensore di Reynolds.
La forma esatta delle equazioni di trasporto del tensore di Reynolds può es-sere derivata prendendo i momenti dell'equazione esatta di quantità di moto. Questo è un procedimento in cui le equazioni esatte di quantità di moto sono moltiplicate per una proprietà oscillante, il prodotto viene quindi mediato secondo Reynolds. Purtroppo, vari dei termini nell'equazione esatta sono sconosciuti e sono richieste ipotesi di modello per chiudere le equazioni. 2.2.3 Equazione dell'energia
Per un usso in cui i pro li di temperatura sono oggetto di interesse per le scelte progettuali, risulta di facile intuizione la necessità della attivazione dell'equazione dell'energia. La conservazione dell'energia è descritta da:
∂ ∂t(ρE) + ∇ · (~v(ρE + p)) = −∇ · keff∇T − X j hjJ~j + (τeff · ~v) + Sh (2.51) dove keff è la conducibilità eettiva (k+kt), dove ktè la conducibilità termica
turbolenta, e ~Jj è il usso di diusione della specie j. I primi tre termini sul
lato destro dell'equazione rappresentano il trasferimento di energia dovuto alla conduzione, diusione delle specie, e dissipazione viscosa, rispettivamen-te. Sh include il calore della reazione chimica, e qualsiasi altre fonti che di
calore volumetriche nel caso siano de nite.
Le grandezze presenti nell'equazione sono calcolate come segue E = h −p
ρ + v2
2 (2.52)
dove l' entalpia h è de nita per i gas ideali come
h=X
j
Yjhj (2.53)
e per i ussi incomprimibili come
h=X
j
Yjhj+
p
ρ (2.54)
Dove nelle equazioni 2.53 e 2.54 Yj è la frazione di massa delle specie j e
hj =
Z T
Tref
cp,j dT (2.55)
2.2.4 Condizioni al Contorno
L'imposizione delle condizioni al contorno permette di de nire il usso e le variabili termiche sul bordo del dominio di calcolo determinando in ma-niera univoca il problema e la sua soluzione. É di fondamentale importanza de nire le condizioni al contorno in modo che siano quanto più vicine alla realtà sica, il prezzo di un settaggio sbagliato delle stesse porterebbe ine-quivocabilmente ad una soluzione non corrispondente alla realtà. Nel caso in esame le quantità da settare sono state fornite da prove sperimentali (porta-ta e temperatura del gas di scarico). Il tipo di condizioni al contorno, invece, è deciso dall'operatore in base all'esperienza. Nel problema in esame, si è scelto di utilizzare i seguenti tipi di condizioni:
Mass Flow Inlet
De nita sulla super cie di ingresso nel condotto principale, può essere usata per fornire una portata di massa prescritta o una distribuzione di us-so di massa ad un ingres us-so. Come con la condizione velocity inlet, speci care il usso di massa consente alla pressione totale di variare in risposta alla solu-zione interna. Ciò è in contrasto con la condisolu-zione al contorno pressure inlet, dove la pressione totale è ssata mentre il usso di massa varia. Tuttavia, diversamente dalla condizione velocity inlet, mass ow inlet è ugualmente applicabile ai ussi incomprimibili e comprimibili.
La condizione mass ow inlet è usata spesso quando è più importante ab-binare una portata di massa prescritta che abab-binare la pressione totale del usso in ingresso. Una condizione al contorno del tipo mass ow inlet può anche essere usata come uscita speci cando la direzione del usso a partire dal dominio della soluzione.
I dati di ingresso per l'utilizzo di questa condizione sono qui riassunti dal-l'immagine 2.3 del pannello di controllo ad essa associato.
Quando le condizioni mass ow inlet sono usate per una zona di ingresso, una velocità è computata per ogni faccia in quella zona, e questa velocità è usata per computare i ussi di tutte le variabili pertinenti alla soluzione nel dominio. Con ogni iterazione, la velocità computata è regolata in modo che sia mantenuto il valore corretto della portata di massa. Per computare questa velocità, gli input per la portata in massa, la direzione del usso, la pressione statica e la temperatura di totale sono usati.
Ci sono due modi speci care la portata di massa. Il primo è di speci care la portata di massa totale, ˙m, per l'ingresso. Il secondo è di speci care il usso di massa, ρvn,(portata di massa per unità di super cie). Se è speci cata una
portata di massa totale, FLUENT converte essa internamente ad un usso di massa uniforme dividendo la portata di massa per l'area totale dell'ingresso:
ρvn=
˙ m
Figura 2.3: Condizione al contorno di Mass Flow Inlet
Se è usata l'opzione di speci ca diretta del usso di massa, questo può essere variato sopra il contorno usando i les di pro lo o funzioni de nite dall'u-tente. Se il usso di massa medio è egualmente speci cato (esplicitamente dall'utente o automaticamente da FLUENT), esso è usato per correggere il pro lo speci cato del usso di massa, come descritto in precedenza in questa sezione.
Una volta che il valore di ρvnad una faccia data è stato determinato, la
den-sità, ρ, alla faccia deve essere determinata per trovare la velocità normale, vn. Il modo in cui la densità è ottenuta dipende da se il liquido è modellato
come gas ideale oppure no.
Se il uido è un gas ideale, la temperatura statica e la pressione statica sono richieste per calcolare la densità:
Se l'ingresso è supersonico, la pressione statica usata è il valore che è stato ssato come condizione al contorno. Se l'ingresso è subsonico, la pressione statica è estrapolata dalle celle all'interno della super cie dell'ingresso. La temperatura statica all'ingresso è calcolata dall'entalpia totale, che è de-terminata dalla temperatura totale che è stata ssata come condizione al contorno. L'entalpia totale è data da:
h0(T0) = h(T ) +
1 2v
2 (2.58)
dove il modulo di velocità è collegato con la portata di massa dato dal-l'Equazione 2.56 ed il vettore conosciuto de nito dall'utente di direzione di scorrimento del usso. Usando l'Equazione 2.57 per collegare densità alla (nota) pressione statica ed alla (incognita) temperatura, l'Equazione 2.58 può essere risolta per ottenere la temperatura statica.
Quando la portata di massa è usata come uscita con la caratteristica di con-servazione del pro lo, un fattore di scala della portata di massa speci cata sulla portata di massa calcolata al contorno è usato per scalare le veloci-tà normali delle facce al contorno. Le altre componenti di velociveloci-tà saranno estrapolate dall'interno. Variabili di usso quale pressione, temperatura, spe-cie, o altre quantità scalari saranno egualmente estrapolate dai centri delle cellule adiacenti.
Quando si modellano i ussi incomprimibili, la temperatura statica è uguale alla temperatura totale. La densità all'ingresso è costante o calcolata pron-tamente come funzione della temperatura e (facoltativamente) della massa delle specie o frazioni di mole. La velocità allora è computata usando l'E-quazione 2.56.
Per calcolare i ussi di tutte le variabili all'ingresso, la velocità del usso, vn,
è utilizzata con il valore all'ingresso della variabile in questione. Per esempio, il usso della massa è ρvn, ed il usso di energia cinetica turbolenta è ρkvn.
Questi ussi sono usati come condizioni al contorno per le corrispondenti equazioni di conservazione durante il corso della soluzione.
Pressure Outlet
Usata per de nire il valore della pressione statica del usso uscente dal dominio. Viene applicata alla super cie di uscita del condotto principale indicata con il nome di Outlet. Per il settaggio di questa condizione al bordo è richiesta la speci cazione della pressione statica all'uscita del dominio; il valore indicato della variabile è utilizzato solo nel caso in cui il usso è subso-nico, qualora questo dovesse risultare localmente supersosubso-nico, il valore della pressione sarà estrapolato dalle condizioni di usso all'interno del dominio. Nel caso in cui occorrono condizioni a causa delle quali il usso cambia dire-zione in prossimità del pressure outlet, è necessario speci care valori realistici
per le quantità di back ow al ne di minimizzare le di coltà di convergenza. Tutti i parametri di input necessari per l'imposizione di questa condizione al bordo sono riassunti nell'immagine 2.4 sottostante che mostra il pannello di controllo proprio del pressure outlet. Per imporre il valore della pressione
Figura 2.4: Condizione di Pressure Outlet
statica ps come condizione al bordo, è necessario immettere come input un
appropriato valore al gauge pressure, che è relativa al valore della pressione operativa espressa in termini di aria standard; nel resto del dominio, assu-mendo nulla la velocità radiale, la pressione statica è valutata in termini di gradiente con una relazione del tipo:
∂p ∂r =
ρv2θ
r (2.59)
dove vθ è la velocità tangenziale; nel caso in cui si è in presenza di back ow,
il valore della pressione speci cato sarà inteso come valore della pressione totale e la direzione del usso sarà normale al contorno.
Wall
L' attivazione di questa condizione al bordo permette di delimitare la zo-na uida dalla zozo-na solida del dominio, in questo caso le pareti del condotto. Per un uido viscoso, la condizione di non scorrimento è imposta come pre-de nita alle pareti; FLUENT dà la possibilità di speci care la componente
di velocità tangenziale in termini di traslazione o rotazione delle super ci di contorno o modellando uno scorrimento alla parete speci cando le azioni tangenziali, queste ultime ed il trasferimento di calore tra uido e zone solide sono stimate sulla base della tipologia di usso che localmente si instaura nel campo.
Quando è attivata l'equazione dell'energia, occorre de nire delle condizio-ni al contorno termiche alle pareti; in virtù di ciò, è possibile modellare lo scambio di calore in diversi modi:
• Flusso di calore imposto; • Temperatura imposta; • Flusso di calore convettivo;
• Trasferimento di calore per irraggiamento dall' esterno; • Azione combinata di irraggiamento e convezione.
La discussione che seguirà riguardo al modello di trasmissione del calore più opportuno, si è svolta in seguito all'analisi di alcuni primi risultati presentati e dunque ad analisi di sensibilità alla griglia già eettuata in precedenza. Di seguito in gura 2.5 è mostrato il pannello di controllo utile alla de nizione di questa condizione al bordo.
Temperature Per de nire condizioni in cui la temperatura è ssata, oc-corre scegliere l'analoga opzione, de nendo il valore della temperatura alle super ci della parete. Il usso di calore, da una cella uida alla parete, è calcolato con:
q = hf(Tw− Tf) + qrad (2.60)
dove
hf coe ciente di trasferimento di calore locale della cella uida
(valutato sulla base delle condizioni locali del campo uido) Tw temperatura della super cie solida
Tf temperatura locale del uido
qrad usso di calore radiato
Il trasferimento di calore tra la parete ed una cella solida è calcolata median-te:
q = ks
∆n(Tw− Ts) + qrad (2.61)
dove
ks conduttività termica del solido
Ts temperatura locale del solido
∆n distanza tra la super cie della parete ed il centro della cella solida. Questo tipo di condizione è stato usato nelle prime simulazioni, imponen-do una Twall = 300K, tali impostazioni portavano però alla presenza di
uno scambio di calore molto elevato, che si manifesta come un eccessivo rareddamento del uido in prossimità dell'uscita.
Figura 2.6: Pro li della temperatura statica con Twall= 300K
Heat Flux Per condizioni di usso di calore noto, occorre settare questa opzione impostando come input un appropriato valore del usso di calore alle
super ci della parete; per ottenere un usso adiabatico è su ciente imporre zero la voce suddetta. Fluent utilizza l'equazione 2.60 per la stima del trasferimento di calore uido-solido ed usa il dato in ingresso assegnato per determinare la temperatura della super cie adiacente alla cella uida come:
Tw=
q − qrad
hf
+ Tf (2.62)
dove hf è calcolato cone indicato in precedenza, quando la parete contorna
una regione solida, la temperatura della super cie è calcolata come: Tw =
(q − qrad)∆n
ks
+ Ts (2.63)
Convective Heat Transfer Assegnando un usso di calore convettivo come condizione al contorno, Fluent utilizza gli inputs di coe ciente di trasmissione di calore esterno e di temperatura esterna per valutare il usso di calore alla parete come:
q = hf(Tw− Tf) + qrad = hext(Text− Tw) (2.64)
dove
hext coe ciente di calore esterno assegnato in input
Text temperatura esterna assegnata in input
qrad usso di calore radiante
l' equazione 2.64 assume che la parete abbia spessore nullo.
Date le caratteristiche siche del problema, questo è stato il modello di tra-smissione del calore scelto in via de nitiva, si è dunque proceduto al calcolo di hext dato da:
hext=
Kw
DH
N u (2.65)
in cui Kw è la conducibilità termica del uido, DH è il diametro del condotto
principale e Nu è il numero di Nusselt in questo caso riferito a DH ricavato
in questo caso usando l'equazione di Dittus-Boelter per ussi turbolenti, è adatta ai tubi lisci, quindi l'uso per i tubi ruvidi (la maggior parte delle applicazioni commerciali) è da fare con cautela si ha
N uD = 0.023Re 4 5 DP r n (2.66) da cui N uD = 0.023 · 17198 4 5 · 0.6900.3 (2.67)
dove ReD è il numero di Reynolds riferito a DH, P r è il numero di Prandtl, si
è posto n = 0.3 essendo il uido in rareddamento [15, p. 493]. Sostituendo nelle formule, dati sperimentali e da tabelle [19, p. 603]
hext=
0.0465
si ottinene
hext= 41.05 W/m2K (2.69)
, nella gura 2.7 che segue si può notare il dierente andamento delle tem-perature.
Oltre al cambio di modello, la temperatura alla parete del condotto
princi-Figura 2.7: Pro li delle temperatura statica con convezione forzata e Twall=
335.336 K
pale è stata posta uguale alla temperatura misurata dalla sonda posizionata sull'aletta più prossima alla perete per tenere conto del riscaldamento dopo il transitorio iniziale, facente parte del corpo di rareddamento messo a pro-tezione dell' iniettore, che risulta essere uguale a Twall= 335.336 K, ciò per
riprodurre il più fedelmente possibile le condizioni di laboratorio.
Nella gura 2.8 vengono riassunte le informazioni fornite per questo modello. External Radiation Assegnando in Fluent questa condizione, il usso di calore, assumendo anche per questo modello che lo spessore della parete sia nullo, è calcolato mediante:
q= hf(Tw− Tf) + qrad = extσ(Text− Tw) (2.70)
dove:
ext emissività della super cie esterna della parete assegnata in input
σ costante di Stefan-Boltzmann
Tw temperatura super ciale della parete
T∞ temperatura della fonte della radiazione all'esterno del dominio
assegnata in input
Figura 2.8: Impostazioni del usso di calore alla parete
Combined External Convection and Radiation Scegliendo di combi-nare le condizioni al bordo, il usso di calore è calcolato come somma dei due contributi, ponendo nullo lo spessore della parete, ossia:
q= hf(Tw− Tf) + qrad= hext(Text− Tw) + extσ(Text− Tw) (2.71)
dove le variabili sono de nite come sopra. Tuttavia è possibile modellare uno strato spesso di materiale nella parete. Per includere gli eetti dello spessore nel calcolo del calore trasferito, occorre de nire un tipo di materiale, la dimensione dello spessore e la quantità di calore generato nella parete. 2.2.5 De nizione Dei Materiali
Uno step importante, a livello generale, nel settaggio del modello nume-rico, è quello della de nizione dei materiali e delle loro proprietà siche. A seconda del tipo di problema da risolvere e delle caratterizzazioni del solu-tore, occorre de nire un certo numero di variabili, che possono essere alcune (o tutte) tra le seguenti:
• densità e/o peso molecolare • viscosità
• calore speci co a pressione costante • coe ciente di conduzione termica
Tabella 2.1: Proprietà siche dei uidi di lavoro.
ρ Cp K µ γ
(kg/m3) (J/kg · K) (W/m · K) (mPa · s) (mN/m)
Aria Ideal Gas 1006.43 0.0242 1.7894e-02
AUS 32 1093.0 3400 0,570 1.4 65
• coe cienti di diusione
Tali proprietà possono essere costanti o dipendenti dalla temperatura o dalla composizione, con la dipendenza dalla temperatura basata su una funzione polinomiale, lineare a tratti, o polinomiale a tratti e le diverse proprietà dei singoli componenti de nite da dall' operatore o calcolate via teoria cinetica. Proprietà Standard Per Materiali Fluidi
Si è scelto di utilizzare come materiale uido all'interno del condotto l'aria, non essendo stato possibile risalire alla composizione del gas di scari-co, intesa numero e tipo singole specie presenti nella miscela e la loro frazione di massa, le cui proprietà standard sono presenti nel database di Fluent. Per quanto riguarda la fase liquida sotto forma di spray, sono stati forniti in questo documento [1, p. 19] i dati relativi alla soluzione acquosa di urea al 32.5% come agente di riduzione, questo viene iniettato nel gas di scarico bollente e viene idrolizzato sopra i 180◦C causando la formazione
ammonia-ca. Le caratteristiche di questa soluzione non essendo presenti nel database, verranno importate attraverso la modi ca del materiale acqua.
Nella tabella 2.1 si riportano le caratteristiche siche dei due uidi.
Dove γ indica la tensione super ciale di cui si discuterà in seguito nella descrizione del modello scelto per il calcolo delle traiettorie delle goccioline formanti lo spray.
Proprietà Standard Per Materiali Solidi
Per i materiali solidi occorre de nire soltanto le proprietà seguenti: • densità
• coe ciente di conduzione
• calore speci co a pressione costante
Se si utilizza il solutore pressure-based, la densità e la capacità termica per un materiale solido non sono richieste a meno che si stia modellando un
Tabella 2.2: Proprietà siche dell' acciaio.
ρ Cp K
(kg/m3) (J/kg · K) (W/m · K)
Acciaio 8030 502.48 16.27
usso transitorio o zone solide in movimento, come sarà per questo caso. La capacità termica comparirà nella lista delle proprietà del solido pure per i ussi stazionari. L'unico materiale solido presente nella nostra simulazione è quello che costituisce le pareti del condotto, cioè un' acciaio al carbonio le cui caratteristiche sono presenti nel database di Fluent qui riportate in tabella 2.2. É di basilare importanza speci care che Fluent non utilizzerà nessuna di queste proprietà quando gli spessori dei materiali considerati sono uguali a zero (cioè quando stiamo lavorando con super ci di contorno non solide), si riportano in questo capitolo per una maggiore generalità della trattazione.
2.3 Analisi di sensibilità alla griglia
Dunque dopo aver de nito il dominio di calcolo ed averlo opportunamen-te preparato è necessario de nire una griglia adatta per le nostre prove. Lo scopo di questa analisi è quello di identi care per quale numero di celle che compongono la griglia si abbia l'indipendenza della soluzione da quest'ulti-ma. Infatti una griglia troppo grezza può produrre risultati insoddisfacenti perché non in linea con quello che accade nella realtà sica, mentre una griglia troppo tta, però, può portare ad aver bisogno di tempi di calcolo inaccettabili in rapporto ai miglioramenti nell'accuratezza apportati dalla stessa.
A tale scopo saranno analizzate, sulla stessa simulazione stazionaria, varie griglie di calcolo in ttite partendo dalla dimensione degli elementi sulle su-per ci formanti il dominio, variando i parametri assegnati nelle size function. Si sono ottenute delle griglie con un numero crescente di elementi di cui si sono confrontati i risultati al ne di individuare il numero di elementi per il quale si raggiunge l'indipendenza.
Non è stato possibile ricorrere ad una dimensione uniforme delle celle per tutto il dominio, a causa delle forti variazioni di sezione presenti nel tratto di condotto analizzato e per la necessità di avere una maggiore densità di elementi in alcune zone.
La prova di riferimento utilizzata per l'analisi di sensibilità fa riferimento co-me detto in precedenza al punto motore 1, che corrisponde cioè alle seguenti condizioni:
Tabella 2.3: Qualità delle griglie.
Griglia 0.25 Griglia 0.50 Griglia 0.75 Mln Celle Mln Celle Mln Celle
Spacing 8 3 2.49 Skewness Max 0.887 0.888 0.887 Skewness Avg 0.29 0.27 0.27 • P M E = 12 bar • DC = 12 % • P ortata = 0.055 kg/sec • Twall = 335.336 k • Tinlet = 610.224 k • Toutlet = 596.675 k
Per quanto riguarda il solutore le impostazioni utilizzate sono quelle discusse nella sezione 2.2, si è fatta l'ipotesi di convezione forzata per il modello di trasmissione del calore.
2.4 Qualità Delle Griglie
Le griglie in esame sono state create, come è stato già detto, da una operazione di suddivisione delle super ci in Gambit con spaziatura decre-scente, cercando di mantenere le stesse proporzioni nei parametri assegnati alle diverse zone. In seguito, è stato esportato il le in TGrid dove è stata creata la mesh di volume dopo aver opportunamente pulito quella di super -cie attraverso le funzioni split, move e merge ( dividi, sposta e fondi le celle e i nodi) nelle zone in cui il software ha individuato una skewness troppo alta. Osservando la tabella 2.3 ci si può ritenere soddisfatti in quanto i valori di skewness non sono troppo alti soprattutto per quanto riguarda quella media. Bisogna aggiungere, come ulteriore conferma, che i valori più elevati, dovu-ti alla presenza di angoli acudovu-ti da ricoprire, sono posizionadovu-ti in zone `non critiche' del condotto.
2.5 Discussione Dei Risultati
Nella seguente sezione si discuteranno e si confronteranno i risultati ot-tenuti dalla prova campione attraverso le tre griglie in esame, ciò accadrà sia
dal punto di vista qualitativo che quantitativo.
Prendendo come piano di sezione quello che passa per gli assi dei due condotti si può notare che il campo di velocità in gura 2.9, passando dalla griglia meno tta a quella più tta, presenta delle dierenze nella zona imme-diatamente a monte dell'intersezione fra i condotti, nelle griglie meno tte, infatti, localmente la velocità è più alta in tale tratto, tale zona si restringe all'aumentare delle celle no a stabilizzarsi. Nel condotto secondario il cam-po di velocità rimane praticamente invariato. Il camcam-po di temperatura 2.10 è praticamente lo stesso in tutti i casi, presenta soltanto delle piccole varia-zioni nelle zone di gradiente adiacenti alle pareti in prossimità della sezione di uscita. Il campo di pressione 2.11 statica presenta un andamento gene-rale praticamente invariato all'aumentare delle celle, salvo piccole dierenze localizzate intorno alla zona in cui si ha il massimo.
2.5.1 Andamento dei residui
Si osservino, adesso, le gure 2.12 relative all'andamento dei residui per le tre prove condotte, si ricordi, con il solutore settato allo stesso modo. A pari-tà di tutto, si può vedere come, prendendo in considerazione 3000 iterazioni quale valore per la completa convergenza, per le tre griglie i residui abbiano un andamento praticamente identico, le uniche variazioni consistono soltan-to nel valore numerico atsoltan-torno al quale si assestano, con un lieve aumensoltan-to delle iterazioni necessarie al raggiungimento della stabilità con l'aumentare del numero di celle.
2.6 Conclusioni
Sulla base di quanto detto, fra le tre griglie si dovrebbe scegliere quella che risulta avere le migliori caratteristiche. Sarà questa ultima ad essere utilizzata nell'analisi più approfondita del problema nei prossimi capitoli. L'analisi qualitativa ha evidenziato una buona compatibilità fra i risultati della griglia da 0.75 mln celle e quella da 0.50 mln di celle il che indica l'indipendenza della soluzione dalla griglia, nella griglia da 0.25 mln di celle, invece, se pur di poco, questa presenta un campo di velocità con leggere die-renze. L'analisi dei residui, invece evidenzia un andamento sostanzialmente identico per le tre griglie, dunque non da indicazioni di preferenza. Si può concludere che la griglia che presenta un migliore comportamento prenden-do come parametri indipendenza e accuratezza della soluzione è quella da 0.75 mlndi celle.
(a) Griglia con 0.75 M.
(b) Griglia con 0.50 M.
(c) Griglia con 0.25 M.
(a) Griglia con 0.75 M.
(b) Griglia con 0.50 M.
(c) Griglia con 0.25 M.
(a) Griglia con 0.75 M.
(b) Griglia con 0.50 M.
(c) Griglia con 0.25 M.
(a) Griglia con 0.75 M.
(b) Griglia con 0.50 M.
(c) Griglia con 0.25 M.
