4.5 Leggi per i Coe cienti di Resistenza
4.6.2 Vaporizzazione della Gocciolina (Legge 2)
La Legge 2 si applica per predire la vaporizzazione da una gocciolina della fase discreta. La legge 2 ha inizio quando la temperatura della gocciolina raggiunge la temperatura di vaporizzazione, Tvap, e continua no a quando
la gocciolina non raggiunge il punto di ebollizione, Tbp, o no a quando la
frazione volatile della gocciolina non viene consumata completamente:
Tvap ≤ Tp< Tbp (4.78)
mp>(1 − fv,0)mp,0 (4.79)
L'inizio della legge di vaporizzazione è determinato dall'impostazione di Tvap,
un parametro di modellazione che non ha nessun signi cato sico. Si noti che, una volta avviata la vaporizzazione (dalla gocciolina che raggiunge que- sta temperatura di soglia), continuerà a vaporizzarsi anche se la temperatura della gocciolina scende sotto Tvap. La vaporizzazione sarà fermata soltanto
se la temperatura della gocciolina scende sotto il punto di rugiada. In tali casi, la gocciolina rimarrà nella Legge 2 ma nessun'evaporazione sarà previ- sta. Quando il punto di ebollizione viene raggiunto, la vaporizzazione della gocciolina è prevista da un tasso d'ebollizione, la Legge 3, come descritto in una sezione seguente.
Trasferimento di Massa Durante la Legge 2
Durante la Legge 2, il tasso di vaporizzazione è disciplinato tramite il gradiente di diusione, con il usso di vapore della gocciolina nella fase gassosa legato alla dierenza nella concentrazione di vapore alla super cie della gocciolina e la massa di gas nel volume di calcolo:
Ni= kc(Ci,s− Ci,∞) (4.80)
dove
Ni = usso molare di vapore (kgmol/m2-s)
kc = coe ciente di trasferimento di massa (m/s)
Ci,s = concentrazione di vapore alla super cie della gocciolina
(kgmol/m3)
Ci,∞ = concentrazione nel vapore nella massa di gas (kgmol/m3)
Si noti che la legge di vaporizzazione di FLUENT suppone che Ni è po-
sitivo (evaporazione). Se esistono le condizioni in cui Ni è negativo (cioè,
la temperatura della gocciolina scende sotto il punto di rugiada ed esistono condizioni di condensazione), FLUENT considera la gocciolina come inerte (Ni = 0.0).
La concentrazione di vapore alla super cie della gocciolina è valutata sup- ponendo che la pressione parziale del vapore all'interfaccia sia uguale alla
pressione di vapore saturo, psat, alla temperatura della gocciolina particella,
Tp:
Ci,s=
psat(Tp)
RTp (4.81)
dove R è la costante universale dei gas.
La concentrazione di vapore nella massa di gas è conosciuta dalla soluzione dell'equazione di trasporto per la specie i per i calcoli di combustione non premiscelata o parzialmente premiscelata:
Ci,∞= Xi
p
RT∞ (4.82)
dove Xi è la frazione molare di massa locale della specie i, p è la pressio-
ne assoluta locale e la T∞ è la temperatura locale della massa di gas. Il
coe ciente di trasferimento di massa nell'equazione 4.80 è calcolato dalla correlazione del numero di Sherwood [33], [34]:
ShAB =
kcdp
Di,m
= 2.0 + 0.6Re1/2d Sc1/3 (4.83) dove
Di,m = coe ciente di diusione del vapore nella massa (m2/s)
Sc = il numero di Schmidt, ρDµ
i,m
dp = diametro della particella (gocciolina) (m)
Il usso del vapore dato dall'equazione 4.80 si trasforma in una sorgente della specie i nell'equazione di trasporto delle specie della fase gassosa, o nell'equazione della frazione della miscela per i calcoli di combustione non premiscelata.
La massa della gocciolina è ridotta secondo
mp(t + ∆t) = mp(t) − NiApMw,i∆t (4.84)
dove
Mw,i = peso molecolare della specie i
mp = massa della gocciolina (kg)
Ap = area di super cie della gocciolina (m2)
FLUENT può anche risolvere l'equazione 4.84 insieme con l' equivalente equazione di scambio termico utilizzando un solutore accoppiato rigidamente. De nizione della Pressione di Vapore e del Coe cente di Diusione Si deve de nire la pressione di vapore come un polinomio o funzione li- neare a tratti della temperatura (psat) durante la de nizione del problema.
Si noti che la de nizione di pressione di vapore è critica, poichè psat è usato
per ottenere la forza che guida il processo di evaporazione (equazioni 4.80 e 4.81). È necessario fornire i valori esatti della pressione di vapore per le tem- perature sopra l'intero intervallo delle possibili temperature delle goccioline
nel problema. I dati della pressione di vapore possono essere ottenuti da un manuale di ingegneria o di sica (per esempio, [30]).
Si deve anche inserire il coe ciente di diusione, Di, m, durante l'impostazio-
ne delle proprietà dei materiali per la fase discreta. Si noti che l' inserimento del valore per il coe cente di diusione che viene fornito per la fase continua non viene utilizzato nel modello di fase discreto.
Trasferimento di Calore alla Gocciolina.
In ne, la temperatura della gocciolina è aggiornata secondo un equili- brio termico che collega la variazione di calore sensibile nella gocciolina allo scambio di calore convettivo e latente fra la gocciolina e la fase continua:
mpcp dTp dt = hAp(T∞− Tp) + dmp dt hfg+ Appσ(θ 4 R− Tp4) (4.85)
cp = capacità termica della particella (J/kg-K)
Tp = temperatura della gocciolina (K)
h = coe ciente di scambio di calore convettivo (W/m2-K) T∞ = temperatura locale della fase continua (K)
dmp
dt = velocità di evaporazione (kg/s)
hfg = calore latente (J/kg)
p = emissività della particella (adimensionale)
σ = costante del Stefan-Boltzmann (5.67 x 10−8 W/m2-K4)
θR = temperatura di radiazione, 4σG 1/4
Lo scambio di calore per radiazione alla particella è incluso soltanto se si abilita il modello P-1 o il modello di radiazione delle ordinate discrete e si è attivato lo scambio di calore per radiazione nelle particelle.
Il calore trasferito a/o dalla fase gassosa si trasforma in in una sorgente/pozzo di energia durante i successivi calcoli dell'equazione di energia della fase continua.
Ebollizione della gocciolina (Legge 3)
La Legge 3 si applica per prevedere l'ebollizione convettiva di una goccio- lina della fase discreta quando la temperatura della gocciolina ha raggiunto la temperatura d'ebollizione, Tbp e mentre la massa della gocciolina supera
la frazione non volatile, (1 − fv,0):
Tp ≥ Tbp (4.86)
e
Quando la temperatura della gocciolina raggiunge il punto di ebollizione, un'equazione per il tasso d'ebollizione è applicata [20]:
d(dp) dt = 4k∞ ρpcp,∞dp (1 + 0.23pRed) ln 1 +cp,∞(T∞− Tp) hfg (4.88) dove
cp,∞ = capacità termica del gas (J/kg-K)
ρp = densità della gocciolina (kg/m3)
k∞ = conducibilità termica del gas (W/m-K)
Equazione 4.88 è stata derivata supponendo che il usso sia stazionario a pressione costante. Si noti che il modello richiede T∞ > Tbp in modo che
l'ebollizione possa veri carsi e che la gocciolina rimanga alla temperatura ssata (Tbp) durante la legge d'ebollizione.
Quando lo scambio di calore per irraggiamento è attivo, FLUENT utilizza una leggera modi ca dell'equazione 4.88, derivata partendo dall'equazione 4.85 e supponendo che la temperatura della gocciolina sia costante. Ciò restituisce −dmp dt hfg = hAp(T∞− Tp) + Appσ(θ 4 R− Tp4) (4.89) oppure −d(dp) dt = 2 ρphfg k∞Nu dp (T∞− Tp) + pσ(θR4 − Tp4) (4.90) Utilizzando l'equazione 4.77 per la correlazione del numero di Nusselt e la sostituzione del termine del numero di Prandtl con una costante empirica, l'equazione 4.90 diventa −d(dp) dt = 2 ρphfg 2k∞[1 + 0.23 √ Red] dp (T∞− Tp) + pσ(θR4 − Tp4) (4.91) In assenza di radiazione, questo risultato corrisponde a quello dell'equazione 4.88 nel limite che l'argomento del logaritmo sia vicino ad unità. FLUENT utilizza l' equazione 4.91 quando l'irraggiamento è attivo nel modello e l'e- quazione 4.88 quando l'irraggiamento non è attivo.
La gocciolina si presuppone rimanga a temperatura costante mentre è ap- plicato il tasso d'ebollizione. Una volta che la legge d'ebollizione è inserita viene applicata per tutta la durata della traiettoria della particella. L'ener- gia richiesta per la vaporizzazione compare come termine sorgente (negativo) nell'equazione di energia per la fase gassosa. Il liquido volatilizzato entra nel- la fase gassosa come specie i, come de nito dalle impostazioni inserite per le specie di destinazione.
Devolatilizzazione (Legge 4)
La legge di devolatilizzazione si applica ad una particella combustibile quando la temperatura della particella raggiunge la temperatura di vaporiz- zazione, Tvap e rimane in vigore mentre la massa della particella, mp, supera
la massa dei composti non-volatili nella particella:
Tp ≥ Tvap and Tp ≥ Tbp (4.92)
e
mp >(1 − fv,0)(1 − fw,0)mp,0 (4.93)
dove fw,0 è la frazione di massa del materiale di evaporazione/ebollizione se
la combustione bagnata è selezionata (altrimenti, fw,0 = 0). Come si può
intuire dall' equazione 4.92, il punto di ebollizione, Tbp e la temperatura
di vaporizzazione, Tvap, dovrebbero essere impostati l'uno uguale all'altro
quando la Legge 4 deve essere usata. Quando la combustione bagnata è atti- va, Tvap e Tbp si riferiscono alle temperature di evaporazione e di ebollizione
soltanto per il materiale di combustione.
FLUENT fornisce una scelta di quattro modelli di devolatilizzazione: • il modello a velocità costante (modello prede nito)
• il modello a tasso cinetico singolo
• il modello a due tassi concorrenti (il modello di Kobayashi) Ciascuno di questi modelli è descritto, a sua volta, qui di seguito.
Il Modello di Devolatilizzazione Velocità a Costante La legge di devolatilizzazione a velocità costante impone che i composti volatili siano rilasciati ad una velocità costante [4]:
− 1 fv,0(1 − fw,0) mp,0 dmp dt = A0 (4.94) dove
mp = massa della particella (kg)
fv,0 = frazione dei composti volatili inizialmente presenti nella
particella
mp,0 = massa iniziale della particella (kg)
A0 = costante di velocità (s−1)
La costante di velocità A0è de nita come parte degli ingressi di modellazione
forniti, oppure con un valore prede nito di 12 s−1derivato dal lavoro di Pillai
[31] sulla combustione del carbone. Un uso corretto del tasso costante di devolatilizzazione richiede che la temperatura di vaporizzazione, che controlla l'insorgere della devolatilizzazione, sia ssata in modo appropriato. I valori nella letteratura mostrano questa temperatura essere circa 600K [4]. La frazione volatile della particella entra nella fase gassosa come la specie devolatilizzante i, come de nito dalle impostazioni. Una volta nella fase gassosa, i composti volatili possono reagire secondo alle impostazioni che governano la chimica della fase gassosa.
Il Modello a Singolo Tasso Cinetico
Il modello a singolo tasso cinetico di devolatilizzazione suppone che il tasso di devolatilizzazione dipenda al prim'ordine dalla quantità di composti volatili che rimangono nella particella [3]:
−dmp
dt = k[mp− (1 − fv,0)(1 − fw,0)mp,0] (4.95) dove
mp = massa della particella (kg)
fv,0 = frazione dei composti volatili inizialmente presenti nella
particella
fw,0 = frazione di massa del materiale in evaporazione/ebollizione (se
la combustione bagnata è modellizzata) mp,0 = massa iniziale della particella (kg)
k = tasso cinetico (s−1)
Si noti che fv,0, la frazione dei composti volatili nella particella, dovrebbe
essere de nita utilizzando un valore un po' al di sopra di quello determinato mediante analisi diretta. Il tasso cinetico, k, è de nito dall'inserimento di un fattore pre-esponenziale tipo Arrhenius e un'energia di attivazione:
k= A1e−(E/RT ) (4.96)
FLUENT utilizza come prede niti tassi costanti, A1 ed E.
L'equazione 4.95 ha la soluzione analitica approssimativa:
mp(t + ∆t) = (1 − fv,0)(1 − fw,0)mp,0+ [mp(t) − (1 − fv,0)(1 − fw,0)mp,0]e−k∆t
(4.97) che è ottenuta supponendo che la temperatura della particella vari soltanto un po' fra i passi di integrazione del tempo discretizzato. FLUENT può anche risolvere l'equazione 4.97 insieme con l'equazione equivalente dello scambio di calore utilizzando un solutore accoppiato rigidamente.
Il Modello a Due Tassi Concorrenti (Kobayashi)
FLUENT fornisce anche le espressioni del tasso cinetico di devolatilizza- zione della forma proposta da Kobayashi [18]:
R1= A1e−(E1/RTp) (4.98)
R2= A2e−(E2/RTp) (4.99)
dove R1 e R2 sono i tassi concorrenti che possono controllare la devolatiliz-
zazione sopra intervalli di temperatura dierenti. I due tassi cinetici sono pesati per produrre un'espressione per la devolatilizzazione come
mv(t) (1 − fw,0)mp,0− ma = Z t 0 (α1R1+ α2R2) exp − Z t 0 (R1+ R2)dt dt (4.100)
dove
mv(t) = resa volatile al tempo t
mp,0 = la massa iniziale della particella all'iniezione
α1, α2 = fattori di resa
ma = tenore in ceneri nella particella
Il modello di Kobayashi richiede l'inserimento dei parametri di tasso cine- tico, A1, E1, A2 e E2 ed i rendimenti delle due reazioni concorrenti, α1 e
α2. FLUENT utilizza valori prede niti per i fattori di resa di 0.3 per la
prima reazione (lenta) e 1.0 per la seconda reazione (veloce). Si suggerisce nella letteratura [18] che α1 sia impostato per la frazione dei composti vola-
tili determinata mediante analisi diretta, poiché questo tasso rappresenta la devolatilizzazione a bassa temperatura. Il secondo parametro di rendimento, α2, dovrebbe essere ssato vicino all' unità, che è la resa dei composti volatili
a temperatura molto elevata.
Per impostazione prede nita, l'equazione 4.100 è integrata analiticamente nel tempo, supponendo che la temperatura della particella sia costante du- rante il passo di integrazione del tempo discretizzato. Come per le altre equazioni anche la 4.100 può essere risolta insieme alla equivalente equa- zione di trasferimento del calore utilizzando un solutore con accoppiamento rigido.