Quando la simulazione comprende l'inseguimento delle goccioline, il co- dice CFD fornisce un'opzione per la valutazione del numero di collisioni della gocciolina e dei loro esiti in un modo dal punto di vista del calcolo e ciente. La di coltà di qualsiasi calcolo collisione è che per N goccioline, ogni goccia ha N − 1 possibili partner di collisione. Quindi, il numero degli accoppia- menti possibili di collisione è circa 1
2N2. (Il fattore di 1
2 compare perché la
gocciolina A che si scontra con la gocciolina B è identica alla gocciolina B che si scontra con la gocciolina A. Questa simmetria riduce il numero degli eventi possibili di collisione della metà.)
Una considerazione importante è che l'algoritmo di collisione deve calcolare
1 2N
2 eventi possibili di scontro ad ogni passo temporale. Poiché uno spray
può essere costituito da diversi milioni di gocce, il costo computazionale di un calcolo di collisione dai principi precedenti è proibitivo. Ciò motiva il concetto dei pacchetti. I pacchetti (parcels) sono rappresentazioni statisti- che di un certo numero di singole goccioline. Per esempio, se FLUENT segue un insieme di pacchetti, di cui ciascuno rappresenta 1000 goccioline, il costo del calcolo di collisione è ridotto di un fattore di 106. Poiché il costo
del calcolo di collisione scala ancora con il quadrato di N, la riduzione di costo è signi cativa; tuttavia, lo sforzo per calcolare la possibile intersezione delle traiettorie di tanti pacchetti sarebbe ancora proibitivamente costoso. L'algoritmo di O'Rourke [26] riduce e cientemente il costo computazionale del calcolo dello spray. Piuttosto che utilizzare la geometria per vedere se i percorsi dei pacchetti si intersecano, il metodo del O'Rourke è una stima stocastica delle collisioni. O'Rourke avanza l'ipotesi che due pacchetti pos- sono scontrarsi soltanto se sono situati nella stessa cella della fase continua. Questi due presupposti sono validi soltanto quando la dimensione delle celle della fase continua è piccola rispetto alle dimensioni della nebulizzazione. Per queste circostanze, il metodo di O'Rourke è esatto al secondo ordine a valutare la probabilità di collisioni. Il concetto dei pacchetti insieme all'al- goritmo di O'Rourke permette il calcolo delle collisioni per problemi pratici degli spray.
Una volta che è deciso che due pacchetti di goccioline si scontrano, l'algo- ritmo ulteriormente determina il tipo di collisione. Soltanto i risultati della coalescenza e del rimbalzo sono considerati. La probabilità di ogni risultato è calcolata in base al numero di Weber collisionale (Wec) e un adattamento
alle osservazioni sperimentali. Qui, Wec=
ρUrel2 D
σ (4.167)
dove Urel è la velocità relativa fra due pacchetti e D è il diametro medio
modi cata sulla base del risultato della collisione.
Il modello di collisione suppone che la frequenza degli scontri è molto minore del passo temporale della particella. Se passo temporale della particella è troppo grande, i risultati possono essere dipendenti dal passo temporale. È opportuno modi care la scala di lunghezza delle particelle di conseguenza. Inoltre, il modello è più appropriato per le collisioni con basso numero Weber dove gli scontri provocano rimbalzo e coalescenza. Sopra un numero di We- ber di circa 100, il risultato di collisione potrebbe essere la frantumazione. A volte il modello di collisione può causare che disturbi dipendenti dalla griglia compaiano nello spray. Ciò è un risultato del presupposto che le goccioline possono scontrarsi soltanto all'interno della stessa cella. Questi tendono ad essere visibili quando la sorgente dell'iniezione è ad un vertice della griglia. La coalescenza delle goccioline tende ad indurre lo spray a te- nersi lontano dai limiti delle celle. In due dimensioni, una maglia più ne e più goccioline computazionali possono essere usate per ridurre questi eetti. Se il modello di collisione è utilizzato in una simulazione non stazionaria, le iterazioni multiple del DPM per ogni passo temporale non possono es- sere speci cate. In tali casi, la soltanto una iterazione del DPM per passo temporale sarà calcolata, cioè avanzano in parallelo negli intervalli di tempo. 4.10.1 Teoria
Come si è osservato in precedenza, l'algoritmo di O'Rourke suppone che due goccioline possono scontrarsi soltanto se sono nella stessa cella della fase continua. Questo presupposto può impedire alle goccioline che sono abba- stanza vicine a vicenda, ma non nella stessa cella, si scontrino, anche se l'eetto di questo errore è attenuato permettendo ad alcune goccioline che sono più lontane di scontrarsi. L'esattezza generale dello schema è del se- condo ordine nello spazio.
Probabilità di Collisione
La probabilità di collisione di due goccioline è derivata dal punto di vista della gocciolina più grande, è chiamata la gocciolina collettrice ed è identi- cata sotto con il numero 1. La gocciolina più piccola è identi cata nella seguente derivazione con il numero 2. Il calcolo è nel sistema di riferimento della gocciolina più grande in modo che la velocità della gocciolina collet- trice sia zero. Soltanto la distanza relativa fra la collettrice e la gocciolina più piccola è importante in questa derivazione. Se la più piccola gocciolina è su una rotta di collisione con la collettrice, i centri passeranno entro una distanza di r1+ r2. Più precisamente, se il centro della gocciolina più piccola
passa all'interno di un cerchio piano centrato intorno alla collettrice di area π(r1 + r2) perpendicolare alla traiettoria della gocciolina più piccola, una
collisione avrà luogo. Questo disco può essere usato per de nire il volume di collisione, che è l'area del disco sopraccennato moltiplicato per la distan- za percorsa dalla gocciolina più piccola in un passo temporale, vale a dire π(r1+ r2)2vrel∆t.
L'algoritmo di O'Rourke utilizza il concetto di un volume di collisione per calcolare la probabilità di collisione. Piuttosto che calcolando che la posizio- ne del centro della gocciolina più piccola sia all'interno del volume di scontro o meno, l'algoritmo calcola la probabilità della gocciolina più piccola di esse- re all'interno del volume di scontro. È noto che la gocciolina più piccola è in qualche parte all'interno della cella della fase continua di volume V . Se c0 è
una probabilità uniforme della gocciolina che sia dovunque all'interno della cella, quindi la probabilità della gocciolina di essere all'interno del volume di collisione è il rapporto dei due volumi. Di conseguenza, la probabilità della raccoglitrice di collidere con la goccia più piccola è
P1 =
π(r1+ r2)2vrel∆t
V (4.168)
L'equazione 4.168 può essere generalizzata per i pacchetti, in cui ci sono n1
e n2 goccioline nei pacchetti identi cati come collettore e delle goccioline più
piccole, rispettivamente. Il collettore subisce un numero medio previsto di collisioni dato da
n= n2π(r1+ r2)
2v rel∆t
V (4.169)
Il numero reale degli scontri che il collettore avverte non è generalmente il numero previsto medio degli scontri. La distribuzione di probabilità del numero di collisioni segue una distribuzione di Poisson, secondo O'Rourke, che è data da
P(n) = e−¯nn¯
n
n! (4.170)
dove la n è il numero degli scontri fra una collettrice ed altre goccioline. Risultati di Collisione
Una volta che è determinato che due pacchetti si scontrano, il risultato della collisione deve essere stabilito. Il risultato tende generalmente ad essere la coalescenza se le goccioline si scontrano frontalmente e a rimbalzare se la collisione è più obliqua. Nel sistema di riferimento che si sta usando qui, la probabilità di coalescenza può essere collegata con la deviazione del centro della gocciolina collettrice e la traiettoria della gocciolina più piccola. La deviazione critica è una funzione del numero collisionale di Weber e dei relativi raggi del collettore e della gocciolina più piccola.
La deviazione critica è calcolata da O'Rourke usando l'espressione bcrit= (r1+ r2) s min 1.0,2.4f We (4.171)
dove f è una funzione di r1/r2, de nita come f r1 r2 = r1 r2 3 − 2.4 r1 r2 2 + 2.7 r1 r2 (4.172) Il valore del parametro eettivo di collisione, b, è (r1+ r2)
√
Y, dove Y è un numero casuale fra 0 e 1. Il valore calcolato della b è confrontato alla bcrit
e se b > bcrit, il risultato dello scontro è la coalescenza. L'equazione 4.170
dà il numero di goccioline più piccole che si uniscono con la collettrice. Le proprietà delle goccioline unitesi sono trovate dalle leggi di conservazione di base.
Nel caso di una collisione radente, le nuove velocità sono calcolate in base alla conservazione della quantità di moto e dell' energia cinetica. Si suppone che una certa frazione dell'energia cinetica delle goccioline sia persa nella ge- nerazione di momento angolare e nella dissipazione viscosa. Questa frazione è collegata con la b, il parametro di deviazione di collisione. Utilizzando le forme assunte per la perdita di energia, O'Rourke ha derivato la seguente espressione per la nuova velocità:
v01 = m1v1+ m2v2+ m2(v1− v2) m1+ m2 b − bcrit r1+ r2− bcrit (4.173) Questa relazione è usata per ciascuna delle componenti di velocità. Nessuna altra proprietà della gocciolina è alterata nelle collisioni radenti.