3.3 Implementazione del modello CFD
3.3.2 Discretizzazione del dominio di calcolo
Il dominio geometrico, definito al punto precedente, viene discretizzato nella griglia di calcolo (mesh), costituita da un numero finito di volumi elementari, detti volumi di controllo, su cui le equazioni differenziali, rese algebriche mediante la discretizzazione, sono risolte.
La griglia di calcolo è stato definita utilizzando il pre-processore GAMBIT R 2.4. Dato che il dominio di calcolo è bidimensionale, si farà riferimento solo alle modalità di definizione della mesh 2D; per quelle relative al caso 3D si rimanda al manuale di GAMBIT R e a precedenti lavori condotti presso dall’ex Dipartimento di Energetica
3.3. Implementazione del modello CFD 91
Lorenzo Poggi dell’Università di Pisa nonché dal sottoscritto per il conseguimento della laurea triennale [30, 36, 37].
L’accuratezza della discretizzazione dipende dalla forma e dalle dimensioni degli elementi scelti.
Per la discretizzazione di domini bidimensionali, GAMBIT R mette a disposizione i seguenti elementi:
• Tri: elementi di forma triangolare. • Quad: elementi di forma quadrilatera.
• Quad\Tri: la griglia è costituita da elementi quadrilateri mentre quelli triango- lari sono disposti in prossimità dei vertici.
La mesh è costruita mediante uno dei seguenti algoritmi, da scegliere dall’utente a seconda dei casi:
• Map: il dominio viene mappato mediante una griglia ordinata e regolare di elementi.
• SubMap: il dominio, di forma complessa, viene suddiviso in diverse zone regolari, in cui applicare il precedente schema Map.
• Pave: la disposizione degli elementi non è regolare né segue una struttura modulare. Questo schema è molto utilizzato per la mesh di elementi curvilinei. • Tri Primitive: il dominio viene suddiviso in zone di forma quadrilatera, ciascuna
costituita da elementi triangolari.
• Wedge Primitive: gli elementi triangolari sono disposti con andamento radiale in prossimità dei vertici.
Non tutti gli algoritmi di discretizzazione possono essere associati ai vari elementi e celle: fortunatamente il codice GAMBIT R, fornisce, all’atto della selezione del dominio da discretizzare, tutti quelli che possono essere usati.
La dimensione massima degli elementi di mesh deve essere pari a quelle caratteri- stiche del problema, almeno localmente. Nulla vieta di adottare dimensioni inferiori: tale scelta deve essere motivata da eventuali miglioramenti nell’analisi CFD ed in particolare da una maggiore accuratezza della soluzione; come si può intuire, al diminuire delle dimensioni degli elementi di mesh, aumenta il numero delle celle di controllo e quindi l’onere computazionale delle simulazioni numeriche.
Una scelta razionale è rappresentata dall’uso della griglia ad infittimento progressivo in prossimità di zone con variazioni di geometria, disponendo elementi a dimensione variabile con la distanza. In GAMBIT R questo può essere ottenuto mediante la definizione di opportune size-fuction: la figura 3.33 ne riporta l’applicazione ad una semplice geometria cubica [30].
Per definire completamente la size-fuction è necessario specificare i seguenti: • Source: indica la "sorgente" ovvero il centro della zona in cui la size-fuction
è applicata. Possono essere considerate più entità della stessa natura, non necessariamente contigue.
92 3. Analisi CFD della fluidodinamica interna di un CPC
Figura 3.33: Esempio di griglia ad infittimento progressivo
• Attachmet: è la parte di dominio in cui viene applicata la size-fuction.
• Start Size: definisce la dimensione di partenza degli elementi delle celle e corrisponde a quella degli stessi dell’entità source.
• Growth Rate: è il rateo di crescita delle dimensioni degli elementi ed è funzione della distanza dalle entità source. Per ovvie ragioni, deve essere strettamente maggiore di uno.
• Size Limit: indica la dimensione massima degli elementi.
Operata la discretizzazione del dominio e quindi la definizione della mesh, è necessario verificarne la qualità ovvero l’accuratezza mediante i seguenti parametri [36]:
• Aspect Ratio • EquiAngle Skew • EquiSize Skew
Il parametro Aspect Ratio, QAR, fornisce informazioni sull’aspetto ovvero sulla forma
dell’elemento. Per gli elementi di tipo Tri è definito come: QAR= f ·
R r
(3.53) dove r e R rappresentano rispettivamente il raggio del cerchio che può essere inscritto e circoscritto sull’elemento di mesh; f dipende dal tipo di elemento ed in questo caso vale f = 1/2.
Per gli elementi Quad, QAR è definito come segue:
QAR=
max (e1, e2)
min (e1, e2)
(3.54) dove ei è la media della lunghezza degli spigoli secondo la coordinata locale i
dell’elemento (si veda la figura 3.34).
Per definizione QAR>1 dove QAR = 1 corrisponde ad un elemento equilatero. Al
fine di minimizzare la distorsione degli elementi è desiderabile avere elementi con QAR tanto vicino a 1. Il parametro EquiAngle Skew, QEAS, è una misura del grado
3.3. Implementazione del modello CFD 93
Figura 3.34: Aspect Ratio QAR per gli elementi quad
di simmetria della cella ed è definito come segue: QEAS = max θmax− θeq 180 − θeq ,θeq− θmin θeq (3.55) dove θmax e θmin rappresentano rispettivamente il massimo e il minimo angolo, in gradi, tra gli spigoli dell’elemento e θeq dipende dalla forma dell’elemento stesso
ovvero θeq = 60◦ per gli elementi Tri e θeq = 90◦ per quelli Quad.
Si ha che0 ≤ QEAS ≤ 1: QEAS = 0 descrive elementi equilateri mentre QEAS = 1
quelli di forma irregolare (tale da compromettere l’intera analisi CFD). Si può affermare che a valori di QEAS tanti vicino a zero la mesh è di migliore qualità: ad
esempio, per QEAS = 0.5 la mesh può essere definita di buona qualità, cioè tale da consentire l’analisi CFD e non influenzare pesantemente l’accuratezza della soluzione ottenuta.
Anche il parametro EquiSize Skew, QEV S fornisce informazioni sulla simmetria della cella. É definito come segue:
QEV S =
Seq− S
Seq
(3.56) dove S e Seqrappresentano rispettivamente, nel caso 2D, l’area dell’elemento di mesh e la massima area di una cella equilatera che lo circoscrivere.
Anche in questo caso si ha che 0 ≤ QEV S ≤ 1: valgono le considerazioni fatte a
proposito del parametro EquiAngle Skew.
Nel proseguo, la qualità della mesh sarà valutata esaminando solo i parametri QEV S e QEAS in quanto descrivono il grado di distorsione di un elemento: se questi valori
sono accettabili, cioè inferiori a 0.5, allora il requisito su QAR è automaticamente soddisfatto [36].
Si procede adesso alla descrizione della discretizzazione del dominio geometrico del collettore CPC secondo quanto in precedenza.
Il modello CAD, definito in SOLIDWORKS R, viene importato in GAMBIT R uti- lizzando la funzione Import, raggiungibile secondo il percorso File/Import, e quindi selezionando il formato in cui il modello CAD è stato salvato (IGES o STEP).
Sono definite le zone fluide e solide, le quali rappresentano rispettivamente l’aria intrappolata nella cavità del CPC e l’isolante in polistirolo: la figura 3.35 mostra la definizione della zona di fluido, denominata nel caso Fluid.
Tutti gli spigoli e le curve che sono presenti nel dominio geometrico vengono definiti come Wall cioè pareti: come sarà più chiaro successivamente, si adotta una gestione
94 3. Analisi CFD della fluidodinamica interna di un CPC
Figura 3.35: Definizione della zona fluida in GAMBIT R
automatica delle interfacce, ovvero delle entità in comune tra zone diverse (ad esempio quelle di contatto fra l’aria e il concentratore). La figura 3.36 riporta la definzione del ricevitore, denominato Absorber.
Figura 3.36: Definizione delle wall in GAMBIT R
La definizione delle size-function utilizzate per la creazione di griglie ad infitti- mento progressivo viene visualizzata nella figura 3.37. Nel caso in esame si utilizzano cinque size-function, le cui caratteristiche sono riassunte nella tabella 3.4: si indi- cano con Faccia_1 e con Faccia_2 rispettivamente la zona fluida dell’aria e quella solida dell’isolante. Per le entità utilizzate come Source si faccia riferimento a quelle evidenziate nelle figure 3.37 e 3.38.
3.3. Implementazione del modello CFD 95
Figura 3.37: Definizione della size-function in GAMBIT R
Parametri delle Size-Function
S.Fuction Source Attachment S. Size [mm] G. Rate M. Size [mm]
sfunc.1 figura 3.37 Faccia_1 0.75 1.05 2.5
sfunc.2 figura 3.38(a) Faccia_1 0.75 1.05 2.5
sfunc.3 figura 3.38(b) Faccia_1 0.75 1.05 2.5
sfunc.4 figura 3.38(c) Faccia_2 0.75 1.07 5
sfunc.5 figura 3.38(d) Faccia_2 0.75 1.07 5
Tabella 3.4: Caratteristiche delle size-function impiegate per le griglie ad infittimento progressivo
Definite le dimensioni degli elementi di mesh mediante le size-function, non rimane che sceglierne la forma.
La zona fluida è discretizzata utilizzando elementi di tipo Tri con algoritmo di costruzione Pave in quanto indicati per la discretizzazione di zone delimitate da curve, come la cavità del CPC ovvero la zona fluida dell’aria. A titolo d’esempio, la figura 3.39 riporta la definizione della mesh della zona di fluido ovvero di Faccia_1: non è importante scegliere la dimensione stante la definizione precedente delle size- function; il valore inserito viene ignorato nella costruzione della mesh.
La zona solida è discretizzata successivamente con elementi di tipo Quad e algoritmo Pave completando la discretizzazione dell’intero dominio di calcolo, come visibile nella figura 3.40.
Definita la griglia di calcolo dell’intero dominio, non rimane che esaminarne l’accuratezza mediante i parametri di forma di cui sopra: dato che QESS = 0.51 e QEAS = 0.48, si può concludere che la mesh ottenuta è di buona qualità.
96 3. Analisi CFD della fluidodinamica interna di un CPC
(a) (b)
(c) (d)
Figura 3.38: (a) Entità source impiegate nelle size-function sfunc.2 (b) sfunc.3 (c) sfunc.4 e (d) sfunc.5
3.3. Implementazione del modello CFD 97
Figura 3.40: Discretizzazione dell’intero dominio geometrico del CPC in GAMBIT R