Geometria del concentratore e tracciamento dei profili

I collettori CPC sono un sistema bidimensionale di conversione dell’energia solare: la struttura principale del collettore è ottenuta per semplice estrusione del profilo parabolico composto e il ricevitore è di tipo lineare; la sezione ottenuta con un piano perpendicolare all’asse del tubo è la medesima per qualsiasi coordinata assiale. La figura 3.4 ne riporta un modello semplificato nel caso di ricevitore cilindrico: per ragioni di chiarezza grafica, non sono stati considerati l’isolante e l’involucro protettivo laterale.

La superficie captante del collettore è data dal prodotto della lunghezza L e della larghezza W , grandezze visualizzate nella precedente figura.

52 3. Analisi CFD della fluidodinamica interna di un CPC

Figura 3.4: Modello semplificato di un collettore CPC con ricevitore cilindrico

semi-angolo accettazione θcè fornita dalla seguente:

Cdef= Ac Ar

= 1

sin(θc)

(3.1) dove A_c e A_r, come al solito, indicano rispettivamente la superficie captante e quella del ricevitore. Ragionando per unità di lunghezza L esse risultano:

Ac= W (3.2a)

Ar = 2πr (3.2b)

I profili parabolici composti del collettore CPC sono stati sviluppati a partire dagli anni ’70 soprattutto per gli studi condotti negli Stati Uniti da R. Wiston e quelli attualmente impiegati derivano proprio dai suoi lavori [10].

Per il collettore CPC con ricevitore cilindrico, di cui uno schema è riportato nella 3.5(a), il profilo parabolico può essere ottenuto mediante il seguente procedimento: si fissi un sistema di riferimento cartesiano X-Y con origine in corrispondenza del centro del tubo ricevitore di raggio r; si prenda come coordinata angolare l’angolo θ, nullo nell’estremo inferiore del tubo e crescente in senso antiorario, e si tracci per ogni punto della circonferenza il segmento tangente di lunghezza ρ. Si tratta quindi di un evolvente in cui la retta ruota senza strisciare sul cerchio, disegnando il profilo desiderato. Le grandezze sopra menzionate vengono visualizzate nella figura 3.5(b) [7].

La lunghezza del segmento ρ è una funzione della coordinata angolare θ espressa in radianti [7, 26]: ρ(θ) := ( r · θ, se0 ≤ θ ≤ θc+π₂ r ·θ+θc+π/2−cos(θ−θc) 1+sin(θ−θc) , se θc+ π 2 ≤ θ ≤ 3 2π − θc (3.3)

Nel sistema di riferimento X-Y le coordinate x-y del profilo parabolico sono date: x = r · sin(θ) − ρ · cos(θ)

y= −r · cos(θ) − ρ · sin(θ) (3.4)

Le coordinate ora definite permettono di ottenere metà parte del concentratore parabolico: nel caso in cui esso sia simmetrico, l’altra parte può essere ottenuta semplicemente per simmetria rispetto l’asse Y del sistema di riferimento ovvero

3.1. Descrizione dettagliata del collettore solare CPC 53

(a) (b)

Figura 3.5: (a) Schema semplificativo e (b) dimensionamento del collettore CPC con ricevitore cilindrico

cambiando il segno alla coordinata x a parità di y. In alternativa è possibile ripetere il procedimento utilizzando la coordinata angolare θ crescente in senso orario. Nel proseguo del paragrafo si opererà un’ulteriore distinzione per i collettori CPC: essi saranno classificati in ragione della simmetria del profilo rispetto l’asse Y; si distingueranno collettori CPC simmetrici e CPC asimmetrici. Finora sono stati considerati solo collettori simmetrici: le figure riportate si riferiscono ad essi. Osservando in maniera più attenta l’equazione (3.3) si nota che la parte propriamente parabolica del profilo sia espressa dalla seconda sotto-equazione e che la prima definisca un evolvente di cerchio: quest’ultimo ha l’importante funzione di raccordare il fondo del collettore con il ricevitore evitando che alcuni raggi riflessi possano passare nello spazio compreso tra il fondo e il ricevitore stesso.

Nel caso di collettore CPC con ricevitore piano l’assorbitore viene disposto in corrispodenza dei fuochi della due parabole: uno schema è riportato nella figura 3.6. In particolare la parabola che compone la parte destra del concentratore è disposta con l’asse di simmetria inclinato del angolo θc di semi-accettazione rispetto

all’asse verticale; il fuoco della stessa parabola, posizionato nel punto A , coincide sia con l’estremità del ricevitore AB sia con il punto d’inizio della parabola sinistra, il cui fuoco è ovviamente nel punto B. Tracciata la retta parallela all’asse della parabola sinistra e passante per il punto B, si determina l’intersezione fra la retta e la parabola stessa: il punto D della figura. Il segmento AD definisce l’altezza pienamente sviluppata del concentratore.

54 3. Analisi CFD della fluidodinamica interna di un CPC

Per tracciare il profilo del concentratore parabolico è possibile sfruttare le equazioni già ottenute: si cercherà di ricavare una sorta di raggio equivalente ovvero un profilo parabolico per assorbitore cilindrico in cui la distanza orizzontale tra i due fuochi coincida con la larghezza del ricevitore piano e di cui si consideri solo la parte parabolica propriamente detta, parte definita dalla seconda sotto-equazione di (3.3). Ovviamente si ragionerà a parità di concentrazione.

Si faccia riferimento alla figura 3.7: il concentratore per il ricevitore cilindrico è riportato in tratteggio. Si assuma, in accordo con la figura 3.5(b), l’angolo θ come coordinata angolare, crescente in senso antiorario e nulla in corrispondenza dell’estremo inferiore dell’assorbitore tubolare.

Figura 3.7: Geometria del collettore CPC con ricevitore piano

Siano l la larghezza del ricevitore piano e ¯r il raggio equivalente da determinare: il profilo del concentratore si svilupperà solo nella parte parabolica ovvero per θc+π₂ ≤ θ ≤ 3₂π − θc.

Utilizzando la prima sotto-equazione di (3.3), per θ= θc+π₂ si ha:

¯

ρ= ¯r ·(θc+

π

2) (3.5)

Osservando la figura 3.7 e impiegando delle semplici relazioni trigonometriche, è possibile scrivere:

l

2 = ¯r · sin(θc+ π

2) + ¯ρ · sin(θc) (3.6)

Sostituendo nella precedente la (3.5) e risolvendo rispetto a r, si ottiene:¯ ¯ r= l 2 · 1 cos(θc) + (θc+π₂)sin(θc) (3.7)

Il profilo parabolico, in accordo con la seconda sotto-equazione di (3.3), risulta: ρ= ¯r · θ+ θc+ π/2 − cos(θ − θc) 1 + sin(θ − θc) per θc+ π 2 ≤ θ ≤ 3 2π − θc (3.8)

3.1. Descrizione dettagliata del collettore solare CPC 55

Sostituendo nella relazione (3.4), si ottengono le coordinate x e y del profilo parabolico per ricevitore piano: il sistema di riferimento utilizzato è riportato nella precedente figura 3.7.

Si ricorda la necessità di evitare il contatto diretto tra ricevitore e concentratore in modo da eliminare il calore disperso per conduzione. Questo particolare costruttivo sarà tenuto in debita considerazione nelle successive analisi CFD dei collettori CPC con ricevitore sia cilindrico che piano.

Il profilo del concentratore può essere tracciato utilizzando il metodo delle stringhe detto anche Edge Ray Principle, di cui uno schema è riportato nella figura 3.8: un filo di lunghezza costante è vincolato ad un’estremità del ricevitore piano e viene fatto scorrere su una guida, inclinata dell’angolo di semiaccettazione θc,

fino al raggiungimento della tangente verticale al profilo. Nella figura di riferimento, il filo è evidenziato in colore rosso mentre il profilo del concentratore in blu [7, 27]

Figura 3.8: Tracciamento del profilo del concentratore del CPC mediante metodo delle stringhe

La figura 3.9 riporta il profilo del concentratore tracciato mediante il metodo delle stringhe: in particolare la 3.9(a) si riferisce al caso con ricevitore piano mentre la 3.9(b) al caso con ricevitore cilindrico.

(a) (b)

Figura 3.9: (a) Profilo parabolico del concentratore tracciato mediante metodo delle stringhe per CPC con ricevitore piano e (b) cilindrico

Un’ulteriore distinzione da fare sui CPC riguarda il grado di simmetria del pro- filo del concentratore rispetto l’asse verticale del collettore, indicato come Y nelle

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precedeti figure.

Come già accennato sopra, si distinguono collettori simmetrici e asimmetrici. Nel- la figura 3.10 è possibile osservare il confronto tra due CPC con ricevitore cilindrico, il primo simmetrico e il secondo asimmetrico: entrambi hanno diametro di 47 mm e concentrazione pari a 2 e sono inclinati rispetto la verticale di 30◦.

Figura 3.10: Confronto delle geometrie del profilo del concentratore per CPC simmetrico e asimmetrico

Nel seguito si ragionerà sul caso di ricevitore cilindrico ma il tutto può essere ovvia- mente applicato al caso con ricevitore piano utilizzando le corrispondenti relazioni. Per tracciare il profilo del concentratore simmetrico si può ragionare nel seguente modo: si scelga la concentrazione C e mediante la relazione (2.9) l’angolo di semiac- cettazione θ_c; le coordinate dei punti del profilo sono fornite dalla (3.4).

Si può quindi procedere all’operazione di specchiatura: per il punto di coordinate (x;y) si considera il simmetrico (−x;y); il sistema di riferimento impiegato è quello definito in precedenza. In alternativa è possibile impiegare il procedimento di tracciamento del profilo, descritto dalle relazioni (3.3) e seguenti: le relative equazioni vanno applicate per due volte; la coordinata angolare θ, da utilizzare nei due casi, è definita crescente in senso antiorario e orario (rispettivamente per la parabola destra e sinistra del profilo).

Questo secondo metodo deve essere impiegato per tracciare il profilo del concentratore asimmetrico: in questo caso la coordinata angolare θ ha due limiti superiori diversi. Si può ragionare come segue: si indichi con il pedice l la parabola destra ovvero quella inferiore, lower, e con il pedice u la parabola sinistra ovvero quella superiore, upper. Siano θ_cl e θcu i corrispondenti angoli di semiaccettazione, nel caso diversi; si

definiscano i valori per tali angoli ovvero θ_cl= ¯θcl e θcu= ¯θcu.

I punti superiori delle due parabole si ottengono sostituendo alla relazione (3.4) i limiti superiori delle corrispondenti coordinate angolari cioé θ_l= 3

2π − θcl e θu= 3

2π − θcu.

La distanza fra tali punti definisce l’apertura del concentratore ovvero la superficie di ammissione dello stesso (ragionando sempre per unità di lunghezza assiale L). Per ottenere la concentrazione C è necessario procedere al rapporto fra l’apertura del concentratore (la distanza fra i punti superiori del profilo) e la circonferenza del ricevitore. Si evidenzia come la concentrazione sia un dato di partenza nel caso del tracciamento del profilo simmetrico mentre un risultato nel caso asimmetrico.

Per definire le curve del concentratore in ambiente CAD si utilizzeranno un semplice foglio di calcolo in modo da ottenere le coordinate di alcuni punti del

3.1. Descrizione dettagliata del collettore solare CPC 57

profilo e la funzione di definizione della curva mediante punti, che il software CAD SOLIDWORKS R _{mette a disposizione. Tale procedura è descritta in maniera più} dettagliata nei paragrafi successivi.